Astronomiczne podstawy geografii/Odległości

Obliczanie odległości poprawne

Aby obliczyć tę długość wystarczy nam że znamy: Położenie geograficzne punktu (A=x1,y1) oraz położenie geograficzne punktu (B=x2,y2)

Wzór na obliczenie
sqrt[((x2-x1)*cos(y1*pi/180))^2+(y2-y1)^2]*pi*12756.274/360

Za pomocą tego wzoru wynik z zadania do obliczenia odległości między Gdańskiem 54° 22′ N 18° 38′ E a Słupskiem 54° 28' N 17° 1′ E wynosi:

sqrt[((54,22-54,28)*cos(18,38*pi/180))^2+(17.10-18,38)^2]*pi*12756.274/360 = 83,5768697271824 km

Jak można sprawdzić poprawność wzoru wystarczy znać obwód ziemi na równiku:

sqrt[((0-0)*cos(0*pi/180))^2+(-180-180)^2]*pi*12756.274/360 = 40075,0166855785 km

ablo wiedzieć iż 1 stopień to ok 111,1 km

sqrt[((0-0)*cos(179*pi/180))^2+(180-179)^2]*pi*12756.274/360 = 111,319490793274 km

Objaśnienia: sqer[] - pierwiastek ^ - potęga

Wstęp teoretyczny

Jak wiadomo kula ziemska jest geoidą. Która w pewnym przybliżeniu jest kulą. Aby obliczyć odległość na kuli musimy posłużyć się pewną sztuczką.

Rys1.

Na rysunku zaznaczamy punkty pomiędzy, którymi obliczamy odległość [A,B] oraz biegun północny [P]. Biegun północny tylko dla wygody, równie dobrze mógłby to być biegun południowy lecz nasz wzór byłby znacznie bardziej skomplikowany. Punkty te stworzyły nam trójkąt sferyczny ABP. Gdzie |AB| to odległość między punktami.

Obliczanie odległości

Aby obliczyć tę długość wystarczy nam że znamy: długość łuku (w stopniach)AP, długość (w stopniach)BP oraz różnice pomiędzy długościami geograficznymi obu punktów. Oczywiście te wartości znamy z danych z zadania. Wykorzystujemy wzór:

$cos AB = \cos AP \cdot \cos BP + \sin AP \cdot \sin BP \cdot \cos P$

mamy już cosinus naszej odległości teraz wystarczy wziąć arccos tej liczby i mamy odległość w stopniach pomiędzy naszymi punktami. Żeby teraz zmienić tę odległość na kilometry wystraczy zobaczyć jaką to stanowi część obwodu Ziemii i pomnożyć razy jej obwód. Jeden stopień to 111.1km.

l=arccos (cos AB) * 111,1km

to odległość w kilometrach pomiędzy tymi punktami. Po zestawieniu wzorów możemy posługiwać się takim wzorem

$l=\arccos (\cos AP \cdot \cos BP + \sin AP \cdot \sin BP \cdot \cos P) \cdot 111.1km$

Jednakże wzór częściowy jest również wygodny zwłaszcza jesli posługujemy się tablicami lub kalkulatorem

Ćwiczenia

Obliczamy odległość pomiędzy Gdańskiem 54° 22′ N 18° 38′ E a Słupskiem 54° 28' N 17° 1′ E
l= arccos (cos 35°38' * cos 35°32' + sin 35°38' * sin 35°32'* cos 1°37′)
l=0,9553*111,1km=106,1385km

Zadania

Oblicz odległości z Gdańska do:
a) Krakowa (50° 04' N 19° 56' E)
b) Berlina (52° 31' N 13° 24'E)
c) Nowego Jorku (40° 42' N 74° 00' W)
d) Kapsztadu (33° 58'S 18° 25' E)
e) Welington (41° 17' S 174° 47'E)
f) Montevideo (34° 53' S 56° 10' W)

---

Powrót do spisu treści