Fale/Fale

Fale

Fale

Układy fizyczne, a jego drgania swobodne

Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych ω i przesunięcia fazowego φ. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem:

$\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;$

(1.1)

Ruch pokazany przy pomocy równości (1.1), są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości ν, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej:

$T={{1}\over{\nu}}={{2\pi}\over{\omega}}\;$

(1.2)

Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody

Ruch harmoniczny (1.1) jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu.

Drgania tłumione

Ruch harmoniczny opisywany wzorem (1.1) nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością:

$\psi(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega t+\varphi)\;$

(1.3)

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sinψ, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika:

$Ml{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-Mg\sin\psi\;$

(1.4)

Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący:

$\sin\psi=\psi-{{\psi^3}\over{3!}}+{{\psi^5}\over{5!}}-...\;$

(1.5)

Dla małych kątów ψ, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość (1.4) możemy przestawić (1.5):

${{d^2\psi}\over{dt^2}}=-{{g}\over{l}}\psi\rightarrow {{d^2\psi}\over{dt^2}}=-\omega^2\psi\mbox{ gdzie: }\omega^2={{g}\over{l}}\;$

(1.6)

Rozwiązaniem równania (1.6) są funkcje harmoniczne w postaci (1.1) (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest:

$\ddot{\psi}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;$

(1.7)

Jeśli funkcję (1.7) wraz (1.1) podstawimy do wzoru (1.6), w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym.

Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek

Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi

Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi

Rozważmy dwie sprężynki przeczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona:

$F_z=-K(z-a_0)+K(2a-z-a)=-2K(z-a)\;$

(1.8)

Ruch ciężarka możemy opisać przy pomocy drugiego prawa dynamiki Newtona, który piszemy:

$M{{d^2z}\over{dt^2}}=F_z\Rightarrow M{{d^2z}\over{dt^2}}=-2K(z-a)\;$

(1.9)

Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją ψ(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w (1.9) możemy dokonać zamiany zmiennych według:

$\psi(t)=z(t)-a\;$

(1.10)

Równanie (1.9) przy pomocy podstawienia (1.10), którym występuje poszukiwana funkcja ψ(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci:

${{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-{{2K}\over{M}}\psi(t)\;$

(1.11)

Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu (1.9) na podstawie (1.11) i (1.10), przestawiamy:

$\omega^2={{2K}\over{M}}\;$ (1.12)

$z(t)=\psi(t)+a=a+A\cos(\omega t+\varphi)\;$ (1.13)

Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn

Drgania podłużne. Dolny rysunek układ w stanie równowagi, a górny układ w stanie drgań poprzecznych.

Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana:

$T_0=K(a-a_0)\;$

(1.14)

Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem:

$T=K(l-a_0)\;$

(1.15)

Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe:

$M{{d^2x}\over{dt^2}}=F_x=-2T\sin\theta=-2K(l-a_0){{x}\over{l}}\Rightarrow M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2Kx\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)\;$

(1.16)

Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego (1.16) jest funkcją w ogólności od zmiennej x.

Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie

Równanie ruchu ciała o masie M (1.16) w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a₀ przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu (1.16) przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci:

${{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;$

(1.17)

Wzór (1.17) uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania (1.16), w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym (1.14) jest:

$\omega^2={{2K}\over{M}}={{2T_0}\over{Ma}}\mbox{ (dla }a_0=0\mbox{)}\;$

(1.18)

Rozwiązaniem równania ruchu (1.17) jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej ω, które jest opisane wzorem (1.1). Widzimy, ze zgodnie ze wzorami (1.18) i (1.12), że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M.

Przybliżenie małych drgań

Aby rozwiązać równanie różniczkowe (1.16) stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a₀ do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego ε, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego (1.16), i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości ε:

$l^2=a^2+x^2\;$ (1.19)

$\epsilon^2={{x^2}\over{a^2}}\;$ (1.20)

Odwrotność długości sprężyny liczymy rozkładając tą odwrotność w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M:

${{1}\over{l}}={{1}\over{a}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}={{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq{{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\;$

(1.21)

Wzór (1.21) podstawiamy do (1.16) do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego:

${{d^2x}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq\;$ $\simeq-{{2Kx}\over{M}}\left[1-{{a_0}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\right]\;$

(1.22)

Równanie ruchu (1.22) możemy przepisać dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości:

${{d^2x^2}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{Ma}}(a-a_0)+{{K}\over{M}}a_0\left({{x}\over{a}}\right)^3+...\;$

(1.23)

W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie (1.23) możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór (1.14):

${{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2K}\over{Ma}}(a-a_0)x\Rightarrow {{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2T_0}\over{Ma}}x\;$

(1.24)

Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego (1.24):

$\omega^2={{2T_0}\over{Ma}}\;$

(1.25)

Rozwiązanie równania ruchu (1.24) przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej (1.25) jest równaniem zapisane w punkcie (1.1). Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych (1.12) przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych (1.25) przy oznaczeniu (1.14) w następującej postaci:

${{\omega_{pod}}\over{\omega_{poprz}}}={{1}\over{\left(1-{{a_0}\over{a}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\;$

(1.26)

Patrząc na wzór (1.26), gdy długość własna sprężyny a₀ jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe.

Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami

Szeregowy układ LC dwóch kondensatorów o pojemności elektrycznej C i solenoidu o długości własnej L

Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy:

$-L{{dI}\over{dt}}-{{Q_2}\over{C}}-{{Q_1}\over{C}}=0\;$

(1.27)

Ładunek Q₁ jest powiązany z ładunkiem Q₂, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie:

$Q_1=Q_2\;$ (1.28)

${{dQ_2}\over{dt}}=I\;$ (1.29)

Równanie (1.27) możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości (1.28), które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu (1.29), wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia:

$L{{dI}\over{dt}}+2{{Q_2}\over{C}}=0\Rightarrow L{{d^2I}\over{dt^2}}=2{{I}\over{C}}=0\Rightarrow {{d^2I}\over{dt^2}}=-{{2}\over{LC}}I\;$

(1.30)

Końcowe równanie (1.30) jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy:

$\omega^2={{2}\over{LC}}\;$

(1.31)

Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego (1.30) przestawiamy podobnym wzorem do (1.1), jest to równanie w postaci:

$I(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;$

(1.32)

Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu

Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do ψ(t), natomiast niezależała od wyższych potęg ψ, tzn. ψ²,ψ³,.... Równanie niezawierające wyższych potęg ψ niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od ψ nazywamy równaniem jednorodnym.

Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych

Równania liniowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań liniowych też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać jest też jego rozwiązaniem, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia:

${{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi+\alpha\psi^2+\beta\psi^3+\gamma\psi^4+..\;$

(1.33)

Weźmy dwa rozwiązania ψ₁ i ψ₂, które spełniają równanie różniczkowe (1.33):

${{d^2\psi_1(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_1+\alpha\psi_1^2+\beta\psi_1^3+..\;$ (1.34)

${{d^2\psi_2(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_2+\alpha\psi^2_2+\beta\psi^3_2+..\;$ (1.35)

Sumę rozwiązań ψ_a i ψ_b też spełnia równanie różniczkowe (1.33) jak i składowe tejże sumy:

${{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}=-C(\psi_1+\psi_2)+\alpha(\psi_1+\psi_2)^2+\beta(\psi_1+\psi_2)^3+...\;$

(1.36)

Równanie (1.34) możemy dodać do (1.35) do siebie i porównać ze wzorem (1.36), w ten sposób otrzymujemy tożsamości:

${{d^2\psi}\over{dt^2}}+{{d^2\psi}\over{dt^2}}={{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}\;$ (1.37)	$-C\psi_1-C\psi_2=-C(\psi_1+\psi_2)\;$ (1.38)
$\alpha\psi_1^2+\alpha\psi_2^2=\alpha(\psi_1+\psi_2)^2\;$ (1.39)	$\beta\psi^3_1+\beta\psi_2^3=\beta(\psi_1+\psi_2)^3\;$ (1.40)

Równanie (1.37) i (1.38) są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości (1.39) i (1.40) są zawsze spełnione tylko dla α=0 i β=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód.

Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań

Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych ψ₁(0) i ψ₂(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań ψ₁(t) i ψ₂(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli ψ₁(t)+ψ₂(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: ψ₁(0)+ψ₂(0).

Niejednorodne równanie liniowe

Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe:

$M{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi(t)+F(t) \;$

(1.41)

Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe (1.41), każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu (1.41), tzn. F₁(t)+F₂(t).

Wahadło sferyczne

W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy:

$M{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}x\;$ (1.42)

$M{{d^2y}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}y\;$ (1.43)

Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania:

$x(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;$ (1.44)

$y(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi)\;$ (1.45)

Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach (1.44) i (1.45) wynikających z równań (1.42) i (1.43), zapisujemy wzorem (1.6).

Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne

Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. ψ_a i ψ_b, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że ψ_a i ψ_b oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi ω₁ i ω₂. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez:

$\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\;$ (1.46)

$\psi_b=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi)={{B_1}\over{A_1}}\psi_a\;$ (1.47)

Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach (1.46) I (1.47), tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla ψ_a i ψ_b zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach ω₁ i ω₂:

$\psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$

(1.48)

a dla drugiej zmiennej, tzn. ψ_b drgania opisujemy:

$\psi_b(t)=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$

(1.48)

Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody

Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań (1.42) i (1.43) dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem (1.6), których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako:

$x(t)\equiv \psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1+\varphi)\;$ (1.49)

$y(t)\equiv\psi_b(t)=\cos(\omega_2t+\varphi)\;$ (1.50)

Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych

Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w stanie równowagi

Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w ogólnej konfiguracji

Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K₁ i K₂, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x²/a², y²/a² i xy/a². W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci:

$F_x=-2K_1x\;$ (1.51)

$F_y=0\;$ (1.52)

Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej:

$M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2K_1x\;$ (1.53)

$M{{d^2y}\over{dt^2}}=-2K_2y\;$ (1.54)

Rozwiązania równania (1.53), a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości:

$x=A_2\cos(\omega_1 t+\varphi)\;$ (1.55)

$\omega^2_1={{2K_1}\over{M}}\;$ (1.56)

Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego (1.54) i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy:

$y=B_2\cos(\omega_2 t+\varphi)\;$ (1.57)

$\omega_2^2={{2K_2}\over{M}}\;$ (1.58)

Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt

Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych

Albowiem równania (1.53) i (1.54) opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to nie ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań (1.48) i (1.49). W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt α, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej.

Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu

Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci:

${{d^2x}\over{dt^2}}=a_{11}x-a_{12}y\;$ (1.59)

${{d^2y}\over{dt^2}}=-a_{21}x-a_{22}y\;$ (1.60)

Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu (1.59) i (1.60) są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego.

$x=A\cos(\omega t+\varphi)\;$ (1.61)

$y=B\cos(\omega t+\varphi)\;$ (1.62)

Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania (1.59) i (1.60) są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna:

${{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;$ (1.63)

${{d^2y}\over{dt^2}}=-\omega^2y\;$ (1.64)

W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania (1.61) i (1.62) podstawić do (1.59) i (1.64), w ten sposób otrzymać następujący układ równań:

$(a_{11}-\omega^2)x+a_{12}y=0\;$ (1.65)

$a_{21}x+(a_{22}-\omega^2)y=0\;$ (1.66)

Z równań (1.62) i (1.66) możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów:

$y/x=(\omega^2-a_{11})/a_{11} \;$ (1.67)

$y/x=a_{21}/(\omega^2-a_{22})\;$ (1.68)

Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu (1.59) i (1.60), jest równość obu stron (1.67) i (1.68):

$(a_{11}-\omega^2)(a_{22}-\omega^2)-a_{21}a_{12}\;$

(1.69)

Równanie (1.69) jest równaniem kwadratowym względem zmiennych ω², którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości ω₁² i ω₂². Stosunek y/z względem równości (1.67) dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci:

${{y}\over{x}}={{B_1}\over{A_1}}={{\omega_1^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;$ (1.70)

${{y}\over{x}}={{B_2}\over{A_2}}={{\omega_2^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;$ (1.71)

Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego (1.59) i (1.60) dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości ω₁ i ω₂, co jest to rozwiązaniem w postaci:

$x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;$

(1.72)

A rozwiązaniami y(y) według (1.71) są to rozwiązania przestawione w postaci równania:

$y(t)={{B_1}\over{A_1}}A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+{{B_2}\over{A_2}}A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=\;$ $=B_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$

(1.73)

Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków

Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne

Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem F₁=-Kψ_a, a na drugie ciało wzorem F₂=-Kψ_b, przy założeniu ψ_a=ψ_b, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane:

$M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a\;$ (1.74)

$M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K\psi_b\;$ (1.75)

Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór:

$\omega^2_1={{K}\over{M}}\;$

(1.76)

Rozważmy teraz sytuację, gdy ψ_a=-ψ_b, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet:

$F_1=-K\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)=-K\psi_a-2K\psi_a=-3K\psi_a\;$

(1.77)

A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet:

$F_2=-K\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)=-K\psi_b-2K\psi_b=-3K\psi_a\;$

(1.78)

Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona:

$M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\psi_a\;$ (1.79)

$M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-3K\psi_b\;$ (1.80)

Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe (1.79) i (1.80), przestawiamy:

$\omega_2^2={{3K}\over{M}}\;$

(1.81)

Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem (1.76) lub (1.81).

Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona:

$M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;$ (1.82)

$M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}-K(\psi_b-\psi_a)-k\psi_b\;$ (1.83)

Równania (1.82) i (1.83) możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych ψ_a+ψ_b i ψ_a-ψ_b:

$M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-K(\psi_a+\psi_b)\;$ (1.84)

$M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\;$ (1.85)

Na podstawie równości (1.84) otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań (1.76), a także z równania (1.85) wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych (1.81). Z równań (1.84) i (1.85) wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania:

$\psi_a+\psi_b=2A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\;$ (1.86)

$\psi_a-\psi_b=2A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;$ (1.87)

Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie (1.86) i równanie (1.87) są opisywane dla Ψ_a:

$\psi_a=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;$

(1.88)

A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane:

$\psi_b=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)-A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;$

(1.89)

Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków

Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek

Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy:

${{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K(l-a){{\psi_a}\over{l}}$ ${{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;$

(1.90)

Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do (1.90). To równanie rozwiązuje się tak samo jak (1.16) pamiętając przy tym o (1.15), zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla ψ_a=ψ_b liczymy według:

$\omega^2={{T_0}\over{Ma}}\;$

(1.91)

Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi ψ_A=-ψ_b, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych:

${{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta-T\sin2\theta\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}\simeq -3T\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;$

(1.92)

Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do (1.92). Równanie (1.92) rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie (1.16) pamiętając przy okazji o (1.15), zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić:

$\omega^2={{3T_0}\over{Ma}}\;$

(1.93)

Dwa sprzężone ze sobą obwody LC

Dwa obwody sprżężone ze sob LC

Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki I_a i I_b, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach Q₁, Q₂ i Q₃:

$L{{dI_a}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_1-{{1}\over{C}}Q_2\;$ (1.94)

$L{{dI_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_2-{{1}\over{C}}Q_3\;$ (1.95)

Możemy z różniczkować równania (1.94) i (1.95) względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy I_a, I_b, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach Q₁, Q₂, Q₃ policzonych względem czasu:

$L{{d^2I_a}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}{{dQ_1}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}\;$ (1.96)

$L{{d^2I_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_3}\over{dt}}\;$ (1.97)

Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach:

${{dQ_1}\over{dt}}=-I_a\;$ (1.98)

${{dQ_2}\over{dt}}=I_a-I_b\;$ (1.99)

${{dQ_3}\over{dt}}=I_b\;$ (1.100)

Tożsamości (1.98), (1.99) i (1.100) możemy podstawić do wzorów (1.96) i (1.97), w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych I_a i I_b i od pozostałych parametrów:

$L{{d^2I_a}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}I_a+{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)\;$ (1.101)

$L{{d^2I_b}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)-{{1}\over{C}}I_b\;$ (1.102)

Równania (1.101) i (1.102) możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych I_a+I_b oraz od I_a-I_b z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez ω₁ i ω₂, zatem te dwa równania piszemy jako:

$L{{d^2(I_a+I_b)}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_a+I_b)\;$ (1.103)

$L{{d^2(I_a-I_b)}\over{dt^2}}=-{{3}\over{C}}(I_a-I_b)\;$ (1.104)

Z równań (1.103) i (1.104) możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty:

$\omega_1^2={{1}\over{LC}}\;$ (1.105)

$\omega_2^2={{3}\over{LC}}\;$ (1.106)

Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami (1.105), (1.106), gdy dla pierwszej mamy I_a=I_b, a dla drugiej I_a=-I_B. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów I_a i I_b są zapisane jako:

$I_a=A\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$ (1.107)

$I_b=A\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-B\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;$ (1.108)

Dudnienia

Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi ω₁ i ω₂, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są drania opisane przez:

$\psi_1=A\cos\omega_1 t\;$ (1.109)

$\psi_2=A\cos\omega_2 t\;$ (1.110)

Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń (1.109) i (1.110) i są one zależne od częstotliwości kołowych ω₁ i ω₂:

$\psi=\psi_a+\psi_b=A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2 t\;$

(1.111)

Modulacje

Średnią częstotliwość kołową ω_śr, która jest sumą częstotliwości kołowych ω₁ i ω₂ podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji ω_mod, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa:

$\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;$ (1.112)

$\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;$ (1.113)

Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji:

$\omega_1=\omega_{sr}+\omega_{mod}\;$ (1.114)

$\omega_{2}=\omega_{sr}-\omega_{mod}\;$ (1.115)

Jeszcze raz patrząc na wzór (1.111) przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory (1.114) i (1.115), wtedy możemy dojść do wniosku:

$\psi=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})+B\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})=\;$ $=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t=A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;$

(1.116)

• gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru (1.116):

$A_{mod}=2A\cos(\omega_{sr}t)\;$

(1.117)

Wzór (1.116) jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości ω₁ i ω₂ są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno ω₁≈ω₂ i ω_mod<<ω_sr, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości ω_sr. Natomiast gdy ω_mod=0, to wtedy mamy ω_sr=ω₁=ω₂, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości ω_sr i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej.

Dudnienia wywołane przez dwa kamertony

Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako ψ jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień ψ_a+ψ_b, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości ν różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem (1.111). Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy $\nu_2={{5}\over{4}}\nu_1\;$, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast $\nu_2=1,06\nu_1\;$, wtedy dźwięk ν₂ słyszany jest jako półtonu wyższy od ν₁. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości ν_sr o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością (1.117) dla różnicy ciśnień ψ(t) danym wzorem (1.116).

Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej

Według wzoru (1.117) amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji ω_mod, co za każdym razem ω_modt zwiększa się o 2π, w której amplituda modulacji A_mod wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji ω_mod). W tym czasie amplituda A_mod dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu.

Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, kwadrat amplitudy dudnienia

Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem:

$\omega_{dud}=2\omega_{sr}=\omega_1-\omega_2 \,$

(1.118)

Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z (1.117) drga z częstotliwością kołową (1.118), to napiszmy następujące przekształcenia wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy:

$A^2_{mod}(t)=4A^2\cos^2\omega_{mod}^2 t=4A^2{{1}\over{2}}(1+\cos(2\omega_{mod}))=2A^2(1+\cos2\omega_{mod}t)\;$

(1.119)

Widzimy na podstawie obliczeń (1.119), że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną (1.118), co było do wykazania.

Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł

Dwa wahadła matematyczne sprzężone ze sobą.

Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób:

$M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;$ (1.120)

$M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)\;$ (1.121)

Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. (1.120) I (1.121) możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych ψ_a+ψ_b (pierwsza równość) i od ψ_a-ψ_b (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości ω₁ i ω₂:

$M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)\;$ (1.122)

$M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a-\psi_b)-2K(\psi_a-\psi_b)\;$ (1.124)

Patrząc na wzory (1.123) i (1.124), w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M:

$\omega_1^2={{g}\over{l}}\;$ (1.125)

$\omega^2_2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\;$ (1.125)

W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe ψ_a I ψ_b dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla ψ_a i ciała "b" dla ψ_b przy definicji częstotliwości kołowych ω₁ i ω₂, w takim wypadku piszemy je:

$\psi_a=\psi_1+\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$

(1.126)

$\psi_b=\psi_1-\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;$

(1.127)

Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. A₁=A₂=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. ω₁ i ω₂. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać:

$\psi_a=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\;$ (1.128)

$\psi_b=A\cos\omega_1-A\cos\omega_2t\;$ (1.129)

Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi

Wykorzystamy wzory (1.114) i (1.115), by potem je użyć do (1.128) (1.129), by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli ψ_a (1.128):

$\psi_a=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;$

(1.129)

Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli ψ_b (1.129):

$\psi_b=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t-A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\sin\omega_{mod}t\sin\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;$

(1.129)

Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej ω_mod i ω_sr, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej:

$E_a={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2A_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t\;$

(1.130)

A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez:

$E_b={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2B_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t\;$

(1.131)

Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej (1.130) i drugiej (1.131), którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych:

$E_a+E_b=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t+2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t=2MA^2\omega_{sr}^2=E\;$

(1.132)

Całkowite energie kulki pierwszej (1.130) i drugiej (1.131), wykorzystując przy tym fakt (1.132), są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego:

$E_a={{1}\over{2}}E\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;$ (1.133)

$E_b={{1}\over{2}}E\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;$ (1.134)

A różnica energii obu kulek, tzn. E_a i E_b na podstawie (1.133) i (1.134) przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (ω₁-ω₂)t, i wyrażamy ją:

$E_a-E_b=E\cos(\omega_1-\omega_2)t\;$

(1.135)

Układy fizyczne, a jego drgania o wielu stopniach swobody

Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach:

$A:B:C:D=1:0,-3,-8\;$

To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy:

$\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\mbox{, }\psi_b=0\mbox{, }\psi_c=-3\psi_a\mbox{, }\psi_d=-8\psi_a\;$

Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest ψ(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia ψ_a(t), ψ_b(t), ψ_c(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji ψ nazywamy falami.

Drgania poprzeczne struny dyskretnej

Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka.

Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy

Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi.

Drgania poprzeczne struny ciągłej

Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania ψ_a, φ_b, φ_c, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone:

$\vec{\psi}(x,y,z,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,z)+\hat{y}\psi_y(x,y,z,t)+\hat{z}_z\psi_z(x,y,z,t)\;$

(2.1)

Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie

Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy:

$\vec{\psi}_x(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;$

(2.2)

Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru (2.2) możemy przepisać wzór na postać tychże drgań:

$\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;$

(2.3)

Polaryzacja struny ciągłej

Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa ρ. A masa na odcinku Δx wyrażamy poprzez wzór:

$\Delta M=\rho_0\Delta z\;$

(2.4)

Poprzeczne drgania struny ciągłej

Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez:

$F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1\;$

(2.5)

Chcemy wyrazić siłę F_x poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest:

• ${{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\;$, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę (2.5) możemy przestawić przy pomocy wzoru:

$F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1=T_2\cos\theta_2\operatorname{tg}\theta 2-T_1\cos\theta_1\operatorname{tg}\theta_1=T_0\operatorname{tg}\theta_2-T_0\operatorname{tg}\theta_1=$ $T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_2-T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_1$

(2.6)

Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości ψ(z,t) względem położenia z, którego definicja:

$f(z)={{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\;$

(2.7)

Rozłóżmy funkcję (2.7) względem położenia wokół punktu z₁, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe:

$f(z_2)=f(z_1)+(z_2-z_1)\left({{df}\over{dz}}\right)_1+{{1}\over{2}}(z_2-z_1)^2\left({{d^2f}\over{dx^2}}\right)_1+...\;$

(2.8)

Biorąc Δz=z₂-z₁, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z₂ i z₁, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji ψ względem położenia przy stałej proporcjonalności równej Δz:

$f(z_2)-f(z_1)=\Delta z\left({{\partial f}\over{\partial z}}\right)_1=\Delta z{{d}\over{dz}}\left({{\partial\psi_z}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial \psi}\over{\partial z}}\left({{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial^2 \psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;$

(2.9)

Wniosek wypływający z tożsamości (2.9) i wzoru (2.6) na definicję siły F_x jest taki:

$F_z=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;$

(2.10)

Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F_x (2.10), który po skróceniu przez Δz otrzymujemy tożsamość robiąc te czynności pokolei:

$\rho_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}} \;$

(2.11)

Fale stojące drgającej struny

Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez:

$\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;$

(2.12)

Druga pochodna cząstkowa wyrażenia (2.12) względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z):

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;$

(2.13)

A druga pochodna funkcji Ψ(z,t) (2.12) względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu:

${{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}={{\partial(A(z)\cos(\omega t+\varphi))}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2 A(z)}\over{dz^2}}\;$

(2.14)

Biorąc równanie różniczkowe falowe (2.11) i po podstawieniu do niego wzoru (2.13) i (2.14) i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie:

${{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}A(z)\;$

(2.15)

Rozwiązując równanie (2.15) dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrazenia 2πz/λ, wtedy:

$A(z)=A\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\;$

(2.16)

A także możemy napisać wniosek wynikający z (2.16), którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem:

${{d^2A(z)}\over{dz^2}} =-\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2A(z)\;$

(2.17)

Możemy porównać obie strony wzorów (2.15) z (2.17), a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T₀ i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny:

$\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=(2\pi\nu)^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \lambda\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\equiv v_0=\operatorname{const}\;$

(2.18)

Fale stojące

Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów (2.12) i (2.16), jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej:

$\psi(x,t)=\cos\left(\omega t+\varphi\right)\left[A\sin\left(2\pi {{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\right]\;$

(2.19)

Warunki brzegowe

Rozwiązanie na funkcje stojące (2.19) nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie (2.19) jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy:

$\psi(0,t)=\cos(\omega t+\varphi)[0+B]=0\;$

(2.20)

Patrząc na tożsamość (2.20) dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej (2.19) możemy zapisać, na podstawie dowodu (2.20), że stała B=0, jako:

$\psi(z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\sin{{2\pi z}\over{\lambda}}\;$

(2.21)

Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej (2.20) jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie:

$\sin{{2\pi L}\over{\lambda}}=0\;$

(2.22)

Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu (2.22), w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby λ/2, co można udowodnić przeprowadzając odpowiednie obliczenia:

${{2\pi L}\over{\lambda}}=\pi k\Rightarrow L={{\lambda}\over{2}}k\mbox{ dla }k=\pm 1,\pm 2,...\;$

(2.23)

W obliczeniach (2.23) pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda $\lambda_1=2L\;$, a z warunku (2.23) i z definicji na stałą λ₁ dalsze wzory na długość fali λ_k w zależności od k>1 zapisujemy:

$\lambda_k={{1}\over{k}}\lambda_1\;$

(2.24)

Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych

Drgania struny o jej nieruchomych końcach

Częstotliwości ν poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej ν₁ względem (2.24) w postaci wzorów:

$\nu_1={{v_0}\over{\lambda_1}}\mbox{, }\nu_2=2\nu_1\mbox{, }\nu_3=3\nu_1\mbox{, }\nu_4=4\nu_4,\mbox{...}\;$

(2.25)

Kątowa liczba falowa

Liczbę falowa nazywamy liczbę falową σ, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2π, wtedy;

$\sigma={{1}\over{\lambda}}\;$ (2.26)

$k=2\pi\sigma={{2\pi}\over{\lambda}}\;$ (2.27)

Równanie fali (2.20) możemy przestawić przy pomocy (2.26) lub (2.27) na kilka równoważnych sposobów:

$\psi(z,t)=A\sin\left(2\pi{{t}\over{T}}\right)\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)=\;$ $=A\sin2\pi\nu t\sin\left(2\pi\sigma z\right)\;$ = Asin ωtsin kz

(2.28)

Patrząc na wzór (2.28), który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki:

$k_1L=\pi\mbox{, }k_2L=2\pi\mbox{, }k_3L=\pi\mbox{,...}\;$

(2.29)

lub w przestawieniu liczby falowej σ:

$\sigma_1L={{1}\over{2}}\mbox{, }\sigma_2L=1\mbox{, }\sigma_3L={{3}\over{2}}\mbox{,...}\;$

(2.30)

Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością

Patrząc na wzór (2.17) otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości ν:

$\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}{{1}\over{\lambda}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\sigma\;$

(2.31)

Równość (2.31) mnożymy obustronnie przez liczbę 2π i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej:

$\omega=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}k\;$

(2.32)

Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny

Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku $_{{{\omega^2}\over{k^2}}}\;$ w zależności od liczby kątowej przestawiamy:

${{\omega^2}\over{k^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}+\alpha k^2\;$

(2.33)

Związek (2.33) jest bardzo podobny do związku (3.22), tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała α jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności λ₁=2L, λ₂=1/2λ₁, λ₃=1/3λ₁, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego ν₂=2ν₁, ν₃=3ν₁, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy α dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek λν=const.

Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej

Ogólne wychylenie wycinka ciągłej strony przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych:

$\psi(z,t)=A_1\sin k_1z\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\sin k_2z\cos(\omega_2t+\varphi_2)+...\;$

(2.34)

Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych

Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej znając współczynniki A_n i B_n naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest:

$F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z\right]=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+\sum_{n=0}^{\infty}B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z=\;$ $=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin nk_1z+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos nk_1z$

(2.35)

Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B₀ i B_n, a także A_n, które wyznaczymy pamiętając przy tym, że zachodzi z₂=z₁+λ:

$\int_{z_1}^{z_2}\sin nk_1zdz=0\;$ (2.36)

$\int_{z_1}^{z_2}\cos nk_1zdz=0\;$ (2.37)

$\sin k_1z\sin mk_1z={{1}\over{2}}\cos(n-m)k_1z-{{1}\over{2}}\cos(n+m)k_1z\;$

(2.38)

$\cos k_1z\sin mk_1 z={{1}\over{2}}\sin(n+m)k_1 z+{{1}\over{2}}\sin(n-m)k_1z\;$

(2.39)

Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z₁,z₂), wykorzystując przy tym związek (2.36) oraz (2.37), w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B₀:

$\int_{z_1}^{z_2}F(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}B_0dz=B_0(z_2-z_1)=B_0\lambda_1\;$

(2.40)

Wykorzystując fakty (2.38) i (2.39), a także fakty w postaci całek (2.36) i (2.37), wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z₁,z₂), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk₁z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako:

$\int_{z_1}^{z_2}F(z)\sin mk_1zdz={{1}\over{2}}A_n\lambda_1\;$ (2.41)

$\int_{z_1}^{z_2}F(z)\cos mk_1zdz={{1}\over{2}}\lambda_1B_m\;$ (2.42)

Współczynniki Fouriera

Patrząc na wzory (2.40) i (2.41) oraz (2.42), wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera (2.35) dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A_m, B_n:

$B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)dz\;$

(2.43)

$A_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1zdz\;$ (2.44)

$B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1zdz\;$ (2.45)

Fala prostokątna i jego analiza Fouriera

Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny

Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z (2.41) dowiadujemy się, że współczynniki B_m są równe zero, a współczynniki A_m istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B₀, którego definicja jest w punkcie (2.41):

$B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda}F(z)dz={{1}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L1dz+\int_L^{2L}(-1)dz\right)=0\;$

(2.46)

i dalej policzymy współczynniki B_m, którego definicja jest w punkcie (2.43):

$B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L\cos mk_1z-\int_L^{2L}\cos mk_1z\right)=\;$ $={{2}\over{\lambda_1}}\int_0^L\left(\cos mk_1z-\cos(mk_1(z+L))\right)dz=\;$ $={{2}\over{\lambda_1}}(2)\int_0^L\left[\sin \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]=$ $={{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\int_0^L\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)dz=\;$ $=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}m{{2\pi}\over{2L}}L\right){{1}\over{mk_1}}\left[\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\right]_0^L=\;$ $=-{{2}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos(m{{3}\over{2}}\pi)-\cos(m{{1}\over{2}}\pi)\right]={{4}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\sin \left(m\pi\right)\sin\left(m{{\pi}\over{2}}\right)=0\;$

(2.47)

i dalej policzymy współczynniki A_m, którego definicja jest w punkcie (2.44):

$A_m={{2}\over{\lambda}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left[\int_{0}^L\left(\sin mk_1z-\sin mk_1(z+L)\right)dz\right]=\;$ $= -{{4}\over{\lambda_1}}\left[\int_0^L\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]=\;,$ $=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin ({{1}\over{2}}mk_1L){{1}\over{mk_1}}\left[\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right]_0^L=$ $=-{{2}\over{m\pi}}\sin m{{\pi}\over{2}}\left(\sin 3m{{\pi}\over{2}}-\sin m{{\pi}\over{2}}\right)=-{{4}\over{m\pi}}\sin\left( m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos\left(m\pi\right)\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\right]=\;$ $=-{{4}\over{m\pi}}\sin^2\left(m{{\pi}\over{2}}\right)\cos\left(m\pi\right)= \begin{cases} {{4}\over{m\pi}}&\mbox{m nieparzyste}\\ 0&\mbox{m parzyste}\end{cases}\;$

(2.48)

Jak widzimy, że współczynniki A_m (2.48), B₀ (2.46), B_m (2.47) są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B₀ (2.46), na współczynnik B_m (2.47) i na samym końcu na współczynnik A_m (2.48), wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera:

$F(z)=B_0+\sum_{m=1}^{\infty}B_m\cos mk_1z+\sum_{n=1}A_m\sin mk_1z=\;$ $={{4}\over{\pi}}\left[\sin k_1z+{{1}\over{3}}\sin 3k_1z+{{1}\over{5}}\sin 5k_1z+...\right]=\;$ $=\underbrace{\underbrace{1,273\sin {{\pi z}\over{L}}}_{f_1}+\underbrace{0,424\sin {{3\pi z}\over{L}}}_{f_3}+\underbrace{0,255\sin {{5\pi z}\over{L}}}_{f_5}}_{f_{1+3+5}}+...$

(2.49)

Analiza fourierowska impulsu prostokątnego

Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu

Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t₁ okresu T₁, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy:

$f(T+t_1)=f(t_1)\mbox{ dla } t\in R\;$

(2.50)

Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci:

$F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos n\omega_1t+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega_1t\;$

(2.51)

Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera mając definicję współczynników Fouriera o postaciach:

$B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+t_1}F(t)dt\;$

(2.52)

$B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\cos n\omega_1 t dt\;$ (2.53)

$A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\sin n\omega_1 t dt\;$ (2.54)

Drgania struny niejednorodnej

Zakładamy, że siła T₀ działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem (2.6). Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych:

$f(z)=T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;$

(2.55)

Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora (2.8) funkcję f(z) (2.55), w ten sposób otrzymujemy, że siła F_x działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest:

$F_x=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;$

(2.56)

Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny Δz i przez gęstość tegoż wycinka ρ(z), wtedy:

$\rho(z)\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\Rightarrow {{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{1}\over{\rho(z)}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;$

(2.57)

Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(ωt+φ), piszemy:

$\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;$

(2.58)

Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości:

${{d^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;$ (2.59)

${{\partial\psi}\over{\partial z}}=\cos(\omega t+\varphi){{dA(z)}\over{dz}}\;$ (2.60)

Mając fakty (2.59) i (2.60), co one możemy podstawić do wzoru (2.57), w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej:

${{1}\over{\rho(z)}}{{d}\over{dz}}\left[T_0(z){{dA(z)}\over{dz}}\right]=-\omega^2A(z)\;$

(2.61)

Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody

Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi

Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T₀, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a.

Równanie ruchu struny dyskretnej

Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych

Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru (2.6), tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy:

$M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=T_0{{\psi_{n+1}(t)-\psi_n(t)}\over{a}}-T_0{{\psi_n(t)-\psi_{n-1}}\over{a}}\;$

(2.62)

Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci:

$\psi_n(t)=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;$

(2.63)

Druga pochodna zupełna wyrażenia (2.63) względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy A_n i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci:

${{d^2\psi_n(t)}\over{dt}}=-\omega^2\psi_n(t)=-\omega^2A_n\cos(\omega t+\varphi)\;$

(2.64)

Równanie (2.62) możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu (2.63) i (2.64), które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci:

$-M\omega^2A_n={{T_0}\over{a}}\left(A_{n+1}-2A_n+A_{n-1}\right)\Rightarrow A_{n+1}+A_{n-1}=A_n\left(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\right)\;$

(2.65)

Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę A_n możemy napisać w postaci:

$A_{n}=A\sin kna\;$

(2.66)

Zatem dzięki definicji amplitudy A_n według (2.66) wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy A_n+1 i A_n-1, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory:

$A_{n+1}=A\sin k(n+1)a=A\sin(kna+ka)=A(\sin kna\cos ka+cos kna\sin ka\;$

(2.67)

$A_{n-1}=A\sin k(n-1)a=A\sin (kna-ka)=A(\sin kna\cos ka-\cos kna\sin ka)\;$

(2.68)

$A_{n+1}-A_{n-1}=2A\sin kna\cos ka=2A_n\cos ka\;$

(2.69)

Możemy wykorzystać końcowy związek (2.69) do (2.65), w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w A_n, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów:

$2A_n\cos ka=A_n(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2)\;$

(2.70)

We związku (2.70) możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej λ:

$2\cos ka=2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\Rightarrow \omega^2={{2T_0}\over{Ma}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2 {{ka}\over{2}}={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2{{\pi a}\over{\lambda}}\;$

(2.71)

Ogólna postać drgań i warunki brzegowe

Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach

Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięc zaznaczonych punktów na wykresie odpowiadają pięciu różnych częstotliwością struny z pięcioma z ciężarkami.

Ogólna postać drgań A_n możemy przestawić w postaci wzoru jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna:

$A_n=A\sin kna+B\cos kna\;$

(2.72)

Na końcu lewym wychylenie od położenia równowagi jest zerowe i wykorzystując fakt (2.72) dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość:

$A_n=A\sin kna\;$

(2.73)

Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek:

$kL=n\pi\;$

(2.74)

Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości ω(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie (2.71) w postaci:

$\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\sin {{ka}\over{2}}\;$

(2.75)

Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich

Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<λ, co jest równoważne 2πa/λ<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci:

$\sin x=x-{{1}\over{6}}x^3+...\;$

(2.76)

Do wzoru (2.75) możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin (2.76), by w ten sposób napisać:

$\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\left[{{1}\over{2}}ka-{{1}\over{48}}(ka)^3+....\right]=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\left[1-{{1}\over{48}}(ka)^2+....\right]\Rightarrow \omega(k)\simeq\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\;$

(2.77)

Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami

Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami

Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek ψ_n, którego to przepis:

$M{{d^2\psi_n}\over{dt^2}}=K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;$

(2.78)

równanie tego typu (2.78) było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać:

$\omega(t)=2\sqrt{{{K}\over{M}}}\sin{{ka}\over{2}}=2\sqrt{{K}\over{M}}\sin{{\pi a}\over{\lambda}}\;$

(2.79)

Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji:

$\psi_n(t)=A\sin nka\cos(\omega(k) t+\varphi)\;$

(2.80)

Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów

Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów

Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci:

$L{{dI_a}\over{dt}}=-{{Q^'}\over{C}}+{{Q}\over{C}}\;$

(2.81)

Równanie (2.81) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa:

$L{{d^2I_n}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_n-I_{n+1})+{{1}\over{C}}\left(I_{n-1}-I_n\right)\;$

(2.82)

Co (2.82) możemy zapisać równoważnie w postaci:

$L{{d^2I_n}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}(I_{n+1}-I_{n})-{{1}\over{C}}\left(I_{n}-I_{n-1}\right)$

(2.82)

Równanie (2.82) jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy:

$\omega(k)=2\sqrt{{{1}\over{LC}}}\sin {{ka}\over{2}}\;$

(2.83)

Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez:

$I_n(t)=(A\sin nka+B\cos nka)\cos \left(\omega(k)t+\varphi\right)\;$

(2.84)

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek

Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy:

$M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;$

(2.85)

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek

Równanie (2.85) jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej:

$\omega^2(k)={{g}\over{l}}+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;$

(2.86)

Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (1.6), i je oznaczymy przez $\omega_0^2\;$, wtedy nasz związek dyspersyjny (2.86) piszemy w postaci:

$\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}=\omega^2_0+\omega_1^2\sin^2{{ka}\over{2}}\;$

(2.87)

Widzimy, że związek (2.87) zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego ω₀, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy $_{v_0^2={{\omega_1^2a^2}\over{4}}}\;$, wtedy związek dyspersyjny (2.87), przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej:

$\omega^2(k)=\omega_0^2+v_0^2k^2\;$

(2.88)

Związek dyspersyjny dla plazmy

Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej ω_p, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru:

$\omega^2(k)=c^2(k_x^2+\underbrace{k_y^2+k_z^2}_{k^2})=\underbrace{c^2k_x^2}_{\omega_0^2}+c^2k^2=\omega^2_p+c^2k^2\;$

(2.89)

Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. $\omega^2_p\;$, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N₂ i O₂. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A:

Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami

$-\epsilon_0E_xA=Q\Rightarrow E_x=-{{Q}\over{\epsilon_0 A}}\;$

(2.90)

Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru:

$Q=NeAx\;$

(2.91)

Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej:

$m{{d^2x}\over{dt}}=eE_x\;$

(2.92)

Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego E_x (2.90) i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie (2.91) podstawiamy do wzoru (2.92) opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona:

${{m}\over{NeA}}{{d^2Q}\over{dt^2}}=-e{{Q}\over{\epsilon_0A}}\Rightarrow{{d^2Q}\over{dt^2}}={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}Q\;$

(2.93)

Końcowe równanie (2.92) jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej ω_p, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest:

$\omega^2={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}=\omega_p^2\;$

(2.94)

Drgania wymuszone układów harmonicznych

Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym

Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej $-M\omega_0^2x(t)\;$ pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości $M\omega_0^2\;$, dla której układ doznaje siły oporu $-M\Gamma\dot{x}(t)\;$, którym występuje stała Γ, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową:

$M\ddot{x}(t)=-M\omega_0^2x(t)-M\Gamma\dot{x}(t)+F(t)\;$

(3.1)

Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej

Równanie (3.1) można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku:

$\ddot{x}(t)+\Gamma\dot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=0\;$

(3.2)

Rozwiązaniem szczególnym równania jednorodnego liniowego (3.2) jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej τ i częstotliwości kołowej ω:

$x(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)\;$

(3.3)

Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego (3.3), jego pierwsza pochodna jest:

$\dot{x}=-{{1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)$

(3.4)

Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia (3.3) względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia (3.4) względem czasu, zatem do dzieła:

$\ddot{x}={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)=$ $={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)$

(3.5)

Szczególne rozwiązanie (3.3), pierwszą pochodną funkcji x(t) (3.4), a także drugą pochodną funkcji x(t) (3.5) podstawiamy do równania różniczkowego (3.2):

${{1}\over{4\tau^2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)+\;$ $+\Gamma\left(-{{1}\over{2\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)\right)+\omega_0^2e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)=0$

(3.6)

Tożsamość (3.6) dzielimy obustronnie przez $_{e^{-{{t}\over{2\tau}}}}\;$, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sinωt i cosωt:

$\cos(\omega_1 t+\theta)\left[{{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2\right]+\sin(\omega_1 t+\theta)\left[ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1\right]=0$

(3.7)

Równość (3.7) jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(ωt+θ) i cos(ωt+θ) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań:

$\begin{cases} {{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2=0\Rightarrow {{\Gamma^2}\over{4}}-\omega_1^2-{{\Gamma^2}\over{2}}+\omega_0^2=0\Rightarrow-{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_1^2+\omega_0^2=0\\ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1=0\Rightarrow \tau={{1}\over{\Gamma}} \end{cases}$

(3.8)

Na podstawie układu równań (3.8) otrzymujemy następujące tożsamości na τ i ω²:

$\tau={{1}\over{\Gamma}}\;$ (3.9)

$\omega_1^2=\omega_0^2-{{1}\over{4}}\Gamma^2\;$ (3.10)

Rozwiązanie (3.3) równania różniczkowego jednorodnego (3.2) możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego:

$x(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)\;$

(3.11)

Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia (3.11), w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t":

$\dot{x}(t)=-{{\Gamma}\over{2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\omega_1\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)\;$

(3.12)

Wyznaczmy warunki brzegowe dla t=0, tj. dla równania (3.11), który jest położeniem masy w czasie "t", dla równania (3.12), który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków brzegowych:

$x(0)=B\;$ (3.13)

$\dot{x}(0)=-{{\Gamma}\over{2}}B+A\omega_1\;$ (3.14)

Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) (3.13) i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej)(3.14), w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego (3.11) piszemy w postaci:

$x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cos\omega_1 t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sin\omega_1 t}\over{\omega_1}}\right]\;$

(3.15)

Jeśli natomiast $\omega_0^2<{{1}\over{4}}\Gamma^2\;$, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie (3.10):

$\omega_1=\pm i|\omega_1|\;$ (3.16)

$|\omega_1|=\sqrt{{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_0^2}\;$ (3.17)

Zatem równość (3.15) możemy napisać na podstawie tożsamości (3.16) i (3.17), w którym ω jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi:

$x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cosh|\omega_1| t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sinh|\omega_1| t}\over{|\omega_1|}}\right]$

(3.18)

Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru (3.3), który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t" i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z Γ jako czynnik w (3.12) możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest:

$\langle E(t)\rangle={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=\;$ $={{1}\over{2}}Me^{-\Gamma t}\left[\omega_1^2\langle(A\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)^2\rangle+\omega_0^2\langle(A\sin\omega_1 t+\cos\omega_1 t)^2\rangle\right]=$ $=\underbrace{ {{1}\over{2}}M(\omega_1^2+\omega_0^2)\left({{1}\over{2}}A^2+{{1}\over{2}}B^2\right)}_{E_0} e^{-t\Gamma}=E_0e^{-t\Gamma}=E_0e^{-{{t}\over{\tau}}}$

(3.19)

Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej

Każdą siłę wymuszającą możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym φ(ω) o amplitudzie F(ω), która ta całkowita siła jest przestawiona:

$F(t)=\sum_{\omega}F(\omega)\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\;$

(3.20)

W szeregu (3.20) weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy:

$F(t)=F_0\cos\omega t\;$

(3.21)

Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością ω, przestawiamy:

$M\ddot{x}(t)+M\Gamma \dot{x}(t)+M\omega_0^2x(t)=F_0\cos\omega t\;$

(3.22)

Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie (3.22) jest narysowane jako kombinacja funkcji sinus i kosinus:

$x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t\;$

(3.23)

Wzór (3.23) podstawiamy do równania różniczkowego (3.22) otrzymując tożsamość:

$-M\omega^2\left(A\sin\omega t+Bcos\omega t\right)+M\Gamma\omega(A\cos\omega t-B\sin\omega t)+M\omega_0^2(A\sin\omega t+B\cos\omega t)=F_0\cos\omega t\;$

(3.24)

Równanie (3.24) możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości:

$\sin\omega t\left(-AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2\right)+\cos\omega t\left(-MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0\right)=0\;$

(3.25)

Równanie (3.25) jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B:

$\begin{cases} -AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2=0\\ -MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0=0 \end{cases}\;$

(3.26)

Z pierwszego równania (3.26) możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej ω₀, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia Γ, którego równanie jest:

$B=A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;$

(3.27)

Tożsamość (3.27) możemy podstawić do drugiego równania układu równań (3.26), z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A:

$M(\omega_0^2-\omega_0^2)A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}+MA\Gamma\omega-F_0=0\;$

(3.28)

Z tożsamości (3.28) możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych ω₀ i drgań wymuszonych ω:

$A={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.29)

Równanie przestawione wzorem (3.29) jest to wzór na amplitudę absorpcyjną . Wzór na A (3.29) podstawiamy do (3.27), w ten sposób otrzymujemy równość:

$B={{F_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.30)

Równanie na stałą B (3.30) nazywamy równaniem na amplitudę elastyczną . Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile F₀cosωt pomnożonej przez $\dot{x}(t)\;$ i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa:

$P={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;$

(3.31)

A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy F₀ drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający:

$P=F_0\langle\cos\omega t(\omega A_{abs}\cos\omega t+\omega-A_{el}\sin\omega t)\rangle=\;$ $= F_0\omega\left[A_{abs}\langle\cos^2\omega t\rangle+A_{el}\langle\cos\omega t\sin\omega t\rangle\right]={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;$

(3.32)

Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej A_el, absorpcyjnej A_ab, współczynnika Γ i masy drgającej M:

$P_t=M\Gamma\langle \dot{x}_s^2\rangle={{1}\over{2}}M\Gamma\omega^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2\right]\;$

(3.33)

Można udowodnić, że wzór (3.33) za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi (3.31). Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu:

$E={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2\langle x_s^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2={{1}\over{2}}M\left(\omega^2+\omega_0^2\right)\left[{{1}\over{2}}A_{ab}^2+ {{1}\over{2}}A_{el}^2\right]\;$

(3.34)

Rezonans

Wzór (3.31) możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla ω=ω₀, by było P(ω₀)=P₀:

$P=P_0{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.35)

Stała proporcjonalności P₀ została tak dobrana, by dla ω=ω₀, całkowita moc promieniowania była równa P₀. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione:

$(\omega_0^2-\omega)^2=\Gamma^2\omega^2\Rightarrow\omega_0^2-\omega=\pm \Gamma\omega\Rightarrow\omega^2\pm\Gamma\omega-\omega_0^2=0\;$

(3.36)

Z równości podanej w punkcie (3.36) możemy wyznaczyć częstotliwość ω w zależności od częstotliwości podstawowej ω₀ i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest:

$\omega={{\pm\Gamma\pm\sqrt{\Gamma^2+4\omega^2}}\over{2}}\Rightarrow\omega=\pm\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma$

(3.37)

Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie (3.37) możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem:

$\omega=\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;$

(3.38)

Wyrażenie z plusem (3.38) możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową:

$\Delta \omega={{1}\over{2}}\Gamma+{{1}\over{2}}\Gamma\Rightarrow \Delta\omega=\Gamma\Rightarrow(\Delta\omega)_{rez}\tau_{swob}=1\;$

(3.39)

Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości

Rezonans dla oscylatora wymuszonego, kiedy oscylator harmoniczny jest poddawany sile wymuszającej F(t)=F₀cosωt

Amplituda elastyczna jest dana wzorem (3.29), a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy:

${{A_{el}}\over{A_{ab}}}={{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;$

(3.40)

Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu:

$x(t)\simeq A_{el}\cos\omega t\simeq{{F_0\cos\omega t}\over{M(\omega_0^2-\omega^2)}}\;$

(3.41)

Krzywe rezonansowe

Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną:

$A_{ab}(\omega)=A_{ab}(\omega_0){{\Gamma^2\omega_0\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.42)

Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej (3.30) i absorpcyjnej (3.29), wtedy:

$|A(\omega)|^2={{\Gamma^2\omega^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}+ {{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}=\;$ $= {{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=|A(\omega_0)|{{\Gamma^2\omega_0^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.43)

Energię oscylacji określamy według wzoru (3.31), która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej (3.30), piszemy ją:

$P(\omega)={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}={{1}\over{2}}F_0\omega{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}= {{F_0}\over{2\Gamma}}{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=\;$ $=P(\omega_0){{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.44)

Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru (3.34), do której wykorzystamy wzór (3.43), w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość:

$E(\omega)=E(\omega_0){{ {{1}\over{2}}\Gamma^2\left(\omega^2+\omega_0^2\right)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.45)

W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych:

$D=(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2=(\omega_0-\omega)^2(\omega_0+\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\;$

(3.46)

Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość ω jest bliska ω₀, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi Γ<<ω₀, przy pomocy tychże dysput sumę ω₀+ω możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2ω₀, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji (3.46):

$D\simeq4\omega_0^2\left[(\omega_0-\omega)^2+{{\Gamma^2}\over{4}}\right]\;$

(3.47)

Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(ω), który jest tak dobrany by dla ω₀ był równy jeden, czyli zachodziło R(ω₀)=1:

$R(\omega)={{\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}\over{(\omega_0-\omega)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}\;$

(3.48)

Funkcja (3.48) jest funkcją parzystą ze względu na ω₀-ω, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić $_{\omega_0-\omega=\mp{{1}\over{2}}\Gamma}\;$, co z tego możemy wywnioskować $_{\omega=\omega_0\pm{{1}\over{2}}\Gamma}\;$, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa Γ. Funkcja R(ω) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast ω i ω₀ są zastępowane tam kolejno przez $_{E=\hbar\omega}\;$ i $_{E_0=\hbar\omega_0}\;$.

Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione

Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania (3.23), która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego (3.22), a dla równania jednorodnego (3.2), którego rozwiązaniem jest (3.11), to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy:

$x(t)=A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\left(A_1\sin\omega_1 t+B_1\cos\omega_1 t\right)\;$

(3.49)

Częstotliwość ω₁ we wzorze (3.49) jest to wielkość opisana wzorem (3.10).

Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym

Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić B₁=A_el. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-Γ t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy $_{\dot{x}(0)=\omega A_{ab}+\omega_1A_1}\;$, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy A₁=-A_ab, czyli powinno chodzić:

$\dot{x}(0)=(\omega-\omega_1)A_{ab}\;$

(3.50)

co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu ω=ω₁, lub gdy A_ab=0, co implikuje Γ=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy:

$x(t)=A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\;$

(3.51)

Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli ω=ω₁, wtedy na podstawie (3.49) możemy powiedzieć, że zachodzi własność:

$x(t)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]\left(A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t\right)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]x_s(t)\;$

(3.52)

Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia

Tutaj kładziemy Γ=0, wtedy amplituda absorpcyjna A_ab jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną (3.29) jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych ω₀ i częstotliwości drgań wymuszonych ω:

$A_{el}={{F_0}\over{M}}{{1}\over{\omega_0-\omega^2}}\;$

(3.53)

Wtedy położenie masy M (3.51), przy powyżej kładzionych warunkach i wzoru na amplitudę absorpcyjną (3.53), piszemy:

$x(t)={{F_0}\over{M}}{{\cos\omega t-\cos\omega_0 t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;$

(3.53)

Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią $_{\omega_{sr}={{1}\over{2}}(\omega_0+\omega)}\;$ i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną$_{\omega_{mod}={{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)}\;$, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy:

$x(t)=A_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;,$ (3.54)

$A_{mod}={{F_0}\over{M}}{{2\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;$ (3.55)

Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie (3.55) jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych ω₀ i częstotliwości drgań wymuszonych:

$E(t)=E_0\sin^2{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t={{1}\over{2}}E_0\left[1-\cos(\omega_0-\omega)t\right]\;$

(3.56)

Gdy częstotliwość ω jest równa częstotliwości podstawowej ω₀, to wtedy położenie ciała (3.53) możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej:

$x(t)={{F_0 t}\over{M}}\sin\omega_0 t\lim_{\omega\rightarrow\omega_0}{{\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{{{1}\over{2}}\left(\omega_0-\omega\right)t(\omega_0+\omega)}}={{1}\over{2}}{{F_0t}\over{M\omega_0}}\sin\omega_0t\;$

(3.57)

Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie

Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze (3.51) w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej ω₀, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru:

$\dot{x}(t)=A_{ab}\left(\omega\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\omega\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\sin\omega_1 t\right)\simeq\;$ $\simeq\omega_0\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]\;$

(3.58)

Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu (3.58) i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu (3.51):

$E(t)={{1}\over{2}}M\dot{x}+{{1}\over{2}}M\omega_0^2x^2=\;$ $={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg\{\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]^2+\;$ $+\left[A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\right]^2\Bigg\}=\;$ $={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg( A_{ab}^2\cos^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t+A_{el}^2\sin^2\omega t +A_{el}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t+$ $-2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}\cos\omega t\sin\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\sin\omega_1 t+\;$ $+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\sin\omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\cos\omega_1t\sin\omega_1 t+2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\sin\omega_1 t+\;$ $+A_{ab}^2\sin^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t+A_{el}^2\cos^2\omega t+A_{el}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t-\;$ $- 2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}\sin\omega t\sin\omega_1t+2A_{ab}A_{el}\sin\omega t\cos\omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\cos\omega_1 t+\;$ $-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega_1t-2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t \Bigg)=\;$ $={{1}\over{2}}M\omega_0^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2+(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-\Gamma t}- 2(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]=\;$ $= E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]\;$

(3.59)

Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania (3.59) jest:

$E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;$

(3.60)

Kres górny rozwiązania (3.56) na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać:

$E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}+2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;$

(3.61)

Energia oscylacji rośnie od zera i wykonuje przejściowe dudnienia, tzn. energia oscyluje pomiędzy drganiami wymuszającymi, a drganiami swobodnymi, by na samym końcu osiągnąć energię E odpowiadającego drganiom stacjonarnym.

Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą ω, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu (3.22) przy współczynniku tłumienia Γ.

Rezonans o dwóch stopniach swobody

Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych

Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych a) stan równowagin B) układ w stanie drgań

Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą F₀cosωt, to równania ruchu takiego układu są przestawione:

$\begin{cases} M\ddot{\psi}_a=-{{Mg}\over{l}}\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_a+F_0\cos\omega t\\ M\ddot{\psi}_b=-{{Mg}\over{l}}\psi_b+K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_b \end{cases}\;$

(3.62)

Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań:

$\begin{cases} M(\dot{\psi}_a+\dot{\psi}_b)=-{{Mg}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ M(\ddot{\psi}_a-\ddot{\psi}_b)=-M\left({{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\right)(\psi_a-\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ \end{cases}\;$

(3.63)

Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie (1.125) i (1.126).

Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.

Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór (3.23), którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych (3.29):

$A_{ab}={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+\;$ $+{{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.64)

A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie (3.64), która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie (3.30):

$A_{el}={{F_0}\over{M}}{{\omega_{01}^2-\omega^2}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\omega^2_{02}-\omega^2}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(3.65)

Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody

Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania (2.85), które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy.

$M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;$

(3.66)

Załóżmy, że funkcja ψ_n jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją ψ dla n, n+1 i n-1:

$\psi_n(t)=\psi(z,t)\;$

(3.67)

$\psi_{n+1}(t)=\psi(z+a,t)+\psi(z,t)+a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;$

(3.68)

$\psi_{n-1}(t)=\psi(z-a,t)+\psi(z,t)-a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;$

(3.69)

Na podstawie (3.67), (3.68) i (3.69) można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1:

$\psi_{n+1}-\psi_n=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;$ (3.70)

$\psi_{n}-\psi_{n-1}=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}-{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;$ (3.71)

Równości (3.70) i (3.71) możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego (3.66), w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję ψ, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający:

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega_0^2\psi(z,t)+{{Ka^2}\over{M}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;$

(3.72)

Równanie Kliena-Gordona

Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja:

$\psi(z,t)=\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;$

(3.73)

A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki:

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;$ (3.74)

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2A(z)}\over{dz^2}}\;$ (3.75)

Wykorzystując tożsamości (3.74) i (3.75) i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej (3.72), wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z):

${{d^2A(z)}\over{dt^2}}={{M}\over{Ka^2}}(\omega_0^2-\omega^2)A(z)\;$

(3.76)

Fale sinusoidalne

Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem (3.76) dla której definicja stałej k², która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej ω i częstotliwości podstawowej ω₀, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe:

${{d^2A(z)}\over{dz^2}}=-k^2A(z)\;$ (3.77)

$k^2=(\omega^2-\omega_0^2){{M}\over{Ka^2}}\;$ (3.78)

wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B:

$A(z)=A\sin k z+B\cos kz\;$

(3.79)

Stałe A i B występujące w równaniu (3.79) są to stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Fale eksponencjalne

Są to fale opisywane na podstawie (3.76), dla którego definicję stałej χ², która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań ω₀ i częstotliwości wymuszonej ω, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali:

${{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\chi ^2A(z)\;$ (3.80)

$\chi^2=(\omega_0^2-\omega^2){{M}\over{Ka^2}}\;$ (3.81)

Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem (3.80) piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego:

$A(z)=Ae^{-\chi z}+Be^{\chi z}\;$

(3.82)

Stałe A i B występujące w równaniu (3.82) są stałe opisywane przez warunki brzegowe.

Związki dyspersyjne

Związki (3.78) i (3.81) możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "χ", które te związki piszemy:

$\omega^2=\omega_0^2+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;$ (3.83)

$\omega^2=\omega_0^2-{{Ka^2}\over{M}}\chi^2\;$ (3.84)

Ośrodkiem dyspersyjnym nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a ośrodkiem reaktywnym nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej.

Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek

Równanie rózniczkowe różnicowe (2.85) możemy zapisać wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego ω₀, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n:

$\ddot{\psi}_n=-\omega_0^2\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-2\psi_n+\psi_{n-1}\right)\;$

(3.85)

Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu ωt+φ, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego φ, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę A_n:

$\psi_n=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;$

(3.86)

Wzór na wychylenia od stanu równowagi (3.86) podstawiamy do (3.85), w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na ω, wtedy:

$-\omega^2A_n=-\omega_0^2-{{2K}\over{M}}A_n+{{2K}\over{M}}{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_n}}\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_m}}\right)\;$

(3.87)

Zakres dyspersyjny częstości

Amplituda A_n możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja:

$A_{n}=A\sin kna+B\cos kna\;$

(3.88)

Definicja amplitud A_n+1 i A_n-1, na podstawie definicji A_n (3.88) (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1) wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud:

$A_{n+1}=A\sin(kna+ka)+B\cos(kna +ka)\;$

(3.89)

$A_{n-1}=A\sin(kna-ka)+B\cos(kna -ka)\;$

(3.90)

Zapiszmy sumę amplitud A_n+1 i A_n-1, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości (3.89) i (3.90), by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n:

$A_{n+1}+A_{n-1}=2A\sin ka\cos kna+2B\cos kna\cos ka=\;$ $=2\cos ka\left(A\sin kna+B\cos kna\right)=2A\cos ka A_n\;$

(3.91)

Obliczenia (3.91) podstawiamy do (3.88) przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy:

$\omega^2+\omega_0^2+{{2K}\over{M}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;$

(3.92)

Dolny zakresy reaktywny częstości

Amplitudę A_n dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci:

$A_n=Ae^{-\chi na}+Be^{\chi na}\;$

(3.93)

Wtedy suma amplitud A_n+1 i A_n-1 możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości (3.93), by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n:

$A_{n+1}+A_{n-1}=Ae^{\chi a}e^{\chi na}+Be^{-\chi a}e^{-\chi na}+Ae^{-\chi a}e^{\chi na}+Be^{\chi a}e^{-\chi na}=\;$ $=Ae^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)+Be^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=\;$ $=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;$

(3.94)

Obliczenia (3.94) możemy podstawić do równości (3.87), w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych:

$\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1-{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-\cosh \chi a\right)\;$

(3.95)

Wzór (3.94) możemy zapisać w formie podobnej do (3.92) przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej:

$\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2\left({{\chi a}\over{2}}\right)\;$

(3.96)

Górny zakres reaktywny

Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja:

$A_n=(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)\;$

(3.97)

Wtedy suma amplitud A_n+1 i A_n-1 możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości (3.97), by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A_n:

$A_{n+1}+A_{n-1}=-A(-1)^ne^{\chi a}e^{\chi na}-(-1)^nBe^{-\chi a}e^{-\chi na}-(-1)^nAe^{-\chi a}e^{\chi na}+\;$ $+(-1)^nBe^{\chi a}e^{-\chi na} =-A(-1)^ne^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)-(-1)^nBe^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=\;$ $=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;$

(3.98)

Obliczenia (3.98) możemy podstawić do równości (3.87), w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej:

$\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1+{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1+\cosh ka\right)=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;$

(3.99)

Opis fal biegnących

Będziemy rozpatrywali tutaj układy otwarte, tzn. nie mające zewnętrznych granic. Powietrze na dworze dla rozchodzących się fal dźwiękowych zachowuje się jak układ otwarty, pomijamy tutaj efekty powstałe dotyczące odbić fal dźwiękowych od budynków. Rozchodzące się fale dźwiękowe w zamkniętym pomieszczeniu zachowuje się jak układ zamknięty. Jeśli ścianki tego pomieszczenia pokryjemy materiałem całkowicie pochłaniających fale dźwiękowe, to wtedy taki układ zachowuje się jak układ otwarty. Rozpatrzmy tutaj fale, których wychylenia od stanu równowagi piszemy:

$\psi(0,t)=A\cos\omega t\;$

(4.1)

Rozpatrzmy układ, który zachowuje się jak w punkcie z=0 w czasie t', który piszemy w zależności od "t" i położenia, w której rozchodzi się fala z prędkością fazową v_f:

$t^'=t-{{z}\over{v_f}}\;$

(4.2)

Wzór (4.2) możemy podstawić do wzoru (4.1), w ten sposób otrzymać równość zależną od czasu i położenia zetowego "z", w której znajduje się fala biegnąca:

$\psi(z,t)=\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'=A\cos\omega\left(t-{{z}\over{v_f}}\right)=A\cos\left(\omega t-{{\omega z}\over{v_f}}\right)\;$

(4.3)

Dla fal bięgnących, która jest funkcją kosinus, zapisaną w zależności od liczby falowej i częstotliwości kołowej, przestawiamy wzorem:

$\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;$

(4.4)

Możemy porównać wzór (4.4) ze wzorem (4.3), które oznaczają to samo, w ten sposób dostajemy wniosek, że liczba falowa jest stosunkiem częstotliwości kołowej drgań harmonicznych i prędkości fazowej drgań:

$k={{\omega}\over{v_f}}\;$

(4.5)

co z (4.5) możemy napisać definicję prędkości fazowej w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej, która jest ich stosunkiem, w tej samej linijce napiszmy dwa następne wzory określającą prędkość fazowa, która za pierwszym razem jest iloczynem długości falowej i częstotliwości, a za drugim razem jest stosunkiem liczby falowej przez okres drgań fal biegnących:

$v_f={{\omega}\over{k}}\;$ (4.6)

$v_f=\lambda\nu\;$ (4.7)

$v_f={{\lambda}\over{T}}\;$ (4.8)

Zdefiniujemy funkcję fazową, która jest zdefiniowana w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej, a także od zmiennych czasu "t" i położenia "z":

$\varphi(z,t)=\omega t-kz\;$

(4.9)

Podamy teraz inną metodę wyprowadzenia wzoru na prędkość fazową, zatem na podstawie definicji funkcji fazowej (4.9), której różniczka jest napiszemy z definicji różniczki zupełnej, którą wyrazimy w zależności od częstotliwości kołowej ω i liczby falowej "k":

$d\varphi={{\partial\varphi}\over{\partial t}}dt+{{\partial\varphi}\over{\partial z}}dz=\omega dt-kdz\;$

(4.10)

Rozpatrzmy, gdy różniczka funkcji fazowej jest równa dokładnie zero, w ten sposób dostajemy równość z definicji prędkości znaną z kinematyki klasycznej, którą nazwiemy prędkością fazową:

$v_f=\left({{dz}\over{dt}}\right)_{\varphi=\operatorname{const}}={{\omega }\over{k}}\;$

(4.11)

Związek dyspersyjny dla wahadeł matematycznych sprzężonych przy pomocy sprężynek

Równanie różnicowo-różniczkowe możemy napisać wzorem (2.85), które dla porządku dziennego tutaj przepisujemy:

$\ddot{\psi}_n=-{{g}\over{l}}\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-\psi_n\right)-{{K}\over{M}}(\psi_n-\psi_{n-1})\;$

(4.12)

Dla fal biegnących, którego wychylenie od stanu równowagi jest opisane w punkcie (4.4), dla której drugą pochodną cząstkową względem czasu piszemy:

$\ddot{\psi}_n=-\omega^2\psi_n\;$

(4.13)

Równanie (4.12) możemy zapisać, przy pomocy zachodzącej tożsamości dla fal biegnących (4.13), która jest drugą pochodną cząstkową wychylenia podłużnego względem czasu, która jest iloczynem wychylenia od stanu równowagi ψ_n przez kwadrat częstotliwości kołowej drgań i to wszystko wzięte z minusem:

$\omega^2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\left(1-{{\psi_{n+1}+\psi_{n-1}}\over{2\psi_n}}\right)\;$

(4.13)

Harmoniczne fale biegnące

Dla fal sinusoidalnych fal biegnących wychylenie od stanu równowagi możemy przepisać w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej w zależności od zmiennej czasowej i położenia z=na:

$\psi_n=A\cos(\omega t+\varphi-kz)\;$

(4.14)

Suma wychyleń (4.14) dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób:

$\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=A\cos(\omega t+\varphi+kna+ka)+A\cos(\omega t+\varphi+kna-ka)=2\psi_n\cos ka\;$

(4.15)

Związek (4.15) możemy podstawić do (4.13), w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od liczby falowej w postaci:

$\omega^2={{g}\over{l}}-{{2K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;$

(4.16)

Eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym

Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal χ, piszemy:

$\psi(z,t)=Ae^{-\chi z}\cos\omega t\;$

(4.17)

Suma wychyleń (4.17) dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób:

$\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=Ae^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t+Ae^{\chi ka}e^{\chi na}\cos\omega t=\;$ $=Ae^{-\chi kna}\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;$

(4.18)

Tożsamość napisana w punkcie (4.18) podstawiamy do (4.13), przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej względem wielkości stałej zaniku dla rozchodzących się fal biegnących eksponencjalnych:

$\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2{{\chi a}\over{2}}\;$

(4.19)

Przemienne eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym

Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi, dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal χ, piszemy w postaci:

$\psi(z,t)=A(-1)^ne^{-\chi z}\cos\omega t\;$

(4.20)

Suma wychyleń (4.20) dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n:

$\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=-A(-1)^ne^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t-Ae^{\chi ka}(-1)^ne^{\chi na}\cos\omega t=\;$ $=-Ae^{-\chi kna}(-1)^n\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=-\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;$

(4.21)

Tożsamość napisana w punkcie (4.21) podstawiamy do (4.13), przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od stałej zaniku χ dla rozchodzących się fal biegnących:

$\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;$

(4.22)

Prędkość fazowa fal poprzecznych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami

Prędkość fazowa rozchodzenia się fal w strunie obciążonej sprężynkami możemy napisać patrząc na definicję kwadratu częstotliwości kołowej (2.71), z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego obustronnie przez liczbę falową "k" otrzymamy prędkość fazową:

$v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{T_0}\over{Ma}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;$

(4.23)

Biorąc przypadek dla małej liczby falowej "k", wtedy obliczenia dla wzoru (4.23) przeprowadzamy tak jak w punkcie (2.77), w ten sposób możemy otrzymać wzór na prędkość fazową w przybliżeniu małej liczby falowej wykorzystując przy tym definicję masowej gęstości liniowej, zatem dokonajmy tychże obliczeń:

$v_f=\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{{{ka}\over{2}}-{{1}\over{6}}\left({{ka}\over{2}}\right)^3+...}\over{{{ka}\over{2}}}}=$ $=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}\left(1-{{1}\over{24}}(ka)^2+...\right)\simeq\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\;$

(4.24)

Prędkość fazowa fal podłużnych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami

Prędkość rozchodzenia się fal w zależności liczby falowej możemy przestawić wykorzystując wzór na kwadrat częstotliwości kołowej (2.79) z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego przez liczbę falową "k", w ten sposób dostajemy wzór na prędkość fazową rozchodzenia się fal:

$v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{{K}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;$

(4.25)

Dokonując podobnych obliczeń jak w punkcie (4.24) dla k bardzo małego, w ten sposób wykorzystując definicję gęstości liniowej, by otrzymać później tożsamość:

$v_f=\sqrt{{Ka^2}\over{M}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}\simeq\sqrt{{Ka^2}\over{M}}=\sqrt{{Ka}\over{\rho_0}}=\sqrt{{{K_LL}\over{\rho_0}}}\;$

(4.26)

bo zachodzi K_LL=Ka, w którym każda sprężyna ma współczynnik sprężystości równej K, sprężynki wszystkie razem wzięte mają współczynnik sprężystości K_L i dlatego tak powinniśmy napisać.

Prędkość rozchodzenia się dźwięku w naczyniu

Będziemy tutaj wyprowadzać równanie rządzącego przy rozchodzącego się dźwięku w danym ośrodku znając pochodną zupełną ciśnienia względem objętości w stanie równowagi danego ośrodka, tutaj będziemy się zajmować powietrzem, ale związek , który tutaj otrzymamy jest zgodny dla innych ośrodków sprężystych a także dla powietrza. Powietrze znajdujące się w naczyniu zachowuje się jak sprężynka o stałej sprężystości K_L, którego długość jest L₁, która zostaje ściśnięta do długości L, a siła wywierana na ścianki naczynia jest wyrażona wzorem:

$F=-K_L(L-L_1)\;$

(4.27)

Możemy zróżniczkować tożsamość (4.27), w ten sposób otrzymać równość różniczkową:

$dF=-K_LdL\;$

(4.28)

Z drugiej jednak strony powiedźmy, gdy nastąpi zmiana długości sprężyny dL towarzyszy zmiana ciśnienia dp i zmiana siły wywieranej dF, zatem tą siłę piszemy:

$dF=Adp=A\left({{dp}\over{dV}}\right)_0A dL=A^2\left({{dp}\over{dV}}\right)dL\;$

(4.29)

Porównując wzory (4.29) z (4.28) możemy napisać tożsamość na współczynnik sprężystości powietrza:

$K_L=-A^2{{dp}\over{dV}}\;$

(4.30)

Gęstość liniową masy możemy powiązać z gęstością objętościową, która jak udowodnimy gęstość liniowa masy jest równa iloczynowi gęstości objętościowej pomnożonej przez powierzchnię przekroju ośrodka, w której dźwięk rozchodzi się względem linii prostopadłej względem tego przekroju, według związku:

$\rho_{0L}L_0=\rho_{0V}AL_0\Rightarrow \rho_{0L}=\rho_{0V}A\;$

(4.31)

Wzory (4.30) i (4.31) możemy podstawić do wzoru końcowego (4.24), w ten sposób otrzymujemy końcową równość na kwadrat prędkości rozchodzenia się dźwięku:

$v^2={{K_LL}\over{\rho_{0L}}}=\left({{-A^2{{dp}\over{dV}}L}\over{\rho_{0V}A}}\right)=-{{-AL\left({{dp}\over{dV}}\right)_0}\over{\rho_{0V}}}=-{{V_0}\over{\rho_0}}\left({{dp}\over{dV}}\right)_0\;$

(4.32)

Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu

Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla izotermy, czyli pod stałą temperaturą, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w panujące gazie w zależności od jej objętości:

$pV=p_0V_0\Rightarrow p={{p_0 V_0}\over{V}}\;$

(4.33)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia (4.33) względem objętości V i kładąc V=V₀:

${{dp}\over{dV}}=-{{p_0V_0}\over{V^2}}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-p_0\;$

(4.34)

Wzór (4.34) podstawiamy do (4.32), w ten sposób dostajemy równość, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej:

$v=\sqrt{{{p_0}\over{\rho_0}}}\;$

(4.35)

Poprawka do modelu dotyczącego prędkości rozchodzenia się dźwięku

Model opisujący prędkość dźwięku w gazie opisaną w punkcie (4.35) jest modelem tylko dobrym, tylko jest jedyna różnica, że w tym modelu prędkość dźwięku jest napisana z błędem 15% w porównaniem z prędkością dźwięku policzonego z doświadczenia, zatem ten model zawiera pewne błędy, który świadczy, że zastosowaliśmy model gazu doskonałego dla stałej temperatury układu. Lepszym modelem jest równanie adiabaty. W porównaniu modelu Boyla i adiabaty przy sprężaniu gazu ciśnienie jest nieco większe a przy rozprężaniu jest nieco mniejsze. Podczas rozprężaniu i sprężenia gazu temperatura gazu nie jest w rzeczywiści stała w danym punkcie przestrzeni. Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla adiabaty, czyli układu nie wymieniającego się energii z otoczeniem, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w gazie w zależności od jej objętości:

$pV^{\kappa}=p_0V^{\kappa}_0\Rightarrow p=p_0V_0^{\kappa}V^{-\kappa}\;$

(4.36)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia (4.37) względem objętości V i kładąc V=V₀, by w ten sposób otrzymać równość:

${{dp}\over{dv}}=-\kappa p_0V^{\kappa}_0V^{-\kappa-1}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-\kappa p_0\;$

(4.37)

Wzór (4.37) podstawiamy do (4.32), w ten sposób otrzymać równość na prędkość fazową rozchodzenia się fal dźwiękowych, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej, która panuje w stanie równowagi:

$v=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;$

(4.38)

Prędkość fazowa w linii przesyłowym

Częstotliwość fazową linii przesyłowej możemy przestawić poprzez wzór (2.83), który możemy przestawić w granicy małych liczb falowych w postaci:

$\omega^2={{4}\over{LC}}\sin^2 {{ka}\over{2}}\simeq {{4}\over{LC}}{{k^2a^2}\over{4}}={{a^2k^2}\over{LC}}\;$

(4.39)

Kwadrat prędkości fazowej przestawiamy z jego definicji (4.11) dla małych liczb falowych, która jest przestawiona jako odwrotność iloczynu ilorazu indukcji własnej przez przez długość linii przez iloraz pojemności linii przez jej długość:

$v_f^2={{\omega^2}\over{k^2}}={{{{a^2k^2}\over{LC}}}\over{k^2}}={{a^2}\over{LC}}={{1}\over{{{L}\over{a}}{{C}\over{a}}}}\;$

(4.40)

Dolnoprzepustowa linia przesyłowa

Dolno przepustowa linia cylindryczna

Z prawa Gaussa dla elektrostatyki, w zależności od ładunku znajdującego się wewnętrznej powierzchni możemy opisać z tego prawa wniosek:

$-E\epsilon_0 2\pi r a=Q\Rightarrow E=-{{Q}\over{2\pi \epsilon_0r a}}\;$

(4.41)

Wyznaczmy teraz różnicę potencjału między dolną częścią a jej górną częścią kondensatora, którą możemy przestawić według obliczeń:

$-{{d\varphi}\over{dr}}=-{{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}\Rightarrow d\varphi={{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}dr\Rightarrow U={{Q}\over{2\pi\epsilon_0a}}\ln{{r+D}\over{r}}\;$

(4.42)

Całkowita pojemność kondensatora (4.40) jest przestawiana z jego definicji jako iloraz ładunku na okładkach kondensatora cylindrycznego przez jego różnicę potencjałów pomiędzy cylindrycznymi okładkami:

$C={{Q}\over{U}}={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}\;$

(4.43)

Wyznaczmy indukcję magnetyczną pola magnetycznego znajdującego się w kondensatorze pomiędzy jego okładkami:

$B2\pi r=\mu_0I\Rightarrow B={{\mu_0I}\over{2\pi r}}\;$

(4.44)

Policzmy strumień indukcji pola magnetycznego z jego formalnej definicji, a później indukcję własną:

$\Phi=\int_r^{r+D} B dr a=a\int_r^{r+D} {{\mu_0I}\over{2\pi r}}dr={{\mu_0aI}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\Rightarrow L={{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\;$

(4.45)

Napiszmy teraz iloczyn pojemności elektrycznej kondensatora C i indukcyjności z jej definicji, tzn. (4.41) i (4.42):

$LC={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}{{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}= \mu_0\epsilon_0 a^2\Rightarrow {{C}\over{a}}{{L}\over{a}}={{1}\over{c^2}}\;$

(4.46)

Jeśli popatrzymy na wzór na kwadrat prędkości fazowej (4.40) i na wzór (4.46) dowiadujemy się, że prędkość fazowa jest równa prędkości światła w dolnoprzepustowej linii przesyłowej.

Linia przesyłowa zrobiona przy pomocy dwóch równoległych pasków przewodzących

Linia przesyłowa zbudowana przy pomocy równoległych pasków przewodzących

Różnica potencjałów między paskami określamy z jego definicji, a także natężenie pola elektrycznego określamy z prawa Gaussa, piszemy je związkami:

$U=gE_x\;$ (4.47)

$E_x={{Q}\over{\epsilon_0wa}}\;$ (4.48)

Pojemność elektryczna, która jest ilorazem ładunku znajdującego na kondensatorze przez różnicę potencjału znajdującego się na okładkach, wyraża się:

$C={{Q}\over{U}}={{Q}\over{gE_x}}={{Q}\over{g{{Q}\over{\epsilon_0wa}}}}\Rightarrow{{C}\over{a}}={{w\epsilon_0}\over{g}}\;$

(4.49)

Strumień indukcji pola magnetycznego względem powierzchni bocznej możemy określić jako iloczyn igrekowej współrzędnej indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię o wartości ga:

$\Phi=B_yga\;$

(4.50)

Z prawa Stokesa możemy również powiedzieć, że iloczyn współrzędnej igrekowej pola magnetycznego i długości bocznej kondensatora jest równa iloczynowi przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym jest próżnia, przez natężenie prądu elektrycznego płynącego w linii:

$wB_y=\mu_0I\Rightarrow B_y=\mu_0{{I}\over{w}}\;$

(4.51)

Wzór na indukcję pola magnetycznego a właściwie na jej współrzędną igrekową podstawiamy do (4.50), wykorzystując definicję indukcyjności własnej, możemy pisać:

$\Phi= LI=\mu_0{{Iga}\over{w}}\Rightarrow {{L}\over{a}}={{\mu_0g}\over{w}}\;$

(4.52)

Mnożymy wzory (4.49) i (4.52), w ten sposób otrzymujemy odwrotność na kwadrat prędkości światła w próżni:

${{C}\over{a}}{{L}\over{a}}= {{w\epsilon_0}\over{g}}{{\mu_0g}\over{w}}=\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}\;$

(4.53)

Patrząc wzór na kwadrat prędkości fazowej (4.40) i definicję iloczynu ilorazu pojemności linii przesyłowej przez "a" i przez iloraz indukcji pola magnetycznego przez "a". dowiadujemy się, że prędkość fazową linii przesyłowej jest równa prędkości światła w próżni "c".

Zjawisko załamania świata i dyspersja

Zjawisko załamania promieni świetlnych

Z rysunku obok otrzymujemy natychmiast, następujące dwa równania, które wynikają z rysunku obok:

${{v_1t}\over{x}}=\sin\theta_1\;$ (4.54)

${{v_2t}\over{x}}=\sin\theta_2\;$ (4.55)

Dzielimy wzory (4.54) i (4.55) względem siebie, dostajemy:

${{v_1}\over{v_2}}={{\sin\theta_1}\over{\sin\theta_2}}\Rightarrow{{c}\over{v_1}}\sin\theta_1={{c}\over{v_2}}\sin\theta\;$

(4.56)

Teraz wykorzystamy definicję współczynnika załamania n=c/v dla rozważanego ośrodka pierwszego i drugiego, to na podstawie tego równość (4.56) przepisujemy jako:

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\;$

(4.57)

Wyprowadzenie wzoru na współczynnik załamania promieni świetlnych

Względna przenikalność elektryczną możemy przepisać według następującego schematu:

$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\;$

(4.58)

Dalszym krokiem jest wyprowadzenie wzoru na współczynnik przenikalność elektryczną względną, wiedząc że $_{\vec{P}=\chi\epsilon_0\vec{E}}\;$, którego przestawienie jest:

$\epsilon_r\epsilon_0\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi\vec{E}\Rightarrow\epsilon_r=1+\chi\;$

(4.59)

Na podstawie alternatywnej definicji polaryzacji elektrycznej P=Nqx(t) przenikalność względna elektryczna możemy przepisać do:

$\epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}\;$

(4.60)

Napiszmy teraz równanie ruchu ładunku elektrycznego, który napiszemy za pomocą częstotliwości drgań podstawowych ω₀, współczynnika tłumienia Γ, i przy pomocy natężenia pola elektrycznego zmieniającego się według funkcji kosinus E(t)=E₀cosωt, wtedy:

$M\ddot{x}=-M\omega_0^2-M\Gamma\dot{x}+qE(t)\;$

(4.61)

Położenie ciała o masie M możemy zapisać jako rozwiązanie równania (4.61) przy pomocy amplitudy elastycznej A_el i absorpcyjnej A_ab według:

$x(t)=A_{el}\cos\omega t+A_{ab}\cos\omega t\;$

(4.62)

Rozważmy sobie ośrodek przezroczysty, takich jak szkło, woda, są one przezroczyste i nie następuje wtedy absorpcja promieni świetlnych. Dla ośrodków barwnych, nastepuje absorpcja wszystkich częstości oprócz jednej, i interesują nam te częstości, które są daleko od częstości rezonansowych, wtedy amplituda absorpcyjna według (3.29) jest w przybliżeniu równa zero, zatem istnieje tylko amplituda elastyczna, która jest równa dla naszego przypadku według (3.30):

$n^2={{c^2}\over{v^2}}= {{c^2}\over{{{c^2}\over{\mu_r\epsilon_r}}}}=\mu_r\epsilon_r\simeq \epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}} \;$

(4.63)

Powyżej skorzystano z definicji współczynnika załamania, a także z definicji prędkości światła w ośrodku materialnym, dla którego względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden. Jeśli powiązać kwadrat współczynnika załamania z liczbą falową, z częstotliwością kołową i z prędkością światła w próżni, to wtedy wzór (4.63) jest w postaci:

${{c^2k^2}\over{\omega^2}}=n^2=\epsilon_r=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;$

(4.64)

Związek (4.64) jest związkiem liczby falowej z częstotliwością kołową, który jest związkiem dyspersyjnych dla światła widzialnego.

Strumień energii i impedancja

Prędkość fazową rozchodzenia się fal w strunie obciążonych punktowymi ciężarkami określamy jako pierwiastek z stosunku siły napięcia działająca na strunę T₀ i gęstości liniowej struny ρ₀, a impedancję charakterystyczną nazywamy pierwiastek z iloczynu gęstości liniowej struny i siły napięcia, których definicje tychże wielkości określamy poprzez wzory:

$v_f=\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}\;$ (4.65)

$Z=\sqrt{\rho_o T_0}\;$ (4.66)

Poniżej podamy również wzór na impedancję w tej samej strunie, ale dla drgań poprzecznych.

Fale poprzeczne biegnące w strunie ciągłej

Całkowita siła iksowa działająca na ciągłą strunę wywołująca jego ruch falowy w postaci fal biegnących określamy przez:

$F_x=T\sin\theta=T\cos\theta{{\sin\theta}\over{\cos\theta}}=T_{0}\operatorname{tg}\theta=T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\;$

(4.67)

Wprowadzenie do definicji impedancji charakterystycznej

Każdy element struny ciągłej wykonuje ruch harmoniczny określanych jako funkcja, dla której jest ona wprost proporcjonalna do kosinusa z argument różnicy iloczynu częstotliwości kołowej przez czas i iloczynu liczby falowej przez położenie danego elementu struny, co jego definicja tejże funkcji piszemy przez:

$\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;$

(4.68)

Pierwsza pochodna wychylenia od stanu równowagi ψ(z,t) względem położenia z i czasu t struny piszemy przez:

${{\partial\psi}\over{\partial z}}=kA\sin(\omega t-kz)\;$ (4.69)

${{\partial\psi}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;$ (4.70)

Wytwarzanie fal biegnących. a) równowaga, b)ogólna konfiguracja

Patrząc na wzory (4.69) i (4.70) możemy napisać wzór łączący pochodną cząstkową wychylenia od stanu równowagi (4.42) względem położenia z i pochodnej cząstkową wychylenia względem czasu w sposób:

${{\partial\psi}\over{\partial z}}=-{{1}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;$

(4.71)

Całkowita siła działająca na strunę ze strony generatora (4.65) możemy napisać wykorzystując wniosek (4.71), wtedy:

$F_x=-{{T_0}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;$

(4.72)

Wprowadźmy teraz impedancję, jest ona stosunkiem siły T₀ i prędkości fazowej:

$Z={{T_0}\over{v_f}}={{T_0}\over{\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}}}=\sqrt{T_0\rho_0}\;$

(4.73)

Przy definicji impedancji (4.73) wzór na siłę iksowa działającą na strunę ciągłą określamy jako iloczyn pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi ψ względem czasu "t" przez impedancję Z, to razem wszystko wzięte z minusem:

$F_x=-Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;$

(4.74)

Moc wytwarzana przez generator drgań struny

Całkowita wytwarzana moc w czasie "t" jest iloczynem siły F_x zdefiniowaną w punkcie (4.74) i prędkości wychylenia od stanu równowagi, która jest pochodną cząstkową wychylenia ψ względem czasu:

$P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left(Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\right){{\partial\psi}\over{\partial t}}=Z\left({{\partial\psi}\over{\partial t}}\right)^2\;$

(4.75)

Innym sposobem wyprowadzenie mocy wytwarzanej przez generator jest opisany przez wzór w zależności od pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia względem położenia:

$P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]{{\partial\psi}\over{\partial t}}= \left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]\left[-v_f{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]={{v_f}\over{T_0}}\left[-T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]^2\;$

(4.76)

Promieniowanie wytarzane przez układ sprężynek i mas

Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator. a)Równowaga. b) układ w ruchu.

Niech mamy układ sprężynek, które łączą jednakowe masy, wtedy wielkość odpowiadająca wielkości napięcia w strunie T₀ jest wielkość Ka, wtedy impedancję możemy określić jako pierwiastek z wielkości Ka i gęstości masowej liniowej:

$Z={{Ka}\over{\sqrt{{{Ka}\over{\rho_0}}}}}=\sqrt{Ka\rho_0}\;$

(4.77)

Całkowita moc wytwarzana przez generator podczas wytwarzania fal podłużnych w układzie sprężynek w zależności od czasu "t" lub położenia jest pisana:

$P(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;$

(4.78)

Całkowita siła działająca na układ mas sprężynek przy założeniu, że w stanie równowagi sprężynki pozostają napięte z siłą F₀, która nie wpływa na ruch drgający układów kulek, jest określona:

$F_x=F_0-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;$

(4.79)

Fale głosowe

Prędkość fazowa fal dźwiękowej jest określana przez wzór (4.38), porównując ten wzór z (4.26) (w tym drugim mamy gęstość liniową, a w tym pierwszym gęstość objętościową), dochodzimy do wniosku, że rolę napięcia sprężyny spełnia κp₀, wtedy impedancję piszemy:

$Z=\sqrt{\kappa p_0\rho_0}\;$

(4.80)

Natężenia fali dźwiękowej można napisać na podstawie tożsamości (4.76) określoną względem pochodnej wychylenia podłużnego ψ(z,t) względem czasu "t" lub położenia "z":

$I(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-\kappa p_0{{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;$

(4.81)

Siłą działająca na jednostkę powierzchni określamy względem stałego ciśnienia panującego w ośrodku p₀, która to fala dźwiękowa zaburza stałe nasze ciśnienie atmosferyczne przy pomocy członu harmonicznego, który powoduje, że mamy raz ciśnienie wyższe, a za drugim niższe od naszego rozważanego ciśnienia p₀.

${{F_x}\over{A}}=p_0-\kappa p_0{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;$

(4.82)

Odbicie fal klasycznych

Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem (4.48). Falę padającą możemy wyrazić przez (4.4), którą tutaj przepiszemy:

$\psi_{pad}(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;$

(5.1)

W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem (5.1), którą możemy zapisać formułą:

$\psi_{pad}(0,t)=A\cos\omega t\;$

(5.2)

Współczynnik odbicia

Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana:

$F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;$ (5.3)

$F_{odb}(P\mbox{ na }L)=Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;$ (5.4)

A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił (5.3) i (5.4), i po prostu jest napisana:

$F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;$

(5.5)

Fala odbita ψ_odb i padająca ψ_pad, której superpozycją jest fala ψ, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej:

${{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}={{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;,$

(5.6)

Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" ψ,, dla którego impedancja jest wyrażona przez Z₂, jest wyrysowana:

$F(P\mbox{ na }L)=-Z_2{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2\left({{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\right)=\;$ $=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;$

(5.7)

Siła (5.5) jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci (5.7), wtedy przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek:

$-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;$

(5.8)

Wzór (5.8) możemy napisać troszeczkę w innej postaci grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór:

${{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=\left[{{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\right]{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;$

(5.9)

Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal

W równanie ruchu (5.9) możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej:

$\psi_{odb}(0,t)=R_{12}\psi_{pad}(0,t)=R_{12}A\cos\omega t\;$

(5.10)

Współczynnik odbicia występującej we wzorze (5.8) nazywamy wielkość określaną:

$R_{12}={{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\;$

(5.11)

Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0 zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/v_f, dla której v_f jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez:

$\psi_{odb}(z,t)=R_{12}A\cos\left[\omega\left(t+{{z}\over{v_f}}\right)\right]=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$

(5.12)

Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem (5.12):

$\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)+R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$

(5.13)

Przemieszczenia fali dobitej i padającej, a siła kierująca

Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie (4.41), która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej (5.11). Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania.

Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru (5.12):

$\psi_{pad}=A\cos(\omega t-kz)\;$ (5.14)

$\psi_{odb}=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;$ (5.15)

Porównując wzory (5.14) i (5.15) dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest R₁₂. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej (5.14) i odbitej (5.15):

${{\partial\psi_{pad}}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;$ (5.16)

${{\partial\psi_{odb}}\over{\partial t}}=-R_{12}\omega A\sin(\omega t+kz)\;$ (5.17)

Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako R₁₂. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać:

${{\partial\psi_{pad}}\over{\partial z}}=-k A\sin(\omega t-kz)\;$ (5.18)

${{\partial\psi_{odb}}\over{\partial z}}=R_{12}k A\sin(\omega t+kz)\;$ (5.19)

Porównując tożsamość (5.18) z (5.20) możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór:

$R_{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-R_{12}\;$

(5.20)

Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków

Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja (4.41)) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez:

$-T_1{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}+T_2{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}=0\mbox{ dla }z=0\;$

(5.21)

Skokowi siły napinającej struny według (5.21) towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej.

Współczynnik transmisji

Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór:

$\varphi_1(z,t)=\varphi_0\cos(\omega t-k_1z)+R\varphi_0\cos(\omega t+k_1z)\;$

(5.22)

Wzór (5.21) określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez R₁₂. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T:

$\varphi_2=T\varphi_0\cos(\omega t-k_2z)\;$

(5.23)

Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości (5.23) z wielkością (5.22) piszemy według:

$\varphi_2(0,t)=\varphi_1(0,t)\;$

(5.24)

Do wzoru (5.24) możemy podstawić wzory (5.22) i (5.23), by w ten sposób otrzymać tożsamość:

$T\varphi_0\cos\omega t=\varphi_0(1+R)\cos\omega t\;$

(5.25)

Z równości (5.25) możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia:

$T=1+R\;$

(5.26)

We wzorze (5.26) R jest równe R₁₂, gdy φ₀ jest to przemieszczenie φ lub prędkością ∂ψ/∂ t, natomiast gdy jest równa -R₁₂, co wtedy mamy doczynienia z siła kierującą -T∂ψ/∂ z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji).

Impulsy, paczki i modulacje fal

Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości ω. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością.

Prędkość grupowa

Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci:

$\psi(z,t)=A\cos(\omega_1 t-k_1z)+A\cos(\omega_2 t-k_2z)\;$

(6.1)

Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy:

$\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;$ (6.2)	$k_{mod}={{1}\over{2}}\left(k_1-k_2\right)\;$ (6.3)
$\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;$ (6.4)	$k_{sr}={{1}\over{2}}\left(k_1+k_2\right)\;$ (6.5)

Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę (6.1) w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory:

$\psi(z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega_{sr}t+k_{sr})\;$ (6.6)

$A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t-k_{mod}z)\;$ (6.7)

Funkcję fazową amplitudy (6.7) można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji:

$0=\omega_{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz}\over{dt}}=v_{mod}={{\omega_{mod}}\over{k_{mod}}}={{\omega_1-\omega_2}\over{k_2-k_1}}\;$

(6.8)

Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

$v_{mod}={{\omega_2-\omega_1}\over{k_2-k_1}}={{d\omega}\over{dk}}+...\;$

(6.9)

Na podstawie tożsamości (6.9) możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej:

$v_g={{d\omega}\over{dk}}\;$

(6.10)

Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym

Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami ω₁, a ω₂, których ta całkowita fala ψ(t) jest zdefiniowana:

$\psi(t)=A\cos\omega_1t=A\cos(\omega_1t+\delta \omega)+A\cos(\omega_1t+2\delta\omega)+...+A\cos\omega_2t\;$

(6.11)

Wielkość δω jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych ω₂ i ω₁ podzielonej przez N-1, co matematycznie:

$\delta\omega={{\omega_2-\omega_1}\over{N-1}}={{\Delta \omega}\over{N-1}}\;$

(6.12)

Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych (6.11) przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych (6.11), którego przestawienie jest:

$f(t)=e^{-i\omega_1t}+e^{-i(\omega_1t+2\delta\omega)}+...+e^{-i(\omega_1t+2\Delta\omega)}\;$

(6.13)

Funkcja (6.13) jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-δωt), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej:

$f(t)=e^{-i\omega_1 t}{{1-e^{-iN\delta\omega t}}\over{1-e^{-i\delta\omega t}}}={{e^{-{{1}\over{2}}N\delta\omega t}}\over{e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}{{e^{{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}}\over{e^{{{1}\over{2}}i\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}=e^{-i\omega_1 t}e^{-{{1}\over{2}}i(N-1)\delta\omega}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=\;$ $=e^{-i(\omega_1+{{1}\over{2}}\Delta\omega)}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=e^{-i\omega_{sr}t}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}\;$

(6.14)

Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej (6.11) jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie (6.14), którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań ω_śr:

$\psi(t)=A\cos\omega_{sr}t{{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;$

(6.15)

Amplituda fali ψ(t), występująca we wzorze (6.15) jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona:

$A(t)={{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;$

(6.16)

Gdy N=2, wtedy równość na funkcję ψ(t) (6.15), którą definiujemy zamienieniając 1/2ωt przez zmienną x, wtedy mamy:

$\psi(t)=A{{\sin 2x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}t=A{{2\sin x\cos x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}=2A\cos x=2A\cos\omega_{mod} t\cos\omega_{sr}t\;$

(6.17)

Wzór na funkcję ψ(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie (1.116), co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji (6.16) dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według $_{\theta={{1}\over{2}}\delta\omega t}\;$, i obliczyć granicę wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej.

$\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{\theta}}=N\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{N\theta}}=N\;$

(6.18)

Amplitudę (6.16) możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy:

$A(t)=A(0){{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;$

(6.19)

Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych δω są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę (6.16) możemy napisać dla warunku δω bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości (6.12):

$A(t)=A(0){{\sin {{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta\omega t}\over{N{{1}\over{2}}\delta\omega t}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta \omega t}\over{{{1}\over{2}}\Delta\omega}}\;$

(6.20)

Wychylenie od stanu równowagi (6.11) jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu (6.12), piszemy jako:

$\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\left[\delta\omega\cos\omega_1 t+\delta\omega\cos(\omega_1+\delta\omega)t+...+\delta\omega\cos\omega_2 t\right]\;$

(6.21)

Równość (6.21) możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że δω jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od ω=ω₁, aż do ω=ω₂:

$\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\cos\omega td\omega\;$

(6.22)

Szereg Fouriera liczona względem czasu

Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B₀ i współczynników zależnych od n, czyli od A_n i od B_n:

$F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty} B_n \cos\omega_1 t\;$

(6.23)

Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A_n i B_n możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie (2.35), tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej:

$B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)dt\;$ (6.24)

$B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\cos n\omega_ tdt\;$ (6.25)

$A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\sin n\omega_ tdt\;$

(6.26)

Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową

Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A₁sinω₁t+B₁cosω₁t, A₁sinω₁t+B₁cosω₁t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T₁, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T₁ jest dowolny, to częstotliwość kołową ω₁=2π/T₁ możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T₁ możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A_n i B_n można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A_n , B_n, wtedy szereg (6.23) możemy zapisać biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami:

$F(t)=...+A_n\sin n\omega_1 t+A_{n+1}\sin(n\omega_1+\omega_1)t+...\;$

(6.27)

Obierzmy sobie teraz funkcję ω zmiennej n i ω₁, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości ω:

$\omega=n\omega_1\;$

(6.28)

Niech przyrost δω będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej ω przez częstotliwość ω₁:

$\delta\omega=\omega_1\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta\omega}\over{\omega_1}}\;$

(6.29)

Załóżmy, że w pasmie n do n+δ n wszystkie współczynniki A_n są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać:

$F(t)=....+\delta nA_n\sin n\omega_1 t+...=...+\delta\omega{{A_n}\over{\omega_1}}\sin\omega t+..\equiv...+\delta\omega A(\omega)\sin\omega t+..=\;$ $=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega t d\omega\;$

(6.30)

W końcu na podstawie obliczeń (6.30) możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(ω) i B(ω) (powyżej było przyjęte, że B(ω)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki:

$F(t)=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega td\omega+\int_0^{\infty}B(\omega)\cos\omega t d\omega\;$

(6.31)

Na podstawie definicji współczynnika A_n (6.26) i B_n(6.25), a także z własności ω₁T₁=2π, a także będziemy przyjmować t₀=-∞, a T₀=∞, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(ω) i B(ω) przy wcześniejszych poczynionych uwagach:

$A(\omega)={{A_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega tdt\;$ (6.32)

$B(\omega)={{B_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega tdt\;$ (6.33)

Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego

Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać:

$\psi(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1t\;$

(6.34)

Wtedy patrząc na tożsamość (3.10) możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych ω₁ względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach:

$\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bxdx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}+{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx=\;$ $= -{{b}\over{a^2}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx dx={{b}\over{b^2+a^2}}\;$

(6.35)

Dalej policzmy drugą z kolei całkę:

$\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx=\;$ ${{1}\over{a}}+e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx={{a}\over{b^2+a^2}}\;$

(6.36)

Policzmy teraz współczynnik A(ω) według wzoru (6.32) występującego jako współczynnik we wzorze (6.31) korzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.36):

$2\pi A(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\sin\omega t dt=\;$ $=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}[\sin(\omega+\omega_1)t+\sin(\omega-\omega_1)t]dt=\;$ $= {{\omega+\omega_1}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{\omega-\omega_1}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{\omega+\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{\omega-\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;$ $={{(\omega+\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+(\omega-\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}=\;$ $={{2\omega(\omega^2+\omega_0^2)-4\omega_1^2\omega}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}={{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}$

(6.37)

Dalszym krokiem jest policzenie B(ω) według wzoru (6.33) występujące jako współczynnik we (6.31) wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej (6.34):

$2\pi B(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\cos\omega t dt=\;$ $=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}[\cos(\omega+\omega_1)t+\cos(\omega-\omega_1)t]dt=\;$ $= {{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;$ $={{{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}=\;$ $={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}$

(6.38)

Wyznaczmy wielkość I(ω), która jest sumą kwadratów wielkości 2πA(ω)(6.38) i 2πB(ω)(6.38):

$I(\omega)=[2\pi A(\omega)]^2+[2\pi B(\omega)]^2=\left({{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2+\left({{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2=\;$ $={{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^2\Gamma^2(\omega^2-\omega_0^2)+\Gamma^2(\omega^2+\omega_0^2)^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;$ $= {{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^4\Gamma^2-4\omega^2\omega_0^2\Gamma^2+\Gamma^2\omega^4+\Gamma^2\omega_0^4+2\Gamma^2\omega^2\omega_0^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;$ $= {{4\omega^2\left[(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2\right]+\Gamma^2\left[\omega^2\Gamma^2+(\omega^2-\omega_0^2)^2\right]}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}={{4\omega^2+\Gamma^2}\over{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2}}$

(6.39)

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym

Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej:

$\psi(0,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega t+B(\omega)\cos\omega t\right]d\omega\;$

(6.40)

Dla k≠0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości (6.40) wyrażenie t-z/v i pamiętając, że ψ(0,t')=ψ(z,t):

$\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega \left(t-{{z}\over{v}}\right)+B(\omega)\cos\omega\left(t-{{z}\over{v}}\right)\right]d\omega\;$

(6.41)

Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie (4.11), wtedy równość (6.41) dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do:

$\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin(\omega t-k(\omega)z)+B(\omega)\cos(\omega t-k(\omega)z)\right]d\omega\;$

(6.42)

Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji

Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań ω, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(ω):

$\psi(z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;$

(6.43)

Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest (6.43), jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia:

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;$ (6.44)

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;$ (6.45)

Równości (6.44) i (6.45) porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia ψ względem czasu i położenia "z":

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;$

(6.46)

Do równości (6.46) wykorzystamy definicję prędkości fazowej (4.11), w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej:

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=v^2(\omega){{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;$

(6.47)

Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni

Dotychczas rozważaliśmy fale opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe opisując je jako fale płaskie odpowiednio obracając układ współrzędnych. Przekonamy się, że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzech wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą.

Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych

Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej ω, którego równanie fali dla tego "z" piszemy:

$\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'\;$

(7.1)

Gdy we wzorze (7.1) podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z:

$\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;$

(7.2)

Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt:

$kz^'=k(\vec{z}^'\cdot\vec{r})=(k\vec{z}^')\vec{r}=\vec{k}\vec{r}\;$

(7.3)

W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci:

$\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;$

(7.4)

Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt (7.3), jest określane przez:

$\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+kz^')=A\cos(\omega t-k_xx-k_yy-k_zz)=A\cos(\omega t-\vec{k}\vec{r})\;$

(7.5)

Prędkość fazowa

Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku $\vec{k}\;$ nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej:

$\varphi(t,\vec{r})=\omega t-\vec{k}\vec{r}\;$

(7.6)

Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy φ jest funkcją stałą:

$0=\omega dt-\vec{k}d\vec{r}\;$

(7.7)

Interesuje nasz przypadek, gdy $\vec{k}||d\vec{r}\;$, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej ω i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji.

$v={{\omega}\over{k}}\;$

(7.8)

Przykłady fal biegnących w trójwymiarze

Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny:

$\omega^2=c^2k^2=c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;$

(7.9)

Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w (7.8) "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości:

$\omega^2={{c^2}\over{n^2}}k^2={{c^2}\over{n^2}}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;$

(7.10)

Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą ω_pl, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny:

$\omega^2=\omega_{pl}^2+c^2k^2=\omega_{pl}^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\;$

(7.11)

Fale stojące

Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek:

$\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(\vec{k}\vec{r}+\alpha)\;$

(7.12)

Pamiętając, że $\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;$, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie (7.12) związek:

$\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(k_xx+\alpha_1)\cos(k_yz+\alpha_2)\cos(k_z+\alpha_3)\;$

(7.13)

Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali

Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali (7.5) względem czasu:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi\;$

(7.14)

A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych:

${{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}=-k_x^2\psi\;$ (7.15)

${{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}=-k_y^2\psi\;$ (7.16)

${{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}=-k_z^2\psi\;$ (7.17)

Całkowite równanie falowe na podstawie związku (7.14), (7,16) i (7.17), przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej (7.8), i definicji laplasjanu, czyli operatora Δ, jest napisane według:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2\left({{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=v^2\Delta\psi\;$

(7.18)

Przykłady równań fali

Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy wniosku, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta\psi\;$

(7.19)

Dla fal elektromagnetycznych rozchodzącego się w ośrodku dyspersyjnym należy wprowadzić równania falowe, dla prędkości rozchodzącej się fali równej c/n, dla której równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}={{c}\over{n(\omega)}}\Delta\psi\;$

(7.20)

Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej ω_pl, która jest przedstawiona w postaci:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2_{pl}+c^2\Delta\psi\;$

(7.21)

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie

Prostokątny falowód, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne z przewodzącymi paskami bocznymi

Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne (7.19) określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według:

${{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\left({{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow-\omega^2\psi=c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\;$

(7.22)

Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest:

$\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos(k_zz-\omega t)\;$

(7.23)

Związek (7.23) na podstawie (7.22) zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny:

$\omega^2=c^2k_y^2+c^2k_z^2\;$

(7.24)

Funkcja fali (7.23) na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek:

$k_yb=m\pi\mbox{ dla }k=1,2,3,..\;$

(7.25)

Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny (7.24) dla której zachodzi wniosek na k_y, zapisujemy na w sposób:

$\omega^2={{c^2\pi^2}\over{b^2}}+c^2k_z^2\;$

(7.26)

Widzimy, że związek dyspersyjny (7.26) ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze (7.11) albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą (2.86) dla małych k:

$\omega^2={{g}\over{l}}+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;$

(7.27)

Dla częstości kołowej poniżej częstości πc/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku χ:

$\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos\omega te^{-\chi z}\;$

(7.28)

Związek dyspersyjny dla równania fali (7.28), który można otrzymać podstawiając go do (7.19), otrzymujemy wtedy inny wzór do (7.26), który jest w postaci:

$\omega^2=c^2k_y-c^2\chi^2_z={{c^2\pi^2}\over{b^2}}-c^2\chi^2_z\;$

(7.29)

Fale biegnące krzyżujące się nawzajem

Równanie fali (7.23) możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako:

$\psi=A\sin k_yy\cos(k_zz-\omega t)={{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)-{{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)\;$

(7.30)

dla której we wzorze (7.30) mamy związek dla wektorów propagacji:

$\vec{k}_1+\hat{z}k_z+\hat{y}k_y\mbox{, }\vec{k}_z=\hat{z} k_z-\hat{y}k_y\;$

(7.31)

Krzyżowanie się fal wynika z tego, że $\vec{k}_1\;,$ i $\vec{k}_2\;$ dla związków (7.31) mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji.

Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie

Ilustracja prędkości fazowej i grupowej dla fali krzyżujących się w falowodzie

Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik $\vec{k}_1\;$ znosi składową igrekową z $\vec{k}_1\;$ z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą przy wykorzystaniu na własnościach o trójkącie prostokątnym:

${{ct}\over{v_ft}}=\cos\theta\Rightarrow v_f={{c}\over{\cos\theta}}\;$

(7.32)

Podobnie mówimy dla prędkości grupowej uzmysławiając sobie, że zachodzi:

${{v_gt}\over{ct}}=\cos\theta\Rightarrow v_g=c\cos\theta\;$

(7.33)

Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, którego przestawienie mówi, że ta wielkość jest równa kwadratowi prędkości światła:

$v_gv_f={{\omega}\over{k_z}}{{d\omega}\over{dk_z}}={{c}\over{\cos\theta}}c\cos\theta=c^2\;$

(7.34)

Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku (7.34):

${{d\omega^2}\over{dk^2_z}}=c^2\Rightarrow d\omega^2=c^2dk^2_z\Rightarrow \omega^2=c^2k_z^2+\operatorname{const}\;$

(7.35)

jeśli do związku (7.24) podstawimy związek (7.25), w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji:

$\omega^2=c^2k^2_z+{{c^2\pi^2m^2}\over{b^2}}\;$

(7.36)

Co potwierdza zgodność (7.35) z (7.36).

Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza

Odbijanie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza

Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia. Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób:

$k_2={{\omega}\over{c}}\;$ (7.37)

$k_1=n{{\omega}\over{c}}\;$ (7.38)

Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób:

$k_{2y}=k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;$

(7.39)

Związek otrzymany w punkcie (7.39) podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji:

${{\omega^2}\over{c^2}}=k_{2y}^2+k_{2z}^2={{n^2\omega^2}\over{c^2}}\sin^2\theta_1+k_{2z}^2\Rightarrow k_{2z}^2={{\omega^2}\over{c^2}}(1-n^2\sin^2\theta_1)\;$

(7.40)

Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według (7.40):

$n\sin\theta_g=1\;$

(7.41)

Wyprowadzenie prawa Snelliusa

Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania n₂, a drugi o współczynniku załamania n₁. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako:

$k_{2y}=k_2\sin\theta_2=n_2{{\omega}\over{c}}\sin\theta_2\;$ (7.42)

$k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n_1{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;$ (7.43)

Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania:

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_1\;$

(7.44)

Całkowite wewnętrzne odbicie

Rozważmy przypadek, gdy we wzorze (7.40) wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem weźmy sobie na tyle duży kąt by stała $k_{2x}^2\;$ miała wartość ujemną, wtedy należy napisać:

$-\chi^2_{2z}=-\chi^2=k_{2z}^2\;$

(7.45)

Wtedy związek (7.40), który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków θ₁, na postawie (7.45), jest:

$\chi^2={{\omega^2}\over{c^2}}(n^2\sin^2\theta_1-1)\;$

(7.46)

Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej:

$\psi(y,z,t)=A\cos(\omega t-k_y t)e^{-\chi z}\;$

(7.47)

Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej. Patrząc na wzór (7.47), to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej.

Teoretyczny opis fal na wodzie

Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez:

$\vec{\psi}(x,y,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,t)\;$

(7.48)

Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia (7.48), jest pisana:

$\vec{v}(x,y,t)={{\partial\vec{\psi}(x,y,t)}\over{\partial t}}=\hat{x}{{\partial\psi_x}\over{\partial t}}+\hat{y}{{\partial\psi_y}\over{\partial t}} \;$

(7.49)

Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy (7.49):

$0=\nabla\cdot\vec{v}=\nabla\cdot{{\partial\vec{\psi}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot\vec{\psi}\Rightarrow \nabla\cdot\vec{\psi}=\operatorname{const}\;$

(7.50)

Warunek braku pęcherzyków we wzorze (7.50) indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt:

$\nabla\cdot\vec{\psi}={{\partial\psi_x}\over{\partial x}}+{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=0\;$

(7.51)

Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości (7.49) pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków :

$0=\nabla\times\vec{v}=\nabla\times{{\partial\psi}\over{\partial\psi}}={{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\psi)\Rightarrow\nabla\times\vec{\psi}=0\Rightarrow 0={{\partial\psi_y}\over{\partial x}}-{{\partial\psi_x}\over{\partial y}}=0\;$

(7.52)

Przyjmijmy, że funkcje ψ_x i ψ_y, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się:

$\psi_y(x,y,t)=\cos\omega t\sin kx f(y)\;$ (7.53)

$\psi_x(x,y,t)=\cos\omega t\cos kx g(y)\;$ (7.54)

Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym

Wzory (7.53) i (7.54) możemy podstawić do (7.51) i (7.52), w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć:

$-kg(y)+{{df(y)}\over{dy}}=0\;$ (7.55)

${{dg(y)}\over{dy}}-kf(y)=0\;$ (7.56)

Równanie (7.55) różniczkujemy obustronnie względem "y" i wykorzystujemy do niego równość (7.56), otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce:

${{d^2f}\over{dy^2}}=k^2f=0\Rightarrow f(y)=Ae^{ky}+Be^{-ky}\;$

(7.57)

Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie (7.57) podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) (7.55), w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y):

$g(y)=Ae^{ky}-Be^{-ky}\;$

(7.58)

Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego

Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek ψ_y(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B od stałej A, który piszemy wzorem $B=-Ae^{-2kh}\;$, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami:

$\psi_y=A\cos\omega t\sin kx\left(e^{ky}-e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;$ (7.59)

$\psi_x=A\cos\omega t\cos kx\left(e^{ky}+e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;$ (7.60)

Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia (7.59) i (7.60) możemy napisać po pominięciu wyrazu z e^-2kh, w ten sposób otrzymujemy wzory na ψ_y i na ψ_x:

$\psi_y=A\cos\omega t\sin kxe^{ky}\;$ (7.61)

$\psi_x=A\cos\omega t\cos kxe^{ky}\;$ (7.62)

Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia $e^x\simeq 1+x\;$, w ten sposób dostajemy wniosek:

$\psi_y=2A\cos\omega t\sin kx[k(y+h)]\;$ (7.63)

$\psi_x=2A\cos\omega t\cos kx\;$ (7.64)

Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie

Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej

Całkowita siła działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie Δm, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest:

$F_x=-L\Delta y[p(x+\Delta x)-p(x)]=\;$ $=-L\Delta y\rho g\left[\psi_y(x+\delta x)-\psi_y(x)\right]=\;$ $=L\delta y\Delta x\rho g{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=-(\Delta M)g\left[{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}\right]_{y=0}\;$

(7.65)

Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie ΔM dla niezrównoważonej siły F_x wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według:

$F_x=(\Delta M)\left[{{\partial^2\psi_y}\over{\partial t^2}}\right]_{y=0}\;,$

(7.66)

Jeśli połączymy związki (7.65) i (7.66) przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego (7.60) i przemieszczenia igrekowego (7.59), w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody:

$\omega^2=gk{{1-e^{-2kh}}\over{1+e^{-2kh}}}\;$

(7.67)

Patrząc na wzór (7.67) możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej:

głęboka woda	płytka woda
$\omega^2=gk\Rightarrow v_f=\sqrt{g\not{\lambda}}\;$ (7.68)	$\omega^2=gk^2h\Rightarrow v_f=\sqrt{gh}\;$ (7.69)

Fale biegnące na wodzie

Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie ωt-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino:

$\psi_y=A\cos(\omega t-kx)f(y)\;$ (7.70)

$\psi_x=A\sin(\omega t-kx)g(y)\;$ (7.71)

Związki na f(y) i g(y) dla ψ_y (7.70) i ψ_x (7.71) są (7.55) i (7.56), zatem dalsze obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy ich powtarzać.

Fale elektromagnetyczne w próżni

Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle:

Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella dla gęstości i prądu objętościowych równych zero:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{E}=0$ (7.72)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (7.73)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (7.74)	$\nabla\times\vec{B}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$ (7.75)

Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość (7.75) zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego podstawiając wzór (7.74), otrzymujemy:

${{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}=c^2\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\;$

(7.76)

Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci:

$\nabla\times(\nabla\times\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{E})-\nabla^2\vec{C}\;$

(7.77)

Równość (7.76) możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej (7.77) i pierwszego równania różniczkowego Maxwella (7.72) w postaci:

${{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=c^2\nabla^2\vec{E}(x,y,z,t)\;$

(7.78)

Równanie (7.78) jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi:

${{\partial^2E_x}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_x\;$ (7.79)

${{\partial^2E_y}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_y\;$ (7.80)

${{\partial^2E_z}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_z\;$ (7.81)

Równania (7.79), (7.80) i (7.81) są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków. Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy:

$\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)+\hat{z}E_z(z,t)\;$ (7.82)

$\vec{B}=\hat{x}B_x(z,t)+\hat{y}B_y(z,t)+\hat{z}B_z(z,t)\;$ (7.83)

Z warunku (7.72) wynika, że składowa zetowa natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód, która mówi, że fala (7.82) nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, co matematycznie zapisujemy:

$0=\nabla\vec{E}={{\partial E_z(z,t)}\over{\partial t}}\;$

(7.84)

Z (7.84) wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella (7.73) i z niezależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej (7.82), z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej. Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość (7.75) dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie (7.82) w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest:

$(\nabla\times\vec{B})_z=\left(\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ B_x&B_y&B_z\\ \end{vmatrix}\right)_z=\hat{z}\left({{\partial B_y}\over{\partial x}}-{{\partial B_x}\over{\partial y}}\right)=0\;,$

(7.85)

Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej od czasu. Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru (7.74), co tutaj dowodzimy jak w punkcie (7.85).

Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego

Współrzędne pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella E_x i E_y, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w taki sposób by E_x było zawsze różne od zera, a składowa E_y było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora $\hat{x}\;$. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności:

$E_x=E_0\cos\omega t\;$ (7.86)

$E_y=E_0\sin\omega t\;$ (7.87)

Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej (7.86) i igrekowej (7.87) pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową ω, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem:

$E_x^2+E_y^2=E_0^2\;$

(7.88)

Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową ω:

$E_x=E_{0x}\cos\omega t\;$ (7.89)

$E_y=E_{0y}\sin\omega t\;$ (7.90)

wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej (7.89) i igrekowej (7.90) pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem:

${{E_x^2}\over{E_{0x}^2}}+{{E_y^2}\over{E_{0y}^2}}=1\;$

(7.91)

Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem (7.88) jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej (7.91) dla E_0x=E_0y=E₀.

Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne

Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową ω i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową.

$E_x=A\cos(\omega t-kz)\;$

(7.92)

Biorąc warunki koleino (7.75) i (7.76), wtedy przy pomocy równania fali (7.92) przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości:

${{\partial B_y}\over{\partial z}}=-{{1}\over{c^2}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}=-{{k^2}\over{\omega^2}}\omega A\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}kA\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;$

(7.93)

${{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}=-kA\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;$

(7.94)

Widzimy na podstawie wzorów (7.93) i (7.94), że pochodna B_y względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej E_x, zatem wnioski stąd wynikające:

$|\vec{E}(z,t)|=c|\vec{B}(z,t)|\;$ (7.95)

$\vec{E}\cdot\vec{B}=0\;$ (7.96)

$\hat{E}\times\hat{B}=\hat{v}\;$ (7.97)

W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego powstaje po podzieleniu E_x przez prędkość światła, co (7.92) dla pola elektrycznego razem z równania fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella:

$B_y={{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;$

(7.98)

Ale również możemy rozpatrywać falę B_y, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u (7.92) i to równanie fali wyrażamy według:

$B_y=-{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)\;$

(7.99)

to równanie razem z (7.92) również jest zgodne z równaniami Maxwella. Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach (7.95), (7.96) i (7.97).

Stojąca fala elektromagnetyczna

Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana:

$E_x(z,t)={{1}\over{2}}A\cos(\omega t-kx)+{{1}\over{2}}A\cos(\omega t+kx)=A\cos\omega t \sin kx\;$

(7.100)

Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c".

$\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{r}\times\vec{E}\;$

(7.101)

Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona:

$\vec{B}(z,t)={{1}\over{c}}\hat{r}\times(\vec{E}^+(z,t)-\vec{E}^-(z,t))\;$

(7.102)

Jeśli patrząc na wzór (7.102), to można powiedzieć, że współrzędne igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci:

$B_y(z,t)={{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)-{{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)={{-A}\over{c}}\sin\omega t\sin kz={{-1}\over{c}}E_x\left[z-{{1}\over{4}}\lambda,t-{{1}\over{4}}T\right] \;$

(7.103)

Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię

Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór:

$u={{1}\over{2}}\epsilon_0 E^2+{{1}\over{2\mu_0}}B^2={{1}\over{2}}\epsilon_0\left(E^2+c^2B\right)\;$

(7.104)

Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej Δz, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez:

$W(z,t)={{1}\over{2}}\epsilon_0A\Delta z\left(E^2+c^2B^2\right)\;$

(7.105)

Wielkość (7.105) zróżniczkujmy obustronnie względem czasu wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii dostarczanej do objetości nieskończenie małej w ΔzA w jednostce czasu.

${{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=\epsilon_0A\Delta z\left(E_x{{\partial E_x}\over{\partial t}}+c^2B_y{{\partial B_y}\over{\partial t}}\right)\;$

(7.106)

Teraz wykorzystajmy tożsamości (7.93) i (7.94), by wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości Δz.

${{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=-\epsilon_0A\Delta z\left(c^2Ex{{\partial B_y}\over{\partial z}}+c^2B_y{{\partial E_x}\over{\partial z}}\right)=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{\partial E_xB_y}\over{\partial z}}=\;$ $=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)}\over{\Delta z}}=\;$ $=-A{{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)\right)=-A\left(S_z(z+\Delta z)-S_z(z)\right) \;$

(7.107)

Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie (7.107) jako:

$S_z={{1}\over{\mu_0}}E_x(z,t)B_y(z,t)={{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(z,t)B_y(z,t)-E_y(z,t)B_x(z,t)\right)=\;$ $={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})_z=(\vec{E}\times\vec{H})_z\;$

(7.108)

Wektorem Poyntinga nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej.

$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}\;$

(7.109)

Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania:

$E_x=E_0\cos(\omega t-kz)\;$ (7.110)

$B_y={{E_0}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;$ (7.111)

Gęstość energii (7.104), u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest:

$u={{1}\over{2}}\epsilon_0(E_x^2+c^2B_y^2)=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t-kz)\;$

(7.112)

Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez:

$S_z={{1}\over{\mu_0}}E_xB_y={{E_0^2}\over{\mu_0c}}\cos^2(\omega t-kz)\;$

(7.113)

Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej

Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego (7.100) i pola magnetycznego (7.103), to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach 1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2ω od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4λ. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną.

Ciśnienie promieniowania

Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci:

$\vec{F}=\vec{E}q+q\vec{v}\times\vec{B}=\hat{x}qE_x+q\hat{z}q\dot{x}B_y-\hat{x}q\dot{z}B_y\;$

(7.114)

Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia (7.114). Wyraz $\hat{x}qE_x\;$ ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci:

$\langle\vec{F}\rangle=\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}q\langle \dot{x}B_y\rangle$

(7.115)

Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły (7.114) i prędkości:

${{dW}\over{dt}}=\vec{v}\vec{E}=q\vec{v}\vec{E}=q\dot{x}E_x\;$

(7.116)

Ponieważ cB_y=E_x, wtedy możemy połączyć równości (7.115) z (7.116), w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem:

$\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}{{1}\over{c}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;$

(7.117)

Ze wzoru (7.117) możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali $\vec{P}\;$:

$\vec{P}={{W}\over{c}}\hat{z}\;$

(7.118)

Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość (7.118).

$W=\sqrt{c^2P^2+M^2c^4}\;$

(7.119)

Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej

Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego

Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór $c\vec{B}=\hat{z}\times\vec{E}\;$. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający $\vec{\tau}\;$ oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi $\vec{r}\times\vec{F}\;$, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez częstotliwość kołową ω, wtedy:

$\omega\vec{\tau}=\omega\vec{r}\times\vec{F}=\omega q\vec{r}\times\vec{E}+\omega\vec{r}\times q(\vec{v}\times\vec{B})\;$

(7.120)

iloczyn wektorowy $\vec{v}\times\vec{B}\;$ ma kierunek zgodny z $\hat{z}\;$, a $\vec{r}\times(\vec{v}\times{B})\;$ ma kierunek $-\vec{v}\;$. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne:

$\omega\vec{r}\times\vec{E}=\hat{z}\vec{v}\vec{E}\;,$

(7.121)

wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie:

$\langle \vec{\tau}\rangle=\left\langle{{d\vec{J}}\over{dt}}\right\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\langle q\vec{v}\times\vec{E}\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;$

(7.122)

Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie (7.122):

$\vec{J}=\hat{z}{{W}\over{\omega}}\;$

(7.123)

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym

Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem:

$v^2={{1}\over{\epsilon\mu}}={{1}\over{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}}={{c}\over{\epsilon_r\mu_r}}\;$

(7.124)

Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej ε_r i magnetycznej μ_r ośrodka liniowego:

$k^2={{\omega^2}\over{v^2}}={{\omega^2}\over{c^2}}\epsilon_r\mu_r\;$

(7.125)

Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku

Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-∞ do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas Δt, a później porusza się ze stała prędkością v=aΔt. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba:

$\vec{E}=q{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{r}}\over{r^2}}\;$

(7.126)

Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem Δt. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-Δt) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone jest przez wzór w zależności od kąta θ, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego:

$E={{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{{{3}\over{2}}}}}\;$

(7.127)

Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego, przy czym zakładamy, że t>>Δt i przy założeniu v=(aΔt)<<c. Składowe prędkości prostopadła i równoległa do punktu obserwacji jest równa v_⊥ i v_¦¦.

Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez (7.126). Oznaczmy przez $E_{\bot}\;$ i $E_{||}\;$, które są to wartości bezwzględne składowych $\vec{E}\;$ koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora $\hat{r}\;$, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego $E_{\bot}\;$ do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości $v_{\bot} t\;$ przez $c\Delta t\;$, który piszemy poprzez:

${{E_{\bot}}\over{E_{||}}}={{v_{\bot}t}\over{c\Delta t}}={{\overbrace{a_{\bot}\Delta t}^{v_{\bot}} \overbrace{{{r}\over{c}}}^t}\over{c\Delta t}}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}\;$

(7.128)

Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie (7.126), również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.:

$E_{||}=E_r={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{r^2}}\;$

(7.129)

Możemy połączyć równanie (7.128) z równaniem na składową radialną pola elektrycznego (7.129), w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego:

$E_{\bot}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}E_{||}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}{{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}={{qa_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\;$

(7.130)

Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora $\vec{a}_{\bot}\;$ jako:

$\vec{E}_{prom}(r,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\mbox{ dla }t^'=t-{{r}\over{c}}\;$

(7.131)

Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy

Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej$\hat{r}\;$, i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor:

$\hat{S}(\vec{r},t)={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\vec{B}={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\left(\hat{r}\times\vec{E}\right)={{1}\over{\mu_0c}}E^2\hat{r}={{1}\over{\mu_0}}\left[-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}} \right]^2\hat{r}={{\mu_0q^2\vec{a}_{\bot}^2}\over{16\pi^2cr^2}}\hat{r}$

(7.132)

Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci:

$\vec{a}_{\bot}^2(t^')=\vec{a}^2(t^')\sin^2\phi\;$

(7.133)

Tożsamość (7.133) możemy podstawić do (7.132), w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie:

$dP(\vec{r},t)={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}dS={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}r^2\sin\phi d\phi d\theta={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi d\theta\;$

(7.133)

Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności θ i φ, otrzymujemy:

$P=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}{{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi={{\mu_0q^2\vec{a}^2}\over{8\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi={{\mu_0q^2a^2}\over{6\pi c}}\;$

(7.134)

Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego

Załóżmy, że ładunek q porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce:

$x(t')=x_0\cos\omega t^\;$ (7.135)

$\vec{a}(t^')=\hat{x}\ddot{x}(t^')=-\omega^2\hat{x}x(t^')\;$ (7.136)

Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go podstawiając (7.136) do (7.134), w ten sposób:

$P={{\mu_0q^2\omega^4}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;$

(7.137)

Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła

Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru (3.19), zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań τ, czyli współczynnikowi tłumienia Γ:

${{1}\over{E}}\left[-{{dE}\over{dt}}\right]={{1}\over{\tau}}\;$

(7.138)

Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy ω≈ω₀) możemy napisać poprzez:

$E(t)={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\langle\dot{x}^2\rangle={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=m\omega_0^2\langle x^2\rangle\;$

(7.139)

Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór (7.137) i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy:

$-{{dE}\over{dt}}=P={{\mu_0q^2\omega^4_0}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;$

(7.140)

Do wzoru (7.138) postawiamy wzory (7.140) i (7.139), w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła:

$\Delta\omega={{1}\over{\tau}}={{P}\over{E}}={{\mu_0q^2\omega^2_0}\over{6\pi c m}}\;$

(7.141)

Prawo Rayleigha

Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest:

$E_x=E_0\cos\omega t\;$

(7.142)

Niech ładunek q będzie związany z w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości $K=m\omega_0^2\;$, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest:

$m\ddot{x}=-m\omega_0^2x+qE_x\;$

(7.143)

Ale ponieważ zachodzi$_{\ddot{x}(t)=-\omega^2x(t)}\;$, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość (7.143) możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia przez iloczyn kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy:

$-m\omega^2x(t)=-m\omega_0^2(t)+qE_x\Rightarrow x(t)={{qE_x(t)}\over{m(\omega_0^2-\omega^2)}}\;$

(7.144)

Do wzoru (7.137) na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości (7.144):

$P={{\mu_0\omega^4q^2}\over{6\pi c}}{{q^2}\over{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}\langle E_x^2(t)\rangle\;$

(7.145)

W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych ω₀ jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli ω₀>>ω, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć:

$P\sim\omega^4\sim{{1}\over{\lambda^4}}\;$

(7.146)

Wzór (7.146) jest tzw. prawem Rayleigha, która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek.

Czemu niebo jest niebieskawe

Światło w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości (7.146), widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest 630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe.

Polaryzacja liniowa, kołowa, eliptyczna fal

Wstęp do opisu polaryzacji

Dla wszystkich ruchów falowych badaliśmy przemieszczenie, które określamy przy pomocy pewnej funkcji względem położenia równowagi. W ogólnym przypadku przemieszczenie określamy jako funkcje z "x","y","z", czyli $_{\vec{\psi}(x,y,z)}\;$. Zwykle badamy fale płaskie, które określamy jako funkcje ψ(z,t), gdzie z jest liczone wzdłuż rozchodzenia się fali płaskiej, często interesującymi wielkościami są $_{{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial t}}}\;$ i $_{{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial z}}}\;$. Dla fal płaskich przemieszczenie będziemy określać przez wektor przemieszczenia w postaci:

$\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;$

(8.1)

W przypadku fal poprzecznych wektor przemieszczenia $\vec{\psi}(z,t)\;$ ma tylko składowe x i y. O takich falach mówimy, że one mają polaryzacje poprzeczną. Fala dźwiękowa jest to fala mająca przemieszczenie wzdłuż osi zetowej. Nie ma poprzecznych fal dźwiękowych, chociaż możemy je sobie wyobrazić jako fale odbijające, które są jako fale podłużne odbijające się od ścianek wewnętrznych rury, i w rezultacie dla fali rozchodzącej się wzdłuż rury fala dźwiękowa oprócz składowych podłużnych mają składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna, czyli suma fal elektrycznych i magnetycznych, ma tylko składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna ma też składowe podłużne, jeśli ona rozchodzi się w falowodzie. Falą poprzeczną nazywamy falę, dla której składowa zetowa przemieszczenia nigdy nie występuje, zatem drgania poprzeczne w analogii do (8.1) są napisane:

$\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;$

(8.2)

Promieniowanie ładunku punktowego

Innym przykładem fali płaskiej są drgania wyemitowane w początku układu współrzędnych, które daleko od punktu emisji obserwujemy jako fale płaskie, których przemieszczenie ładunku q jako źródła fal opisujemy przez:

$\vec{\psi}=\hat{x}x(t)+\hat{y}y(t)=\hat{x}x_0\cos(\omega t+\varphi_1)+\hat{y}y_0\cos(\omega t+\varphi_2)\;$

(8.3)

Natężenie pola elektrycznego fali (7.134) dla odległości r=z od początku układu współrzędnych wytworzone przez ładunek poruszający się z pewnym przyspieszeniem na podstawie (8.3) piszemy:

$\vec{E}(z,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}=-{{q\ddot{\vec{\psi}}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t-{{z}\over{c}})}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}\;$

(8.4)

Biorąc współczynnik proporcjonalności $_{{{q\omega^2}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}}\;$, wtedy przemieszczenie fali może być uważane za natężenie pola elektrycznego w czasie przedwczesnym $_{t^'=t-{{z}\over{c}}}\;$.

Polaryzacja liniowa

W przypadku drgań poprzecznych, którego drgania są tam i z powrotem, to te drgania można opisywać w dwóch niezależnych kierunkach:

$\vec{\psi}=\hat{x}A_1\cos\omega t\;$ (8.5)

$\vec{\psi}=\hat{y}A_2\cos\omega t\;$ (8.6)

Superpozycją drgań (8.5) i (8.6) w dwóch osobnych kierunkach nazywamy falę:

$\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\cos\omega t=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos\omega t\;$

(8.7)

Całkowita długość drgań amplitudy opisywanej wzorem (8.7) piszemy jako pierwiastek sumy kwadratów amplitud drgających w dwóch prostopadłych kierunkach:

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}\;$

(8.8)

kierunkiem polaryzacji, patrząc na wzory (8.7) i (8.8), nazywamy kierunek, którego wektor jest napisany:

$\vec{e}={{A_1}\over{A}}\hat{x}+{{A_2}\over{A}}\hat{y}\;$

(8.9)

łatwo sprawdzić, że wektor $\vec{e}\;$ jest wektorem jednostkowym, co wynika z prostopadłości wektorów $\hat{x}\;$ i $\hat{y}\;$, które z kolei są wektorami jednostkowymi.

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą

Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą nazywamy falę przy ustalonych płaszczyźnie drgań biegnącego w kierunku +z:

$\vec{\psi}(z,t)=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos(\omega t-kz)\;$

(8.10)

Liniowo spolaryzowana fala stojąca

Załóżmy, że mamy dwie fale biegnące w kierunku +z, a druga w kierunku -z, to superpozycja tychże fal możemy opisać:

$\vec{\psi}(z,t)={{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t- kz)+{{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t+kz)=\;$ $= {{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\left(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right)=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin \omega t\cos kz \;$

(8.101)

Polaryzacja kołowa

Tutaj przemieszczenie fali poprzecznej ulega ruchowi kołowemu. Równanie tejże fali opisujemy przy pomocy funkcji sinus i kosinus z ωt, których drganie w kierunku $\hat{x}\;$ wyprzedza drganie w kierunku $\hat{y}\;$ o kąt 90^o;

$\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\;$

(8.12)

Podobnie, gdy fala drgań w kierunku $\hat{y}\;$ od $\hat{x}\;$wyprzedza o kąt 90^o, to fala spolaryzowana kołowo jest opisywana:

$\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t+{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t-\hat{y}A\sin\omega t\;$

(8.13)

Spolaryzowana kołowo fala biegnąca

Spolaryzowana kołowo fala biegnącą nazywamy falę biegnącą w kierunku osi zetowej (+z), którego przepis jest zależny od częstotliwości kołowej ω i liczby falowej "k" :

$\vec{\psi})(t)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\;$

(8.14)

Spolaryzowana kołowo fala stojąca

Kołowo spolaryzowaną falę stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie (8.14), którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń:

$\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A\cos(\omega t+kz)+A\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;$ $=\left[\hat{x}A(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\;$ $=\left[\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\right]\cos kz\;$

(8.15)

Polaryzacja eliptyczna

Falę spolaryzowaną eliptycznie nazywamy falę, których amplitudy drgań w kierunkach $\hat{x}\;$ i $\hat{y}\;$ mają różne wartości amplitudy i wzory na fale stojącą dla której superpozycja dwóch fali biegnących w tych samych kierunkach, ale w innych płaszczyznach, piszemy:

$\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\;$

(8.16)

Eliptycznie spolaryzowana fale stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie (8.16), którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń w sposób:

$\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t+kz)+A_2\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;$ $=\left[\hat{x}A_1(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A_2(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\;$ $=\left[\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\sin\omega t\right]\cos kz\;$

(8.15)

Superpozycja dwóch fal o niejednakowych amplitudach

Weźmy sobie dwie fale o jednakowej częstotliwości kołowej ω i o niejednakowych amplitudach, których superpozycja jest opisywana:

$\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t+\phi_1)+\hat{y}A_2\cos(\omega t+\phi_2)\;$

(8.18)

Opiszmy falę biegnącą opisywaną według (8.18), którego będziemy rysowali na wykresach poniżej, których współrzędną iksową jest jedna z tych fali, a osią igrekową jest druga z tychże fali, dla różnych ich przesunięć fazowych:

Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych

Liczby zespolone w opisie fal

Zastosowanie liczb zespolonych z ilustrujmy na przykładzie fali elektromagnetycznej, a właściwie dla fali pola elektrycznego, którego superpozycja fal biegnących w dwóch prostopadłych płaszczyznach jest w postaci wektora natężenia fali pola elektrycznego, gdy te dwie fale są przesunięte względem siebie o pewne przesunięcie fazowe φ₁-φ₂, to ich superpozycja jest:

$\vec{E}(z,t)=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)=\hat{x}E_1\cos(\omega t-kz+\varphi_1)+\hat{y}\cos(\omega t-kz+\varphi_2)\;$

(8.19)

Równanie (8.19) możemy przestawić w postaci zespolonej, którego częścią rzeczywistą jest równanie (8.19):

$\vec{E}_c=e^{-i(\omega t-kz)}\left(\hat{x}E_1e^{-i\phi_1}+\hat{y}E_2e^{-i\phi_2}\right)\;$

(8.20)

Zespolone natężenie funkcji falowej możemy napisać jak superpozycja dwóch fal o funkcjach falowych $\vec{\psi}_1(z,t)\;$ i $\vec{\psi}_2(z,t)\;$:

$\vec{E}_c(z,t)=A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\;,$

(8.21)

Funkcje falowe $_{\vec{\psi}_1(z,t)}\;$ i $_{\vec{\psi}_2(z,t)}\;$ są to funkcje, których definicje są wyrysowane w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej zapisane są przy pomocy funkcji eksponencjalnej:

$\vec{\psi}_1(z,t)=\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.22)

$\vec{\psi}_2(z,t)=\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.23)

Amplitudy występujące w równaniu są to amplitudy zależne od przesunięć fazowych φ₁ i φ₂ zapisane pod funkcją eksponencjalną, jak widzimy, te amplitudy są wielkościami zespolonymi:

$A_1=E_1e^{-i\varphi_1}\;$ (8.24)

$A_2=E_2e^{-i\varphi}\;$ (8.25)

Superpozycja funkcji ortonormalnych

Funkcję, które opisywaliśmy w punkcie (8.22) i (8.23) są to funkcje ortonormalne i tworzą zupełną bazę ortonormalną zupełną bazowych funkcji falowych, które przestawiamy:

$\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_2=1\;$ (8.26)

$\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_1=0\;$ (8.27)

Aby sprawdzić, czy funkcję $\vec{\psi}_1\;$ i $\vec{\psi}_2\;$ zdefiniowane w poprzednim rozdziale tworzą zupełny układ bazowy należy na tych funkcjach wykonać następujące działania, które są opisywane wzorami (8.26) i (8.27), zatem do dzieła:

$\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{x}=1\;$

(8.28)

$\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{y}=0\;$

(8.29)

Ponieważ nasze rozważane funkcje bazowe są funkcjami ortonormalnymi, zatem zdefiniujmy moduł funkcji natężenia pola elektrycznego $\vec{E}_c\;$ zdefiniowanego w punkcie (8.21):

$|\vec{E}_c|^2=\vec{E}_c^*\vec{E}_c=\left(A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)+A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)\right)\left(A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\right)=\;$ $=|A_1|^2+|A_2|^2=E_1^2+E_2^2\;$

(8.30)

Inne postacie ortonormalnych funkcji bazowych

Aby napisać wektor natężenia fali pola elektrycznego (8.21) w innych bazach niż tutaj obranego pierwotnie, których z oczywistych powodów jest ich nieskończenie wiele, które można tak obrać przez obrót pierwotnego układu współrzędnych o pewien kąt φ, których nowe wersory naszej bazy są napisane względem odpowiedników starej bazy w sposób:

$\hat{e}_1=\hat{x}\cos\varphi+\hat{y}\sin\varphi\;$ (8.31)

$\hat{e}_1=\hat{x}\sin\varphi+\hat{y}\cos\varphi\;$ (8.32)

Na podstawie przestawienia wersorów w (8.31) (8.32) dowiadujemy się, że one są do siebie ortonormalne, wtedy ich funkcje falowe są ortonormalne:

$\vec{\psi}_1=\hat{e}_1e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.33)

$\vec{\psi}_2=\hat{e}_2e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.34)

Przestawienie polaryzacji fali płaskiej

Falę biegnącą fali płaskiej, która jest spolaryzowana kołowo, którą możemy przedstawić w zależności od częstości kołowej i liczby falowej w postaci poniżej:

$\vec{E}=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)={{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)+\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)-kz\right]\right\}+\;$ $+{{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)-\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\right]\right\}\;$

(8.35)

Końcowy wynik (8.35) możemy przestawić w postaci zespolonej za pomocą funkcji eksponencjalnych:

$\vec{E}=A\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}={{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}+\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]+ {{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}-\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]\;$

(8.36)

Wykorzystamy tutaj pewne tożsamości na liczbach zespolonych, która wynika z definicji e^ix jako liczby zespolonej zapisaną w postaci eksponencjalnej, które te tożsamości piszemy wzorami przy rozwinięciu jego do postaci trygonometrycznej:

$e^{i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}+i\sin {{\pi}\over{2}}=i\;$ (8.37)

$e^{-i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}-i\sin {{\pi}\over{2}}=-i\;$ (8.38)

Na podstawie obliczeń (8.37) i (8.38) wzór (8.36) możemy przepisać po odpowiednich jego przekształceniach do wzoru, z którego będzie jasne jak wybierzemy funkcję ortogonalne:

$\vec{E}={{A}\over{2}}\left(\hat{x}-\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}+{{A}\over{2}}\left(\hat{x}+\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}\;$

(8.39)

Wybierzmy sobie teraz funkcję ortonormalne spełniające warunki (8.26) i (8.27):

$\vec{\psi}_+={{\hat{x}+i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.40)

$\vec{\psi}_-={{\hat{x}-i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;$ (8.41)

Jeśli dodatkowo weźmiemy, że liczby A₊ i A_-, których definicje są takie by przy wektorach ortonormalnych (8.40) i (8.41) była spełniona tożsamość (8.39):

$A_{+}=A_{-}={{A}\over{\sqrt{2}}}\;$

(8.42)

Na podstawie wzoru (8.36) i przedstawienia bazy ortogonalnej, tzn. (8.40) i (8.41) przy definicji jego współczynników (8.42) równanie na natężenie fali elektromagnetycznej piszemy w postaci formalnej:

$\vec{E}_c=A_+\vec{\psi}_++A_-\vec{\psi}_-\;$

(8.43)

Dyfrakcja jako superpozycja bardzo dużej liczby fal

Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka.

Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych

Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł.

Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L_1p przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali

Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego:

$L_{2p}^2=L_{1P}^2+d^2\;$

(9.1)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z (9.1):

$L_{2P}^2-L_{1P}^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^2\;$

(9.2)

Interesuje nas przypadek, gdy L_2P i L_1P są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza $_{{{1}\over{2}}\lambda}\;$, wtedy obliczenia (9.2) można dokończyć przy naszych dysputach według schematu:

$d^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1}\over{2}}\lambda(L_0+L_0)\;$

(9.3)

Patrząc na wzór (9.3) można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy:

$L_0\lambda\simeq d^2\;$

(9.4)

Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej

Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego wykorzystując wzór (7.131) jest napisana w zależności od czasu:

$E(t)=-{{q\ddot{y}(t^')}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}={{q\omega^2\cos(\omega t^'+\varphi)}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}\;$

(9.5)

Widzimy na podstawie (9.5) dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest:

$E(t)=A(r)\cos(\omega t^'+\varphi)=A(r)\cos\omega(t-{{r}\over{c}})\;$ (9.6)

$A(r)={{\omega^2}qy_0\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}}\;$ (9.7)

Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N.

Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych

Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł

Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r₂, a r₁ jest równa Δs, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy:

$\Delta s=d\sin\theta\;$

(9.8)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci:

${{\Delta\phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow \Delta\phi=\Delta s{{2\pi}\over{\lambda}}=2\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(9.9)

Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin

Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek:

$E(r,\theta,t)=E_1+E_2=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi)+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi-\Delta\phi)=\;$ $=2A(r)\cos(\omega t+\varphi-\Delta\phi)\cos \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(9.10)

Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy:

$\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}=m\pi\Rightarrow d\sin\theta=n\lambda\;$

(9.11)

Fala napisana wzorem (9.10), aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione:

$\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}={{\pi}\over{2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin\theta=\left(m+{{1}\over{2}}\right)\lambda\;$

(9.12)

Warunek spójności dwóch źródeł

Spójność wielu źródeł

Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć:

$\sin\theta={{D}\over{L}}\;$

(9.13)

Wzór (9.13) podstawiamy do (9.11) dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$d{{D}\over{L}}=\lambda\Rightarrow dD=\lambda L\;$

(9.14)

W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego (9.14), zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy:

$dD<<\lambda L\;$

(9.15)

Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym

N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową

Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy:

$E=A(r)\cos(\omega t-kr_1)+A(r)\cos\omega t-kr_2)+\;$ $+...+A(r)\cos(\omega t-kr_N)\;$

(9.16)

Superpozycję fali zapisaną w punkcie (9.16) możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest:

$E_c(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_1}+e^{ikr_2}+...+e^{ikr_N}\right)\;$

(9.17)

Poszczególne odległości r₁, r₂,..,r_N piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania θ i odległości między szczelinami:

$\begin{matrix} r_2=r_1+d\sin\theta\\ r_3=r_1+2d\sin\theta\\ \cdots\\ r_N=r_1+(N-1)d\sin\theta\end{matrix}\;$

(9.18)

Wzory (9.18) wsadzamy do tożsamości (9.17), stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy;

$E_c=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{ik(r_2-r_1)}+e^{ik(r_3-r_1)}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_1)}\right)=\;$ $=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{d\sin\theta}+e^{2d\sin\theta}+...+e^{(N-1)d\sin\theta}\right)$

(9.19)

Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz $_{q=e^{d\sin\theta}}\;$, w ten sposób (9.19) przyjmuje postać:

$E_c=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{iNkd\sin\theta}-1}\over{e^{idk\sin\theta}-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}\;$ $= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}e^{i{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1-{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta)}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}\;$

(9.20)

Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D

Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru (9.17), że wypadkową amplitudę piszemy jako:

$A(r,\theta)=A(r)\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)N\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin {{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}kNd\sin \theta}}=A(r,0){{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;$

(9.21)

Amplituda drgań i amplituda natężenia fali

Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (9.21) i na podstawie definicji naszego przemieszczenia (9.17) jest określone:

$E_c(r,\theta)=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1}\over{2}}kD\sin\theta)}{{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;$

(9.22)

Według obliczeń (9.22) możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy:

$I(r,\theta)=I_{max}{{\sin^2{{1}\over{2}}D\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;$

(9.23)

Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki

Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od $_{\theta=-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}}\;$ do $_{\theta={{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}}\;$ i jego wartość określona jest przez:

$\Delta\theta=\left({{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)-\left(-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)={{\lambda}\over{D}}\;$

(9.24)

Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był $k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2\;$, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k_x=k cosθ, a k_z=kcosθ i na samym końcu k_y, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu:

$k_x=k\sin\theta\simeq k\theta\;$

(9.25)

Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów (9.23) i (9.24) zastępując D przez Δx, jest:

$\Delta k_x\simeq\Delta \theta\simeq k{{\lambda}\over{D}}={{2\pi}\over{D}}\Rightarrow \Delta k_xD\simeq 2\pi\Rightarrow\Delta k_x\Delta x\simeq 2\pi\;$

(9.26)

Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki:

$\Delta k_x\Delta x\geq 2\pi\;$ (9.27)

$\Delta k_y\Delta y\geq 2\pi\;$ (9.28)

$\Delta k_z\Delta z\geq 2\pi\;$ (9.29)

$\Delta\omega\Delta t\geq 2\pi\;$ (9.30)

Optyka geometryczna

Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej

Obicie od płaszczyzny fali płaskiej

Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według:

$\Delta s=d\sin\alpha-d\sin\beta=d(\sin\alpha-\sin\beta)\;$

(9.31)

Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:

${{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}(\sin\alpha-\sin\beta)\;$

(9.32)

Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle:

$\psi_1=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}\;$ (9.33)

$\psi_2=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;$ (9.34)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (9.33) do (9.34), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych:

$\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)= Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)=\;$ $= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos \left[{{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)\right]\;$

(9.35)

W wyrażeniu (9.58) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest $n\pi\;$, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

${{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\pi\Rightarrow d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\lambda\Rightarrow\sin\alpha-\sin\beta=m{{\lambda}\over{d}}\;$

(9.36)

Przyjmujemy, że λ>d, wtedy $_{m{{\lambda}\over{d}}>1}\;$, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie (9.36) dostajemy α=β. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania.

Załamanie fali płaskiej

Zjawisko załamania fali płaskiej

Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami:

$AB=d\sin\alpha\;$ (9.37)

$DC=d\sin\beta\;$ (9.38)

Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać:

$\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\alpha-{{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\beta=\;$ $=\omega\left({{1}\over{v_1}}d\sin\alpha-{{1}\over{v_2}}d\sin\beta\right)=\;$ $={{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)$

(9.39)

Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje (9.33) i (9.34), zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle:

$\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)= Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)=\;$ $= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left[{{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)\right]\;$

(9.40)

W wyrażeniu (9.37) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest $n\pi\;$, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

${{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)=m\pi\Rightarrow n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=m{{c}\over{\omega d}}\;$

(9.41)

Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości (9.41) prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek:

$n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=0\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;$

(9.42)

Prawo opisane wzorem (9.40) nazywamy prawem załamania Snelliusa.

Zasada Fermata a prawo odbicia

Zasada Fermata prawo odbicia

Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach y₁, y₂:

$t={{1}\over{c}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{c}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;$

(9.43)

Zróżniczkujmy obie strony równości (9.43) i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x₁=L-x₂.

$0=-{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;$

(9.44)

Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski:

${{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;$ (9.45)

${{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;$ (9.46)

Wykorzystując tożsamości trygonometryczne (9.45) i (9.46), które podstawiamy do (9.44), otrzymujemy:

$-\sin\alpha dx_2+\sin\beta dx_2\Rightarrow \sin\alpha=\sin\beta\;$

(9.47)

W końcowym wniosku w zasadzie Fermata (9.47) wnioskujemy równość kątów α i β, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia.

Prawo załamania fali a zasada Fermata

Prawo załamania fali a zasada Fermata

Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n₁ padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n₂, jest wyrażony przy pomocy stałych y₁, y₂:

$t={{1}\over{v_1}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{v_2}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;$

(9.48)

Zróżniczkujmy obie strony równości (9.48) i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x₁=L-x₂:

$0=-{{1}\over{v_1}}{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{1}\over{v_1}}{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;$

(9.49)

Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski:

${{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;$ (9.50)

${{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;$ (9.51)

Wykorzystując tożsamości trygonometryczne (9.50) i (9.51), które podstawiamy do (9.49), w ten sposób otrzymujemy równość:

$0=-{{1}\over{v_1}}\sin\alpha+{{1}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow {{c}\over{v_1}}\sin\alpha={{c}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;$

(9.52)

Wzór końcowy wynikający z obliczeń (9.52) jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania.

Zwierciadło wklęsłe

Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu

Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem α, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h_x przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu:

$h_1=h_x-\alpha x\;$

(9.53)

Kąt γ według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h₁ napisaną wzorem (9.15) przez promień krzywizny zwierciadła R.

${{h_1}\over{R}}=\gamma\Rightarrow\gamma={{h_x-\alpha x}\over{R}}\;$

(9.54)

Całkowity kąt β jest równy sumie kata α i γ, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie:

$\beta=\alpha+\gamma=\alpha+{{h-\alpha x}\over{R}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}\;$

(9.55)

Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów β i γ, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu:

${{h_y+h_1}\over{y}}=\beta+\gamma\Rightarrow {{h_y+h_x-\alpha x}\over{y}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}+{{h_x-\alpha x}\over{R}}\;$

(9.56)

Załóżmy, że mamy dwa wzory (9.56), dla różnych α, tzn. dla α₁ i α₂ i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez α₁-α₂, otrzymując w ten sposób tożsamość:

$-{{x}\over{y}}={{R-x}\over{R}}-{{x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}={{R-2x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}=1-{{2x}\over{R}}\Rightarrow{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{2}\over{R}}\;$

(9.57)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez:

${{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;$ (9.58)

$f={{R}\over{2}}\;$ (9.59)

Wzór (9.58) podstawiamy do (9.56), w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu:

$\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+{{2}\over{R}}\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow \left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow{{h_y}\over{y}}=\alpha+{{1}\over{x}}(h_x-\alpha x)\Rightarrow {{h_y}\over{y}}={{h_x}\over{x}}\Rightarrow {{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}$

(9.60)

Soczewka dwuwypukła

Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R₁ i R₂, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu.

Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.

W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tgα≈sinα≈α, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h₁≈h₃. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h_x. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry.

$h_1=h_x+h_2=h_x+x\alpha\;$

(9.61)

Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R₁, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu:

$\gamma=\alpha+\beta=\alpha+{{h_1}\over{R_1}}=\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\;$

(9.62)

Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R₁ jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia:

$\omega n_2=\gamma n_1\Rightarrow \omega={{n_1}\over{n_2}}\gamma={{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)\;$

(9.63)

Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R₂, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni:

$\pi=\omega+\psi+\theta\Rightarrow\psi=\pi-\omega-\theta\Rightarrow\psi=\pi-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)-\pi+\beta+\eta=\;,$ $=-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{h_2}\over{R_1}}+{{h_1}\over{R_2}}= -{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$

(9.64)

Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R₂ jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania (9.49) dla małych katów padania i załamania:

$\tau n_1=n_2\psi\rightarrow \tau={{n_2}\over{n_1}}\psi=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$

(9.65)

Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór:

$\phi=\tau-\nu=\tau-{{h_3}\over{R_1}}=\tau-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=\;$$=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_2}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=\;$ $\phi=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$

(9.66)

Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki:

${{h_3+h_y}\over{y}}=\phi\Rightarrow {{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$

(9.67)

Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości h_x pod kątami: α₁ i α₂, tworzymy w ten sposób dwa równania (9.67), które odejmiemy je od siebie i dzieląc tak powstały wzór przez α₁-α₂, otrzymujemy:

${{x}\over{y}}=-1+x\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$

(9.68)

Z obliczeń (9.68) otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki:

${{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;$ (9.69)

${{1}\over{f}}=\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;$ (9.70)

Tożsamość (9.69) podstawiamy w miejsce (9.70) we wzorze (9.67), bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki:

${{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\;$ ${{h_x+x\alpha}\over{y}}+{{h_y}\over{y}}=-\alpha+{{h_x}\over{x}}+\alpha+{{h_x+\alpha x}\over{y}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}\;$

(9.70)

Fale w mechanice kwantowej i elektrodynamice klasycznej

Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej

Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H₃, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |ψ_a|²=1, |ψ_b|²=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t":

$|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;$ (10.1)

$|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;$ (10.2)

• gdzie ω₁ i ω₂ są częstościami postaci drgań normalnych.

Równania (10.1) i (10.2) są kolejno bardzo podobne do (1.133) i do (1.134). Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością ω₂>ω₁ niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stany 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień ν₂-ν₁, która ma wartość $_{\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz}\;$, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego.

Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów

Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów $K^0\;$ i $\overline{K}^0\;$, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony π, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami $K^0_1\;$, $K^0_1\;$. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory (10.1) i (10.2). Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez:

$|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;$

(10.3)

$|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;$

(10.4)

Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a

Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości ω przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z:

$\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;$

(10.5)

Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z):

${{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;$

(10.6)

Ze związku (10.6) otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową ψ(z,t) (10.5) możemy określić:

$\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;$

(10.7)

Jeśli jeszcze raz podstawimy (10.7) do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej ω w zależności od liczby falowej k:

$\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;$

(10.8)

Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej

Mając związek w postaci funkcji falowej (10.7), która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy:

$\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;$

(10.9)

Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja (10.9) była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek:

$kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;$

(10.10)

Unormujmy funkcję (10.9) do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu (10.9) wykorzystując warunki brzegowe (10.10):

$1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]=\;$ ${{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;$

(10.11)

Ostateczną funkcję falową (10.9) na podstawie obliczeń (10.11) jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych (10.10):

$\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;$

(10.12)

Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem (10.12), który wynika z (10.8), jest:

$\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;$

(10.13)

Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny

Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do (10.6) wzór:

${{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;$

(10.14)

W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny (2.57) równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T₀(z)=T₀, powstałe po podstawieniu funkcji falowej (10.5), jest:

${{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;$

(10.15)

Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej

Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez:

$E={{p^2}\over{2m}}+V\;$

(10.16)

Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do (10.16) zależności $_{E=\hbar\omega}\;$ i $_{p=\hbar k}\;$:

$\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;$

(10.17)

Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej

W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny (2.86):

$\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;$

(10.18)

Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem (3.96) dla małych współczynników wygaszania, jest:

$\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;$

(10.19)

W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania χ:

$\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;$

(10.20)

Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności

Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej (10.17), to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej:

$v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;$ (10.21)

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$ (10.22)

Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku:

$\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;$

(10.23)

Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania (10.23) względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez:

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;$

(10.24)

Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej (10.22) i według mechaniki relatywistycznej (10.24) prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki.

Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego

Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej ω i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy:

$\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;$

(10.25)

Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia (10.25) względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

${{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;$

(10.26)

A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej (10.26), ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej ψ(z,t):

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;$

(10.27)

Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki (10.16) i podstawimy do niego wzór na energię równą $E=\hbar\omega\;$ i na pęd $p=\hbar k\;$, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z (10.26) i na kwadrat liczby falowej wynikającego z (10.27), w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona:

$i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;$

(10.28)

Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór (10.23), który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona:

${{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;$

(10.29)

Równanie falowe (10.28) dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c".

Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej

Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego:

$\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega t}\cos k_a z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega t}\cos k_a z}_{\psi(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;$

(10.30)

Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia (10.30), którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci:

$|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;$

(10.31)

Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej (10.29), czyli funkcji (10.30), wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy:

$\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;$

(10.32)

Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej (10.31), którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej:

$\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;$ $=-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;,$ $-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;$ $=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]=\;$ $= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t$

(10.33)

Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów (10.30) i (10.31), która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych ω₁ i ω₂ i amplitud A₁ i A₂:

$\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;$

(10.34)

Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru (10.34) z częstością dudnień ω₂-ω₁, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową.

Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych

Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej ω₁ i o przesunięciu fazowym φ₁, a druga fala jest o częstości ω₂ i o przesunięciu fazowym φ₂, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal:

$E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;$

(10.35)

Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej (10.35) możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości:

$|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;$

(10.36)

Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości (10.36) dla zespolonego natężenia fali (10.35), jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą ω₁-ω₂, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy:

$t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;$ (10.37)

$t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;$ (10.38)

Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według ν₁-ν₂, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki:

$\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;$ (10.39)

$\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;$ (10.40)

Czemu niebo jest jasne

W rozdziale "Czemu niebo jest niebieskawe" rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90⁰ możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera $4\cdot 10^6\;$ cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90⁰. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90⁰ przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy.

Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek $\vec{E}_1\;$, a w obszarze dwa przyczynek $\vec{E}_2\;$, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest $n_1\vec{E}_1\;$, a w obszarze drugim jest $n_2\vec{E}_2\;$, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić $\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;$, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest:

$\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;$

(10.41)

Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję:

$E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;$

(10.42)

A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór:

$E=A\cos(\omega t+\varphi)\;$

(10.43)

Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę (10.41) i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim (10.43), wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami:

$A=(n_1-n_2)A_1\;$

(10.44)

We wzorze n₁ jest raz mniejsze, a za drugim większe od n₂, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90⁰. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór:

$I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;$

(10.45)

Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest $\overline{n}_1\;$, a w drugim obszarze jest $\overline{n}_2\;$, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n₁ jest $\overline{n}_1\;$, a także średnia liczba cząsteczek n₂ jest równa $\overline{n}_2\;$, wtedy można napisać:

$(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;$

(10.46)

Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie (10.46), która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód:

$\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;$

(10.47)

Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu:

$\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;$ (10.48)

$\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;$ (10.49)

Biorąc wnioski (10.48) i (10.49), a także wniosek (10.46) i (10.47), wtedy (10.45) możemy zapisać do postaci:

$I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;$

(10.50)

Dla wody warunki (10.48) i (10.49), które są dla powietrza, odpowiadają warunkom:

$\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;$ (10.51)

$\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;$ (10.52)

Patrząc na warunek (10.50), który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów (10.51) i (10.52), natomiast dla wody odpowiada warunek:

$I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;$

(10.53)

Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych

Równania Maxwella

Różniczkowe prawa Maxwella dla materii:
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}$ (10.54)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (10.55)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (10.56)	$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}$ (10.57)
Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka
Wektor indukcji elektrycznej		Wektor natężenia pola magnetycznego
$\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ (10.58)		$\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}$ (10.59)

Prowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo izotropowych

Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci:

$\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;$

(10.60)

Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego $\vec{E}\;$ i indukcji pola magnetycznego $\vec{B}\;$. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja $\vec{P}\;$ ma kierunek wzdłuż wektora $\vec{E}\;$, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej $\vec{B}\;$. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest:

$P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;$

(10.61)

Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu (10.61) możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako:

$P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;$ (10.62)

$M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;$ (10.63)

Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory (10.58) i (10.59) są napisane:

$\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;$ (10.64)

${{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;$ (10.65)

Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów (10.64) i (10.65):

$\epsilon_r=1+\chi\;$ (10.66)

$\mu_r=1+\chi_m\;$ (10.67)

Uogólnienie wniosku (10.62) dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej ω:

$P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;$

(10.68)

W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E_x i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90⁰:

$P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;$

(10.69)

Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.:

$E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;$

(10.70)

wtedy polaryzację wyrażoną wzorem (10.69) przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego (10.70) możemy przepisać:

$P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;$

(10.71)

Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej

Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą $M\omega_0^2\;$. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą $M\Gamma\;$, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest:

$M\ddot{x}=-M\omega_0^2-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;$

(10.72)

Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu (10.72), jest:

$E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;$

(10.73)

Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E_el i amplitudę absorpcyjną A_ab, piszemy:

$x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;$

(10.74)

Amplitudę absorpcyjną A_ab i elastyczną A_el, które już określaliśmy dla F₀=qE₀ w punktach (3.29) i (3.30), które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu:

$A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$ (10.75)

$A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$ (10.76)

Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku (10.74) przy definicji natężenia fali pola elektrycznego (10.73):

$P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)=\;$ $={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;$

(10.77)

Możemy porównać wzory (10.71) z (10.77) na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną:

$\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$ (10.78)

$\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$ (10.79)

Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej

Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako:

$\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;$

(10.80)

Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej ω wedle:

$P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;$

(10.81)

Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej:

$E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;$

(10.82)

wtedy zapis polaryzacji zespolonej (10.81) przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej (10.80) i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego (10.82) prowadzi do:

$P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\;$ $=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}(\omega t-{{\pi}\over{2}})\;$

(10.83)

Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną (10.83) jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór (10.71), wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej (10.80) jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami.

Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna

Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do (10.66), przy definicji podatności elektrycznej równą (10.80):

$\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;$

(10.84)

Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych

Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do (10.73), który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej:

$\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;$

(10.85)

Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x₀e^-iωt, wtedy podstawiając to do (10.85) i pamiętając przy tym $\dot{x}=-i\omega x\;$, i $\ddot{x}=-\omega^2x\;$, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest:

$(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;$

(10.86)

Równanie (10.86), a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem (10.74) przy definicji amplitudy elastycznej A_el (10.75) i absorpcyjnej A_ab (10.86). Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z (10.81), w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej (10.77) do zapisania tej wielkości:

$\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;$

(10.87)

Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru (10.87), w ten sposób otrzymujemy analogiczny do (10.84) wzór:

$\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;$

(10.88)

Jak można wykazać, wzór (10.88) jest równoważny ze wzorem (10.84), co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne.

Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego

Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego :
Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella
$\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}$ (10.89)	$\nabla\cdot\vec{B}=0$ (10.90)	$\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}$ (10.91)	$\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}$ (10.92)

Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne.

Równanie falowe

Mnożymy obustronnie lewostronnie przez $\nabla\times\;$ wzór (10.92), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.91), w ostateczności otrzymujemy:

$\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;$

(10.93)

Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez $\nabla\times\;$ wzór (10.91), dalej po skorzystaniu ze wzoru (10.92), otrzymujemy:

$\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;$

(10.94)

Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe.

$\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;$

(10.95)

Jeśli skorzystamy z tożsamości (10.95) do (10.93) i (10.94), to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego:

$\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;$ (10.96)

$\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;$ (10.97)

Równania (10.96) i (10.97) są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy:

$\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;$

(10.98)

dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej:

$k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;$

(10.99)

Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy (10.99) możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako:

$\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;$

(10.100)

Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru:

$\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;$

(10.101)

Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do (10.1101), który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu.

Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej

Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie (10.83) i (10.84) dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań:

${{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;$ (10.102)

${{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;$ (10.103)

Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z:

$E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;$ (10.104)

$B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;$ (10.105)

Równania (10.104) i (10.105) podstawiamy do (10.102), w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa:

${{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(e^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;$

(10.106)

Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości (10.103):

$-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;$

(10.107)

Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v.

Współczynnik transmisji i odbicia

Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R₁₂, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy:

$E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;$ (10.108)

$E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;$ (10.109)

Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do (10.108) i (10.109) przy definicji współczynnika odbicia i transmisji:

$B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;$ (10.110)

$B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;$ (10.111)

Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R₁₂ i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań (10.108) i (10.109). A także w wyniku tożsamości $_{H_y={{B_y}\over{\mu}}}\;$, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań (10.101) i (10.111) dla tego samego "z", możemy zapisać:

$1+R_{12}=T_{12}\;$ (10.112)

${{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;$ (10.113)

Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania:

$Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;$

(10.114)

Jeśli wykorzystamy definicje impedancji (10.114), a także wykorzystamy do tego celu tożsamości (10.112) i (10.113), w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden:

$Z_1(1-R_{12})=Z_2(1+R_{12})\Rightarrow Z_1-Z_2=(Z_2+Z_1)R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;$

(10.115)

Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n₁=1, wtedy współczynnik odbicia (10.115), przy definicji impedancji (10.114), jest równy:

$R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;$

(10.116)

Jeśli w współczynniku odbicia R₁₂podstawimy współczynnik załamania przez n=n_R+in_l dla współczynnika załamania n₁ równy jeden i dla współczynnika załamania n₂ równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R₁₂ i jego kwadrat modułu w jednej linijce:

$R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;$ (10.117)

$|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;$ (10.118)

Uproszony prosty model przewodnika, przenikalność i przewodność elektryczna

Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest:

$\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;$

(10.119)

Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to (10.119) możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia $\dot{x}=s\;$:

$\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow \;$ $\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;$

(10.120)

Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie (10.120) możemy przepisać w sposób przybliżony:

$\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;$

(10.121)

Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla Γ>>ω, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A_el jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać:

$A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;$

(10.122)

Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu (10.73):

$\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;$

(10.123)

Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy:

$J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;$

(10.124)

Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie:

$J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;$

(10.125)

Z posługiwania się tożsamością (10.125) możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy:

$\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;$

(10.126)

Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu (10.87):

$\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;$ (10.127)

$\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;$ (10.128)

Gdy wybierzemy przykład ω<<Γ, wtedy zespoloną podatność elektryczną (10.127) i zespoloną przewodność elektryczną (10.128) piszemy:

$\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;$ (10.129)

$\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;$ (10.130)

Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden:

$n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;$

(10.131)

Rozrzedzony ośrodek oporowy

Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać:

$\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;$

(10.132)

wtedy współczynnik załamania światła (10.131) jest napisany:

$n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;$

(10.133)

Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując (10.133) przy użyciu definicji kwadratu ω_pl i definicji przewodności elektrycznej σ (10.124):

$k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;$

(10.134)

Część urojona liczby falowej (10.134) powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e^-Im(k)z, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e^-2Im(k)z. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k))^-1, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności:

${{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;$

(10.135)

Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem (10.133), wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118) określamy poprzez:

$|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;$

(10.136)

Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia (10.136) podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia (10.133), otrzymujemy:

$|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;$

(10.137)

Gęsty ośrodek oporowy

W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali:

$\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;$

(10.138)

Biorąc wzór na współczynnik załamania n (10.133) skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. $_{\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}}\;$, co odpowiada $_{2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)}\;$, by potem było można oczywiście powiedzieć:

$n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;$

(10.139)

Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń (10.139) i przy skorzystaniu (10.131), możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej:

$k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;$

(10.140)

Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania (10.139) możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia (10.118):

$|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;$ $={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;$

(10.141)

Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór:

${{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;$

(10.142)

Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie.

Całkowicie elastyczny obszar częstości

Weźmy sobie równanie (10.114) przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e^-iωt:

$-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;$

(10.143)

Rozwiązanie równania (10.136) w postaci funkcji prędkości dla ω>>Γ jest funkcją zależną od E_x, częstotliwości kołowej ω, masy ładunku i ładunku o wartości "q":

$\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;$

(10.144)

Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o ±90⁰, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie (10.144):

$J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;$

(10.145)

Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według (10.145) (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie (10.126):

$\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;$ (10.146)

$n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;$ (10.147)

Przedział dla częstości dyspersyjnych

Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami:

$\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;$

(10.148)

Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania (10.147) można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale:

$0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;$

(10.149)

Widzimy na podstawie obliczeń (10.149), że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej (10.149) jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia (10.118).

Przedział dla częstości reaktywnych

Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami:

$\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;$

(10.150)

wtedy na podstawie (10.147) i (1.150) zachodzi warunek:

$-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;$

(10.151)

Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie (10.151) możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali:

$n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;$

(10.152)

Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania (10.152) podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła:

$k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;$

(10.153)

Patrząc na (10.153), to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu:

$E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;$

(10.154)

Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania (10.152), która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej:

$|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;$

(10.155)