Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności

Funkcje i ich własności

Pojęcie funkcji

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

• Przykład 1

  Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak $f\colon S_{angielski} \to S_{polski}$, gdzie S_angielski to zbiór angielskich słówek i analogicznie S_polski - zbiór polskich słówek.

• Przykład 2

  Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.

• Przykład 3

  Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru S_angielski(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z S_polski(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

DEFINICJA Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez $f \colon X \to Y$. Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną (obrazem).

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest S_angielski, a przeciwdziedziną S_polski.

DEFINICJA Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych – $X=\mathbb{Z}$, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych – $Y=\mathbb{Z}$.

$f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$

Przykład 5.

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest X = { − 1,0,1,2,3} a przeciwdziedziną jest zbiór Y = {0,1,3,4,5,6,9}. Zbiorem wartości tej funkcji jest ZW_f = {0,1,4,9}, są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotem pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że: f( − 1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4 i f(3) = 9. Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.

Przykład 6.

Dziedziną funkcji jest zbiór X = {1,2,3,4,5}, a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości ZW tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.

Przykład 7.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.

Sposoby określania funkcji

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

• opisu słownego
• tabelki
• wzoru
• grafu
• zbioru par uporządkowanych
• wykresu

Przykład 1. Mamy daną funkcję określoną opisem słownym: „Dane są zbiory X = { − 1,0,1,2,3} i Y = {0,1,4,9}, wówczas każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy kwadrat tej liczby.”

• funkcję tę możemy przedstawić w postaci tabelki:

x	-1	0	1	2	3
y	1	0	1	4	9

• za pomocą wzoru:

  $y=x^2 \mbox{ dla } x \in \{-1,0,1,2,3\}$

  używa się także zapisu f(x) = x², a także $f \colon x \mapsto x^2$

• używając do tego grafu

• zbioru par uporządkowanych:

  {( − 1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)}

• wykresu:

Przykład 2. Opiszmy funkcję $y = \frac{2}{5}x-1$, gdzie $x \in \mathbb{R}$ za pomocą różnych metod.

• Opis słowny:

  Każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy różnicę iloczynu tej liczby z $\frac{2}{5}$ i jedynki.

• Za pomocą wzoru:

  Wzór już mamy w przykładzie: $y = \frac{2}{5}x-1$.

  Możemy także zapisać: $g(x) = \frac{2}{5}x - 1$, czy też $g \colon x \mapsto \frac{2}{5}x - 1$.

• W postaci tabeli:

  Ponieważ w tabelce nie możemy umieścić wszystkich liczb, możemy co najwyżej wybrać niektóre z nich. Tabelka może wyglądać tak:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-2.2	-1.8	-1.4	-1	-0.6	-0.2	0.2

• Rysując wykres funkcji

• Używając zbioru par uporządkowanych:

  Nie możemy wypisać wszystkich uporządkowanych par. Podobnie jak to było w przypadku tabelki wypiszemy tylko niektóre:

  ..., ( − 2, − 1.8), ..., ( − 1, − 1.4), ..., (0, − 1), ..., (1, − 0.6), ..., (2, − 0.2), ...

• Raczej ciężko by było przedstawić tę funkcję w postaci grafu, musielibyśmy podobnie się „nakropkować”, jak w poprzednim przykładzie, dlatego ten sposób pominiemy.

Dziedzina funkcji

Własności funkcji

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

• dziedzina funkcji
• zbiór wartości funkcji
• miejsca zerowe funkcji
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
• monotoniczność
• najmniejsza i największa wartość funkcji
• różnowartościowość
• parzystość
• nieparzystość
• okresowość

Dziedzina funkcji

DEFINICJA Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez D_f.

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

• dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
• liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
• liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

$f(x) = \frac{x^2}{x+2}$

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

1. Jest to po prostu ułamek $\frac{a}{b}$, dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
2. Zauważamy, że a = x². Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku $x \in \mathbb{R}$
3. Patrzymy na mianownik. Mamy b = x + 2. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że $b \neq 0$, czyli $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy $x \neq -2$, zatem dziedziną będzie $D_f = R \backslash \{-2\}$.

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

$f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}$

I znowu banał...

1. Mamy ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy a = c². Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
   • No i mamy $c = \sqrt{x-3}$. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku x − 3) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x $x - 3 \geq 0$ i po prostym przekształceniu otrzymujemy $x \geq 3$
3. Teraz patrzymy na mianownik $b = d \cdot e \cdot f$, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie $d \cdot e \cdot f = 0 \iff d = 0 \or e=0 \or f=0$. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
   • $d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0$
   • $e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$
   • $f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4$

   Zatem $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq 4$. Ponadto, aby wyrażenie $\sqrt{x}$ miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem $x \geq 0$.

4. I podsumowujemy: $x \geq 3$, $x \geq 0$, $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq 4$. Zatem $D_f = (3;+\infty) \backslash \{4\}$.

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$. Wyrażenie $\frac{1}{x}$ ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy $x \neq 0$, ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że $D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\}$.

Przykład 2. $f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}$ Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

(x − 1)(x − 2) = 0

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

x − 1 = 0 lub x − 2 = 0

x = 1 lub x = 2

Czyli $D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\}$.

Przykład 3. $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}}$ Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli $x-2>0 \Rightarrow x>2$, a wtedy $D_f=(2;+\infty)$.

Przykład 4. $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$ Mianownik musi być różny od zera, wobec czego $x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4$. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze $x^2 \geq 0$), więc x² nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy $D_f=\mathbb{R}$.

Zbiór wartości funkcji

DEFINICJA Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych elementów zbioru Y, którym zostały przyporządkowane elementy ze zbioru X. Zbiór wartości funkcji f będziemy oznaczać przez ZWf. $ZW_f=\left\{ y \colon \exist_{x \in D_f}\ y=f(x) \right\}$

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Przy wyznaczaniu zbioru wartości funkcji niejednokrotnie warto wykonać szkic funkcji. To prawie nic nie kosztuje, ale możemy na tym wiele zyskać. Poza tym osoba sprawdzająca rozwiązanie naszego zadania może uznać rysunek jako pewnego rodzaju dowód. Dlatego w większości podawanych przez nas przykładów będziemy rysować wykres funkcji, który w znacznej mierze może nam ułatwić znalezienie zbioru wartości funkcji, a sprawdzającym być może umili życie. Oczywiście nie należy popadać w skrajność, czasami spokojnie można pominąć rysunek, gdy rozwiązanie widać już na pierwszy rzut oka.

Zobaczmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Mamy funkcję f(x) = 10. Niezależnie, jakibyśmy wybrali x i tak f(x) będzie równe 10. Dlatego też ZW_f = {10}.

Przykład 2. Mamy funkcję f(x) = x². Wiemy, że funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne, ponadto dla każdego $y \geq 0$ znajdziemy taki x, że f(x) = y np. gdy weźmiemy $x=\sqrt{y}$, wtedy $x^2=(\sqrt{y})^2=y$. Tak więc $ZW_f=[0;+\infty)$. Nasze rozumowanie potwierdza rysunek.

Przykład 3. Wyznaczmy zbiór wartości funkcji $y = 2 - \sqrt{2-2x}$.

Pomyślmy... pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby nigdy nie będzie ujemny, co najwyżej równy zero. Zatem najmniejsza wartość $\sqrt{a}$ wynosi zero, gdzie a = 2 − 2x. Potem już dla większych a pierwiastek także staje się coraz większy np. dla $\sqrt{400}=20 < \sqrt{10000}=100$. Zatem $\sqrt{a}$ dojdzie bardzo wysoko, bo aż do $+\infty$, czyli $ZW_{\sqrt{x}} = [0;+\infty)$. Ponadto od liczby 2 odejmujemy ten pierwiastek, zatem wszystko nam pójdzie „do góry nogami” przez znak „-” (czyli otrzymamy $(-\infty;0]$), a następnie pójdzie o dwa „do góry” otrzymując $(-\infty;2]$. Zatem $ZW = (-\infty;2]$.

Jednak nie zawsze dopadnie nas natchnienie, wtedy musimy to zrobić w standardowy sposób:

• Wyznaczamy dziedzinę. Liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna, zatem otrzymujemy nierówność $2 - 2x \geq 0$. Wykonując kilka przekształceń otrzymujemy $x \leq 1$.
• Rysujemy wykres funkcji uwzględniając dziedzinę. Sporządźmy w tym celu najpierw tabelkę:

x	-2	-1	0	1
y	$2-\sqrt{6}$	0	$2-\sqrt{2}$	2

Zatem wykres będzie podobny do tego:

• otrzymujemy, że $ZW = (-\infty;2]$

Miejsca zerowe funkcji

DEFINICJA Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli f(x) = 0].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

• Przykład 1

Funkcja f(x) = x + 2 ma jedno miejsce zerowe dla x = − 2. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie f(x) = 0:

x + 2 = 0

x = − 2

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

• Przykład 2

Funkcja f(x) = x + 3, gdzie $D_f=(-2;+\infty)$ nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie:

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

$\begin{cases} x+3=0 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff \begin{cases} x=-3 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff x \in \emptyset$

• Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = 2(x − 2)(x + 3).

$f(x) = 0 \iff 2(x - 2)(x + 3) = 0$

możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy

$(x-2)(x+3) = 0 \iff (x - 2 = 0 \or x + 3 = 0) \iff (x = 2 \or x=-3)$

Zatem $f(x) = 0 \iff x \in \{-3, 2\}$.

• Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których f(x) = 0, a f(x) = 9 − x². Czyli:

$f(x) = 0 \iff 9 - x^2=0$

x² − 9 = 0

Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia (x − a)(x + a) = x² − a² otrzymujemy:

(x − 3)(x + 3) = 0, czyli x − 3 = 0 lub x + 3 = 0.

Zatem f(x) = 0, gdy x = 3 lub x = − 3.

• Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x) = \left|x+1\right| + |x-3| - 4$.

Dla x < − 1 (czyli x + 1 < 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = − (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = − 2x − 2. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x < − 1}.

Dla x > 3 (czyli x − 3 > 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = (x + 1) + (x − 3) − 4 = 2x − 6. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x > 3}.

Dla $-1\le x \le 3$ (czyli $x+1\ge 0$ i $x-3 \le 0$. funkcja f(x) = (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = 0 jest stała z wartością 0.

Zatem f(x) = 0, gdy $-1\le x \le 3$.

Monotoniczność funkcji

DEFINICJA Funkcja $f\colon X \to Y$ jest rosnąca w zbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2 należących do zbioru A i x1 < x2 wynika f(x1) < f(x2). $x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)$

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze $A \subset X$, tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

$f(x_1) \leq f(x_2)$, dla x₁ < x₂

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

DEFINICJA Funkcja $f\colon X \to Y$ jest malejąca w zbiorze $A \subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2 należących do zbioru A i x1 < x2 wynika f(x1) > f(x2). $x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)$

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze $A \subset X$. Mamy wtedy:

$f(x_1) \geq f(x_2)$, dla x₁ < x₂

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.

Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji y = x².

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

• jest rosnąca dla x > 0
• jest malejąca dla x < 0

Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla $x \in [-4; 4]$ (czyli D_f = [ − 4;4]).

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

• rośnie w przedziałach [ − 4; − 2) oraz ( − 1;2)
• maleje w przedziałach ( − 2; − 1) oraz (2;4)

Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa $f(x) = \frac{4-x}{2}$. Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$.

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x $f(x) \geq f(x_0)$, gdzie x₀ jest dowolną liczbą mniejszą od x.

Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 2x + 3 jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego x₁ < x₂ zachodzi f(x₁) < f(x₂).

Weźmy więc dowolne x₁ < x₂ i rozwiązmy nierówność f(x₁) < f(x₂).

$f(x_{1}) = 2 \cdot x_{1} + 3 = 2x_{1} + 3$

$f(x_{2}) = 2 \cdot x_{2} + 3 = 2x_{2} + 3$

2x₁ + 3 < 2x₂ + 3

2x₁ + 3 − 2x₂ − 3 < 0

2x₁ − 2x₂ < 0

$2 \cdot (x_{1} - x_{2}) < 0$

Z założenia mamy, że x₁ < x₂, czyli x₁ − x₂ < 0. A co za tym idzie - wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) przez dowolną liczbę ujemną jest ujemny. Czyli nierówność f(x₁) < f(x₂) spełniona jest zawsze. Co należało dowieść.

Najmniejsza i największa wartość funkcji

DEFINICJA Funkcja $f: X \rightarrow Y$ przyjmuje wartość największą y0 = f(x0) dla pewnego $x_0 \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ zachodzi nierówność $f(x) \leq f(x_0)$.

DEFINICJA Funkcja $f: X \rightarrow Y$ przyjmuje wartość najmniejszą y0 = f(x0) dla pewnego $x_0 \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ zachodzi nierówność $f(x) \geq f(x_0)$.

Przykład 1. Funkcja y = x² przyjmuje wartość najmniejszą y₀ = 0 (dla x₀ = 0).

Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np. $A = [1\frac{1}{2};2]$ możemy taką znaleźć. W przedziale A będzie to y_max = 4 dla x = 2, natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie $y_{min} = \left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$, dla $x = 1\frac{1}{2}$.

Przykład 2.

Największa wartości funkcji $y = 2-\sqrt{2-2x}$ wynosi y₀ = 2 dla x₀ = 1

Wartością najmniejszą w przedziale B = [ − 2;1) będzie $y_0 = f(-2) = 2 - \sqrt{2-2\cdot(-2)} = 2 - \sqrt{6}$. Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale B i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do 1.

Przykład 3.

Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla $x \in [-4;4]$:

Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą y_max = 3 dla x₁ = 2. Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest y_min = − 3 dla x₂ = − 4.

Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie „górki” i jedną „dolinę” położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest położone najwyżej, natomiast „dolina” miejsce, które jest położone najniżej. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji. Formalnie ekstremum funkcji definiuje się jako punkt, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą.

Przykład 4.

Funkcja y = 10 posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest y_min = 10 dla $x \in \mathbb{R}$. Wartością najwyższą jest także y_max = 10 i także dla $x \in \mathbb{R}$.

W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.

Przykład 5.

Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąć sobie przedział A = [0;5], wówczas wartością największą będzie 1 (dla x = 5), a najmniejszą -1 (dla x = 0).

Inne własności funkcji

Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna.

Różnowartościowość funkcji

DEFINICJA Funkcja $f: X \rightarrow Y$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości. $\forall_{x_1, x_2 \in X \and x_1 \neq x_2} f(x_1) \neq f(x_2)$

Przykład 1. Funkcja f(x) = x jest różnowartościowa, co łatwo zauważyć na wykresie. Żadne dwa punkty należące do wykresu, nie są na tej samej wysokości (nie mają takiej samej współrzędnej y).

Różnowartościowość tej funkcji wynika także z tego, że jest to funkcja rosnąca.

Przykład 2. Poniższa funkcja także jest różnowartościowa.

Zauważmy, że jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca, to jest także różnowartościowa.

Parzystość i nieparzystość funkcji

DEFINICJA Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi f(x) = f( − x). $\forall x \in D_f: -x \in D_f \and f(x)=f(-x)$

Przykład 1. Funkcja f(x) = x² jest parzysta, ponieważ f(x) = x² = ( − 1)²x² = ( − x)² = f( − x) i $x \in D_f \mbox{ oraz } -x \in D_f$, zatem spełnia warunki określone w definicji.

Zobaczmy teraz na wykres:

Zauważmy, że funkcja jest parzysta jeśli jest symetryczna względem osi OY.

Przykład 2. Funkcja f(x) = | x | jest parzysta, ze względu na to, że zachodzi f(x) = | x | = | − x | = f( − x). Poza tym widzimy symetrię na wykresie funkcji.

DEFINICJA Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równość − f(x) = f( − x). $\forall x \in D_f: -x \in D_f \and -f(x)=f(-x)$

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem punktu (0,0).

Przykład 3. Funkcja f(x) = 3x jest nieparzysta, ponieważ − f(x) = − 3x = 3( − x) = f( − x)

Przykład 4. Funkcja f(x) = x³ jest nieparzysta.

Zachodzi $-f(x) = -x^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = f(-x)$.

Okresowość

DEFINICJA Funkcję f nazywamy okresową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczby x+T oraz x-T również należą do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi f(x + T) = f(x). Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji, a najmniejsza istniejąca taka liczba to okres podstawowy. $\exist_{T \neq 0} \forall_{x \in D_f} (x+T) \in D_f \and (x-T) \in D_f \and\ f(x+T)=f(x)$

Przykład 5.

Poniższa funkcja jest okresowa:

Okres podstawowy tej funkcji wynosi 2, ponieważ f(x) = f(x + 2).

Przykład 6.

Funkcja y = sin x jest funkcją okresową. Okres tej funkcji wynosi 2π.

Przekształcanie wykresów funkcji

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy:

• symetrię względem osi OX - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x)
• symetrię względem osi OY - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x)
• symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x)
• translacja (przesunięcie) o wektor $\vec u = [a,b]$ - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b
• nałożenie wartości bezwzględnej
• zmiana skali

Symetria względem osi OX

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OX będzie miał wzór y=-f(x).

Symetria względem osi OY

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OY będzie miał wzór y=f(-x).

Symetria względem środka układu współrzędnych

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x')=-f(-x), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

Translacja

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor $\vec u=[a,b]$ to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor $\vec u=[a,b]$, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor $\vec u=[a,b]$ będzie miał wzór y=f(x-a)+b.

Nałożenie wartości bezwzględnej

Wykres funkcji y = f( | x | ) tworzymy poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Wykres funkcji y = | f(x) | tworzymy poprzez przełożenie części funkcji znajdującej się pod osią OX nad nią.

Podsumowanie

Funkcja to sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

• grafu
• wykresu
• wzoru
• tabelki
• opisu słownego

Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich argumentów zmiennej (np. x), dla której funkcja ma sens.

Wyznaczając dziedzinę należy pamiętać o tym, że: w mianowniku nie może być 0, a pod pierwiastkiem nie może znajdować się liczba ujemna.

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Miejsce zerowe funkcji jest to punkt przecięcia wykresu z osią X.

Funkcja rosnąca

Funkcję $f\colon X \to R$ nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1\,$ , $x_2\,$ $\in$ $X\,$ zachodzi:

$x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)$

Funkcja malejąca

Funkcję $f\colon X \to R$ nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1\,$ , $x_2\,$ $\in$ $X\,$ zachodzi:

$x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)$

Funkcja stała

Funkcja jest stała, gdy dla każdego x: $f(x)=c\,$

Funkcja niemalejąca

Dla dowolnych argumentów $x_1 , x_2\,$:

$x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leqslant(x_2)\,$

Funkcja nierosnąca

Dla dowolnych argumentów $x_1 , x_2\,$:

$x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geqslant(x_2)\,$

Największa wartość funkcji

Funkcja $f: X \rightarrow Y$ przyjmuje wartość największą $y_0=f(x_0)\,$ dla pewnego $x_0 \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ zachodzi nierówność $f(x) \leq f(x_0)$

Najmniejsza wartość funkcji

Funkcja $f: X \rightarrow Y$ przyjmuje wartość najmniejszą $y_0=f(x_0)\,$ dla pewnego $x_0 \in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ zachodzi nierówność $f(x) \geq f(x_0)$

Inne własności funkcji

• funkcja różnowartościowa
• funkcja parzysta
• funkcja nieparzysta
• okresowa

Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji $y=f(x)\,$

• przesuwanie wykresu o wektor (translacja) $\vec u = [p,q]$ wzór - $y = f(x-p)+q\,$
• symetria względem osi OX - wzór $y = -f(x)\,$
• symetria względem osi OY - wzór $y = f(-x)\,$
• symetria względem układu współrzędnych - wzór $y = -f(-x)\,$
• nałożenie wartości bezwględnej
• zmiana skali

Powinieneś umieć

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

1. na poziomie podstawowym:
   • czym jest funkcja, a także wykres funkcji
   • wyznaczyć dziedzinę funkcji
   • podać jaki jest zbiór wartości funkcji
   • wyznaczyć miejsce zerowe funkcji
   • wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale
   • podać monotoniczność funkcji
   • przesunąć wykres funkcji (translacja)
2. a na poziomie rozszerzonym:
   • czym jest funkcja różnowartościowa
   • funkcja parzysta, nieparzysta i okresowa
   • przekształcać wykres funkcji przez zmianę skali i przez symetrię

1.Wykresem funkcji może być:

a.odcinek
b.punkt
c.prosta prostopadła do osi OX.

Odpowiedź: a -> TAK b -> TAK; c -> NIE.

2.Dana jest funkcja f(x)=(x − 2) / x − 2. Wobec tego:

a.dziedziną funkcji f jest przedział <2, +nieskończoność),
b.miejscem zerowym funkcji f jest lczba 2,
c.istnieje argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 0.

Odpowiedź: a -> NIE; b -> NIE; c -> NIE. Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Ćwiczenia