Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji

Własności funkcji

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

• dziedzina funkcji
• zbiór wartości funkcji
• miejsca zerowe funkcji
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
• monotoniczność
• najmniejsza i największa wartość funkcji
• różnowartościowość
• parzystość
• nieparzystość
• okresowość

Dziedzina funkcji

DEFINICJA Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez D_f.

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

• dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
• liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
• liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

$f(x) = \frac{x^2}{x+2}$

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

1. Jest to po prostu ułamek $\frac{a}{b}$, dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
2. Zauważamy, że a = x². Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku $x \in \mathbb{R}$
3. Patrzymy na mianownik. Mamy b = x + 2. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że $b \neq 0$, czyli $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy $x \neq -2$, zatem dziedziną będzie $D_f = R \backslash \{-2\}$.

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

$f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}$

I znowu banał...

1. Mamy ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy a = c². Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
   • No i mamy $c = \sqrt{x-3}$. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku x − 3) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x $x - 3 \geq 0$ i po prostym przekształceniu otrzymujemy $x \geq 3$
3. Teraz patrzymy na mianownik $b = d \cdot e \cdot f$, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie $d \cdot e \cdot f = 0 \iff d = 0 \or e=0 \or f=0$. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
   • $d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0$
   • $e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$
   • $f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4$

   Zatem $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq 4$. Ponadto, aby wyrażenie $\sqrt{x}$ miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem $x \geq 0$.

4. I podsumowujemy: $x \geq 3$, $x \geq 0$, $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq 4$. Zatem $D_f = (3;+\infty) \backslash \{4\}$.

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$. Wyrażenie $\frac{1}{x}$ ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy $x \neq 0$, ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że $D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\}$.

Przykład 2. $f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)}$ Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

(x − 1)(x − 2) = 0

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

x − 1 = 0 lub x − 2 = 0

x = 1 lub x = 2

Czyli $D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\}$.

Przykład 3. $f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}}$ Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli $x-2>0 \Rightarrow x>2$, a wtedy $D_f=(2;+\infty)$.

Przykład 4. $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$ Mianownik musi być różny od zera, wobec czego $x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4$. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze $x^2 \geq 0$), więc x² nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy $D_f=\mathbb{R}$.