Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Liczby i ich zbiory

Spis treści

1 Suma zbiorów
2 Iloczyn zbiorów
3 Różnica zbiorów
4 Dopełnienie zbioru
5 Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

[edytuj] Suma zbiorów

DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: $A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \}$ .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Przykład.

Jeżeli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \cup B=\{1,2,3,4,5\}$ . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

[edytuj] Iloczyn zbiorów

DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: $A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \}$ . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Przykład.

Jeśli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \cap B=\{1\}$ . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

[edytuj] Różnica zbiorów

DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: $A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \}$ . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też $A - B$ .

Jeśli $A = {1,2,5}$ i $B = {1,3,4}$ , to $A \backslash B=\{2,5\}$ . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

[edytuj] Dopełnienie zbioru

DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako $A'$ lub $A c$ . Dopełnienie możemy zapisać tak: $A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \}$ .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: $A'=U \backslash A$ . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Przykład.

Jeśli $A = {1,2,3}$ , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A'=\{4,5,6,7,8,\dots\}$ .

Przykład.

Jeśli $A = {2,3,5,6}$ , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A' = {1,4,7,8,9}$ , ponieważ:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {2,3,5,6}

$A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}$

[edytuj] Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

$(A \cup B)'=A' \cap B'$ -- I prawo De Morgana
$(A \cap B)'=A' \cup B'$ -- II prawo De Morgana
$A \cup B = B \cup A$ -- przemienność dodawania zbiorów
$A \cap B = B \cap A$ -- przemienność mnożenia zbiorów
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ -- łączność dodawania zbiorów
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ -- łączność mnożenia zbiorów
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania