Matematyka dla liceum/Logika/Podsumowanie

Zdanie 

W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Koniunkcja 

Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako $p \and q$, a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.

Alternatywa 

Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez $p \or q$ i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.

Negacja 

Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez $\neg p$, choć można spotkać także zapis ∼p, a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.

Implikacja 

Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy $p \implies q$. Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.

Równoważność 

Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez $p \iff q$. Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.

Tautologia 

Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:

• $\neg ( p \or q ) \iff \neg p \and \neg q$ (I prawo De Morgana)
• $\neg ( p \and q ) \iff \neg p \or \neg q$ (II prawo De Morgana).

Kwantyfikatory 

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:

$\forall_{x \in X}\ p(x)$,

a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.

Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:

$\exist_{x \in X}\ p(x)$

i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.

W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako $\bigwedge_{x \in X}$, a $\bigvee_{x \in X}$ jako kwantyfikator szczegółowy.