Mechanika teoretyczna/Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna

Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego

Układem odniesienia nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. Wektorem wodzącym nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele w której opisujemy ruch. Ruchem nazywamy zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych.

Kinematyka

Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy.

$\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;$ (1.1)

$\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;$ (1.2)

Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych:

$\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;$

(1.3)

Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja:

$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;$

(1.4)

Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie (1.3).

$\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;$

(1.5)

Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości (1.5) i drugą pochodną wektora wodzącego (1.3).

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;$

(1.6)

Przyspieszenie styczne i dośrodkowe

Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego τ do toru:

$\vec{v}=v\vec{\tau}\;$

(1.7)

Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie (1.7):

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;$

(1.8)

Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że $\vec{\tau}=\vec{e}_{\theta}\;$, to według punktu (MMF-7.26), mówimy:

$\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_r{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_r{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;$

(1.9)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.9) możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie (1.8) możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest:

$\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;$

(1.9)

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru (MMF-7.12), (7.15) i (MMF-7.18):

$\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;$ (1.10)

$\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;$ (1.11)

$\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;$ (1.12)

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru (MMF-7.23), (7.26) i (MMF-7.29):

$\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{r}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;$ (1.13)

$\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;$ (1.14)

Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora $\vec{e}_{\theta}\;$ względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych:

$\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;$

(1.15)

Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości $\vec{e}_{\theta}\;$ (7.26) wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej.

$\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;$

(1.16)

Mając wzór (1.15) wyznaczmy stałe α β i γ, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne:

$\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;$

(1.17)

$\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;$

(1.18)

$\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;$

(1.19)

Biorąc wnioski (1.17), (1.18), a także (1.19), to możemy napisać tożsamość (1.15), która jest:

$\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;$

(1.20)

Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą:

$\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;$

(1.21)

Korzystając przy tym z definicji wektora $\vec{e}_r\;$(MMF-7.12) i $\vec{e}_{\theta}\;$(MMF-7.15), prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy:

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\phi}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;$

(1.22)

Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości (1.22):

$\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;$

(1.23)

Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory (1.21), (1.22) i (1.23) dla układu radialnego możemy przepisać:

$\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;$ (1.24)

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;$ (1.25)

$\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;$ (1.26)

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu:

$\vec{r}=r\vec{e}_r\;$

(1.27)

Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości (1.27):

$\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;$

(1.28)

Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała (1.28), określamy wzorem:

$\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;$ $=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{r}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+\;$ $+ r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\right]$

(1.29)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.29) możemy powiedzieć:

$\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\;$ $+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}$

(1.30)

Zasady dynamiki Newtona

Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele Philosophiae Naturalis Principia Methematica. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona:

• I Zasada dynamiki Newtona:

Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym.

• II zasada dynamiki Newtona:

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym ruchem, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy:

$\vec{F}=m\vec{a}\;$

(1.31)

• Trzecia zasada dynamiki Netwona:

Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą $\vec{F}\;$, to ciało B działa na ciało A z siłą o takim samym kierunku, długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą $-\vec{F}\;$.

Przykładu ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych

Ruch bez działania siły

Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. $\vec{F}=0\;$, zatem na podstawie (1.31) możemy napisać równanie ruchu:

$m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;$

(1.32)

Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego

Z drugiej zasady dynamiki Newtona (1.31), w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku:

$m\ddot{x}=-mg\;$

(1.33)

Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru (1.33) jako:

$\dot{x}=v=v_0-gt\;$

(1.34)

Wielkość występująca we wzorze (1.34), czyli v₀ jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu dostając:

$x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;$

(1.35)

Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości

Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości:

$m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;$

(1.36)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (1.36) jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e^λt, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr λ.

$e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;$

(1.37)

Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie (1.37) otrzymujemy dwa równania na λ, które są zdefiniowane jako λ₁=0 lub λ₂=-γ/m, zatem rozwiązaniem równania (1.36) jest funkcja położenia iksowego:

$x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;$

(1.38)

Oscylator harmoniczny

Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki (1.31) możemy napisać:

$m\ddot{x}=-kx\;$

(1.39)

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego (1.39) w postaci funkcji x=e^λt, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy λ:

$m\lambda^2+k=-0\Rightarrow\lambda=\pm i \sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;$

(1.40)

Na podstawie końcowego wniosku wynikowego (1.40) możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki:

$x(t)=Ae^{i\omega_0t}+b_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;$

(1.41)

Tłumiony oscylator harmoniczny

W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31) piszemy:

$m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;$

(1.42)

Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy β=γ(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie.

$\omega_0=\sqrt{{{k}\over{m}}}\;$

(1.43)

Widzimy, że częstotliwość własna układu ω₀ jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie (1.42) przy oznaczeniach (1.43) piszemy jako:

$\ddot{x}+\omega_0^2x+2\beta \dot{x}=0\Rightarrow \ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0\;$

(1.44)

Do równania (1.44) podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e^λt, otrzymujemy równanie kwadratowe:

$\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2\;$

(1.45)

Rozwiązanie równania kwadratowego (1.45), wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy:

$\lambda=-{{2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over{2}}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;$

(1.46)

Silne tłumienie β>ω₀ dla oscylatora tłumionego

Rozwiązaniem równania (1.44) przy pomocy (1.46) piszemy:

$x(t)=Ae^{\lambda_1}+Be^{\lambda_2t}\;$

(1.47)

Słabe tłumienie drgań harmonicznych β<ω₀

Widzimy, ze we wzorze (1.46) otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania (1.42) przyjmuje postać:

$x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\phi\right)\;$

(1.48)

Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego

Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona γ jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego:

$x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;$

(1.49)

Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia

Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała$_{U(x)=-\int F(x)dx}\;$, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu:

${{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;$

(1.50)

Równanie (1.50) możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając:

$dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;$

(1.51)

Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako:

$U(x)=-\int Fdx=-\int(\underbrace{-kx}_{F})dx={{k}\over{2}}x^2\;$

(1.52)

Do równania (1.51) możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem (1.52), otrzymujemy:

$t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}}=t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}}= t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}x\right)\;$

(1.53)

Co równanie (1.53) możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny:

$x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k}\over{m}}(t-t_0)\right)\;$

(1.54)

Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań

Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem (1.51), to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez:

$T((E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;$

(1.55)

Patrząc na wzór (1.55) okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki:

$T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}+\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}}=\;$ $=\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{{E-U}}}}\;$

(1.56)

Dzielimy obie strony równości (1.56) przez wyrażenie zależne od α i energię całkowitą kulki$\sqrt{\alpha-E}\;$ i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do α, wtedy:

$\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dUdE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;$

(1.57)

We wzorze (1.57) zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej:

$\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}\;$

(1.58)

Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze (1.58) według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną $_{\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x}\;$:

$\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{\alpha E-\alpha U-E^2+EU}}}=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-E^2+E(\alpha+U)-\alpha U}}}=\;$ $=\int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{-\left(E-{{\alpha+U}\over{2}}\right)^2+{{((\alpha-U)^2}\over{2}} }}}=\int_U^{\alpha}{{d{{2E-\alpha-U}\over{\alpha-U}}}\over{\sqrt{1-\left({{2E-\alpha+U}\over{\alpha-U}}\right)^2 }}}=\pi\;$

(1.59)

Wzór na całkę (1.59) podstawiamy do (1.58), i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości (1.58), i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość:

$\int_0^{\alpha}{{T(E)dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)]\;$

(1.60)

Uwzględniając przypadek x₂(0)=x₁(0)=0 dla stanu równowagi, to dla α=U możemy jednocześnie zapisać x₁(U)=-x₂(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest:

$x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)dE}\over{\sqrt{U-E}}}\;$

(1.61)

Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii

Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór:

$\vec{p}=m\vec{v}\;$

(1.62)

Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem (1.62), wtedy tą zasadę piszemy według:

$\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;$

(1.63)

Zasada zachowania pędu

Równanie (1.63) opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci:

$\vec{p}=\sum_i\vec{p}_i\;$

(1.64)

Zasada zachowania momentu pędu

Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała.

$\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;$ (1.65)

$\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;$ (1.66)

Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie (1.65), a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona (1.31), a zatem do dzieła:

${{d\vec{K}}\over{dt}}=m{{d}\over{dt}}\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{v}\times\vec{v}+\vec{r}\times {{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}\;$

(1.67)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.67) możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy:

$\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;$

(1.68)

Rónanie (1.68) opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych.

Zasada zachowania energii

Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne i dysypatywne, piszemy:

$m\dot{v}=\sum_i{F}_{zi}+\sum_{i}F_{pi}\;$

(1.69)

Równanie (1.69) pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy:

$d{{mv_i^2}\over{2}}=\sum_i{F}_{zij}d\vec{r}+\sum_{i}F_{pij}d\vec{r}\;$

(1.70)

Równanie (1.70) opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą:

$dE_k=\sum_i\sum_j{F}_{zij}d\vec{r}+\sum_{i}\sum_jF_{pij}d\vec{r}\;$

(1.71)

Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć:

$\vec{F}_1d\vec{r}_1+\vec{F}_2d\vec{r}_2=\vec{F}_1d\vec{r}_1-\vec{F}_1d\vec{r}_2=\vec{F}d\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right)=\vec{F}d\vec{r}=-dU\;$

(1.72)

W obliczeniach (1.72) skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie (1.71) na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci:

$dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\;$

(1.73)

Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ, wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ.

Energia potencjalna

Ponieważ energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, wtedy z definicji różniczki energii potencjalnej można zapisać równanie, które zapisujemy po konturze C:

$\oint_L\vec{F}d\vec{r}=0\;$

(1.74)

Z definicji rotacji możemy (1.74) zapisać w postaci:

$0=\oint_L\vec{F}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{S}\;$

(1.75)

Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie (1.75), powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać:

$\operatorname{rot}{F}=0\;$

(1.76)

Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru (1.74), że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. $_{\int_A^B\vec{F}d\vec{r}}\;$ jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty:

$0=\oint\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}+\int_{B(2)}^A\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}-\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \int_{A(1)}^B\vec{F}d\vec{r}=\int_{A(2)}^B\vec{F}d\vec{r}\;$

(1.77)

Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.77), co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek (1.74) lub (1.76), to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej:

$U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec {r}}\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow dU=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}Ud\vec{r}=-\vec{F}d\vec{r}\Rightarrow\vec{F}=-\operatorname{grad}U\;$

(1.78)

Ogólnie siły, których siły nie zależą od czasu nazywamy siłami potencjalnymi konserwatywnymi, a te siły, których potencjał zależy od czasu nazywamy potencjałem nazywamy siłami niepotencjalnymi .

Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości

Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego $\vec{F}\;$, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość:

$\vec{F}=-m\vec{g}\;$

(1.79)

Zatem energia potencjalna według pierwszej równości(1.78) wektora sił ciężkości definiujemy:

$U=-\int(-m\vec{g})d\vec{r}=m\int_0^{\vec{r}}\vec{g}d\vec{r}=mgz\;$

(1.80)

Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego

Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego (1.42) możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do:

${{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}+{{kx^2}\over{2}}\right)=-2m\beta\dot{x}^2\;$

(1.81)

Wyraz stojący po prawej stronie wzoru (1.81) jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt.

Trójwymiarowy oscylator harmoniczny

Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi $\vec{r}\;$, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest:

$\vec{F}=-k\vec{r}\;$

(1.82)

Energią potencjalną (1.78) nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły (1.82) względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem.

$U=k\int^{\vec{r}}_{\vec{0}}\vec{r}d\vec{r}=k\int_0^x xdx +\int_0^yy dy+\int_0^zzdz=k\left({{1}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}y^2+{{1}\over{2}}z^2\right)=\;$ $={{1}\over{2}}k\left(x^2+y^2+z^2\right)={{1}\over{2}}k\vec{r}^2\;$

(1.83)

Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu

Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości:

$mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;$ (1.84)

${{m}\over{2}}(\dot{r}^2+r^2\dot\theta)+U(r)=E=\operatorname{const}\;$ (1.85)

Ze wzoru (1.84) możemy wyznaczyć pochodną kątową wielkości θ, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu (1.85), wtedy możemy powiedzieć:

${{m\dot{r}}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}+U(r)=E\;$

(1.86)

Równanie różniczkowe (1.86) możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy:

$dt=\pm{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;$

(1.87)

W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru (1.87) możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r₀ do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy:

$t-t_0=\pm\int^r_{r_0}{{dr}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right)}}}\;$

(1.88)

Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru (1.84) i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu:

$d\theta={{L}\over{mr^2}}dt\;$

(1.89)

Do wzoru (1.89) podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie (1.87) i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy:

$\theta-\theta_0=\pm\int_{r_0}^r{{Ldr}\over{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-{{L^2}\over{2mr^2}}\right]}}}\;$

(1.90)

W powyższym wzorze (1.90) lub we wzorze (1.88) występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest:

$U_{ef}=U(r)+{{L^2}\over{2mr^2}}\;$

(1.91)

Widzimy, że według (1.91) energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu.

Empiryczne Prawa Keplera

Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M.

Pierwsze Prawo Keplera

Graficzna interpretacja I Prawa Keplera

Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk. Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii.

$\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}$

(1.92)

Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta θ piszemy jako:

$\rho={{p}\over{1+e\cos\psi}}$

(1.93)

• gdzie stałe występujące we wzorze (1.93), w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy:

$p={{b^2}\over{a}}$ (1.94)

$c=\sqrt{a^2-b^2}$ (1.95)

$e={{c}\over{a}}\leq 1$. (1.96)

Drugie Prawo Keplera

Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.

Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy).

Trzecie Prawo Keplera

Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy:

${{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}$

(1.97)

Wyjaśnienie Drugiej Zasada Keplera

Graficzna interpretacja II Prawa Keplera

W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja:

$\vec{u}={{1}\over{2}}\left(\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}\right)$

(1.98)

Długość wektora prędkości polowej (1.98) piszemy jako:

$u={{1}\over{2}}rv\sin\beta$

(1.99)

Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie Δt, którego to definicja jest:

$\Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t \sin(\pi-\beta)\Rightarrow \Delta S={{1}\over{2}}r v\Delta t\sin\beta$

(1.100)

Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie Δt krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według:

$u={{\Delta S}\over{\Delta t}}\;$

(1.101)

Jeśli wzór (1.100) podstawimy do (1.101), to otrzymamy wzór (1.99) i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru (1.98). Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej (1.98) ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy.

$\vec{K}=\vec{r}\operatorname{x}m\vec{v}=m\vec{r}\operatorname{x}\vec{v}=2m\vec{u}$

(1.102)

A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu.

Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera

Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M

Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.

Prędkość polowa (1.98) jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem (1.84). Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych (1.26) określamy:

$F_r=ma_r=m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2\right)$

(1.103)

Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta φ

$r={{k}\over{1+\epsilon\cos\phi}}\Rightarrow{{1}\over{r}}={{1}\over{k}}\left(1+\epsilon\cos\phi\right)$

(1.104)

Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe (1.104), wtedy otrzymujemy tożsamość:

${\dot{r}\over{r^2}}={{\epsilon}\over{k}}\dot{\phi}\sin\phi$

(1.105)

Z definicji momentu pędu (1.84) możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy:

$r^2\dot{\phi}={{L}\over{m}}$

(1.106)

Tożsamość (1.105) możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór (1.106):

$\dot{r}={{\epsilon}\over{k}}r^2\dot{\phi}\sin\phi={{\epsilon L}\over{km}}\sin\phi$

(1.107)

Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie (1.107) i znów wykorzystując (1.106), w ten sposób możemy napisać tożsamość:

$\ddot{r}={{\epsilon L}\over{km}}\dot{\phi}\cos\phi={{\epsilon L^2}\over{km^2r^2}}\cos\phi$

(1.108)

Ze wzoru (1.84) wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy:

$L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\psi}={{L^2}\over{mr^2}}\Rightarrow \dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^4}}\Rightarrow r\dot{\phi}^2={{L^2}\over{m^2r^3}}$

(1.109)

Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego (1.108) oraz korzystając wzór (1.109) możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy:

$F_r={{L}\over{mr^2}}\left({{\epsilon}\over{k}}\cos\phi-{{1}\over{r}}\right)$

(1.110)

Wzór (1.104) możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F_r (1.110), w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną:

$F_r=-{{L^2}\over{kmr^2}}$

(1.111)

Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk:

$\pi ab=T{{dS}\over{dt}}=T{{r^2\dot{\phi}}\over{2}}=T{{L^2}\over{2m}}\Rightarrow T={{\pi ab}\over{{{L^2}\over{2m}}}}\Rightarrow T^2={{2\pi ab m}\over{L^2}}$

(1.112)

Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że $_{{{b^2}\over {a}}=k}\;$, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci:

${{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2a^2b^2m^2}\over{L^2a^3}}\Rightarrow {{T^2}\over{a^3}}={{4\pi^2k m^2}\over{L^2}}=const$

(1.113)

Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem:$_{f={{L^2}\over{km^2}}}$, a zatem wzór na siłę radialną (1.103) piszemy jako:

$F_r=-{{fkm^2}\over{kmr^2}}=-{{fm}\over{r^2}}$

(1.114)

Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi$_{f\sim M\Rightarrow f=GM}$, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona:

$F_r=-{{GMm}\over{r^2}}$

(1.115)

Uogólnienie trzeciej zasady Keplera

Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem $_{F={{mv^2}\over{r}}}$, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona (1.115), wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach:

$G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_1^2}\over{r_1}}$ (1.116)

$G{{Mm}\over{R^2}}={{Mv_2^2}\over{r_2}}$ (1.117)

Równania (1.116) i (1.117) możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R²r₁ i R²r₂:

$R^2r_1=Gm{{r_1^2}\over{v_1^2}}$ (1.118)

$R^2r_2=GM{{r_2^2}\over{v_2^2}}$ (1.119)

Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość $_{v={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v}}\Rightarrow {T\over{2\pi}}={{r}\over{v}}}$, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań (1.118) i (1.119), co otrzymamy następną parę równań określonych:

$R^2r_1={{T^2}\over{4\pi^2}}Gm$ (1.120)

$R^2r_2={{T^2}\over{4\pi^2}}GM$ (1.121)

Ale wiadomo, że suma promieni r₁ i r₂ jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość:

$T^2(m+M)=R^3{{4\pi^2}\over{G}}$

(1.122)

Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi:

${{T_1^2(M_1+m_1)}\over{T_2^2(M_2+m_2)}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}$

(1.123)

Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M₁>>m₁ oraz M₂>>m_2, a także M₁=M₂=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera:

${{T_1^2}\over{T_2^2}}={{a_1^3}\over{a_2^3}}$

(1.124)

Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych

Pole sił centralnych

Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego $\vec{r}\;$ działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci:

$\vec{F}=-\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}$

(1.125)

Gdzie κ jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą.

Energia potencjalna w polu sił centralnych

Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną (1.78) znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór (1.125), w takim przypadku:

$\begin{align} E_p&=W=-\int\limits^r_{\infty}\vec{F}d\vec{r}=\int\limits^r_{\infty}\left(\kappa{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}\right)d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{r}=\kappa\int\limits^r_{\infty}{{1}\over{r^2}}dr=\kappa(-1{{1}\over{r}})\bigg|^r_{\infty}=\\ &=-\kappa\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{\infty}}\right)=-\kappa{{1}\over{r}} \end{align}$

(1.126)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.126) możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego:

$E_p=-\kappa{{1}\over{r}}$

(1.127)

Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach

Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem (1.127), zatem całkowita energia:

$E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\phi}^2}\over{2}}-{{\kappa}\over{r}}$

(1.128)

Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta φ względem czasu, jest:

$L=mr^2\dot{\phi}\Rightarrow\dot{\phi}={{L}\over{mr^2}}$

(1.129)

Do wzoru na energią całkowitą ciała (1.127) podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu (1.128):

$E={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{L^2}\over{2mr^2}}-{{\kappa}\over{r}}$

(1.130)

A teraz weźmy podstawienie:$r={{1}\over{s}}$, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy:

$\dot{r}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}\dot{\phi}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{mr^2}}=-{{1}\over{s^2}}{{ds}\over{d\phi}}{{L}\over{m}}s^2=-{{L}\over{m}}{{ds}\over{d\phi}}\Rightarrow\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'$

(1.131)

Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie (1.131) na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle:

$E={{m}\over{2}}{{L^2}\over{m^2}}s'^2+{{L^2}\over{2m}}s^2-\kappa s\Rightarrow E={{L^2}\over{2m}}\left(s'^2+s^2\right)-\kappa s$

(1.132)

Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe (1.132) względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$0={{L^2}\over{2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'$

(1.133)

Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie (1.133), z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu:

${{L^2}\over{m}}\left(s''+s\right)=\kappa\Rightarrow s''+s={{\kappa m}\over{L^2}}$

(1.134)

Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego (1.134) w postaci funkcji zależnych od stałych A i B:

$s=A \sin\phi+B\cos\phi+{{\kappa m}\over{L^2}}$

(1.135)

Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną $_{{{ds}\over{d\phi}}|_{\phi}=0}\;$, co dla tego punktu wykorzystując fakt (1.135), stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi:

$A \cos\phi+B\sin\phi|_{\phi=0}=0\;$

(1.136)

Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie (1.135) piszemy:

$s={{1}\over{r}}={{1}\over{k}}(1+\epsilon \cos\phi)\;$

(1.137)

Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch.

$k={{L^2}\over{\kappa m}}\;$

(1.138)

Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach

Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem (1.137), w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej φ, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie:

$s'=-{{\epsilon}\over{k}}\sin\phi$

(1.139)

Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie (1.131) podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta φ, mamy:

$\dot{r}=-{{L}\over{m}}s'={{L\epsilon}\over{mk}}\sin\phi={{L\epsilon\kappa m}\over{mL^2}}\sin\phi={{\epsilon\kappa}\over{L}}\sin\phi$

(1.140)

A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie (1.130), do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu (1.140), która z kolei zależy od zmiennej kątowej:

$E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{L^2}\over{2m}}{{\kappa^2m^2}\over{L^4}}(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi)-{{\kappa^2 m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)$ $E={{m\epsilon^2\kappa^2}\over{2L^2}}\sin^2\phi+{{m\kappa^2}\over{2L^2}}\left(1+\epsilon^2\cos^2\phi+2\epsilon\cos\phi\right)-{{\kappa^2m}\over{L^2}}(1+\epsilon\cos\phi)$ $E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)$

(1.141)

Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości ε i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru.

• Gdy $\epsilon<1\Rightarrow E<0$ - to równaniem toru jest elipsa.
• Gdy $\epsilon=1\Rightarrow E=0$ - to równaniem toru jest parabola
• Gdy $\epsilon>1\Rightarrow E>1$ - to równaniem toru jest hiperbola

Pole grawitacyjne

Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły $\vec{F}\;$, którego siła radialna jest określona wzorem (1.108), piszemy w postaci wektorowej:

$\vec{F}=-G{{mM}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}$

(1.142)

Masa grawitacyjna i bezwładna

Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona $\vec{F}=m_b\vec{a}\;$, nazwijmy ją:$m_b\;$, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:$m_g\;$, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.:$m_g=km_b\;$, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można to uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej $G\;$ równą:$G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^2}\over{kg^2}}\;$. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć $m_b=m_g=m\;$, czyli oznaczać je będziemy jako $m\;$.

Natężenie pola grawitacyjnego

Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie:

$\vec{E}={{\vec{F}}\over{m}}$

(1.143)

Korzystając z definicji siły grawitacyjnej (1.142), to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według (1.143) piszemy:

$\vec{E}=-G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}$

(1.144)

Energia ciała w polu grawitacyjnym

Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia$\vec{r}$, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji:

$W=\int\limits^{r}_{\infty}(-\vec{F}d\vec{r})$

(1.145)

Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy:

$\vec{F}=F\vec{e}_r$ (1.146)

$\vec{r}=r \vec{e}_r$ (1.147)

A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się:

$E_p=W=\int\limits^{r}_{\infty} Fdr=\int\limits^{r}_{\infty}{{GMm}\over{r^2}}dr=GMm\int\limits^{r}_{\infty} r^{-2}dr= \lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm[-{{1}\over{r}}]^r_{r_0}=\;$ $=\lim_{r_0\rightarrow \infty}GMm\left(\left(-{{1}\over{r}}\right)-\left(-{{1}\over{r_0}}\right)\right)=-{{GMm}\over{r}}$

(1.148)

Potencjał ciała w polu ciężkości

Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie (1.148), jest ona określona jako:

$\phi={{E_p}\over{m}}={{-{{GMm}\over{r}}}\over{m}}=-{{GM}\over{r}}$

(1.149)

Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego

Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie (1.149), co piszemy:

${{d\phi}\over{d\vec{a}}}=\nabla\phi \vec{a}$

(1.150)

Jeśli wektor $\vec{a}\;$ jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia (1.150) będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego (1.149) i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem (1.144), co po tych rozważaniach wzór (1.150) przyjmuje postać:

$\vec{E}\vec{a}=-\operatorname{grad}\phi \vec{a}\Rightarrow\vec{E}=-\operatorname{grad}\phi$

(1.151)

Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym

Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne $_{\vec{g}}\;$ poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie (1.144), zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R₀ i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R₀,

$\phi=-{{GM}\over{R}}=-{{GM}\over{R_0+h}}=-{{GM}\over{R_0\left(1+{{h}\over{R_0}}\right)}}\simeq-{{GM}\over{R_0}}\left( 1-{{h}\over{R_0}}\right)=\;$ $=-{{GM}\over{R_0}}+{{GM}\over{R^2_0}}h=\phi_0+gh$

(1.152)

Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona:

$E_p=m\phi=m\phi_0+mgh=mgh+const\;$

(1.153)

A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi:

$E_p=mgh\;$

(1.154)

Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego

Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość:

$\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_V \operatorname{div} \vec{E}dV$

(1.155)

Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej $d\vec{S}\;$ nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy $_{\vec{r}||d\vec{\vec{S}}}\;$, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego:

$\oint_S \vec{E}d\vec{S}=\oint_S -G{{M}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}d\vec{S}\Rightarrow \oint_S\vec{E}d\vec{S}=-\oint_S G{{M}\over{r^2}}dS=GM4\pi {r^2\over{r^2}}=GM4\pi=4\pi GM$

(1.156)

Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie (1.156) obliczeń:

$\oint_S \vec{E}d\vec{S}=4\pi G M\;$

(1.157)

Jeśli wykorzystamy wzór (1.157), którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt (1.145), to:

$\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi GM$

(1.158)

Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości:

$M=\oint_V\rho dV$,

(1.159)

• gdzie ρ to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z).

Wiadomo, że zachodzi na pewno z (1.159):

$-4\pi G M=\oint_V 4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint_V \rho dV$

(1.160)

Wzór (1.160) możemy podstawić do lewej strony równości (1.158), w ten sposób:

$\oint_V \operatorname{div}\vec{E}dV=-4\pi G\oint_V\rho dV$

(1.161)

Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację:

$\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi G\rho$

(1.162)

Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego

Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego (1.143), w wyniku obliczeń mamy:

$\operatorname{div}\vec{E}=-\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=-\nabla^2\varphi=-\Delta\varphi$

(1.163)

Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie (1.163) podstawimy do lewej strony wzoru (1.162), to w ostatecznych rozrachunkach:

$-\Delta\varphi=-4\pi G\rho\Rightarrow \Delta\varphi=4\pi G\rho$

(1.164)

Cyrkulacja pola grawitacyjnego

Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy $\vec{E}\perp d\vec{l}$ i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy:

$\oint_{L}\vec{E}d\vec{l}=0$

(1.165)

Do wzoru (1.165) zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór:

$\oint_L\operatorname{rot}\vec{E}d\vec{S}=0\;$

(1.166)

Ponieważ równanie (1.166) jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest:

$\operatorname{rot} \vec{E}=0$

(1.167)

Gdy wzór (1.151), który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do (1.167), to w rezultacie otrzymujemy:

$\operatorname{rot}\vec{E}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=\nabla\times(\nabla\cdot\varphi)=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\varphi= {{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=\;$ $={{1}\over{2}}\left(\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_k\nabla_j\right)\varphi=0\;$

(1.168)

Definicja natężenia pola grawitacyjnego (1.151) załatwia prawo (1.167), który staje się tożsamością dla naszego przypadku.

Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał (1.91) dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem (1.148), zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci:

$U_{ef}={{L^2}\over{2mr^2}}-{{GMm}\over{r}}\;$

(1.169)

Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną.

Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej

Transformacje Galileusza

Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez:

$\begin{cases} x^'=x-Vt\\ y^'=y\\ z^'=z\\ t^'=t\end{cases}$

(1.170)

Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia.

Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według:

$\begin{cases} v_x^'=v_x-V\\ v_y^'=v_y\\ v_z^'=v_z\end{cases}\;$

(1.171)

Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia.

Wirująca karuzela

Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona:

$F_{\rho}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}\right)\;$ (1.172)

$F_{\phi}=m\left(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\phi}\right)\;$ (1.173)

Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego φ i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu ω, te wzory napisane są:

$\phi=\omega t+\phi^'\;$ (1.174)

$\dot{\phi}=\omega+\dot{\phi^'}\;$ (1.175)

$\ddot{\phi}=\ddot{\phi^'}\;$ (1.176)

Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem (1.172) przy wykorzystaniu wzoru (1.174):

$F_r=m\left[\dot{\rho}^'-\rho^'(\omega+\dot{\phi^'})^2\right]\Rightarrow m\left(\dot{\rho}^'-\rho^'\dot{\phi^'}\right)=F_r^'+2m\omega\rho^'\dot{\phi}^'+m\omega^2\rho^'\;$

(1.177)

A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem (1.173) przy wykorzystaniu wzorów (1.175) i (1.176):

$F_{\phi}=m\left[\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right]\Rightarrow m\left(\rho^'\ddot{\phi}^'+2\dot{\rho}^'\dot{\phi}^'\right)=F_{\phi}^'-2m\omega\dot{\rho}^'\;$

(1.178)

We wzorze (1.177) i we wzorze (1.177) pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości.

Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego

Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem:

$\vec{r}^*=\vec{r}_0+\vec{r}\;$

(1.179)

Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy:

$\vec{r}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z\;$

(1.180)

Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie (1.179) i definicji położenia w nowym układzie odniesienia (1.180), określamy:

$\vec{v}^*=\vec{v}_0+{{dx}\over{dt}}\vec{i}+{{dy}\over{dt}}\vec{j}+{{dz}\over{dt}}\vec{k}+x{{d\vec{i}}\over{dt}}+y{{d\vec{j}}\over{dt}}+z{{d\vec{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{r}\;$

(1.181)

W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości:

${{\vec{i}}\over{dt}}=\omega\times\vec{i}\;$ (1.182)

${{d\vec{j}}\over{dt}}=\omega\times\vec{j}\;$ (1.183)

${{d\vec{k}}\over{dt}}=\omega\times\vec{k}\;$ (1.184)

Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków (1.182), (1.183) i (1.184), zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy:

$\vec{a}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}_w+\vec{\omega}\times\vec{v}+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}=\vec{a}_0+\vec{a}_w+2\vec{\omega}\times\vec{v}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;$

(1.185)

Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy:

$\vec {a}_c=2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w}\;$ (1.186)

$\vec{a}_u=\vec{a}_0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+{{d\vec{\omega}}\over{dt}}\times\vec{r}\;$ (1.187)

Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia (1.187), Coriolisa (1.186), a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych.

Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych

Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory:

$\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\;$

(1.188)

Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości (1.188) wykorzystując przy tym fakt (1.182), (1.183), (1.184), a także twierdzenie o pochodnej iloczynu:

${{d\vec{A}}\over{dt}}={{dA_x}\over{dt}}\vec{i}+{{dA_y}\over{d t}}\vec{j}+{{dA_z}\over{d t}}\vec{k}+{{d\vec{i}}\over{dt}}A_x+{{d\vec{j}}\over{dt}}A_y+{{d\vec{k}}\over{dt}}A_z=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;$

(1.189)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.189) możemy napisać pochodną czasową wielkości $\vec{A}\;$ przepisując końcowy wynik obliczeń:

${{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}+\vec{\omega}\times\vec{A}\;$

(1.190)

Widzimy, że licząc pochodną wektorowej wielkości (1.188) należy skorzystać ze wzoru (1.190), gdy wektor $_{\vec{A}}\;$ jest równoległy do prędkości kątowej $_{\vec{\omega}}\;$ dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi $_{{{d\vec{A}}\over{dt}}=\dot{\vec{A}}}\;$.

Problem zderzenia cząstek

Będziemy tutaj rozpatrywali rozpad cząstki spoczywającej na dwie cząstki o pędach o takim samym kierunku, wartości, ale przeciwnych zwrotach, oraz zderzeniem doskonale sprężystym, rozpraszaniem cząstek na potencjale, a także będziemy się zajmowali wyprowadzali wzór Rutherforda, i na samym końcu podamy opis rozpraszania pod małym kątem.

Wstęp do opisu rozpadu cząstek

Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy, po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką sama wartość pędu równą p₀. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E_w a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E_1w, E_2w, wtedy energetyczne prawo rozpadu jest:

$E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;$

(2.1)

Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie, określamy ją poprzez:

$\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;$

(2.2)

Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p₀, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej (5.66):

$\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;$

(2.3)

Z równości (2.2) możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v₀₁=p₀/m₁, v₀₂=p₀/m₂. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie $\vec{V}\;$. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest $\vec{v}\;$ i $\vec{v}_0\;$. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie $\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;$, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy:

$v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;$

(2.4)

Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy

Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v₀ i dla V>v₀. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ_max, którego sinus:

$\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;$

(2.5)

Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ₀ liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą, w ten sposób możemy powiedzieć:

$\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;$

(2.6)

Równość (2.6) możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej, w ten sposób otrzymujemy:

$\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=\;$ $=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;$

(2.7)

Wyrazy występujące w równaniu (2.7) grupujemy po lewej stronie tejże równości, w ten sposób mamy:

$v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;$

(2.8)

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego), który jest napisany wzorem:

$\Delta=4v_0^2V^2\operatorname{tg}^4\theta-4v_0^2(\operatorname{tg}^2\theta+1)(V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2)=\;$ $=4v_0^2V^2\operatorname{tg}^4\theta-4v_0^2(V^2\operatorname{tg}^4\theta-v_0^2\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2)= -4v_0^2\left(-v^2_0\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2+V^2\operatorname{tg}^2\theta\right)=\;$ $=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;$

(2.9)

Całkowite rozwiązanie na cosθ₀, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu (2.9), jest napisane:

$\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;$

(2.10)

Jak widać według rysunku obok dla V<v₀ we wzorze (2.10) musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ₀, to rozwiązanie powinno być dla naszego przypadku jednoznaczne. Dla V>v₀ rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ₀ dla jednego θ. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ₀/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ, to mamy dσ₀=2πsinθ₀dθ₀, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu jest:

${{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;$

(2.11)

W układzie laboratoryjnym można napisać związek wychodząc od $\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;$, który zróżniczkujemy, mamy:

$v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;$

(2.12)

Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv²/2, która mieści się w przedziale od T_min=m(v₀-V)²/2 do T_min=m(v₀+V)²/2, wtedy nasz wzór na rozkład (2.11) ze względu na energię T przyjmuje postać:

${{dT}\over{2mv_0V}}\;$

(2.13)

Możemy wykorzystać wzór (2.3), który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej:

$T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;$

(2.14)

Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek

Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie towarzyszą im przemiany wewnętrzne, zatem te przemiany możemy pominąć i ich nie uwzględniać. Prędkość środka masy możemy przestawić przy pomocy prędkości cząstek przed zderzeniem jako:

$\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;$

(2.15)

Prędkości cząstek w układzie środka masy cząstki o masie m₁ i o masie m₂ przy oznaczeniu $\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2\;$ przedstawiamy:

$\vec{v}_{10}=\vec{v}_1-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;$ (2.16)

$\vec{v}_{20}=\vec{v}_2-{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}\;$ (2.17)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu w układzie środka masy możemy przestawić z definicji pędu klasycznego:

$\vec{p}_{10}=m\vec{v}\;$ (2.18)

$\vec{p}_{20}=-m\vec{v}\;$ (2.19)

W układzie środka masy z zasady zachowania energii możemy napisać, biorąc pod uwagę, że pędy cząstek po zderzeniu mają ten sam kierunek, takie same wartości, ale przeciwne zwroty:

$E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)\Rightarrow E={{{p^'}^2}\over{2m}}\Rightarrow {p^'}_{0}=\sqrt{2Em}\;$

(2.20)

Wyznaczmy czemu są równe pędy cząstek przez zderzeniem, znając ich wartości przed zderzeniem, wtedy musimy policzyć wyrażenie:

$2Em=2m\left({{p^2_0}\over{2m_1}}+{{p^2_0}\over{2m_1}}\right)=p^2_0\;$

(2.21)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.21) możemy powiedzieć, że pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, zatem oznaczmy kierunek, w którym te dwie cząstki zostają rozproszone przez $\vec{n}\;$(który jest wektorem jednostkowym) dla cząstki pierwszej, ten kierunek i zwrot musi uwzględniać to by cząstki przed i po zderzeniu nie przeszły przez siebie, a także składowa równoległa dla pierwszej cząstki powinna mieć zwrot przeciwny niż pęd naszej badanej cząstki przed zderzeniem, wtedy prędkości cząstek po zderzeniu dla cząstki pierwszej i drugiej określamy przez:

$\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}\;$ (2.22)

$\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}\;$ (2.23)

Prędkości cząstek po zderzeniu możemy określić w układzie laboratoryjnym, dla którego prędkość środka masy jest wyrażona poprzez (2.15), jest ona wyrażona poprzez prędkości cząstek po zderzeniu:

$\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (2.24)

$\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+{{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (2.25)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu możemy określić z definicji pędu według przestawień (2.24) i (2.25):

$\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;$ (2.26)

$\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;$ (2.27)

Doskonale sprężyste zderzenie

Zakładamy, że na rysunkach obok zachodzą następujące tożsamości:

• tożsamość na promień naszej rozważanej kuli:

$\vec{OC}=mv\vec{n}\;$

(2.28)

• tożsamość na wektor odcinka $\vec{AO}\;$:

$\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;$

(2.29)

• tożsamość na wektor odcinka $\vec{OB}\;$:

$\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\;$

(2.30)

Wzór na wektor odcinka AB możemy przestawić jako sumę z wektorów $\vec{AO}\;$(2.29) i $\vec{OB}\;$(2.30) i jak można łatwo udowodnić jest ona równa sumie pędów dwóch cząstek przed zderzeniem, tzn. $_{\vec{p}_1+\vec{p}_2}\;$. Stosunek długości odcinków AO i OB, jak można udowodnić na podstawie AO (2.29) i OB (2.30), jest równy:

${{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}\;$

(2.31)

Teraz będziemy zakładać, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Z rysunków napisanych obok możemy napisać tożsamość na tangens kąta θ₁ zależącą od kąta χ który jest:

$\operatorname{tg}\theta_1={{mv\sin\chi}\over{mv\cos\chi+{{m_1}\over{m_1+m_2}}m_1v}}={{mv\sin\chi}\over{mv\cos\chi+{{m}\over{m_2}}m_1v }}={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}\;$

(2.32)

Z tego samego rysunku co poprzednio możemy wywnioskować, że tangens kąta θ₂ zależącą od kąta χ jest:

$\operatorname{tg}\theta_2={{mv\sin\chi}\over{{{m_2}\over{m_1+m_2}}p_1-mv\cos\chi}}={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}\;$

(2.33)

Weźmy teraz zdefiniowany kąt $\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}\;$, z którego możemy wyznaczyć χ równą χ=π-2κ, to podstawmy do prawej strony równania (2.33), wtedy zobaczymy co wyjdzie:

${{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}={{\sin 2\kappa}\over{1+\cos 2\kappa}}={{2\sin\kappa\cos\kappa}\over{1+\cos^2\kappa-\sin^2\kappa}}= {{2\sin\kappa\cos\kappa}\over{2\cos^2\kappa}}={{\sin\kappa}\over{\cos\kappa}}=\operatorname{tg}\kappa\;$

(2.34)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.34) dla podstawienia κ, (2.33) dochodzimy do wniosku, że związek pomiędzy kątami θ₂ i χ jest:

$\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}\;$

(2.35)

Wyznaczmy teraz prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu z twierdzenia kosinusów patrząc na powyższy rysunek w tym rozdziale:

${p_1^'}^2=m^2v^2+{{m_1^4}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+2mv{{m^2_1}\over{m_1+m_2}}v\cos\chi=m_1^2{v_1^'}^2\Rightarrow\;$ $\Rightarrow {v_1^'}^2={{m_2^2}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+{{m_1^2}\over{(m_1+m_2)^2}}v^2+{{2m_1m_2v^2\cos\chi}\over{(m_1+m_2)^2}}\Rightarrow v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}$

(2.36)

A także patrząc na ten sam rysunek prędkość drugiej cząstki wyrażamy przy pomocy twierdzenia kosinusów:

${p_2^'}^2=m^2v^2+{{m_1^2m_2^2v^2}\over{(m_1+m_2)^2}}-2mv{{m_1m_2}\over{(m_1+m_2)}}\cos\chi=m^2v^2\left(2-2\cos\chi\right)=\;$ $= 4m^2v^2\sin^2{{\chi}\over{2}}=m_2^2{v_2^'}^2\Rightarrow v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}\;$

(2.37)

Patrząc na rysunki powyżej dowiadujemy się, że dla m₁<m₂, że θ₁+θ₂>π/2, a dla m₁>m₂ mamy θ₁+θ₂<π/2. Jeśli będziemy rozpatrywali cząstki pędzące w jednej linii, wtedy pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem, wtedy χ=π, to prędkości cząstek po zderzeniu są sobie równe na podstawie wzorów (2.36) i (2.37):

$\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;$ (2.38)

$\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}\;$ (2.39)

Energia maksymalna jaką druga cząstka może posiadać, gdy ta cząstka początkowo spoczywała, jest napisana przy definicji prędkości (2.39) względem prędkości cząstki pierwszej:

$E_{2max}={{m_2{v_{2max}^'}^2}\over{2}}={{4m_1^2m_2}\over{2(m_1+m_2)^2}}v^2={{4m_1m_2}\over{m_1+m_2}}E_1\;$

(2.40)

Gdy m₁<m₂ prędkość pierwszej cząstki przed zderzeniem może mieć dowolny kierunek, a dla m₁>m₂ już nie ma dowolnego kierunku, maksymalną wartość kąta θ, który przyjmuje ona w tym przypadku jest taki, by kąt BAC był kątem prostym:

$\sin\theta_{1max}={{OC}\over{OA}}={{mv}\over{ {{m_1}\over{m_1+m_2}}m_1v }}={{m_2}\over{m_1}}\;$

(2.41)

Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek

Gdy mamy jednakowe masy cząstek, tzn. zachodzi m₁=m₂, wtedy na pewno zachodzi (2.35), a także (2.32), w którym możemy tak poskracać jednakowe masy, by zachodziło:

$\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}\;$

(2.42)

Weźmy sobie teraz κ=1/2χ z którego wynika 2κ=χ, w ten sposób przekształćmy prawą stronę równości (2.42), i zobaczymy co wyjdzie:

${{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}={{\sin 2\kappa}\over{1+\cos 2\kappa}}={{2\sin \kappa\cos\kappa}\over{1+2cos^2\kappa-1}}=\;$ $={{\sin\kappa}\over{\cos\kappa}}=\operatorname{tg}\kappa\;$

(2.43)

Według obliczeń (2.43) i zachodzącej tożsamości (2.42) możemy dojść do wniosku:

$\theta_1={{1}\over{2}}\chi\;$

(2.44)

Posługując się udowodnionymi tożsamościami (2.36) i (2.37), dostajemy wzory na prędkości cząstek po zderzeniu w zależności od kata χ i wartości prędkości cząstki pierwszej przed zderzeniem:

$v_1^'=v\cos{{1}\over{2}}\chi\;$ (2.45)

$v_2^'=v\sin{{1}\over{2}}\chi\;$ (2.46)

Rozpraszanie cząstek na potencjale

Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności

Tożsamość całkową (1.90) możemy przepisać dla przejrzystości wykładu, pamiętając przy okazji, ze w tej tożsamości występuje minus przed nasza całką, bo rozpatrujemy malejące położenia radialne cząstki, co prowadzi do tożsamości całkowej:

$\theta_0=-\int_{\infty}^{r_{min}}{{{{L}\over{r^2}}dr}\over{\sqrt{2m(E-U)-{{L^2}\over{r^2}}}}}\;$

(2.47)

Jeśli będziemy badać ruch nieskończony wygodnie jest posługiwać innymi wielkości "E" i "L", tzn. zastąpimy je wielkościami v_∞, która jest prędkością cząstki w nieskończoności i przez ρ jest parametrem określającym odległość toru centrum pola od asymptoty dla orbity, jak by pole nie występowało. Te wspomniane wielkości możemy zdefiniować poprzez wielkości:

$E={{1}\over{2}}mv_{\infin}^2\;$ (2.48)

$M=m\rho v_{\infin}\;$ (2.49)

Wzory (2.48) i (2.49) podstawiamy do (2.47) i otrzymujemy następującą całkę przy zdefiniowanych parametrach v_∞ i ρ:

$\theta_0=\int^{\infty}_{r_{min}}{{ {{\rho}\over{r^2}}dr }\over{ \sqrt{1-{{\rho^2}\over{r^2}}-{{2U}\over{mv_{\theta}^2}} } }}\;$

(2.50)

Zwykle mamy do czynienia z wiązką cząstek, które poszczególne cząstki mają różne parametry zderzenia, a zatem rozpraszają się one z różnymi kątami χ, które mają jednakowe prędkości równe $\vec{v}_{\infty}\;$. Oznaczmy dN liczbę cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ, jest ona niewygodna do opisywania procesu rozpraszania i dlatego wprowadza się związek:

$d\sigma={{dN}\over{n}}\;$

(2.51)

• gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących przez jednostkę powierzchni prostopadłych do biegu rozważanych cząstek, zakładamy przy okazji, że wiązka jest jednorodna.

Stosunek (2.51) ma wymiar powierzchni i nazywamy go przekrojem czynnym na rozpraszanie. Zakładamy, że pomiędzy wielkościami χ i ρ istnieje jednoznaczny związek, czyli dla kątów rozpraszania χ i χ+dχ istnieje przedział na parametry zderzenia równą ρ(χ) i ρ(χ)+dρ(χ). Przekrój czynny, który oznaczymy poprzez χ, jest równy:

$d\sigma=2\pi\rho d\rho=2\pi\sigma(\chi)\left|{{d\rho(\chi)}\over{d\chi}}\right|d\chi\;$

(2.52)

We wzorze posługiwaliśmy się wartością bezwzględną pochodnej dρ/dχ, która ma zazwyczaj wartość ujemną. Zazwyczaj zamiast kąta χ zwykle odnosimy się od zależności od kąta bryłowego według do=2πsinχdχ, który to podstawimy do wzoru (2.52), mamy:

$d\sigma={{\rho(\chi)}\over{\sin\chi}}\left|{{d\rho}\over{d\chi}}\right|do\;$

(2.53)

Można powiedzieć, że wzór (2.52) określa przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania w układzie środka masy, dla której χ, którą jest θ₁ dla cząstek padających lub θ₂ dla cząstek pierwotnie spoczywających, wtedy taki związek możemy wyrazić poprzez tożsamość (2.32) lub poprzez (2.35).

Wyprowadzenie wzoru Rutherforda

Weźmy sobie pod ostrzał wzór (2.50), do którego dokonamy podstawienia u=1/r, w ten sposób wzór możemy napisać przy definicji potencjału U=α/r, który opisuje pole kulistosymetryczne, wtedy kąt z jaką cząstka w tym polu wychodzi na zewnątrz jest opisywana:

$\phi_0=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{\rho du}\over{\sqrt{1-\rho^2u^2-{{2\alpha u}\over{mv_{\infty}^2}} }}}=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{\rho du}\over{\sqrt{-\rho^2\left(u+{{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}}\right)^2+{{ {{4\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4}}+4\rho^2}\over{4\rho^2}} }}}=\;$ $=-\int_0^{{{1}\over{r_{min}}}}{{ du}\over{\sqrt{-\left(u+{{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}}\right)^2+{{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^2\rho^2}}+{{1}\over{\rho^2}} }}}=\;$ $=-\int^0_{{{1}\over{r_{min}}}}{{d{{u}\over{ \sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}} }}}}\over{\sqrt{1-\left({{u}\over{\sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}}}}}+{{ {{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^2}} }\over{\sqrt{\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho^4}}\right)^2+{{1}\over{\rho^2}}} }}\right)^2 }}}=\operatorname{arccos}{{ {{\alpha}\over{mv^2_{\infty}\rho}}}\over{\sqrt{1+\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2\rho}}\right)^2}}}$

(2.54)

Patrząc na przeprowadzone obliczenia (2.54), stąd wywnioskujemy, że zachodzi równość na zależność kwadratu parametru zderzenia ρ i kąta θ₀, do którego podstawimy wzór wynikający z (2.35), którym zamiast θ₂ jest tutaj θ₀:

$\operatorname{ctg}^2\theta_0={{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4\rho^2}}\Rightarrow \rho^2={{\alpha^2}\over{m^2v_{\infty}^4}}\operatorname{tg}^2\theta_0\Rightarrow \rho^2={{\alpha^2}\over{m^2v^4_{\infty}}}\operatorname{ctg}^2{{\chi}\over{2}}\;$

(2.55)

Wyrażenie (2.55) różniczkujemy względem χ obustronnie i wynik podstawiamy do końcowego wzoru (2.52), w ten sposób otrzymujemy końcowy wynik względem zmiennej χ, a także względem kąta bryłowego:

$d\sigma=\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\cos{{1}\over{2}}\chi}\over{\sin^3{{\chi}\over{2}}}}d\chi\;$ (2.56)

$d\sigma=\left({{\alpha}\over{2mv_{\infty}^2}}\right)^2{{do}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\chi}}\;$ (2.57)

Wzór (2.57) opisuje przekrój czynny w układzie środka masy, aby przejść do układu laboratoryjnego należy zastosować wzór (2.35), który przedstawimy jako χ=π-2θ₂, w ten sposób:

$d\sigma_2=2\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\sin\theta_2}\over{\cos^3\theta_2}}=\left({{\alpha^2}\over{mv^2_{\infty}}}\right)^2{{do_2}\over{\cos^3\theta}}\;$

(2.58)

W ogólnym przypadku przejście do układu laboratoryjnego prowadzi do bardzo skomplikowanej zależności, zatem rozpatrzmy jego szczególne przypadki. Jeśli według wzoru (2.32) masa cząstki m₂ jest o wiele większa niż masa cząstki m₁, to wtedy zachodzi χ≈θ₁ i m≈m₁, wtedy przekrój czynny (2.58) ma się:

$d\sigma_1=\left({{\alpha}\over{4E_1}}\right)^2{{do_1}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\chi}}\;$

(2.59)

Jeśli masy obu cząstek są jednakowe, tzn. m₁=m₂, m=m₁/2, to zgodnie z (2.44) prowadzi to do tożsamości:

$d\sigma_1=2\pi\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2{{\cos\theta_1}\over{\sin^3\theta_1}}d\theta_1=\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2{{\cos\theta_1}\over{\sin^4\theta_1}}do_1\;$

(2.60)

Jeśli dwie nasze cząstki nie można rozróżnić, to całkowity przekrój na zderzenie obu cząstek jest sumą przekrojów czynnych (2.58) i (2.60):

$d\sigma=\left({{\alpha}\over{E_1}}\right)^2\left({{1}\over{\sin^4\theta}}+{{1}\over{\cos^4\theta}}\right)\cos\theta do\;$

(2.61)

Rozważmy teraz przypadek ogólny (2.56), który opisuje cząstki dla ich różnych mas, którego przestawienie jest napisane przy pomocy wzoru (2.37) dla drugiej cząstki początkowo będącej w spoczynku, i dla pierwszej cząstki poruszająca się z prędkością v_∞, wzór na prędkość drugiej cząstki po zderzeniu jest napisane poprzez:

$v_2^'={{2m_1}\over{m_1+m_2}}v_{\infty}\sin{{\chi}\over{2}}\;$

(2.62)

Energia kinetyczna cząstki drugiej po zderzeniu możemy przestawić z jej definicji na podstawie prędkości tejże cząstki (2.62), i policzmy też jego różniczkę w tej samej linijce, wtedy te wzory przedstawiamy:

$\epsilon={{m_2{v_2^'}^2}\over{2}}={{2m^2}\over{m_2}}v_{\infty}^2\sin^2{{\chi}\over{2}}\;$ (2.63)

$d\epsilon={{2m^2}\over{m_2}}v_{\infty}^2\sin{{\chi}\over{2}}\cos{{\chi}\over{2}}d\chi\;$ (2.64)

Wzory (2.63) i (2.64) podstawiamy do ogólnego równania na przekrój czynny (2.56), w ten sposób otrzymujemy:

$d\sigma=\pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{\sin{{1}\over{2}}\chi\cos{{1}\over{2}}\chi}\over{\sin^4{{1}\over{2}}\chi}}= \pi\left({{\alpha}\over{mv_{\infty}^2}}\right)^2{{d\epsilon m_2}\over{2m^2v_{\infty}^2}}{{4m^4v_{\infty}^4}\over{m_2^2\epsilon^2}}=2\pi{{\alpha^2}\over{m_2v_{\infty}^2}}{{d\epsilon}\over{\epsilon^2}}\;$

(2.65)

Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych katów

Będziemy rozpatrywać te zderzenia, które charakteryzują się dużym parametrem zderzenia, wtedy katy rozproszenia są zazwyczaj małe. Sinus kąta rozproszenia jest mały i jest napisany wzorem:

$\sin\theta_1={{p^'_{1y}}\over{p_1^'}}\;$

(2.66)

Początkowo cząstka miała pęd równy p₁ i wyniku oddziaływania z pewnym polem nabyła pędu prostopadłego do poprzedniej wartości pędu równą p'_1y. Powyżej będziemy rozpatrywali małe katy rozproszenia w układzie laboratoryjnym, a nie w układzie środka masy. Dla małych kątów rozproszenia możemy zastąpić oczywiście sinθ₁ przez θ₁, a w mianowniku należy zastąpić p'₁ przez m₁v_∞, co w takim wypadku mamy w przybliżeniu:

$\theta_1\simeq{{p_{1y}^'}\over{m_1v_{\infty}}}\;$

(2.67)

Ponieważ zachodzi $\dot{p}_y=F_y\;$, wtedy całkowity przyrost pędu w kierunku osi igrekowej, zakładając jednocześnie, że pęd igrekowy początkowy był równy zero, jest wyrażony poprzez:

$p_{1y}^'=\int_{-\infty}^{\infty}F_ydt\;$

(2.68)

Współrzędną igrekową zdefiniowaną poprzez potencjał względem współrzędnej igrekowej pola, którą piszemy jako pochodną potencjału względem współrzędnej radialnej i innych parametrów, piszemy:

$F_y=-{{\partial U}\over{\partial y}}=-{{d U}\over{dr}}{{\partial r}\over{\partial y}}=-{{d U}\over{dr}}{{y}\over{r}}\;$

(2.69)

W naszych obliczeniach należy oczekiwać, że cząstka niewiele odchyliła się od swego biegu, czyli porusza się ona ruchem prawie prostoliniowym, wtedy mamy y=ρ. a dt możemy wyrazić poprzez prędkość w nieskończoności v_∞ i różniczkę położenia iksowego, wtedy te wzory:

$F_y=-{{dU}\over{dr}}{{\rho}\over{r}}\;$ (2.70)

$dt={{dx}\over{v_{\infty}}}\;$ (2.71)

Wzór na całkowite siłę igrekową (2.70) i różniczkę czasu (2.71) podstawiamy do wzoru na całkowity przyrost pędu igrekowego (2.68), w ten sposób:

$p_{1y}^'=-{{\rho}\over{v_{\infty}}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dU}\over{dr}}{{dx}\over{r}}\;$

(2.72)

Z definicji promienia radialnego możemy wyrazić x, a potem przyrost dx w zależności od położenia radialnego "r" i parametru zdarzenia ρ w postaci:

$r^2=x^2+\rho^2\Rightarrow x=\sqrt{r^2-\rho^2}\Rightarrow dx={{rdr}\over{\sqrt{r^2-\rho^2}}}\;$

(2.73)

Końcowy wzór (2.73) podstawiamy do (2.72), a to wzoru (2.67), w ten sposób otrzymujemy tożsamość na kąt θ₁ w zależności od parametru zdarzenia ρ:

$\theta_1=-{{2\rho}\over{m_1v^2_{\infty}}}\int^{\infty}_{\rho}{{dU}\over{dr}}{{dr}\over{\sqrt{r^2-\rho^2}}}\;$

(2.74)

Mając znany potencjał U możemy wyznaczyć zależność θ₁ od ρ, co tą zależność możemy odwrócić, tak by otrzymać zależność ρ od kąta θ₁ w układzie laboratoryjnym, co go możemy podstawić do (2.53) i dla małych katów otrzymać wzór na przekrój czynny:

$d\sigma=\left|{{d\rho}\over{d\theta_1}}\right|{{\rho(\theta_1)}\over{\theta_1}}do_1\;$

(2.75)

Dynamika punktów masowych

Środek masy układu mas

Środek masy układu mas nazywamy taki wektor, która jest związana z masami i położeniami poszczególnych poszczególnych ciała w chodzących w skład układu mas:

$\vec{R}={{\sum_im_i\vec{r}}\over{M}}\;$

(3.1)

Weźmy teraz sobie teraz drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), która na każdy z mas w ogólności działa pewna siła o wektorze $\vec{F}_i\;$, wtedy zasada dynamiki dla pojedynczego punktu jest postaci:

$m_i\ddot{r}_i=\vec{F}_i\;$

(3.2)

Przy sumowaniu równań (3.2) stronami dla każdej cząstki z osobna i wykorzystaniu wzoru (3.1):

$\sum_im_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_i\vec{F}_i\Rightarrow \sum_i{{d\left(m\vec{r}_i\right)}\over{dt}}=\vec {F}\Rightarrow M\dot{\vec{r}}=\vec{F}\;$

(3.3)

Na podstawie obliczeń przeprowadzanych w punkcie (3.3), że środek mas opisanych wzorem (3.1) porusza się tak samo jak pokazuje druga zasada dynamiki Newtona, których siła w prowadzona w punkcie powyżej jest określona przez siły $\vec{F}_i\;$ działające na poszczególne punkty masowe, którą nazywać będziemy siłą działająca na środek masy.

Transformacja energii z jednego układu odniesienia do drugiego

Wyznaczmy jak zmienia się energia układu z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując wzór transformacyjny (1.171) według transformacji Galileusza:

$E'={{1}\over{2}}\sum_am_a{v_a^'}^2={{1}\over{2}}\sum_am_a(\vec{v}-\vec{V})={{1}\over{2}}\sum_am_aV^2+{{1}\over{2}}\sum_am_av_a^2-\sum_a m_a\vec{V}\vec{v}=E+MV^2-\vec{V}\vec{P}\;$

(3.4)

Widzimy, że energia ciał względem nowego układu odniesienia jest równa energii ciał względem starego układu minus iloczyn prędkości nowego układu odniesienia przez pęd całego układu względem starego układu odniesienia plus energia układu środka masy.

Problem dwóch ciał w mechanice nieba

Będziemy tutaaj rozważać problem dwóch ciał w mechanice nieba, którego obliczenia będziemy rozważać w układzie środka masy, biorąc definicję środka mas (3.1) i biorąc taki układ, w których środek mas spoczywa, i jego położenie jest w punkcie zerowym na przecięciu różnych osi w trójwymiarowym układzie odniesienia, wtedy:

$m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2=0\;$

(3.5)

Jeśli rozważymy ruch dwóch oddziaływających siłami grawitacji (1.172), to ich równania ruchu są:

$m_1\ddot{r}_1=-Gm_1m_2{{\vec{r}_1-\vec{r}_2}\over{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}}\;$ (3.6)

$m_2\ddot{r}_2=-Gm_1m_2{{\vec{r}_2-\vec{r}_1}\over{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}}\;$ (3.7)

Możemy podzielić równanie (3.6) przez m₁ i podzielić drugie równanie (3.7) przez m₂ , wtedy położenie względne obu mas określać będziemy:

$\vec{r}_1-\vec{r}_2=\vec{r}\;$

(3.8)

I uzyskamy wtedy dwa równania, tzn. (3.6) i (3.7), które odejmować będziemy je od siebie przy wykorzystaniu definicji położenia względnego (3.8) otrzymując:

$\ddot{\vec{r}}=G(m_1+m_2){{\vec{r}}\over{r^3}}\Rightarrow\ddot{\vec{r}}=\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)Gm_1m_2{{\vec{r}}\over{r}}\;$

(3.9)

Masą zredukowaną nazywam wielkość, która zależy od dwóch mas składowych, tzn. m₁ i m₂, jest ona określona jako:

$\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;$

(3.10)

Mając już rozwiązanie w wektorach $\vec{r}\;$, wtedy na podstawie równania (3.5) i (3.8) dostajemy dwa równania na $\vec{r}_1\;$ i na $\vec{r}_2\;$, co je piszemy:

$\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;$ (3.11)

$\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;$ (3.12)

Twierdzenie o wiriale

Ważmy wzór obrazujący drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), które to równanie mnożymy przez wektor wodzący ciała wchodzących w skład układu mas $\vec{r}_i\;$ i w ostatecznych perypetiach możemy napisać tożsamość:

$\sum_im_i\ddot{\vec{r}}_i\vec{r}_i=\sum_i\vec{F}_i\vec{r}_i\;$

(3.13)

Dla sił konserwatywnych równania (3.13) możemy przepisać wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej, wtedy to nasze ostatnie równanie:

$\sum_i{{d}\over{dt}}\left(m_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i\right)-\sum_im_i\dot{\vec{r}}_i^2= -\sum_i\operatorname{grad}_iU\vec{r}_i\;$

(3.14)

Średnią pewnej funkcji f(t) będziemy określać poprzez wzór, która określamy na przestrzeni czasów od zera do τ, zatem w takim przypadku powiemy:

$\overline{f}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}f(t)dt\;$

(3.15)

Zatem na podstawie wzoru (3.15) możemy napisać pierwszy wyraz występujący w równaniu (3.14) uśredniając go po nieskończonym czasie:

$\overline{{{d}\over{dt}}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_idt={{1}\over{\tau}}\left(\sum_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}\right) \xrightarrow[\tau\rightarrow\infty]{}=0\;$

(3.16)

Na podstawie wzoru średnia energię kinetyczną układu mas określony przy pomocy obliczeń (3.16) piszemy wzorem wychodzącym z (3.14):

$\overline{T}={{1}\over{2}}\overline{\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}U}\;$

(3.17)

Powyższa równość określa średnią energię kinetyczną, która jest równa połowie wiriału systemy z energii potencjalnej.

Układ oscylatorów fizycznych

Określmy teraz energię potencjalną układu ciał sprężystych, którego całkowita potencjalna energia układu jest równa sumie energii potencjalnej poszczególnych oscylatorów, co możemy ująć:

$U=\sum_i{{k}\over{2}}\vec{r}_i\;$

(3.18)

Wyznaczmy teraz średnia energię układu, korzystając ze wzoru napisanego w punkcie (3.18) na energie potencjalną układu oscylatorów, a także będziemy mogli skorzystać ze wzoru (3.17) i w końcu wykorzystamy twierdzenie wirialne:

$\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum k \vec{r}_i^2=2U\;$

(3.19)

Na podstawie obliczeń (3.19) wzór (3.17) pokazuje, że średnia energia potencjalna układu oscylatorów jest równa średniej energii kinetycznej układu.

Mechanika nieba

Energia potencjalna układu punktów krążących w pewnym polu grawitacyjnym określamy jako sumę energii potencjalnych (1.148) dla poszczególnych ciał należącej do układu:

$\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum_i\vec{r}_i{{GMm}\over{r^2}}\vec{r}_i=\sum_i{{GM}\over{r_i}}=-U\;$

(3.20)

Zatem średnia całkowita energia kinetyczna układu mas określamy na podstawie wzoru (3.17), którą jest całkowitą podwojoną energią kinetyczną określoną:

$2\overline{T}=-\overline{U}\;$

(3.21)

Całkowita energia średnia układu punktów masowych krążących wokół pewnego punktu masowego określamy według (3.21), wtedy:

$\overline{E}=\overline{T}+\overline{U}=\overline{T}-2\overline{T}=-\overline{T}\;$

(3.22)

Ruch ciała o zmieniających się masie

Określmy teraz pędy ciał okładu w chwili t i w chwili t+dt, zatem na podstawie tego możemy napisać, że pędy ciała przed dotarciem infinitezymalnej masy a także po dotarciu do niej, określamy:

$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)+\dot{m}dt\vec{v_1}\;$ (3.23)

$\vec{p}(t+dt)=(m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)\;$ (3.24)

Możemy teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona, którego zapis jest napisany w punkcie (1.63), wtedy tą zasadę zapisujemy jako:

$\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}={{1}\over{dt}}\left((m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)-m\vec{v}(t)-\dot{m}dt\vec{v_1}\right)=m{{d\vec{v}}\over{dt}}+{{dm}\over{dt}}\left(\vec{v}-\vec{v}_1\right)\;$

(3.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (3.25) drugą zasadę dynamiki Newtona dla zmiennej masy ciała piszemy w postaci:

$m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}(\vec{v}_1-\vec{v})\Rightarrow m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}\vec{u}\;$

(3.26)

Przykład rakiety o zmiennej masie wylatującymi spalinami

Zajmijmy się teraz przykładem, z którego to z rakiety wypływa masa z prędkością względem rakiety $\vec{u}=[0,0,-u]\;$ i na którą na rakietę działa siła grawitacji, to równanie (3.26) piszemy:

$m\dot{v}=-mg-\dot{m}u\;$

(3.27)

Równość (3.27) możemy podzielić przez masę i z całkować względem czasu, ostatecznie:

$dv=gdt-{{dm}\over{m}}u\Rightarrow \int dv=-g\int dt-u\int{{dm}\over{m}}\Rightarrow v=-gt-u\ln{{m}\over{m_0}}\;$

(3.28)

W równaniu (3.28) oznaczyliśmy przez m₀ masę początkową rakiety, a przez "m" masę rakiety w czasie "t".

Ruch ciał ograniczonych więzami

Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy więzami, czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni:

$g(x,y,z,t)=0\;$

(4.1)

Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn:

$g_1(x,y,z,t)=0\;$ (4.2)

$g_2(x,y,z,t)=0\;$ (4.3)

Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać reonomicznymi, a niezależne od czasu skleronomicznymi. Ruch swodobny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden, więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są napisane:

$g(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=\sum_{i=1}^3f_i(\vec{r},t)\dot{\vec{r}}_i+f_0(\vec{r},t)\;$

(4.4)

Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek:

$dG(\vec{r},t)=\left\{\sum_i{{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\dot{\vec{r}}_i+{{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\right\}dt\;$

(4.5)

I dalej patrząc na wzory (4.4) i (4.5), to możemy powiedzieć:

$f_i(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\;$ (4.6)

$f_0(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\;$ (4.7)

wtedy więzy spełniające warunek (4.5) na podstawie (4.4) nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, które nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć (4.5) nazywamy więzami anholonomicznymi.

Zasada d'Alemberta

Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona (1.31), dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę $\vec{Z}\;$ będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę wymienioną w tytule tego podrozdziału:

• Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co obrazujemy tą zasadą:

$\vec{Z}\delta\vec{r}=(m\ddot\vec{r}-\vec{F})\delta\vec{r}=0\;$

(4.8)

Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie (4.8) dla dowolnego przesunięcia wirtualnego $\delta\vec{Z}\;$, czyli przy dowolnych δx, δy i δz, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych:

$m\ddot{x}=F_x\;$ (4.9)

$m\ddot{y}=F_y\;$ (4.10)

$m\ddot{z}=F_z\;$ (4.11)

Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju

Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniające dwa równania więzów:

$g_1(\vec{r},t)=0\;$ (4.12)

$g_2(\vec{r},t)=0\;$ (4.13)

Mając na uwadze równania więzów (4.12) i (4.13) możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięciach:

$\operatorname{grad}g_1\cdot\delta \vec{r}=0\;$ (4.14)

$\operatorname{grad}g_2\cdot\delta\vec{r}=0\;$ (4.15)

Możemy wykorzystać tożsamości (4.14) i (4.15) i pomnożyć je przez współczynniki λ₁ i λ₂, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta (4.8):

$\left(m\ddot{r}-\vec{F}-\lambda_1\operatorname{grad}g_1-\lambda_2\operatorname{grad}g_2\right)\delta\vec{r}=0\;$

(4.16)

Siła reakcji więzów we wzorze (4.16) możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a λ₁ i λ₂:

$\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;$

(4.17)

Zatem równanie (4.16) przy dowolnych przesunięciach wirtualnych przestawiamy:

$m\ddot{r}=\vec{F}+\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;$

(4.18)

Równanie (4.18) nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami (4.12) i (4.13) stanowią jakoby układ równań, z którego nań możemy wyznaczyć parametry λ₁ i λ₂.

Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii

Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii.

Zasada zachowania pędu

Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych (4.17) do powierzchni, na której poruszało się ciało, piszemy:

${{d}\over{dt}}m\dot{\vec{r}}=\vec{F}+\vec{Z}\;$

(4.19)

Jeśli natomiast zachodzi $\vec {F}+\vec{Z}=0\;$, to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu.

Zasada zachowania momentu pędu

Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (1.68), gdy na to działa nań siła o wartości $\vec{F}+\vec{Z}\;$ dla ciała znajdującego się w punkcie $\vec{r}\;$, przestawiamy jako:

$\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{r}\times\left(\vec{F}+\vec{Z}\right)\;$

(4.20)

Jeśli moment sił działającej na ciało $\vec{N}=\vec{r}\times(\vec{F}+\vec{Z})\;$jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rozdzaju (4.18) pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, mamy w postaci:

$m\vec{v}\dot{\vec{v}}=\vec{F}\vec{v}+(\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2){{d \vec{r}}\over{d t}}\;$

(4.21)

Z definicji różniczki zupełnej równań więzów (4.2) i (4.3) mamy:

$0=dg_1=\operatorname{grad}\vec{r}_1d\vec{r}+{{\partial g_1}\over{dt}}dt\;$ (4.22)

$0=dg_2=\operatorname{grad}\vec{r}_2d\vec{r}+{{\partial g_2}\over{dt}}dt\;$ (4.23)

Z równań (4.22) i (4.23) wyznaczmy gradienty funkcji (4.2) i (4.3) stosując je do wzoru (4.21) i wykorzystując definicję energii potencjalnej (1.78), otrzymujemy:

${{d(T+U)}\over{dt}}=-\lambda_1{{}\partial g_1\over{\partial t}}-\lambda_2{{\partial g_2}\over{\partial t}}\;$

(4.24)

Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a

Ciało na równi pochyłej

Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisujących położenia ciała na równi pochyłej, którą to piszemy:

${{y}\over{x}}=\operatorname{tg}\alpha\Rightarrow x\sin\alpha-y\cos\alpha=0\;$

(4.25)

Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na stoczni jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją w postaci:

$g_2(\vec{r})=z=0\;$

(4.26)

Możemy wyznaczyć gradient dla więzu (4.25), którego to przestawiamy w postaci wektora:

$\operatorname{grad}g=[\sin\alpha,-y\cos\alpha,0]\;$

(4.27)

Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów (4.18), zatem napiszmy trzy równania opisujących ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej.

$m\ddot{x}=\lambda_1\sin\alpha\;$ (4.28)

$m\ddot{y}=-\lambda_1\cos\alpha-mg\;$ (4.29)

$m\dot{y}=\lambda_2\;$ (4.30)

Zróżniczkujmy równana więzów, tzn. (4.25) i (4.26), to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości:

$\ddot{x}\sin\alpha-\ddot{y}\cos\alpha=0\;$ (4.31)

$\ddot{z}=0\;$ (4.32)

Równania (4.28), (4.29) i (4.30) możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów:

$\ddot{x}=\lambda_1{{\sin\alpha}\over{m}}\;$ (4.33)

$\ddot{y}=-\lambda_1{{\cos\alpha}\over{m}}-g\;$ (4.34)

$\ddot{z}={{\lambda_2}\over{m}}\;$ (4.35)

Następnie wyznaczmy parametr λ₁ i parametr λ₂ podstawiając wzory (4.33) i (4.34) do równań wynikłych z pierwszego równania więzów (4.31) i podstawiając też równanie (4.35) do równania wynikłego z drugiego równania więzów (4.32), wtedy otrzymujemy tożsamości, z których będziemy mogli wyliczyć wspomniane parametry:

$\lambda_1{{\sin\alpha^2}\over{m}}+\lambda_1{{\cos^2\alpha}\over{m}}+\cos\alpha g=0\Rightarrow\lambda_1=-mg\cos\alpha\;$ (4.36)

$\lambda_2=0\;$ (4.37)

Mając już wyliczone parametry λ₁ (4.36) i parametr λ₂ (4.37), to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała:

$m\ddot{x}=-mg\sin\alpha\cos\alpha\;$ (4.38)

$m\ddot{y}=-mg\sin^2\alpha\;$ (4.39)

$m\ddot{z}=0\;$ (4.40)

Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana:

$s=-{{y}\over{\sin\alpha}}=-{{x}\over{\cos\alpha}}\;$

(4.41)

Biorąc tożsamość (4.41) i podstawiając go do równania (4.38) i (4.39), w ten sposób dostajemy jedną równość z tych z dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową, opisującą ruch naszej kulki:

$\ddot{s}=mg\sin\alpha\;$ (4.42)

$\ddot{z}=0\;$ (4.43)

Zatem z końcowych równań, tzn. z (4.42) i (4.43) z które to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu:

$s=g\sin\alpha{{t^2}\over{2}}+v_0t+s_0\;$ (4.44)

$z=0\;$ (4.45)

Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów $\vec{Z}\;$, na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. znając wartości parametrów λ₁ (4.36) i λ₂ (4.37):

$\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2= (-mg\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha,-\cos\alpha,0)=\;$ $=(-mg\sin\alpha\cos\alpha,mg\cos^2\alpha,0)\;$

(4.46)

Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju

Statyka

Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywająca się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła $F\;$ i siły reakcji więzów $\vec{Z}\;$ są sobie równe:

$\vec{F}=-\vec{Z}\;$

(4.47)

Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem:

$g(x,y,z)={{x^2}\over{a^2}}+{{y^2}\over{b^2}}+{{z^2}\over{c^3}}-1=0\;$

(4.48)

Siłę reakcji więzów wedle definicji (4.17), który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów:

$\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\left({{x}\over{a^2}},{{y}\over{b^2}},{{z}\over{c^2}}\right)\;$

(4.49)

Widzimy, że równanie (4.37) może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=±c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy:

$dU=\operatorname{grad}Ud\vec{r}=\vec{Z}d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}U=\lambda\operatorname{grad} g\;$

(4.49)

Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił

Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle:

$g=x^2+y^2+z^2-R^2=0\;$

(4.50)

Wtedy równanie na siłę więzów (4.17) określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy:

$\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\vec{r}\;$

(4.51)

Moment sił (1.66) działający ze strony więzów (4.51), który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem (4.51), jest określony:

$\vec{N}=\vec{r}\times\vec{Z}=2\lambda\vec{r}\times\vec{r}=0\;$

(4.52)

Z zerowania się momentu sił (4.52) możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą.

Ruch ciała po obracającej się linijce

Ruch ciała po obracającej się linijce.

Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracające się z prędkością kątową ω:

$g_1=z=0\;$ (4.53)

$\theta-\omega t=0\;$ (4.54)

Wykorzystując definicję operatora ∇ we współrzędnych cylindrycznych (MMF-7.19), to możemy opisać gradienty funkcji (4.53) i (4.54) następująco:

$\operatorname{grad}{g}_1=\vec{e}_z\;$

(4.55)

$\operatorname{grad}{g}_2=\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial\rho}}+\vec{e}_{\theta}{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+\vec{e}_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)g_2={{1}\over{\rho}}\vec{e}_{\theta}\;$

(4.56)

Wykorzystując wzór (1.23) możemy napisać trzy równania więzów:

$m\ddot{\rho}-m\rho\dot{\theta}^2=0\;$ (4.57)

$m\rho\ddot{\theta}+2m\dot{\rho}\dot{\theta}={{\lambda_2}\over{\rho}}\;$ (4.58)

$m\ddot{z}=\lambda_1\;$ (4.59)

Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów (4.53) i (4.54), możemy napisać:

$m\ddot{\rho}-m\rho\omega^2=0\;$ (4.60)

$2m\dot{\rho}\omega={{\lambda_2}\over{\rho}}\Rightarrow\lambda_2=2m\rho\dot{\rho}\omega\;$ (4.61)

$\lambda_1=0\;$ (4.62)

Równanie (4.60), która jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej ρ rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej ω z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka:

$\rho=Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}\;$

(4.63)

Z warunków początkowych dla t=0 mamy $_{\rho=\rho_0}\;$ i $_{\dot{\rho}_0=0}\;$, zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu (4.63):

$A+B=\rho_0\;$ (4.64)

$A\omega-\omega B=0\Rightarrow A=B\;$ (4.65)

Z równości (4.64) i (4.65) możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na ρ (4.63):

$A=B={{\rho_0}\over{2}}\;$

(4.66)

W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają się współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce.

$\rho={{1}\over{2}}\rho_0\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)\;$ (4.67)

$\theta=\omega t\;$ (4.68)

$z=0\;$ (4.69)

Układ ciał ograniczonych więzami

Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy je numerować liczbami od α=1,.2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek jest:

$g_{\beta}(\vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_N,t)=g_{\beta}(\chi_{\alpha},t)=0\;$

(5.1)

• gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywanych powyżej ma f=3N-r stopni swobody.

Jeśli natomiast funkcja g_β nie zależy od czasu, to taki węzeł nazywamy skleronomicznymi, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem (5.1), ale jest grupa więzów , które dadzą się zapisać jako:

$\sum_{\alpha=1}^{3N}g_{\alpha}(\chi_{b},t){{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+g_0(x_b,t)=0\;$

(5.2)

które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G:

${{dG}\over{dt}}=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial G}\over{\partial\chi_{\alpha}}}{{d\chi_{\alpha}}\over{dt}}+{{\partial G}\over{\partial t}}=0\;$

(5.3)

Węzły opisane wzorem (5.2) nazywamy więzami anholonomicznymi, a węzły dla których funkcja G istnieje, czyli istnieje takie równanie (5.3) nazywamy więzami holonomicznymi.

Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta

Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy $\vec{Z}_i\;$:

$m_i\ddot{\vec{r}}=\vec{F}_1+\vec{Z}_i\Rightarrow \vec{Z}_i=m\ddot{\vec{r}}-\vec{F}\;$

(5.3)

Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań (5.3) mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek:

$\sum_{i=1}^N\vec{Z}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{i=1}^N\left(m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i\right)\delta\vec{r}_i=0\;$

(5.4)

Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie δt=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α piszemy:

$\delta g_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\operatorname{grad}_i\delta\vec{r}_i=\sum_{\alpha=1}^{3N}{{\partial g_{\alpha}}\over{\partial \chi_a}}\delta \chi_{\alpha}=0\;$

(5.5)

Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość (5.5), dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości (5.4), otrzymujemy:

$\sum_{\alpha=1}^{3N}\left(m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\right)\delta\chi_{\alpha}=0\;$

(5.6)

Równanie (5.6) jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych χ_α, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange pierwszego rodzaju:

$m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}-F_{\alpha}-\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=0\Rightarrow m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;$

(5.7)

Siła reakcji więzów działający na dany punkt masowy, na podstawie równania (5.7) przy porównaniu go ze wzorem wektorowym (5.3), piszemy:

$Z_{\alpha}=\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}=\sum_{\alpha}^r\lambda_{\beta}\operatorname{grad}_{\alpha}g_{\beta}\;$

(5.8)

Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii

Twierdzenie o środku mas

Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które nań działają siły, które są odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowych $\vec{F}_{ij}\;$, a także za oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów $\vec {Z}_{ij}\;$, a na ciało mogą również działać siły pochodzące od węzłów zewnętrznych, a także na układ mogą działać siły zewnętrzne $\vec{F}_i\;$, zatem równanie ruchu wynikające drugiej zasady dynamiki Newtona piszemy:

$m\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{j=1,j\neq i}^NF_{ij}+\sum_{j=1,i\neq i}^n\vec{Z}_{ij}+\vec{F}_i+\vec {Z}_i\;$

(5.9)

Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równość na siły pomiędzy punktami a więzami:

$\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;$ (5.10)

$\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}\;$ (5.11)

Dalej dodajmy wszystkie równania dla każdej cząstki masowej (5.9) i biorąc warunki wynikające z trzeciej zasady dynamiki Newtona (5.10) i (5.11), to możemy napisać równanie różniczkowe wektorowe:

$\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum^{3N}_{i=1}\vec{Z}_i\;$

(5.12)

Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy (3.1) i będziemy je stosować dla równości (5.12), wtedy równanie ruchu środka masy jest:

$M\ddot{\vec{R}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i+\sum^{3N}_{i=1}\vec{Z}_i\;$

(5.13)

Widzimy że środek mas porusza się tak jak by miał taką masę jak wszystkie punkty masowe wzięte razem i porusza się tak jak by na niego działały wszystkie siły pochodzące od poszczególnych punktów masowych.

Twierdzenie o momencie pędu

Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. wtedy te wielkości:

$\vec{K}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times m_i\dot{\vec{r}}\;$ (5.14)

$\vec{N}=\sum_{i=1}^N\vec{r}_i\times(\vec{F}_i+\vec{Z}_i)\;$ (5.15)

A zasada łącząca moment pędu (5.14) z momentem sił układów mas (5.15) jest równaniem takim samym jak w punkcie (1.68), zatem możemy powiedzieć twierdzenie:

Pochodna czasowa momentu pędu pędu całego układu jako całość (5.14) jest równa sumie momentów sił zewnętrznych wliczając w to siły reakcji więzów, co to prawo jest sformułowana dla całego układu jako całość.

Twierdzenie o energii

Mamy sobie równanie (5.7), pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie $\dot{\chi}\;$, mamy:

$m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;$

(5.16)

Jeśli równania (5.16) charakteryzujący każdą taką cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu otrzymując równość:

${{d}\over{dt}}\sum_{\beta=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\beta}\dot{\chi}^2_{\beta}=F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}+\sum_{\beta=1}^r\lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial \chi_{\alpha}}}\;$

(5.17)

Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy charakteryzujących wykonywanych przez poszczególne siły dla każdej z sił osobna i to wszystko wziętej z minusem, a także opisujemy różniczkę zupełną równania więzów, a także definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek wchodzących w skład układu, które to wszystkie te równania piszemy:

$\sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}=-{{dU}\over{dt}}\;$ (5.18)

$dg_{\beta}=\sum_{\alpha}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial x_{\alpha}}}\dot{\chi}_{\alpha}+{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;$ (5.19)

$T=\sum_{\beta=1}^{3N}{{1}\over{2}}m_{\beta}\ddot{\chi}^2_{\beta}\;$ (5.20)

Na podstawie wzorów (5.18), (5.19) i (5.20) możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci:

${{d}\over{dt}}\left(T+U\right)=-\sum_{\alpha=1}^r\lambda_{\beta}{{\partial g_{\beta}}\over{\partial t}}\;$

(5.21)

Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a

Ruchomy bloczek

Ruchomy bloczek

Długość nici, na którą jest owinięty bloczek jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów:

$g=x_1+x_2-L=0\;$

(5.22)

Gradient funkcji g (5.22) określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora:

$\operatorname{grad}g=[1,1]\;$

(5.23)

Równanie Eulera Lagrange'a (5.7) dla mas m₁ i m₂dla każdej zmiennej z osobna dla rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej piszemy:

$m_1\ddot{x}_1=m_1g+\lambda\;$ (5.24)

$m_2\ddot{x}_2=m_2g+\lambda\;$ (5.25)

Równanie więzów (5.22) możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy wynikową tożsamość:

$\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0\;$

(5.26)

Następnym krokiem jest podzielenie równania (5.24) przez m₁, a równania (5.25) przez m₂, i wykorzystaniu tożsamości (5.26), otrzymujemy równość, z którego będziemy wyznaczali parametr λ:

$0=g+{{\lambda}\over{m_1}}+g+{{\lambda}\over{m_2}}\Rightarrow 2g=-\lambda{{m_1+m_2}\over{m_1m_2}}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow\lambda=-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}$

(5.27)

Do równania (5.24) podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzonego w punkcie (5.27) dla ruchomego bloczka:

$m_1\ddot{x}_1=m_1g-2g{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow\ddot{x}_1=g-2g{{m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow \ddot{x}_1=g{{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g$

(5.28)

Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0

Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z=0

Napiszmy sobie równanie więzów, którego to zapis tego równania więzów jest:

$g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0\;$

(5.29)

Mając równanie więzów dla hantli (5.29) możemy napisać równanie ruchu dla masy m₁:

$m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)\;$ (5.30)

$m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)\;$ (5.31)

Mając równanie więzów dla hantli (5.29) możemy napisać równanie ruchu dla masy m₂:

$m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)\;$ (5.32)

$m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)\;$ (5.33)

Wykorzystując definicję środka masy (3.1), możemy napisać na podstawie powyższych równań ruchu, tzn. (5.30) z (5.32), a także (5.31) z (5.33) równanie ruchu środka masy:

$M\ddot{R}=0\;$

(5.34)

Zgodnie z równaniem (5.34) równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego:

$\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0\;$

(5.35)

Jeśli złożymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej $\vec{\omega}\;$, zatem prędkości względem środka masy poszczególnych mas należącej do hantli wyrażamy:

$\dot{r}_1^'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1^'\;$ (5.36)

$\dot{r}_2^'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2^'\;$ (5.37)

Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należącej do hantli (kulek) w układzie środka masy wiedząc, że wektory $_{\vec{r}_1^'}\;$, $_{\vec{r}_2^'}\;$ są prostopadłe do wektora prędkości kątowej $_{\vec{\omega}}\;$, jest wyrażona:

$\vec{K}=\sum_{i=1}^2\vec{r}_i^'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}^'_i)=\sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\vec{r}_i^{'2}-\vec{r}_i^'(\vec{r}_i^'\vec{\omega})\right)=\vec{\omega}\left(m_1\vec{r}_1^{'2}+m_2\vec{r}_2^{'2}\right)\;$

(5.38)

Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątowa

Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.

Ponieważ rozpatrywaliśmy bryłę stywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie (5.21) energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia, czyli wyrażenie poniżej nie zmienia się czasie:

$T+U=E\;$

(5.39)

Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie, jednocześnie policzmy moduł prędkości ciała korzystając z definicji prędkości, którego definicję podamy razem z tym wzorem:

$\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;$ (5.40)

$|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\omega\;$ (5.41)

Energia kinetyczna całkowita ciała, którą stanowi bryła sztywna, określamy na podstawie wzoru (5.41), zatem także możemy napisać definicje momentu masy (momentu bezwładności ciała):

$T={{1}\over{2}}\sum_im_i(x^2_i+y^2_i)\omega^2={{1}\over{2}}J\omega^2\;$ (5.42)

$J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\;$ (5.43)

Gdy mamy bryłę sztywną, to moment masy na podstawie jej dyskretnej postaci (5.43) wprowadzając definicję gęstości masy ciała, czy we wspomnianym wzorze masy należy zastąpić przez infinitezymalne masy, a także tą masę zastąpimy przez iloczyn gęstości masy w tymże punkcie i infinitezymalnej objętości, w której to objętości znajduje się ta masa:

$J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)dV\;$

(5.44)

Energię całkowitą (5.39) określamy na podstawie definicji energii kinetycznej w ruchu obrotowym ciała poprzez jego prędkość kątową obrotu ciała wokół obrotu osi, a także mając energię potencjalną ciała U(θ), jako:

$E=T+U={{1}\over{2}}J\omega^2+U(\theta)={{1}\over{2}}J\dot{\theta}^2+U(\theta)\;$

(5.45)

Ze wzoru (5.45) możemy wyznaczyć różniczkę czasu względem różniczki kąta φ, w ten sposób tak otrzymane równanie będziemy całkować obustronnie jako całkę oznaczoną:

$\dot{\theta}^2={{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)\Rightarrow dt={{d\phi}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}}\Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}{{d\theta}\over{\sqrt{{{2}\over{J}}\left(E-U(\theta)\right)}}}\;$

(5.46)

Węzłem dla naszej tak ustalonej bryły sztywnej określać będziemy przez równość:

$g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0\;$

(5.47)

Siły reakcji więzów nazywamy wzór (5.8), które działają na bryłę sztywną, wykorzystując fakt istnienia więzów (5.47), wtedy siłę więzów piszemy:

$\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,0)=\lambda_i\vec{r}\;$

(5.48)

Moment sił reakcji więzów jak można udowodnić jest równa zero na podstawie przestawienia siły pochodzącej od więzów (5.48):

$\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_1\vec{r}_i\times\vec{r}=0\;$

(5.49)

Widzimy na podstawie wniosku, że jedynymi momentami siły, które działają na ciało są momenty pędu określone przez siły zewnętrzne, zatem z definicji drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy wyznaczyć teraz całkowity moment pędu zetowy dla ciała, który stanowi bryłę sztywną:

$\vec{K}=\sum_im_i\vec {r}_i\times\dot{\vec{r}}_i=\sum_im_i\vec{r}_i\times(\vec{r}_i\times\vec{\omega})=\sum_im_i\vec{r}_i^2\vec{\omega}-\sum_im_i\vec{r}_i(\vec{r}_i\vec{w})=\sum_im_i(x^2_i+y^2_i)\vec{\omega}=\;$ $=\vec{\omega}\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)=J\vec{\omega}\;$

(5.50)

Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną jest to moment sił pochodzących od sił zewnętrznych na podstawie wniosku (5.49), zatem na podstawie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego (1.68), którą określamy dla naszego przypadku wzorem:

${{d(J\omega)}\over{dt}}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)\;$

(5.51)

Wahadło fizyczne

Rysunek obrazujący wahadło matematyczne

Siłą zewnętrzną działający na wahadło fizyczne jest to siła grawitacji:

$\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)\;$

(5.52)

Wektorem wodzącym naszego punktu środka masy $\vec{R}\;$naszego ciała określamy przez wzór:

$\vec{R}=(R\cos\theta,R\sin\theta)\;$

(5.53)

Moment siły środka masy możemy określać na podstawie siły grawitacji działającej na nasze ciała obracające się wokół pewnej osi:

$\vec{N}_z=(\vec{R}\times\vec{F})_z=\;$ $=-\sum_im_igy_i=-MgR_y=-MgR\sin\theta\;$

(5.54)

Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną, które tutaj będziemy oznaczać przez l, możemy napisać:

$J\ddot{\theta}=-Mgs\sin\theta\Rightarrow \underbrace{{{J}\over{Ms}}}_l\ddot{\theta}=-g\sin\theta\Rightarrow\;$ $\Rightarrow l\ddot{\theta}=-g\sin\theta\;$

(5.55)

Twierdzenie Steinera

Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przestawić wedle:

$J=\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)\;$ (5.56)

$\overline{J}=\sum_im_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)\;$ (5.57)

Współrzędne nowej osi względem starej osi, którego ta nowa oś względem jej odpowiednika starego jest przesunięta o wektor [a,b], zatem te współrzędne:

$\overline{x}_i=x_i-a\;$ (5.58)

$\overline{y}_i=y_i-b\;$ (5.59)

Moment masy względem nowej osi (5.57) określać będziemy na podstawie (5.58) i (5.59) wzorem w postaci:

$\overline{J}=\sum_im_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)=\sum_im_i({x}_i^2+y_i^2)+\sum_im_i(a^2+b^2)-2a\sum_im_ix_i-2b\sum_{i}m y_i\;$

(5.60)

Jeśli stara oś przechodzi przez środek układu współrzędnych, to wtedy trzeci i czwarty składnik znika na podstawie definicji środka masy, zatem moment masy ciała względem osi nie przechodzącej przez środek masy jest równa momentowi masy ciała przechodzącej przez środek masy (5.56) i momentu samego środka masy względem naszej nowej osi.

$\overline{J}=J+Ms^2=J_s+Ms^2\;$

(5.61)

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione

Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami:

$g_{\alpha}(\chi_a,t)=0\mbox{ }\alpha=1,2,..,r,a=1,2,...,3N\;$

(6.1)

Zatem mając równania więzów (6.1) możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów:

$\delta\chi_a=\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k\;$ (6.2)

$\dot{\chi}_a=\sum_{k=1}^f {{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+{{\partial \chi_a}\over{\partial t}}\;$ (6.3)

Wyznaczmy pochodną wielkości (6.3) względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać:

${{\partial \dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}={{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;$

(6.4)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.2) zasadę d'Alemberta (4.8) dla "f" więzów przestawiamy:

$\sum_{a=1}^{3N}(m\ddot{\chi}_a-F_a)\delta\chi_a=\sum_{a=1}^{3N}(m_a\ddot{\chi_a-F_a)\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}}\delta q_k=0\;$

(6.5)

Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$T(q_k,\dot{q}_k,t)=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}^2_a\;$

(6.6)

Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej (6.6) względem k-tej współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach.

${{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\ddot{x}_a{{\partial\dot{x}_a}\over{\partial q_k}}\;$ (6.7)

${{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}\;$ (6.8)

Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli (6.8), do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie (6.4):

${{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;$

(6.9)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia (6.9) względem czasu:

${{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{x}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial q_k}}\;$

(6.10)

Ostatni wyraz występujący w punkcie (6.10) po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie (6.7), wtedy powyższą równość zapisujemy:

${{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+{{\partial T}\over{\partial q_k}}\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum^{3N}_{a=1}m_a\ddot{x}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;$

(6.11)

Końcowy wzór wynikający z obliczeń (6.11) podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość:

$\sum^f_{k=1}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}-\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial \chi_a}\over{\partial q_k}}\right)\delta q_k=0\;$

(6.12)

Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę iloczynu funkcji siły F_a przez pochodną χ_a względem współrzędnej q_k i ta całość sumowanych względem wskaźnika "a":

$\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_k\;$

(6.13)

Równanie (6.12) jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej q_k przy definicji siły uogólnionej (6.13):

${{d }\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=Q_k\;$

(6.14)

Równanie (6.14) nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (1.78) możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem:

$F_a=-{{\partial U}\over{\partial \chi_a}}\;$

(6.15)

Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim F_a (6.15) wzór na siłę uogólnioną (6.13) przestawiamy:

$Q_k=\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=-\sum_{a=1}^{3N}{{\partial U}\over{\partial\chi_k}}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=-{{\partial U}\over{\partial q_k}}\;$

(6.16)

Wzór na siłę uogólnioną (6.16) możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a (6.14) i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu:

${{d}\over{dt}}{{\partial(T-U)}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial (T-U)}\over{\partial q_k}}=0\;$

(6.17)

Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:

$L=T-U\;$

(6.18)

Równość (6.17) na podstawie definicji funkcji Lagrange'a (6.18) możemy przepisać w postaci:

${{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=0\;$

(6.19)

Układ równań (6.19) jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne q_k w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie (6.19) stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a (6.19) możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogi do równania (6.19):

${{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}-{{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}=0\;$

(6.20)

Funkcja Lagrange a zasady zachowania

Zasada zachowania energii i translacja w czasie

Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie (6.18) względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a (6.19):

${{d}\over{dt}} L=\sum_{k}{{\partial L}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\ddot{q}_k+{{\partial L}\over{\partial t}}=\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}}}+\sum_k\ddot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}+{{\partial L}\over{\partial t}}=\;$ $={{d}\over{dt}}\left(\sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\right)+{{\partial L}\over{\partial t}}$

(6.21)

Wyrazy w (6.21), które są pochodnymi zupełnymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie:

${{\partial L}\over{\partial t}}={{d}\over{dt}}\left( L-\sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}\right)\;$

(6.22)

Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to:

$T=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}_a^2=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k\right)^2\;$

(6.23)

Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych:

$\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\dot{q}_k=\sum_k{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}\dot{q}_k=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}2\left(\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k\right){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k=2T\;$

(6.24)

Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (6.22) pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (6.24):

$L-\sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\dot{q}_k=T-U-2T=-U-T=-E\;$

(6.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.14) wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a

Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego:

$L=\sum_{i=1}^n{{m\dot{\vec{r}^2_i}}\over{2}}-\sum_{i,j}(|\vec{r}_i-\vec{r}_j|)\;$

(6.26)

Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor $_{\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]}\;$ wedle schematu:

$\vec{r}_i^'=\vec{r}_i+\vec{a}\;$

(6.27)

Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor $\vec{a}\;$ wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora $\vec{r}_i^'\;$, oraz przez współrzędne wektora $\vec{r}_i\;$ (6.27):

$\partial L= L(\vec{r}_i^',\dot{\vec{r}}_i,t)- L(\vec{r},\dot{\vec{r}}_i,t)=a_1\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}+a_2\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}+a_3{{\partial L}\over{\partial x_k}}\;$

(6.28)

Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji$\partial L=0\;$, zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero:

$\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}}=\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial z_k}}=0\;$

(6.29)

Jeśli wykorzystamy wzór (6.19) na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce (6.29), wtedy po dokonaniu tejże operacji:

${{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{y}_k}}\right)={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right)=0\;$

(6.30)

Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie (6.30) możemy napisać:

$\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}=\operatorname{const}\;$ (6.31)

$\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{y}_k}}=\operatorname{const}\;$ (6.32)

$\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{z}_k}}=\operatorname{const}\;$ (6.33)

Można wykazać, że pochodna $_{{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}}\;$ jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa (6.31), (6.32) i (6.33) obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji (6.26) jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

Zasada zachowania momentu pędu

Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie (1.28), zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako:

$L=T-U={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin\phi+r^2\dot{\phi}^2\right)-U(r)\;$

(6.34)

Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej θ-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu (6.34) względem współrzędnej θ-owej jest równa zero:

$0={{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}={{d}\over{dt}}\left(mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right)\;$

(6.35)

Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy:

$L_z=m(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})_z=m(x\dot{y}-\dot{x}y)=\;$ $=m\Bigg[r\cos\theta\sin\phi \left(\dot{r}\sin\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi\cos\theta+r\dot{\phi}\sin\theta\cos\phi\right)+\;$ $-r\sin\theta\sin\phi\left(\dot{r}\cos\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi(-\sin\theta)+r\dot{\phi}\cos\theta\cos\phi\right)\Bigg]=\;$ $= mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\cos^2\theta+r^2\dot{\theta}\sin^2\theta\sin^2\phi=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;$

(6.36)

Na podstawie obliczeń (6.35), w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń (6.36), czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian $_{ L}\;$ nie zależy od współrzędnej uogólnionej q_k, to spełniona jest zasada zachowania:

${{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}=0\;$

(6.37)

Czyli taką współrzędną dla której zachodzi (6.37) nazywamy współrzędną cykliczną.

Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych

Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez $_{\vec{e}_k}\;$, gdzie przyrost położenia jest napisany:

$d\vec{r}=\sum_kg_k(q_i)dq_k\vec{e}_k\;$

(6.38)

Na podstawie (6.37) opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana:

$\vec{v}={{d\vec{r}}\over{dt}}=\sum_kg_k(q_i)\dot{q}_k\vec{e}_k\;$

(6.39)

Parametry $_{g_k(q_i)}\;$ są tak sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki (1.28), by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze (6.38):

$g_1=1;\;$ (6.40)

$g_2=r\sin\phi\;$ (6.41)

$g_3=r\;$ (6.42)

Wektory $\vec{e}_k\;$ tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo:

$\vec{e}_k\vec{e}_i=\delta_{ki}\;$

(6.43)

Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie (6.39), a także z własności ortogonalności wersorów (6.43), to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci:

$T={{1}\over{2}}m\vec{v}={{1}\over{2}}m\sum_kg_k^2\dot{q}_k^2\;$

(6.44)

Rozpatrzmy teraz wzór na drugie równanie Lagrange'a, które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej określany wzorem (6.14):

${{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=m{{d}\over{dt}}(g_k^2\dot{q}_k)-mg_k{{\partial g_k}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k^2= mg_k^2\ddot{q}_k+2mg_k\dot{q}_k\sum_i{{\partial g_k}\over{\partial q_i}}\dot{q}_k-mg_k{{\partial g_k}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k^2\;$

(6.45)

Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego w dowolnym układzie ortogonalnym współrzędnym:

$\vec{a}=\sum_kg_k\ddot{q}_k\vec{e}_k+\sum_k\dot{q}_k{{d}\over{dt}}\left(g_k\vec{e}_k\right)$

(6.46)

Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy $\ddot{q}\;$ we wzorze (6.46) i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a (6.45):

$a_k={{1}\over{mg_k}}\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right)\;$

(6.47)

Energia kinetyczną w układzie kulistym dla ciała, na którą nie działają żadne siły potencjalne jest określona na podstawie wzoru (1.28):

$T={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\sin^2\phi\dot{\theta}^2\right)\;$

(6.48)

Jeśli podstawimy wzór (6.48) do wzoru (6.47) przy oznaczeniach (6.40), (6.41) i (6.42), zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru (1.30).

Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a

Weźmy sobie całkę działania, które określamy z pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie (6.18), zatem ta nasza całka:

$S=\int_{t_1}^{t_2} L(q_k,\dot{q}_k,t)dt\;$

(6.49)

Całkę działania (6.49) będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do Metod matematycznych fizyki określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w (6.49) spełnia wniosek (MMF-7.13), w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny (6.19) lub (6.20) dla przestrzeni kartezjańskiej w postaci wektorowej.

Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście

Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta δφ

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta θ i wariacji kata φ:

$|\delta\vec{r}|=r\sin\theta\delta\delta\phi\;$

(6.50)

Wektor $\delta\vec{r}\;$ jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory $\vec{r}\;$ i $\delta\vec{\phi}\;$, wtedy wzór (6.51) możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta $\vec{\phi}\;$ i wektora promienia $\vec{r}\;$:

$\delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r}\;$

(6.51)

Równość (6.52) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta $\vec{\phi}\;$ i prędkości $\vec{v}\;$:

$\delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v}\;$

(6.52)

Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić:

$\delta L=\sum_a\left({{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}\delta\vec{r}_a+{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}\delta\vec{v}_a\right)\;$

(6.53)

Wykorzystamy teraz wzór (6.20), a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia (6.51) i wariację prędkości (6.52), w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z (6.53):

$\sum_a\left(\dot{p}_a\times(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_a\right)+\vec{p}_a(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_a))=0\;$

(6.54)

Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości (6.54) i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim:

$\delta\vec{\phi}\cdot\sum_a(\vec{r}_a\times\dot{\vec{p}}+\vec{v}_a\times\vec{v})=\delta\vec{\phi}\cdot{{d}\over{dt}}\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)=0\;$

(6.55)

Patrząc na równość (6.55) dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość:

$\vec{N}=\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)\;$

(6.56)

Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy:

$\vec{N}^'=\sum_a(\vec{r}_a^'\times\vec{p}_a^')=\sum_a\vec{r}\times\vec{p}_a-\vec{a}\times\sum_a\vec{p}_a=\vec{N}-\vec{a}\times\vec{P}\;$

(6.57)

Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia:

$\vec{N}^'=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a)=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a^')-\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{V})=\vec{N}-\left(\sum_am_a\vec{r}_a\right)\times\vec{V}\;$

(6.58)

Do wzoru końcowego (6.58) wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas (3.1):

$\vec{N}^'=\vec{N}-M\vec{R}\times\vec{V}\;$

(6.59)

Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.

• Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.

Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy:

$N_z=\sum_am_a(x_a\dot{y}_a-y_a\dot{x}_a)=\sum_a m_ar_a^2\dot{\theta}_a\;$

(6.60)

Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej:

$L={{1}\over{2}}\sum_am_a(\dot{r}_a^2+r_a^2\dot{\theta}_a^2+\dot{z}_a^2)-U\;$

(6.61)

Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym (6.61), wtedy moment sił zetowy (6.60) możemy zapisać jako:

$N_z=\sum_a{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}_a}}\;$

(6.62)

Masa zredukowana układu dwóch cząstek

Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej:

$L={{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_1+{{1}\over{2}}m_1\dot{\vec{r}}_2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)\;$

(6.63)

Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania:

$\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\;$ (6.64)

$0=m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2\;$ (6.65)

Z równań (6.64) i (6.65) możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej:

$\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;$ (6.66)

$\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;$ (6.67)

Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. (6.66) i (6.67) podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas (6.63):

$L={{1}\over{2}}m_1{{m_2^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2+{{1}\over{2}}m_2{{m_1^2}\over{(m_1+m_2)^2}}\dot{\vec{r}}^2-U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)=\;$ $={{1}\over{2}}{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\dot{\vec{r}}^2-U(r)={{1}\over{2}}m\dot{\vec{r}}-U(r)$

(6.68)

W obliczeniach (6.68) wprowadziliśmy masę zredukowaną:

$m={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;$

(6.69)

Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.

Teoria ciała sztywnego i giroskopu

Kinematyka ciała doskonale sztywnego

Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez takie wielkości, którym jest wektorem kąta obrotu prostopadłego do płaszczyzny tego obrotu, a jego prędkość kątowa obrotu, która w zamierzeniu jest prostopadła do płaszczyzny tego obrotu ma zwrot ma taki, że jeśli dana bryła obraca się niezgodnie ze wskazówkami zegara, to zwrot jest do góry względem naszej płaszczyzny, w przypadku przeciwnym zwrot jest przeciwny. Weźmy sobie pewne dwie osie obrotu, względem których następuje obrót, zatem prędkości wektorowe danego punktu bryły sztywnej poruszającej się wokół osi pierwszej lub drugiej naszej bryły sztywnej są określane:

$\vec{v}_i=\vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i\;$ (7.1)

$\vec{v}^'_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times\vec{r}_i^'\;$ (7.2)

Wektory wodzące względem nowej osi pewnego punktu jest opisana przez wektor wodzący względem starej osi i jego definicja jest:

$\vec{r}_i^'=\vec{r}_i+\vec{a}\;$

(7.3)

Wektory prędkości (7.1) i (7.2) przestawiają tą samą prędkość, a także wykorzystując fakt transformacji położenia osi starej względem nowej:

$\vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times(\vec{r}_i+\vec{a})\Rightarrow \vec{v}_T+\omega\times\vec{r}_i=\vec{v}^'_T+\omega^'\times\vec{r}_i+\omega^'\times\vec{a}\;$

(7.4)

Porównując obie strony równości (7.4) dochodzimy do wniosku, że jeśli prędkość kątowa danego punktu względem jednej osi wynosi $\vec{\omega}\;$, to względem drugiej jest wielkością taką samą, co wynika ze wspomnianego wzorze dla dowolności $\vec{r}\;$:

$\vec{\omega}^'=\vec{\omega}\;$

(7.5)

Biorąc tożsamość (7.5) do wzoru (7.4), wtedy możemy napisać równość na prędkość danego punktu ciała sztywnego względem drugiej osi znając prędkość ciała względem pierwszej osi i prędkość ruchu postępowego osi drugiej względem osi pierwszej:

$\vec{v}=\vec{v}_T^'+\vec{\omega}\times\vec{a}\;$

(7.6)

Sprawdźmy jakie jest złożenie obrotów powstały przy obrocie pierwszym z prędkością kątowa obrotu $\vec{\omega}_1\;$, i przy obrocie drugim z prędkością kątowej obrotu: $\vec{\omega}_2\;$, co można napisać najpierw wykonując pierwszy obrót, a potem drugi, wtedy przesunięcia powstałe w wyniku tychże dwóch obrotów jest napisane:

$d\vec{r}_1=(\vec{\omega}_1\times\vec{r})dt\;$ (7.7)

$d\vec{r}_2=\vec{\omega}_2\times(\vec{r}+d\vec{r}_1)dt\;$ (7.8)

Suma dwóch obrotów, które są obrotami z różnymi prędkościami kołowymi obrotów, to w ten sposób z dokładnością do wyższych rzędów, jest przestawiana:

$d\vec{r}=d\vec{r}_1+d\vec{r}_2=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times\vec{r}dt\;$

(7.9)

Kąty Eulera

Kąty Eulera

Ruch obrotowy ciała sztywnego może być opisany w nowym układzie współrzędnych (x',y'.z';), który można przejść z układu (x,y,z) do wspomnianego układu za pomocą kątów (φ,ψ,θ), zatem aby stworzyć kąty Eulera, a na je podstawie prędkości obrotów, należy wykonać czynności.

• Pierwszą czynnością jest obrót osi z o kąt θ w płaszczyźnie z=0, i z'=0, rozważana prędkość jest prostopadła do naszej płaszczyzny, jest ona skierowana wzdłuż osi "w":

$\vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\vec{e}_k=\dot{\theta}(\cos\psi\vec{e}_{x^'}-\sin\psi\vec{e}_{y^'})\;$

(7.10)

• Obrót wokół osi z, jego prędkość kątowa jest opisana:

$\vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left(\sin\theta\sin\psi\vec{e}_{x'}+\sin\theta\cos\psi\vec{e}_{y'}+\cos\theta\vec{e}_{z^'}\right)\;$

(7.11)

• I na samym końcu dokonajmy obrotu wokół osi z':

$\vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\vec{e}_{z^'}\;$

(7.12)

Całkowita prędkość kątowa obrotu całego układu (osi współrzędnych) jest określana przez:

$\vec{\omega}=p\vec{e}_{x^'}+q\vec{e}_{y'}+r\vec{e}_{z^'}\;$

(7.13)

W powyższym wzorze (7.13) występują współrzędne (p,q,r), ich definicje na podstawie (7.10), (7.11) i (7.12) są:

$p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\;$ (7.14)

$q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\;$ (7.15)

$r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\;$ (7.16)

Równania (7.14), (7.15) i (7.16) nazywamy kinematycznymi równaniami Eulera.

Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej

Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, czyli wzorem (6.1). Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracająca się, dla której oś obrotu porusza się z prędkością $\vec{v}_T\;$, przestawiamy:

$2T=\sum_im_i\vec {v}_i=\sum_im_iv_T^2+\sum_im_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2+2\sum_i m_i\left(\vec{\omega}\times\vec{r}_i\right)\vec{v}_T\;$

(7.16)

Ostatni wyraz występujący się w punkcie jest wielkością zerową, bo zakładamy, że środek masy znajduje się w punkcie zerowym na osi układu, co wynika z definicji położenia środka masy (3.1), zatem dostajemy, że energia kinetyczna ruchu ciała jest suma energii środka masy i ruchu obrotowego (rotacyjnego), co wzór (7.16) przestawiamy przy wcześniejszych rozważaniach:

$T={{1}\over{2}}M\vec{v}_T^2+{{1}\over{2}}\sum_i m_i\left(\vec{\omega}\times\vec{r}_i\right)^2=T_{trasl}+T_{rot}\;$

(7.17)

Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość opisana wzorem (1.19), z którego to skorzystamy przy obliczeniach nad energią kinetyczną ruchu rotacyjnego:

$2T_{rot}=\sum_im_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)^2=\sum_im_i\vec{\omega}^2\vec{r}_i^2-\sum_im_i(\vec{\omega}\vec{r}_i)^2=\;$ $=\sum_im_i (\omega_x^2+\omega_{y}^2+\omega_z^2)(x_i^2+y_i^2+z_i^2)-\sum_im_i\left(\omega_x x_i+\omega_y y_i+\omega_zz_i\right)^2=\;$ $= \sum_im_i\left(\omega_x^2x_i^2+\omega_x^2y_i^2+\omega_x^2z_i^2+\omega_y^2x_i^2+\omega_y^2y_i^2+\omega_y^2z_i^2+\omega_z^2x_i^2+\omega_z^2y_i^2+\omega_z^2z_i^2\right)+\;$ $- \sum_im_i\left(\omega_x^2x_i^2+\omega_y^2y_i^2+\omega_z^2z_i^2+2\omega_x\omega_yx_iy_i+2\omega_x\omega_zx_iz_i+\omega_y\omega_zy_iz_i\right)=\;$ $= \sum_im_i\omega_x^2(y_i^2+z_i^2)-\sum_im_i\omega_x\omega_yx_iy_i-\sum_im_i\omega_x\omega_yx_iz_i-\sum_i m_i\omega_y\omega_xy_ix_i+\sum_im_i\omega_y^2(x_i^2+z_i^2)+\;$ $-\sum_im_i\omega_y\omega_zy_iz_i-\sum_{i}m_i\omega_z\omega_yz_iy_i-\sum_im_i\omega_z\omega_yz_iy_i+\sum_{i}m_i\omega_z^2(x_i^2+y_i^2)$

(7.18)

Energię kinetyczną i moment pędu zdefiniujmy jako iloczyn tensora momentu pędu i wektora prędkości katowej, a energię kinetyczną definiujemy jako wektor transponowany wektora prędkości kątowej przez wektor momentu pędu, i co wszystko definiujemy wiedząc, że $_{\vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)}\;$:

$\vec{K}=\hat{I}\vec{\omega}\;$ (7.19)

$T_{rot}=\vec{\omega}^T\vec{K}=\vec{K}^T\vec{\omega}=\vec{\omega}^T\hat{I}\vec{\omega}\;$ (7.20)

Gdzie macierz $\hat{I}\;$ jest zdefiniowana wzorem poniżej, którego to wykorzystaliśmy do wyznaczania momentu pędu (7.19) i energii kinetycznej ruchu obrotowego (7.20):

$\hat{I}=\begin{bmatrix} \sum_im_i(y_i^2+z_i^2)&-\sum_im_ix_iy_i&-\sum_im_ix_iz_i\\ -\sum_im_iy_ix_i&\sum_im_i(x_i^2+z_i^2)&-\sum_iy_iz_i\\ -\sum_im_iz_ix_i&-\sum_im_iz_iy_i&\sum_im_i(x_i^2+y_i^2)\end{bmatrix}$

(7.21)

Tensor czy macierz (7.21) nazywamy tensorowym momentem bezwładności.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a

Z zasady Lagrange'a drugiego rozdzaju (6.19) możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego (1.68), dla którego punktem wyjścia jest równanie Lagrange'a:

${{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{\omega}}}-{{\partial L}\over{\partial\vec{\theta}}}=0\;$

(7.22)

Lagrangian ruchu obrotowego możemy przestawić jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej (7.20) i energii potencjalnej bryły sztywnej, zatem pochodna cząstkowa lagrangianu L względem współrzędnej prędkości kątowej przestawiamy poprzez:

${{\partial L}\over{\partial\omega_i}}={{1}\over{2}}I_{ik}\omega_k+{{1}\over{2}}I_{ki}\omega_k=I_{ik}\omega_k\Rightarrow {{\partial L}\over{\partial\vec{\omega}}}=\hat{I}\vec{\omega}=\vec{K}\;$

(7.23)

Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu $\delta\vec{\theta}\;$ zmienia się o wartość określoną przez wzór poniżej, i w tej samej linijce określimy moment siły przez pochodną cząstkową Lagrangianu względem kata $_{\vec{\theta}}\;$.

$\delta U=-\sum\vec{F}\cdot\delta\vec{r}=-\sum\vec{F}\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec{r})=-\delta\vec{\theta}\sum(\vec{r}\times\vec{F})=-\vec{N}\cdot\delta\vec{\theta}\Rightarrow\vec{N}=-{{\partial U}\over{\partial\vec{\theta}}}={{\partial L}\over{\partial\vec{\theta}}}\;$

(7.24)

Możemy podstawić końcowe wzory moment sił (7.24) na moment sił i wzoru na moment pędu (7.23) do wzoru Lagrange'a (7.22), wtedy otrzymamy wzór na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, którą określamy:

${{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}\;$

(7.25)

Diagonalizacja tensora momentu bezwładności

Patrząc na wzór (7.20), który jest energią kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, w której zdefiniujemy wektor $_{\vec{n}={{\vec{\omega}}\over{|\vec{\omega}|}}}\;$, wtedy można napisać:

${{2T_{rot}}\over{\omega^2}}=\sum_{k,m=1}^3I_{km}n_kn_m\;$

(7.26)

Momentem bezwładności ciała I nazywamy moment bezwładności, który jest ilorazem podwojonej energii całkowitej rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej , który to zapisujemy na podstawie tożsamości (7.26), co w którym wprowadzimy jednocześnie oznaczenie $_{x_k={{n_k}\over{I}}}\;$, otrzymujemy:

$I=\sum_{j,m=1}^3I_{km}n_kn_m\Rightarrow 1=\sum_{k,m=1}^3I_{km}x_kx_m\;$

(7.27)

Końcowy wzór wynikowy zapisanej w punkcie (7.27) przestawia elipsoidę obrotową w trójwymiarowym układzie współrzędnych, wtedy możemy obrać pewne kąty (θ,φ,ψ), w których to w nowym układzie współrzędnych tensor bezwładności pozostaje tensorem diagonalnym, którego schemat w układzie własnym bryły sztywnej przestawiamy:

$\hat{I}=\begin{bmatrix} A&0&0\\ 0&B&0\\ 0&0&C\end{bmatrix}\;$

(7.28)

Wzór na całkowitą energie w ruchu obrotowym ciała w jego układzie własnym, w którym obowiązuje macierz tensora bezwładności (7.28), przestawiamy:

$2T_{rot}=A{\omega}^2_{x^'}+B{\omega}^2_{y^'}+C{\omega}^2_{z^'}\;$

(7.29)

Wielkości A,B, C nazywamy głównymi momentami bezwładności ciała. Moment pędu w układzie własnym bryły sztywnej określamy:

$\vec{K}=(A\omega_{x^'},B\omega_{y'},C\omega_{z^'})=(Ap,Bq,Cr)\;$

(7.30)

Dynamiczne równania Eulera

Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (1.68) i wykorzystując, że pochodna dowolnego wektora obracającego się układu współrzędnych jest opisana wzorem (1.187), wtedy wzór opisujących dynamikę układu współrzędnych piszemy:

$\dot{\vec{K}}+\vec{\omega}\times\vec{K}=\vec{N}\;$

(7.31)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że zachodzi $_{\vec{\omega}=(p,q,r)}\;$, a także biorąc jeszcze jeden fakt powiedziany punkcie (7.26), zatem na podstawie tego możemy powiedzieć (7.27), jako:

$A\dot{p}+(C-B)qr=N_{x^'}\;$ (7.32)

$B\dot{q}+(A-C)rp=N_{y^'}\;$ (7.33)

$C\dot{r}+(B-A)pq=N_{z^'}\;$ (7.34)

Równania (7.32), (7.33) i (7.34) są to dynamiczne równania Eulera.

Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi

Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na które nań nie działają żadne momenty sił i zakładając przy tym, że prędkość kątowa jest stała, jeśli prędkości kątowe względem czasu, tzn., pochodne zupełne wielkości p,q,r nie zmieniają się wcale, to na podstawie tego można napisać równość:

$(C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0\;$

(7.35)

Powyższa równość przy różnych od siebie parametrach A, B, muszą być dwie wartości równe zero z trzech z wielkości p,q i r , co kończą się nasze rozważania na ten temat.

Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w której prędkość kątowa p=p₀ jest w przybliżeniu wielkością stałą, zaś funkcje q i r są bardzo małe, i z warunku nie działania momentów sił na nasz układ na podstawie tego wniosku możemy powiedzieć:

$A\dot{p}+(C-B)qr=0\;$ (7.36)

$B\dot{q}+(A-C)rp_0=0\;$ (7.37)

$C\dot{r}+(B-A)qp_0=0\;$ (7.38)

Równanie (7.36) na podstawie naszych rozważań jest tożsamościowo równe zero, zatem rozpatrzmy teraz dwa równania, tzn. równania (7.37) i (7.38), zatem różniczkując równanie (7.37) i podstawiając do równości (7.38), wtedy otrzymujemy pierwsze równanie na r, podobnie robimy to samo dla równania, z którego wyznaczać będziemy q, wtedy dostajemy dwie równości:

$\ddot{q}=-Hq\;$ (7.39)

$\ddot{r}=-Hr\;$ (7.40)

$\mbox{ gdzie: }H={{A-C}\over{B}}{{A-B}\over{C}}p_0^2\;$ (7.41)

Rozwiązaniem równań (7.39) i (7.40) są równania określone jako:

$q=q_0e^{bt}\;$ (7.42)

$r=r_0e^{bt}\;$ (7.43)

$b^2=-H\;$ (7.44)

Gdy w rozwiązaniu (7.42) i (7.43) będziemy mieli takie H, by zachodziło H>0, co zachodzi na podstawie (7.41) dla przypadków A>C i A>B lub A<C i A<B, to wtedy te nasze dwa rozwiązania są równaniami oscylatora harmonicznego, natomiast gdy A>C i A<B lub A<C i A>B, to orbita po której porusza się nasza bryła sztywna jest orbitą niestabilną.

Ruch bez działu sił giroskopu symetrycznego

Załóżmy, że mamy do czynienia z giroskopem symetrycznym, dla którego zachodzi A=B i oś x' niech będzie osią symetrii, nasz giroskop znajduje się w polu sił ciężkości, nasz giroskop jest podparty w środku masy.

Na podstawie definicji środka masy (3.1) środek masy znajduje się w położeniu zerowym, tzn. jego moment siły tej siły ciężkości jest równy zero, czyli:

$\vec{N}=\sum_i\vec{r}_i\times(m_i\vec{g})=(\sum_im_i\vec{r}_i)\times\vec{g}=0\;$

(7.45)

Równania ruchu giroskopu, czyli równania Eulera dla naszego przypadku piszemy:

$A\dot{p}=(C-A)qr=0\;$ (7.46)

$A\dot{q}+(A-C)rp\;$ (7.47)

$C\dot{r}=0\;$ (7.48)

Ż równania (7.48) otrzymujemy natychmiast, że r=r₀=const, zatem naszymi równaniami ruchu są to dwa pierwsze powyższe równania, ale z warunku stałości r możemy otrzymać warunki na ruch giroskopu:

$\dot{p}-rq=0\;$ (7.49)

$\dot{q}+Rp=0\;$ (7.50)

$\mbox{ gdzie: }R={{A-C}\over{A}}r_0\;$ (7.51)

Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.

Równanie (7.46) możemy zróżniczkować względem czasu i wtedy równanie (7.49) podstawiamy do niego i w ten sposób otrzymujemy równanie drugiego stopnia, podobnie otrzymujemy inne równanie, które to (7.49) różniczkujemy względem czasu i podstawiamy do niego równość (7.46) i w ten sposób otrzymujemy drugie równanie, zatem te nasze dwa równania piszemy:

$\ddot{p}+R^2p=0\;$ (7.52)

$\ddot{q}+R^2q=0\;$ (7.53)

Rozważamy układu równań, tzn. (7.52) i (7.53), które są równaniami ruchu, z których wynikają rozwiązania harmoniczne:

$p=a\sin(Rt+\phi)\;$ (7.54)

$q=a\cos(RT+\phi)\;$ (7.55)

Prędkość kątowa giroskopu symetrycznego, wykorzystując przy tym rozwiązania (7.54) i (7.55), jest równa wartości:

$\vec{\omega}^2=r^2+p^2+q^2=r_0^2+a^2=\operatorname{const}\;$

(7.56)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.56) rzut wektora $\vec{\omega}\;$ zakreśla okrąg o promieniu na płaszczyźnie (x',y'), którego kąt rozwarcia jest napisany:

$\gamma=\operatorname{arctg}{{a}\over{r_0}}\;$

(7.57)

Aby napisać dalszy tok obliczeń należy wykorzystać kinematyczne równanie Eulera (7.14), (7.15) i (7.16), wtedy wyznaczone prędkości kątowe p, q, r według wzorów (7.54) i (7.55) możemy napisać:

$\begin{cases} a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\\ \end{cases}\;$

(7.58)

Wybierzmy sobie teraz taki kierunek, w której wektor momentu pędu jest równoległy do osi zetowej, zatem współrzędne wektora momentu pędu we współrzędnych (x',y',z') piszemy wedle schematów poniżej:

$\begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi\\ K_{x'}=K\cos\theta \end{cases}\;$

(7.59)

Jeśli weżniemy teraz wzór na moment pędu, dla macierzy bezwładności, w której występują diagonalne elementy tejże macierzy, zatem moment pędu liczonej wedle wzoru (7.30) przestawiamy jako:

$\begin{cases} K_{x'}=A\omega_{x'}=Ap=A(\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\theta)=K\sin\phi\sin\psi\\ K_{y'}=B\omega_{y'}=Aq=A(\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\theta)=K\sin\phi\cos\psi\\ K_{z'}=C\omega_{z'}=Cr_0=C(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\theta})=K\cos\theta\\ \end{cases}\;$

(7.60)

Patrząc na ostatni wzór występujący w układzie równań (7.60), wtedy dochodzimy do wniosku, że stałymi wielkościami są $_{\theta}\;$, a także $_{\dot{\varphi}}\;$. Biorąc powyższe uwagi dla układ równań (7.60), wtedy dostajemy inny układ równań:

$\begin{cases} a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta_0\cos\psi\\ a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta_0\cos\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta_0+\dot{\psi}\end{cases}\;$

(7.61)

Z równania pierwszego i drugiego układu równań (7.61) od razu wynika dla dowolności zmiennej "t" związek na zmienną kątową ψ w zależności od zmiennej kątowej Φ i czasu, a także tożsamość na pochodną zmiennej kątowej φ:

$\psi=Rt+\phi\;$ (7.62)

$A\dot{\varphi}\sin\theta_0\Rightarrow\dot{\varphi}={{a}\over{\sin\theta_0}}\;$ (7.63)

Ż równości końcowej i wynikowej (7.63) od razu wynika, że zachodzi warunek na $\varphi\;$, z którego wzór w zależności od "t" przestawiamy w sposób liniowy od czasu:

$\varphi={{a}\over{\sin\theta_0}}t+\varphi_0\;$

(7.64)

Z końcowego układu równań dla ostatniego równania (7.61) i wniosku (7.62), a także (7.63) i z definicji R (7.51) wynika tożsamość na tangens kąta początkowego w chwili początkowej θ₀:

$r_0={{a}\over{\sin\theta_0}}\cos\theta_0+R\Rightarrow (r_0-R)\operatorname{tg}\theta_0=a\Rightarrow\operatorname{tg}\theta_0={{a}\over{r_0-R}}={{a}\over{r_0-{{A-C}\over{A}}r_0}}={{aA}\over{r_0C}}\;$

(7.65)

Z rozważań wynikłych z udowodnionych tożsamości (7.62), (7.64) i na samym końcu z (7.65) wynikają trzy równania ruchu, które przestawiamy układem równań:

$\psi=Rt+\phi\;$ (7.66)

$\varphi={{a}\over{\sin\theta_0}}t+\varphi_0\;$ (7.67)

$\theta_0=\operatorname{arctg}{{aA}\over{r_0C}}\;$ (7.68)

Powyższe obliczenia przestawiają ciało, którego oś obrotu porusza się z pewną prędkością kątową wokół osi zetowej, a nasze ciało okrąża daną poruszającą się oś z prędkością kątową ω.

Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym

Rozpatrzmy giroskop szybko poruszający się, którego tensor moment bezwładności jest macierzą diagonalną, zatem w takim przypadku energia rotacyjna jest wyrażona wzorem (7.20) , który to lagrangian takiego ciała sztywnego, przy wykorzystaniu wzorów według (7.14), (7.15) i (7.16), jest przestawiany jako:

$L=T-U={{A}\over{2}}\omega_{x^'}^2+{{B}\over{2}}\omega_{y^'}^2+{{C}\over{2}}\omega_{z^'}^2-U=\;$ $={{A}\over{2}}\left[\left(\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\right)+\left(\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\right)^2\right]+\;$ $+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta=$ ${{A}\over{2}}\Bigg[\dot{\varphi}^2\sin^2\theta\sin^2\psi+\dot{\theta}^2\cos^2\psi+2\dot{\varphi}\dot{\theta}\sin\theta\sin\psi\cos\psi+\dot{\phi}^2\sin^2\theta\cos^2\psi+\;$ $+\dot{\theta}^2\sin62\theta-2\dot{\varphi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\psi\sin\psi\Bigg]+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta=\;$ $={{A}\over{2}}\left(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta+\dot{\theta}^2\right)^2+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2-Mgs\cos\theta$

(7.69)

Według warunku zapisanego w punkcie (6.22) dla Lagrangianu nasza energia nie zależy od czasu, wtedy całkowita energia układu pozostaje w czasie stała, a Lagrangian (7.69) też nie zależy od czasu:

$E=T+U={{A}\over{2}}\left(\dot{\varphi}^2\sin^2\theta+\dot{\theta}^2\right)+{{C}\over{2}}\left(\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\right)^2+Mgs\cos\theta\;$

(7.70)

Dodatkowo zauważamy, że pochodne Lagrangianu (7.59) w względem współrzędnych $_{\varphi}\;$ i $_{\psi}\;$ przyjmuje wartość zawsze zero, zatem te współrzędne są to współrzędne cykliczne, zatem dwie wielkości, które podamy poniżej, przyjmują wartość zero:

${{\partial L}\over{\partial\dot{\varphi}}}=A\dot{\varphi}\sin^2\theta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta=\alpha=\operatorname{const}\;$

(7.71)

${{\partial L}\over{\partial\dot{\psi}}}=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)=\beta=\operatorname{const}\;$

(7.72)

Do wzoru napisanego w punkcie (7.71) możemy podstawić wzór (7.72), wtedy otrzymujemy równość:

$A\dot{\varphi}\sin^2\theta+\beta\cos\theta=\alpha\Rightarrow \dot{\varphi}={{\alpha-\beta\cos\theta}\over{A\sin^2\theta}}\;$

(7.73)

I ostatecznie wzory (7.72) i (7.63) podstawiamy do wzoru na energie całkowitą mechaniczną (7.70), otrzymujemy:

${{A}\over{2}}\dot{\theta}^2+{{\left(\alpha-\beta\cos\theta\right)^2}\over{2A\sin^2\theta}}+{{\beta^2}\over{2C}}+Mgs\cos\theta=E\;$

(7.74)

Określmy teraz warunki brzegowe, które to piszemy wedle schematów:

$\theta=\theta_0={{\pi}\over{2}}\;$ (7.75)

$\varphi=0\;$ (7.76)

$\psi=0\;$ (7.77)

$\dot{\theta}=0\;$ (7.78)

$\dot{\varphi}=0\;$ (7.79)

$\dot{\psi}=\dot{\psi}_0\;$ (7.80)

Wykorzystując warunki (7.75), (7.76), (7.77) i (7.78), (7.79) i (7.80) i na samym końcu wzory (7.71) i (7.72), wtedy stałe α i β i całkowita energia rozważanego układu (7.74) przyjmują wartości:

$\alpha=0\;$ (7.81)

$\beta=C\dot{\psi}_0=\operatorname{const}\;$ (7.82)

$E={{C}\over{2}}\dot{\psi}_0^2=\operatorname{const}\;$ (7.83)

Do równanie (7.74) możemy dokonać podstawienia za θ, która jest zależna od kąta θ i od kata χ:

${\theta={{\pi}\over{2}}-\chi}\;$

(7.84)

W tak powstałym wyrażeniu na E (7.74) zakładamy, że mamy do czynienia z małymi katami (wtedy zachodzi sinχ≈χ), wtedy to równanie możemy przepisać przy warunku brzegowym (7.81) do postaci:

${{A}\over{2}}\dot{\chi}^2+{{\beta^2}\over{2A}}\chi^2+{{\beta^2}\over{2C}}+Mgs\chi=E\;$

(7.85)

W równości (7.85) różniczkujemy obie jego strony, i w ten sposób dostajemy równanie różniczkowe wynikające z powyższego:

$A\ddot{\chi}+{{\beta^2}\over{A}}\chi+Mgs=0\;$

(7.86)

W równaniu (7.86) widzimy, że występuje w nim pewna stała występująca w równaniu, czyli Mgs, którą to uwzględnimy w jego rozwiązaniu:

$\chi=c_1\cos\left({{\beta}\over{A}}t+c_2\right)-{{MgsA}\over{\beta^2}}\;$

(7.87)

Możemy dalej wykorzystać warunki brzegowe (7.75) i (7.78), a także tożsamości między kątem θ, a χ (7.84), w ten sposób dla t=0 przy równaniu różniczkowym (7.86) dla jego rozwiązania (7.87) przy jego warunkach brzegowych, tzn. sama funkcja i jej pochodna, przyjmujących kształt:

$\chi(t=0)=c_1\cos c_2-{{MgsA}\over{\beta^2}}=0\;$ (7.87)

$\dot{\chi}(t=0)=-c_1{{\beta}\over{A}}\sin c_2=0\;$ (7.88)

Na podstawie warunków brzegowych (7.87) i (7.89) i podstawienia (7.84) możemy napisać rozwiązanie na kąt θ, który to całkowite równanie na rozwiązania θ możemy przepisać w postaci:

$\theta={{\pi}\over{2}}-\chi={{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\;$

(7.90)

Widzimy, że według równania (7.90) następuje kiwanie bryły sztywnej wokół kąta $_{\theta={{\pi}\over{2}}}\;$, który określamy przez $_{\theta={{\pi}\over{2}}+{{2MgsA}\over{\beta^2}}}\;$. Załóżmy, że teraz mamy równość (7.90), którego sinus jest zawsze bliski jedności, zatem na podstawie tego dla małych odchyleń od katą$_{{{\pi}\over{2}}}\;$ możemy powiedzieć, że zachodzi poniższa równość na sinus kąta θ:

$\sin\theta=\sin\left[{{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]\simeq 1\;$

(7.91)

Jeśli wykorzystamy wzór na kąt θ według wzoru (7.90) dla przybliżenia małych kątów, to jego kosinus:

$\cos\theta=\cos\left[{{\pi}\over{2}}+{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]=\sin\left[{{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\right]\simeq\;$ $\simeq {{MgsA}\over{\beta^2}}\left(1-\cos{{\beta}\over{A}}t\right)\;$

(7.92)

Mając warunek (7.91) napiszmy czemu są równe wyrażenia na stałą α (7.71) oraz β (7.72):

$\alpha=A\dot{\varphi}+C\left(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta\right)\cos\theta\simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta=0\;$ (7.93)

$\beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\;$ (7.94)

Wykorzystując równość (7.93), z której możemy policzyć pochodną wielkości φ względem czasu, by potem wyznaczyć samą tą wielkość:

$\dot{\varphi}=-{{\beta}\over{A}}\cos\theta\Rightarrow\varphi={{Mgs}\over{\beta}}\left[t-{{A}\over{\beta}}\sin\left({{\beta}\over{A}}t\right)\right]\;$

(7.95)

Patrząc na wzór (7.95) możemy powiedzieć, że oś symetrii giroskopu zatacza koło na płaszczyźnie (x,y) w przybliżeniu prędkością kątową $_{\dot{\varphi}={{Mgs}\over{\beta}}}\;$, ten ruch nazywamy precesją , a niewielkie jego odchylenia noszą nazwę nutacjami . Na sam koniec rozważmy tożsamość na β, czyli:

$\beta=C\dot{\psi}_0=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\simeq C\dot{\psi}\Rightarrow \dot{\psi}={{\beta}\over{C}}=\dot{\psi}_0=\operatorname{const}\;$

(7.96)

Bąk całkowicie asymetryczny

Obierzmy sobie bąk, który posiada tylko diagonalne elementy tensora momentu pędu, a relacja między tymi składowymi jak można założyć jest A>B>C. Równości na całkowitą energię i moment pędu bąka możemy przestawić poprzez równania:

$\begin{cases}Ap^2+Bq^2+Cr^2=2E\\A^2p^2+B^2q^2+C^2r^2=K^2\end{cases}\;$

(7.97)

Równości (7.97) możemy przestawić poprzez definicje składowych momentu pędu przestawionych według wzoru (7.30) zdefiniowanej poprzez definicję elementów zdiagnozalizowanego tensora momentu bezwładności (7.28) i trzech prędkości kątowych (p,q,r) bąka asymetrycznego:

$\begin{cases} {{K_x^2}\over{A}}+{{K_y^2}\over{B}}+{{K_z^2}\over{C}}=2E\\ K_x^2+K_y^2+K_z^2=K^2 \end{cases} \;$

(7.98)

Elipsoida obrodowa pierwszego równania (7.99) ma półosie elipsoidy o następujących wartościach:$\sqrt{2EA}\;$, $\sqrt{2EB}\;$,$\sqrt{2EC}\;$. Z równań (7.98) możemy napisać inny wynikający wniosek na kwadrat całkowitego momentu pędu bąka K², znając A i C, a także całkowitą jego energię E:

$\begin{cases} K_x^2{{C}\over{A}}+K_y^2{{C}\over{B}}+K_z=2EC\Rightarrow K_x^2+K_y^2+K_z^2<2EC\Rightarrow K^2<2EC\\ K_x^2+K_y^2{{A}\over{B}}+K_z^2{{A}\over{C}}=2EA\Rightarrow K_x^2+K_y^2+K_z^2>2EA\Rightarrow K^2>2EA \end{cases}\;$

(7.99)

Wyznaczmy teraz kwadraty zmiennych "p' i "r" z układu równań (7.97) w zależności od kwadratu prędkości katowej q. Aby wyznaczyć p² w zależności od zmiennej q² należy pierwsze równanie pomnożyć przez C i odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność:

$(AC-A^2)p^2+(BC-B^2)q^2=2EC-K^2\Rightarrow p^2={{1}\over{A(C-A)}}\left[(2EC-K^2)-B(C-B)q^2\right]\;$

(7.100)

By wyznaczyć równość na zmienną r² w zależności od zmiennej q² należy pierwszą równość (7.97) pomożyć przez A i tak otrzymany układ równań odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność:

$(BA-B^2)q^2+(CA-C^2)r^2=2EA-K^2\Rightarrow r^2={{1}\over{C(C-A)}}\left[(K^2-2EA)-B(B-A)q^2\right]\;$

(7.101)

Skorzystamy z równości (7.33), by podstawić do niego wzory wynikłe z (7.100), (7.101), co potem otrzymujemy:

$\dot{q}={{C-A}\over{B}}pr={{1}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{\left[(2EC-K^2)-B(C-B)q^2\right]\left[(K^2-2EA)-(B(B-A)q^2\right]}\;$

(7.102)

Aby znaleźć funkcję q od t, należy zdefiniować wzory na τ (który przestawimy w zależności od zmiennej t), i s (który przestawimy w zależności od zmiennej t), które oba te podstawienia będą zależeć od diagonalnych elementów zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, tzn. A,B,C, a także od całkowitej energii bąka asymetrycznego E i jego wartości całkowitego momentu pędu K, czyli należy dokonać podstawień:

$\tau=t\sqrt{{{(C-B)(K^2-2EA)}\over{ABC}}}\;$ (7.103)

$s=q\sqrt{{{B(C-B)}\over{2EC-K^2}}}\;$ (7.104)

a także dodatni parametr k²<1, który zależy od tych samych parametrów co zmienne τ i "s".

$k^2={{(B-A)(2EC-K^2)}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}\;$

(7.105)

Wyznaczmy teraz pochodną funkcji "s" (7.104) względem τ (7.103), przy zdefiniowanym parametrze k² (7.105) i przy istniejącym wzorze (7.102), otrzymujemy:

${{ds}\over{d\tau}}={{dq}\over{dt}}\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-K^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}=\;$ $={{1}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{\left[(2EC-K^2)-B(C-B)s^2{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\right]}\cdot$ $\cdot\sqrt{\left[(K^2-2EA)-(B(B-A)s^2{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\right]}\cdot$ $\cdot\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-M^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}=\;$ ${{\sqrt{2EC-K^2}}\over{B\sqrt{AC}}}\sqrt{1-s^2}\sqrt{K^2-2EA}\sqrt{1-{{(B-A)(2EC-K^2)}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}}\cdot$ $\cdot\sqrt{{{AB^2C(C-B)}\over{(2EC-K^2)(C-B)(K^2-2EA)}}}=\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)}$

(7.106)

Równość końcowa uzyskana z równania (7.106) możemy przestawić w postaci całki τ zależnej od zmiennej s przy parametrze k² zdefiniowanej w punkcie (7.105):

$\tau=\int_0^s{{ds}\over{\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)}}}\;$

(7.107)

Szukana funkcja jest to odwrotność do funkcji uzyskanej z postaci jej wersji całkowej (7.107), wiemy jednak, że ta zależność jest jedną z funkcji eliptycznych Jacobiego.

$s=\operatorname{sn}\tau\;$

(7.107)

Jak widzimy na podstawie przestawienia całki na τ (7.107) wartość bezwzględna parametru s jest mniejsza niż jeden, bo tylko wtedy funkcja podcałkowa ma sens. Definicje innych funkcji Jacobiego opartych o funkcje eliptyczne s=snτ (7.107) i o definicję parametru k² (7.105) (o ten współczynnik jest oparty dnτ) są to funkcje zdefiniowane jako:

$\operatorname{cn}\tau=\sqrt{1-\operatorname{sn}^2\tau}\;$ (7.108)

$\operatorname{dn}\tau=\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2\tau}\;$ (7.109)

Prędkość kątową q możemy policzyć ze wzoru (7.104) przy wykorzystaniu funkcji eliptycznej (7.107), która τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.103), zatem funkcja q jest zależna od czasu:

$q=\sqrt{{{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}}\operatorname{sn}\tau\;$

(7.110)

Dalszym krokiem jest wyliczenie kwadratu prędkości kątowej p² ze wzoru (7.100) wykorzystując definicję funkcji eliptycznej cnτ (7.108), której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.103), zatem funkcja p jest zależna od czasu:

$p^2={{1}\over{A(C-A)}}\left[(2EC-K^2-B(C-B){{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\operatorname{sn}^2\tau\right]={{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}\sqrt{1-\operatorname{sn}^2\tau}=\;$ $={{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}\operatorname{cn}^2\tau\;$

(7.111)

Dalszym krokiem jest wyliczenie prędkości kątowych p² ze wzoru (7.101) wykorzystując definicję funkcji eliptycznej dnτ (7.109), której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.103), zatem funkcja r jest zależna od czasu:

$r^2={{1}\over{C(C-A)}}\left[(K^2-2EA)-B(B-A){{2EC-K^2}\over{B(C-B)}}\operatorname{sn}^2\tau\right]=\;$ $={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\left(1-{{(B-A)(2EC-K^2}\over{(C-B)(K^2-2EA)}}\operatorname{sn}^2\tau\right)={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\left(1-k^2\operatorname{sn}^2\tau\right)=\;$ $={{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}\operatorname{dn}^2\tau$

(7.112)

Na podstawie obliczeń (7.111) i (7.112) wyznaczymy wartości prędkości kątowych p i r, które są zależne od funkcji eliptycznych cnτ (7.108), i dnτ (7.109), których to zmienna τ jest zależna liniowo od czasu wedle (7.103):

$p=\sqrt{{{2EC-K^2}\over{A(C-A)}}}\operatorname{cn}\tau\;$ (7.113)

$r=\sqrt{{{K^2-2EA}\over{C(C-A)}}}\operatorname{dn}\tau\;$ (7.114)

Jak widzimy na podstawie całki (7.107), gdy k²→0, wtedy dwie pierwsze funkcji eliptyczne przechodzą w funkcje trygonometryczne, a ostatnia dąży do jedynki, tzn. snτ→sinτ, cnτ→cosτ, dnτ→1. Mając poszczególne składowe momentu pędu (7.59), a także składowe momentu pędu poprzez ich prędkości kątowe (7.30), wtedy możemy je napisać w związkach:

$\begin{cases} K\sin\theta\sin\psi=Ap\\ K\sin\theta\cos\psi=Bq\\ K\cos\theta=Cr\end{cases}\;$

(7.115)

Z trzeciego równania (7.115) możemy wyznaczyć cosθ, a dzieląc równość pierwszą przez drugą otrzymamy równość na tgψ. Wykorzystując związki (7.110), (7.113) i (7.114) możemy napisać związki na cosθ i tgθ w zależności od τ i elementów bezwładności zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, a także od całkowitej energii E i momentu pędu bąka K:

$\cos\theta={{Cr}\over{K}}=\sqrt{{{C(K^2-2EA)}\over{M^2(C-A)}}}\operatorname{dn}\tau\;$ (7.116)

$\operatorname{tg}\psi={{Ap}\over{Bq}}=\sqrt{{{A(C-B)}\over{B(C-A)}}}{{\operatorname{cn}\tau}\over{\operatorname{sn}\tau}}\;$ (7.117)

Pozostało jeszcze nam obliczyć kąt φ, w tym celu wyznaczmy go z dwóch tożsamości (7.116) (który mnożymy obustronnie przez sinθ), i (7.117) (który mnożymy przez cosφ), wtedy w ostatecznych rozrachunkach:

$\dot{\varphi}={{p\sin\psi+q\cos\psi}\over{\sin\theta}}={{p\sin\theta\sin\psi+q\sin\theta\cos\theta}\over{\sin^2\theta}}= K{{Ap^2+Bq^2}\over{K^2-C^2r^2}}=K{{Ap^2+Bq^2}\over{A^2p^2+B^2q^2}}\;$

(7.118)

By otrzymać tożsamość na związek φ w zależności od czasu "t" należy równość (7.118) obustronnie scałkować względem czasu, bo p i q są zależne od funkcji eliptycznych, które natomiast zależą od τ, a to pośrednio według wzoru (7.103) od czasu, a więc całka po prawej stronie jest w sensie stricto zapisana względem czasu.

Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej.

Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje

W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu (6.18), w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki:

$p_k={{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}\;$ (8.1)

$\vec{p}_a={{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}\;$ (8.2)

Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej (8.1), a także na samym końcu od czasu.

$\dot{q}_k=\dot{q}_k(q_k,p_k,t)\;$

(8.3)

Wprowadźmy teraz funkcję zwaną funkcją Hamiltona, którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych (8.3) i pędu uogólnionego (8.1) odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a:

$H=\sum_k\dot{q}_kp_k-L=\dot{\vec{q}}\vec{p}-L\;$

(8.4)

Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona (8.3) względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu:

${{\partial H}\over{\partial q_k}}=\sum_{i}p_i{{\partial \dot{q}_i}\over{\partial q_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}-\sum_i\underbrace{{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_i}}}_{p_i}{{\partial\dot{q}}\over{\partial q_i}}=-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=-{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}=-\dot{p}_k\;$

(8.5)

${{\partial H}\over{\partial p_k}}=\sum_i{{\partial \dot{q}_i}\over{\partial p_k}}p_i+\dot{q}_k-\sum_i\underbrace{{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_i}}}_{p_i}{{\partial \dot{q}_k}\over{\partial p_k}}=\dot{q}_k\;$

(8.6)

${{\partial H}\over{\partial t}}=\sum_i{{\partial\dot{q}_i}\over{\partial p_k}}\dot{p}_i+\dot{q}_k-\sum_i{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_i}}{{\partial\dot{q}_i}\over{\partial t}}-{{\partial L}\over{\partial t}}=-{{\partial L}\over{\partial t}}\;$

(8.7)

2f równań różniczkowych (8.5), (8.6) i (8.7), są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego (6.22) i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość (8.7), możemy powiedzieć:

${{dH}\over{d t}}={{d}\over{dt}}\left(\sum_i\dot{q}_ip_i-L\right)=-{{dL}\over{\partial t}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;$

(8.8)

Widzimy, że na podstawie tożsamości (8.8), jeśli Hamiltonian (8.4) nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.25), i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość:

$H=E=T+U\;$

(8.9)

Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona (8.5), a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a (6.19), możemy powiedzieć:

${{\partial H}\over{\partial q_k}}=-{{\partial L}\over{\partial q_k}}\;$

(8.10)

Jeśli zmienna uogólniona q_k jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie (8.10) możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej q_k, to hamiltonian też nie zależy od niej.

Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej

Ciało umieszczone na sprężynie

Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi.

$H={{p^2}\over{2m}}+{{k}\over{2}}x^2\;$

(8.11)

Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu (8.11) liczymy ze wzorów:

$\dot{p}=-{{\partial H}\over{\partial x}}=-kx\;$ (8.12)

$\dot{x}={{\partial H}\over{\partial p}}={{p}\over{m}}\;$ (8.13)

Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych

Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym (1.28) i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych:

$L={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)+{{GMm}\over{r}}\;$

(8.14)

Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt (8.1):

$p_r={{\partial L}\over{\partial \dot{r}}}=m\dot{r}\;$ (8.15)

$p_{\theta}={{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}}=mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\;$ (8.16)

$p_{\phi}=mr^2\dot{\phi}\;$ (8.17)

Hamiltonian $H\;$ (8.4) możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany (8.14), która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach (8.15), (8.16) i (8.17):

$H=T+U={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}\right)$

(8.18)

Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym

Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to:

$L={{m}\over{2}}v^2+q\vec {A}\vec{v}-qU\;$

(8.19)

Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych (8.1) piszemy wedle:

$\vec{p}={{\partial L}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;$

(8.20)

Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń (8.20) jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu:

$H={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+qU\;$

(8.21)

Nawiasy Poissona

Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej:

$\left\{F,G\right\}_P=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial G}\over{\partial p_i}}-{{\partial F}\over{\partial p_k}}{{\partial G}\over{}\partial q_i}\right)\;$

(8.22)

Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p_i i q_i są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

$\left\{q_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial q_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial q_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)={{\partial F}\over{\partial p_i}}\;$ (8.23)

$\left\{p_i,F\right\}_P=\sum_{j=1}^3\left({{\partial p_i}\over{\partial q_j}}{{\partial F}\over{\partial p_j}}-{{\partial p_i}\over{\partial p_j}}{{\partial F}\over{\partial q_j}}\right)=-{{\partial F}\over{\partial q_i}}\;$ (8.24)

Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych (8.23) i (8.24), wtedy mówimy:

$\left\{q_i,q_j\right\}_P=0\;$ (8.25)

$\left\{p_i,p_j\right\}_P=0\;$ (8.26)

$\left\{q_i,p_j\right\}_P=\delta_{ij}\;$ (8.27)

Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona (8.5) i (8.6):

${{dF}\over{dt}}=\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i+\sum_{i=1}^f{{\partial F}\over{\partial p_i}}\dot{p}_i+{{\partial F}\over{\partial t}}=\sum_{i=1}^f\left({{\partial F}\over{\partial q_i}}{{\partial H}\over{\partial p_k}}-{{\partial F}\over{\partial p_i}}{{\partial H}\over{\partial q_i}}\right)=\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}\;$

(8.28)

Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie (8.28) i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości:

$\dot{q}_i=\left\{q_i,H\right\}_P\;$ (8.29)

$\dot{p}=\left\{p_i,H\right\}_P\;$ (8.30)

Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości (8.28) możemy powiedzieć:

$\left\{F,H\right\}_P+{{\partial F}\over{\partial t}}=0\;$

(8.31)

Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze (8.28) hamiltonian $H\;$, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie (8.8), zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona:

${{dH}\over{dt}}=\left\{H,H\right\}_P+{{\partial H}\over{\partial t}}\Rightarrow {{dH}\over{dt}}={{\partial H}\over{\partial t}}\;$

(8.32)

Ważne elementarne tożsamości

Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona (8.22) względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce:

$\left\{f,g\right\}_P=-\left\{g,f\right\}_P\;$ (8.33)

$\left\{f,c\right\}_P=0\;$ (8.34)

Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona (8.22) względem czasu "t" przedstawiamy:

${{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P\;$

(8.35)

Tożsamość Jacobiego

Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h nazywamy tożsamość:

$\left\{f,\left\{g,h\right\}_P\right\}_P+\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=0\;$

(8.36)

W celu dowodu tożsamości (8.36) należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli $_{\{h,\{f,g\}_P\}_P}\;$ jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g" ,wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D₁(φ)={g,φ}_P i D₂(φ)={h,φ}_P, wtedy należy policzyć wyrażenie:

$\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P+\left\{h,\left\{f,g\right\}_P\right\}_P=\left\{g,\left\{h,f\right\}_P\right\}_P-\left\{h,\left\{g,f\right\}_P\right\}_P=D_1(D_2(\varphi))-D_2(D_1(\varphi))\;$

(8.37)

Wprowadźmy teraz definicję operatorów D₁ i D₂ przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f.

$D_1=\sum_k\xi_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;$ (8.38)

$D_2=\sum_k\eta_k{{\partial}\over{\partial x_k}}\;$ (8.39)

Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D₁ (8.38) i D₂ (8.39) na dwa sposoby:

$D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\xi_k{{\partial \eta_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;$ (8.40)

$D_1D_2=\sum_{kl}\xi_k\eta_k{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}+\sum_{kl}\eta_k{{\partial \xi_{l}}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}\;$ (8.41)

A różnica złożeń operatorów D₁ (8.38), D₂ (8.39), czyli (8.40) i (8.41) możemy przestawić poprzez:

$D_1D_2-D_2D_1=\sum_{kl}\left(\xi_k{{\partial\eta_l}\over{\partial x_k}}-\eta_k{{\partial \xi_l}\over{\partial x_k}}\right){{\partial }\over{\partial x_l}}\;$

(8.42)

Widzimy, że w lewej stronie tożsamości (8.37) upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D₁D₂-D₂D₁) na tą właśnie funkcję jest nawiasem $_{\{f,\{g,h\}_P\}_P}\;$, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji (8.36) jest tożsamościowo równa zero.

Twierdzenie Poissona

Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu:

$\{f,g\}_P=\operatorname{const}\;$

(8.43)

Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie (8.22) pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona $_{\{f,H\}}\;$), to wtedy mając to na uwadze, to wyrażenie (8.36) podstawia się wtedy h=H, zatem:

$\{H,\{f,g\}_P\}_P=\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=0\;$

(8.44)

Z tożsamości (8.44) wynika, że jeśli $_{\{H,f\}=0}\;$, $_{\{H,g\}_P=0}\;$ (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również $_{\{H,\{g,h\}_P\}_P}\;$ jest równa zero (pochodna zupełna funkcji $_{\{g,h\}_P}\;$ jest równa zero), zatem na podstawie (8.44) zachodzi (8.43). Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie (8.28) zachodzi tożsamość:

${{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P={{\partial}\over{\partial t}}\left\{f,g\right\}_P-\{H,\{f,g\}_P\}_P\;$

(8.45)

Do wzoru (8.45) wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona (8.35), a także wynikłe z tożsamości Jacobiego (8.36), wtedy:

${{d}\over{dt}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}},g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}\right\}_P+\{f,\{g,H\}_P\}_P+\{g,\{H,f\}_P\}_P=\;$ $=\left\{{{\partial f}\over{\partial t}}+\{f,H\}_P,g\right\}_P+\left\{f,{{\partial g}\over{\partial t}}+\{g,H\}_P\right\}_P\;$

(8.46)

Do obliczeń (8.46) do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość (8.28), i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest:

${{d}\over{d t}}\left\{f,g\right\}_P=\left\{{{df}\over{dt}},g\right\}_P+\left\{f,{{dg}\over{d t}}\right\}_P\;$

(8.47)

Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne

Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych:

$Q_i=Q_i(q_k,p_k,t)\;$ (8.48)

$P_i=P_i(q_k,p_k,t)\;$ (8.49)

W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne są określone jako:

$Q_k={{\partial H}\over{\partial P_k}}\;$ (8.50)

$P_k=-{{\partial H}\over{\partial Q_k}}\;$ (8.51)

Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R₁, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu, otrzymujemy:

$L=L^'+{{dR_1}\over{dt}}\;$ (8.52)

$\int_{t_0}^{t_1}L=\int_{t_0}^{t_1}L^'+R_1\Bigg|^{t_1}_{t_0}\;$ (8.53)

Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian (8.4) i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość (8.52), wnioskujemy:

$L=\sum_kp_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{dR_1}\over{dt}}\Rightarrow dR_1=\sum_{k}p_kdq_k-\sum_{k}P_kdQ_k+(H^'-H)dt\;$

(8.54)

Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R₁ możemy rozpisać względem współrzędnych q_k, Q_k i czasu, dostajemy:

$dR_1=\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_1}\over{\partial Q_k}}dQ_k+{{\partial R_1}\over{\partial t}}dt\;$

(8.55)

Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R₁, tzn. tożsamość końcową (8.54) z (8.55), w ten sposób możemy napisać tożsamości:

$p_k={{\partial R_1}\over{\partial q_k}}\;$ (8.56)

$P_k=-{{}\partial R_1\over{\partial Q_k}}\;$ (8.57)

$H^'=H+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;$ (8.58)

Wzory (8.56), (8.57) i na samym końcu (8.58) stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bodź razem możemy obrać funkcję R₁, która stanowi jakoby funkcję tworzącą. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R₁, którego przepis jest $_{R_1=\sum_kq_kQ_k}\;$, wtedy wykorzystując wzory (8.56), (8.57) i (8.58), wtedy na podstawie dla naszej funkcji tworzącej możemy napisać zależności:

$p_k=Q_k\;$ (8.59)

$P_K=-q_k\;$ (8.60)

$H^'(Q_k,P_k,t)=H(q_k,P_k,t)=H(-P_k,Q_k,t)\;$ (8.61)

Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu wygląda:

$H^'={{Q^2}\over{2m}}+{{1}\over{2}}kP^2\;$

(8.62)

Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q_k i Q_k, ale w zmiennych q_k, p_k, Q_k, P_k wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q_k,p_k,Q_k,P_k), zatem wykorzystując równanie (8.58) dostajemy:

$\sum_k p_k\dot{q}_k-H=\sum_kP_k\dot{Q}_k-H^'+{{\partial R_1}\over{\partial t}}\;$

(8.63)

wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R₁ zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach:

$R_1=R_2(q_k,P_k,t)-\sum_kP_kQ_k\;$

(8.64)

$R_1=R_3(p_k,Q_k,t)+\sum_kp_kq_k\;$

(8.65)

$R_1=R_4(p_k,P_k,t)+\sum_kp_kq_k-\sum_kP_kQ_k\;$

(8.66)

Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R₁ w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle (8.64), (8.65) i (8.66):

$dR_1=\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial q_k}}dq_k+\sum_k{{\partial R_2}\over{\partial P_k}}dP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+{{\partial R_2}\over{\partial t}}dt\;$

(8.67)

$dR_2=\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}dQ_k+\sum_k d(p_kq_k)+{{\partial R_3}\over{\partial t}}dt\;$

(8.68)

$dR_1=\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial p_k}}dp_k+\sum_k{{\partial R_4}\over{\partial P_k}}dP_k+\sum_kd(p_kq_k)-\sum_kd(P_kQ_k)+{{\partial R_4}\over{\partial t}}dt\;$

(8.68)

Jeśli równanie (8.54) zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R₁, czyli dla (8.67), (8.68), (8.69), tzn. w postaci:

$dR_1=\begin{cases} \sum_{k}p_kdq_k+\sum_kQ_kdP_k-\sum_i d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k d(p_kq_k)-\sum_kP_kdQ_k+(H-H)dt\\ -\sum_k q_kdp_k+\sum_k(p_kq_k)+\sum_kQ_kdP_k-\sum_k d(P_kQ_k)+(H^'-H)dt\end{cases}\;$

(8.70)

Jeśli porównamy wzory (8.67), (8.68), (8.69) z odpowiednimi wzorami (8.70), to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p_k, q_k, P_k i Q_k, zatem dostajemy wzory poniżej:

$p_k={{\partial R_2}\over{\partial q_k}}\;$ (8.71)	$Q_k={{\partial R_2}\over{\partial P_k}}\;$ (8.72)	$H^'=H+{{\partial R_2}\over{\partial t}}\;$ (8.73)
$P_k=-{{\partial R_3}\over{\partial Q_k}}\;$ (8.74)	$q_k=-{{\partial R_3}\over{\partial p_k}}\;$ (8.75)	$H^'=H+{{\partial R_3}\over{\partial t}}\;$ (8.76)
$Q_k={{\partial R_4}\over{\partial P_k}}\;$ (8.77)	$q_k={{\partial R_4}\over{\partial p_k}}\;$ (8.78)	$H^'=H+{{\partial R_4}\over{\partial t}}\;$ (8.79)

Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest $_{R_2=\sum_i q_iP_i}\;$, na podstawie tego otrzymujemy p_k=P_k, Q_k=q_k, $_{H^'=H}\;$. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R₂ jest funkcja tworząca $_{R_2=\sum_kf(q_k,t)P_k}\;$, dla której zachodzi Q_k=f_k(q_k,t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q_k i czasu t.

Równania Hamiltona-Jacobiego

Gdy hamiltonian $H^'\;$ będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q_k=const i P_k=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R₂=S(q_k,P_k,t), dla którego wzory (8.71) i (8.72) piszemy przy oznaczeniu jej przez S:

$p_k={{\partial S}\over{\partial q_k}}\;$ (8.80)

$Q_k={{\partial S}\over{\partial P_k}}\;$ (8.81)

Wtedy patrząc na wzór (8.73), które przestawia równanie Hamiltona -Jacobiego przy warunku $H^'=0\;$ i wykorzystując warunek z oczywistych powodów (8.80), piszemy:

$H\left(q_k,{{\partial S}\over{\partial q_k}},t\right)+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;$

(8.82)

Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem (8.64), w której wiadomo, że S to jest R₂, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu:

${{d S}\over{dt}}={{dR_1}\over{dt}}+{{d}\over{dt}}\sum_kP_kQ_k\;$

(8.83)

Dalej wykorzystajmy wzór (8.54) i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t, w ten sposób otrzymujemy równość:

${{dR_1}\over{dt}}=\sum_kp_k\dot{q}_k-\sum P_k\dot{Q}_k+H^'-H\;$

(8.84)

Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru (8.84) do równania (8.83) przy założeniu $H^'\;$ równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q_k i P_k względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem (8.80), z którego co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy (8.3), wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a:

${{dS}\over{dt}}=\sum_ip_k\dot{q}_k-H=L\;$

(8.85)

Na podstawie wzoru (8.85), całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą):

$S=\int_0^tL(q_k\dot{q}_k,t)dt\;$

(8.86)

Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)

Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym jest:

$H={{1}\over{2m}}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\;$

(8.87)

Jeśli wykorzystamy równość (8.82), która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem (8.80), co przy takich rozważaniach możemy napisać równość:

${{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S}\over{\partial z}}\right)^2\right]+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;$

(8.88)

Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość:

$S=S_1(x)+S_2(y)+S_3(z)+S_4(t)\;$

(8.89)

Układ opisywany za pomocą hamiltonianu (8.87) jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to:

$E=H=-{{\partial S}\over{\partial t}}\;$

(8.90)

Wtedy równość (8.88), na podstawie wzoru na wielkość S (8.89) i wzoru na energię E układu (8.90), piszemy:

${{1}\over{2m}}\left[\left({{\partial S_1}\over{\partial x}}\right)^2+\left({{\partial S_2}\over{\partial y}}\right)^2+\left({{\partial S_3}\over{\partial z}}\right)^2\right]+E=0\;$

(8.91)

Ponieważ każdy wyraz występujący w (8.91) w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S_i:

$S_1=P_1x\;$ (8.92)

$S_2=P_2y\;$ (8.93)

$s_3=P_3z\;$ (8.94)

Mając rozwiązania (8.92), (8.93) i (8.94), które są rozwiązaniem równania (8.91) i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego (8.80), to energia układu na podstawie tego jest wyrażona:

${{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)=E\;$

(8.95)

Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym (8.95), a także równość na funkcję S (8.90), to całkowite rozwiązanie na funkcję S jest:

$S=P_1x+P_2y+P_3z-{{1}\over{2m}}\left(P_1^2+P_2^2+P_3^2\right)t\;$

(8.96)

Wyznaczmy teraz wielkości Q_k wedle wzoru (8.81), zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q₁, Q₂, Q₃, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu $H^'\;$ i wykorzystując przy tym z (8.95) na wielkość S, wtedy:

${{\partial S}\over{\partial P_1}}=x-{{1}\over{m}}P_1t=Q_1=\operatorname{const};$

(8.97)

${{\partial S}\over{\partial P_2}}=y-{{1}\over{m}}P_2t=Q_2=\operatorname{const};$

(8.98)

${{\partial S}\over{\partial P_3}}=z-{{1}\over{m}}P_3t=Q_3=\operatorname{const};$

(8.99)

Wedle równości (8.97), (8.98) i (8.99) możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z) z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu:

$x={{P_1}\over{m}}t+Q_1\;$ (8.100)

$y={{P_2}\over{m}}t+Q_2\;$ (8.101)

$z={{P_3}\over{m}}t+Q_3\;$ (8.102)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych

Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian (8.18) bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej:

$H={{1}\over{2m}}\left(p_r^2+{{p^2_{\phi}}\over{r^2}}+{{p_{\theta}^2}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)+U(r,\theta,\phi)\;$

(8.103)

Teraz przestawmy potencjał U(r,θ,φ) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(φ), i na samym końcu od c(θ), i od zmiennych r, θ, φ:

$U(r,\theta,\phi)=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}+{{c(\theta)}\over{r^2\sin\phi}}\;$

(8.104)

Ostatni wyraz w (8.104) ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej φ:

$U=a(r)+{{b(\phi)}\over{r^2}}\;$

(8.105)

Wzór na potencjał pola (8.105) podstawiamy do (8.103) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), mając wzór na pęd uogólniony (8.80), otrzymujemy wtedy równość różniczkową:

${{1}\over{2m}}\left({{\partial S}\over{\partial r}}\right)^2+a(r)+{{1}\over{2mr^2}}\left[\left({{\partial S}\over{\partial\phi}}\right)^2+2mb(\phi)\right]+{{1}\over{2mr^2\sin^2\phi}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;$

(8.106)

Możemy uwzględnić, że zmienna θ jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania (8.106), w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych θ, "r", φ i "t":

$S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(r)+S_2(\phi)\;$

(8.107)

Jeśli do równości (8.106) podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie (8.107), to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr β, który jest w pewnym sensie parametrem stałym:

$\left({{dS_2}\over{d\phi}}\right)^2+2mb(\phi)+{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}=\beta\;$ (8.108)

${{1}\over{2m}}\left({{dS_1}\over{dr}}\right)^2+a(r)+{{\beta}\over{2mr^2}}=E\;$ (8.109)

Patrząc na równości różniczkowe (8.108) i (8.109) możemy napisać końcową równość na funkcję S (8.107), gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia:

$S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{\beta-2mb(\phi)-{{p^2_{\theta}}\over{\sin^2\phi}}}d\phi+\int\sqrt{2m(E-a(r))-{{\beta}\over{r^2}}}dr\;$

(8.110)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych

Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych ξ i η, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi:

$z={{1}\over{2}}\left(\xi-\eta\right)\;$ (8.111)

$\rho=\sqrt{\xi\eta}\;$ (8.112)

Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" (8.111) i współrzędną radialną ρ (8.112):

$r=\sqrt{z^2+\rho^2}=\sqrt{{{1}\over{4}}(\xi^2-\eta^2)+\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{\xi^2-2\xi\eta+4\xi\eta}={{1}\over{2}}\sqrt{(\xi+\eta)^2}={{1}\over{2}}(\xi+\eta)\;$

(8.113)

Patrząc na wzory na promień (8.113) i i współrzędną zetową (8.111) od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne ξ i η w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z":

$\xi=r+z\;$ (8.114)

$\eta=r-z\;$ (8.115)

Wzory (8.111) i (8.112) podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:

$L={{1}\over{2}}m(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-U(\rho,\theta,z)=\;$ $= {{1}\over{2}}\left[{{1}\over{4}}\left(\sqrt{{{\eta}\over{\rho}}}\dot{\xi}^2 +\sqrt{{{\rho}\over{\eta}}}\dot{\eta}^2\right)^2+{{1}\over{4}}\left(\dot{\xi}-\dot{\eta}\right)^2+\xi\eta\dot{\theta}^2\right]-U(\rho,\theta,z)=$ $= {{m}\over{8}}(\xi+\eta)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi}}+{{\dot{\eta}^2}\over{\eta}}\right)+{{m}\over{2}}\xi\eta\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta)\;$

(8.116)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu (8.116), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

$p_{\xi}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\xi}\;$ (8.117)

$p_{\eta}={{m}\over{4\xi}}(\eta+\xi)\dot{\eta}\;$ (8.118)

$p_{\theta}=m\xi\eta\dot{\theta}\;$ (8.119)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.116) i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.117), współrzędnej η-owej (8.118) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.119):

$H={{2}\over{m}}{{\xi p_{\xi}^2+\eta p_{\eta}^2}\over{\xi+\eta}}+{{p_{\theta}^2}\over{2m\eta\xi}}+U(\eta,\xi,\theta)\;$

(8.120)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od ξ i η:

$U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}={{a(r+z)+b(r-z)}\over{2r}}\;$

(8.121)

Wzór na potencjał pola (8.121) podstawiamy do (8.120) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), wykorzystując wzór na pęd uogólniony (8.80), wtedy mamy równanie różniczkowe:

${{2}\over{m(\xi+\eta)}}\left[\xi\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2\right]+{{1}\over{2m\xi\eta}}\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+{{a(\xi)+b(\eta)}\over{\eta+\xi}}+{{\partial S}\over{\partial t}}=0\;$

(8.122)

Równość (8.122) mnożymy przez m(ξ+η) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych ξ, η i θ mając na uwadze (8.90), bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali:

$2\xi\left({{\partial S}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}+2\eta\left({{\partial S}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)+m{{\partial S}\over{\partial t}}\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=0\;$

(8.123)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η:

$S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;$

(8.124)

Funkcję (8.124) możemy podstawić do równości (8.123) i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr β, otrzymujemy dwa poniższe równości:

$2\xi\left({{\partial S_1}\over{\partial\xi}}\right)^2+ma(\xi)-mE\xi+{{p_{\theta}^2}\over{2\xi}}=\beta\;$ (8.125)

$2\eta\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2+mb(\eta)-m\eta+{{p_{\theta}^2}\over{2\eta}}=-\beta\;$ (8.126)

Równości (8.125), (8.126) rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η w sposób:

$S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\xi}}-{{ma(\xi)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\xi^2}}}d\xi+\int\sqrt{{{mE}\over{2}}+{{\beta}\over{2\eta}}-{{mb(\eta)}\over{2\xi}}-{{p_{\theta}^2}\over{4\eta^2}}}d\eta\;$

(8.127)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych

Wprowadźmy teraz współrzędne (ξ,η,θ), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne ρ i "z", których definicje są:

$\rho=\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\;$ (8.128)

$z=\sigma\xi\eta\;$ (8.129)

Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego ξ zmienia się od jedynki do nieskończoności, a η zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r₁ i r₂, których definicję są $_{r_1=\sqrt{(z-\sigma)^2+\rho^2}}\;$ i $_{r_2=\sqrt{(z+\sigma)^2+\rho^2}}\;$, które definiujemy jako odległości od punktów z=σ i z=-σ, wtedy do tych odległości podstawimy wzory (8.128) i (8.129), otrzymujemy:

$r_1=\sqrt{(\sigma\xi\eta-\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1-2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}=\;$ $\sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2-2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta-\xi)^2}=\sigma(\xi-\eta)$

(8.130)

$r_2=\sqrt{(\sigma\xi\eta+\sigma)^2+\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)}=\sigma\sqrt{\left(\xi^2\eta^2+1+2\xi\eta+\xi^2-\xi^2\eta^2-1+\eta^2\right)}=\;$ $\sigma\sqrt{\eta^2+\xi^2+2\xi\eta}=\sigma\sqrt{(\eta+\xi)^2}=\sigma(\xi+\eta)$

(8.131)

Z których to z (8.130) i z (8.131) wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r₁, r₂ i σ, które są związkami na współrzędne eliptyczne ξ, i η:

$\xi={{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\;$ (8.132)

$\eta={{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\;$ (8.133)

Podstawiamy wzory (8.128) i (8.129), które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:

$L={{m}\over{2}}\left[\sigma^2\left(\sqrt{{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}}\xi\dot{\xi}-\sqrt{{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}}\eta\dot{\eta}\right)^2+\sigma^2 \left(\xi\dot{\eta}+\eta\dot{\xi}\right)^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\right]-U=\;$ $= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2-2\xi\eta\dot{\xi}\dot{\eta}+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+2\eta\xi\dot{\xi}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]^2-\;$ $-U= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{1-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\xi^2\dot{\xi}^2+{{\xi^2-1}\over{1-\eta^2}}\eta^2\dot{\eta}^2+\xi^2\dot{\eta}^2+\eta^2\dot{\xi}^2+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;$ $= {{m\sigma^2}\over{2}}\left[{{(1-\eta^2)\xi^2+\eta^2(\xi^2-1)}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}^2+{{(\xi^2-1)\eta^2+\xi^2(1-\eta^2)}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}+(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\right]-U=\;$ $= {{m\sigma^2}\over{2}}\left(\xi^2-\eta^2\right)\left({{\dot{\xi}^2}\over{\xi^2-1}}+{{\dot{\eta}^2}\over{1-\eta^2}}\right)+{{m\sigma^2}\over{2}}(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}^2-U(\xi,\eta,\theta) \;$

(8.134)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję (8.1), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

$p_{\xi}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{\xi^2-1}}\dot{\xi}\;$ (8.135)

$p_{\eta}=m\sigma^2{{\xi^2-\eta^2}\over{1-\eta^2}}\dot{\eta}\;$ (8.136)

$p_{\theta}=m\sigma^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)\dot{\theta}\;$ (8.137)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.134) przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.135), współrzędnej η-owej (8.136) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.137):

$H={{1}\over{2m\sigma^2(\xi^2-\eta^2)}}\left[(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)p_{\theta}^2\right]-U(\xi,\eta,\theta)\;$

(8.138)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola przestawiona:

$U={{a(\xi)+b(\eta)}\over{\xi^2-\eta^2}}={{a(\xi)+b(\eta)}\over{{{(r_2+r_1)^2}\over{4\sigma^2}}-{{(r_2-r_1)^2}\over{4\sigma^2}}}}={{\sigma^2}\over{r_1r_2}}\left[a\left({{r_2+r_1}\over{2\sigma}}\right)+b\left({{r_2-r_1}\over{2\sigma}}\right)\right]\;$

(8.139)

Wzór na potencjał pola (8.139) podstawiamy do (8.138) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), a także wzór na pęd uogólniony (8.80), który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe:

$-2m\sigma^2{{\partial S}\over{\partial t}}={{1}\over{\xi^2-\eta^2}}\Bigg[(\xi^2-1)\left({{\partial S}\over{\partial \xi}}\right)^2+(1-\eta^2)\left({{\partial S}\over{\partial \eta}}\right)^2+\;$ $+\left({{1}\over{\xi^2-1}}+{{1}\over{1-\eta^2}}\right)\left({{\partial S}\over{\partial\theta}}\right)^2+2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2b(\eta)\Bigg]\;$

(8.140)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej:

$S=-Et+p_{\theta}\theta+S_1(\xi)+S_2(\eta)\;$

(8.141)

Funkcję (8.141) możemy podstawić do równości (8.140) i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych:

$2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)+2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-\;$ $-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=0\;$

(8.142)

Równanie różniczkowe (8.142) możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze β:

$2m\sigma^2E(\xi^2-1)-(\xi^2-1)\left({{\partial S_1}\over{\partial \xi}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{\xi^2-1}}-2m\sigma^2a(\xi)=-\beta\;$

(8.143)

$2m\sigma^2E(1-\eta^2)-(1-\eta^2)\left({{\partial S_2}\over{\partial\eta}}\right)^2-{{p_{\theta}^2}\over{1-\eta^2}}-2m\sigma^2b(\eta)=\beta\;$

(8.144)

Równości (8.143), (8.144) rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η:

$S=-Et+p_{\theta}\theta+\int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta-2m\sigma^2a(\xi)}\over{\xi^2-1}}-{{p_{\theta}^2}\over{(\xi^2-1)^2}}}d\xi+\;$ $+ \int\sqrt{2m\sigma^2E+{{\beta+2m\sigma^2b(\eta)}\over{1-\eta^2}}-{{p_{\theta}^2}\over{(1-\eta^2)^2}}}d\eta$

(8.145)

Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne a_i, one oznaczają współrzędne ciała w chwili t=0, te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną x_i nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określana jest dodatkowo względem czasu:

$x_i=x_i(a_j,t)\;$

(9.1)

Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje a_j, oczywiście tą wielkość liczymy względem czasu, co możemy napisać sposobem:

$v_i={{\partial x_i(a_j,t)}\over{\partial t}}=v_i(a_j,t)\;$

(9.2)

Opis prędkości danej wzorem (9.2) nazywamy opisem według Lagrange'a. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, ale interesuje nas ściśle okreslony punkt, jest to opis prędkości dany przez:

$v_i=v_i(x_l,t)\;$

(9.3)

Opis dawany wzorem (9.3) nazywamy opisem Eulera. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej trajektorii , czyli po zbiorze punktów, do której należy do tej trajektorii, a natomiast linią prądu nazywamy takie krzywe linie, do której styczne określa kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu nazywamy takie krzywe w przestrzeni trójwymiarowej, której równanie jest opisywane przez równość stosunków różniczek współrzędnych i prędkości cząstek:

$dx_1:dx_2:dx_3=v_1:v_2:v_3\;$

(9.4)

Przyspieszeniem w znaczeniu Lagranga'e nazywamy przyspieszeniem określanego jako pochodną wielkości (9.2) względem czasu:

$b_i={{\partial v_i(a_l,t)}\over{\partial t}}=b_i(a_l,t)\;$

(9.5)

Napiszmy teraz czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie, a także pochodna cząstkową prędkości względem czasu, zatem z definicji różniczki zupełnej możemy napisać tożsamość:

$b_i(x_l,t)={{dv_i(x_l,t)}\over{dt}}=\sum_{r=1}^3{{\partial v_i(x_l,t)}\over{\partial x_r}}{{dx_r(a_j,t)}\over{dt}}+{{\partial v_i(x_l,t)}\over{\partial t}}\;$

(9.6)

Wektorowo związek (9.6) piszemy wedle schematu poniżej wykorzystują definicję gradientu:

$\vec{b}={{d\vec{v}}\over{dt}}={{\partial\vec{v}}\over{\partial t}}+(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}\;$

(9.7)

Ogólnie rzecz biorąc tożsamość podana w punkcie (9.7) jest słuszna dla dowolnego wektora $\vec{A}\;$ powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tego ostatniego, czyli naszej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się pochodną substancjalną.

Definicja źródeł i wirów

Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości $\vec{v}(\vec{r},t)\;$, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię S, którą definiujemy jako strumień pola prędkości:

$\int_S\vec{v}d\vec{S}\;$

(9.8)

Infinitezymalny wektor $d\vec{S}\;$ nazywamy wektor mówiąca jaka jest infinitezymalna powierzchnia przez którą przepływa ciecz, a zwrot tego wektora jest prostopadły do tej powierzchni i skierowanej jest na zewnątrz naszej powierzchni, jeśli mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą. Jeśli mamy tą powierzchnię, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy strumień pola prędkości, gdy nie ma źródeł, możemy napisać:

$\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_v\operatorname{grad}\vec{v}dV=0\Rightarrow \operatorname{div}\vec{v}=0\;$

(9.9)

Jeśli ciecz podczas jego ruchu ma źródła, to wtedy nie zachodzi (9.9), ale zachodzi:

$Q=\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{\Sigma}\neq 0\;$

(9.10)

Patrząc na wzór (9.10) możemy powiedzieć, że jeśli Q>0, to ciecz wypływa z pewnej powierzchni, zaś jeśli Q<0, to ciecz wpływa do wewnątrz powierzchni Σ. Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Z drugiej jednak strony wydajność źródła Q nazywamy taką wielkość, które jest całką po objętości względem wielkości q:

$Q=\int_VqdV\;$

(9.11)

Porównując wzory (9.10) ze wzorem (9.11), korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, możemy napisać tożsamość:

$\oint_{\Sigma}\vec{v}d\vec{S}=\int_VqdV\Rightarrow\int_V\operatorname{grad}\vec{v}dV=\int qdV\Rightarrow q=\operatorname{grad}\vec{v}\;$

(9.12)

Wprowadźmy teraz inną wielkość, która określa wirowość pola prędkości danej cieczy, którą określa cyrkulacja z wielkości, która jest prędkością, jest ona określana wzorem poniżej, którego definicja jest całką po prędkościach względem infinitezymalnego wektora określająca dany element krzywej zamkniętej. Także w naszej cyrkulacji wykorzystamy twierdzenie Stokesa, wtedy będzie to całkowanie po powierzchni ograniczonej przez naszą wspomniana krzywą:

$\Gamma=\oint\vec{v}d\vec{r}=\int_S\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S}\;$

(9.13)

Cyrkulacja Γ (9.13) jest związana z rotacją pola prędkości, którą to jest połową rotacji pola prędkości, które opisuje prędkość kątową wirów w danej badanej cieczy:

$\vec{\omega}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}\;$

(9.14)

Aby udowodnić wzór (9.14) napiszmy jak jest związana prędkość ciała z jej prędkością kątową, którego zapis jest taki, że jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora wodzącego, który ma początek w samym środku wirów.

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}\;$

(9.15)

W tym celu prędkość kątową przestawmy w postaci wektorowej $_{\vec{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)}\;$ i policzmy połówkową wartość rotacji pola prędkości (9.14), która jest opisany wzorem (9.15), który to wykorzystamy przy dowodzie wzoru wspomnianego wcześniej:

${{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r})={{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j\omega_l x_m={{1}\over{2}}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_j\omega_lx_m=\;$ $= {{1}\over{2}}\left[\left(\nabla_j\omega_ix_j\right)-\nabla_{j}\omega_{j}x_{i}\right]={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_j\delta_{ji}\right)={{1}\over{2}}\left(3\omega_i-\omega_i\right)={{1}\over{2}}2\omega_i=\omega_i=\vec{\omega}\;$

(9.16)

Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, to wtedy mamy do czynienia z ruchem wirowym, wtedy zachodzi $\vec{\omega}\neq 0\;$. Cyrkulację pola prędkości (9.13) nazywamy całkę na podstawie wzoru (9.14), którego to $\vec{\omega}\;$ nazywamy polem wirów, wielkość, którą nazywamy strumieniem wirów.

$\int_S\vec{\omega}\cdot d\vec{S}\;$

(9.17)

Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej

Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero.

$\operatorname{div}\vec{v}=0\;$ (9.18)

$\operatorname{rot}\vec{v}=0\;$ (9.19)

Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego po przez potencjał pola prędkości Φ w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości:

$\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi\;$

(9.20)

Widzimy, że równanie (9.20) jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości (9.19) przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu.

$\operatorname{rot}\vec{v}=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi=\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\Phi={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k+\epsilon_{ikj}\nabla_k\nabla_j\right]\Psi=\;$ $={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k-\epsilon_{ijk}\nabla_j\nabla_k\right]\Psi=0\;$

(9.21)

Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero.

$\vec{v}=(v_x(x,y),v_y(x,y))\;$

(9.22)

Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości Ψ względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości Ψ względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem:

$v_x={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;$ (9.23)

$v_y=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;$ (9.24)

Definicje współrzędnych prędkości (9.23) i (9.24) są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości w tym zdaniu, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym:

$\operatorname{div}\vec{v}={{\partial v_x}\over{\partial x}}+{{\partial v_y}\over{\partial y}}={{\partial^2\psi}\over{\partial x\partial y}}-{{\partial^2\psi}\over{\partial y\partial x}}=0\;$

(9.25)

Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa Ψ, zatem tą wielkość przestawimy wzorem $\vec{A}=(0,0,\Psi)\;$, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości (9.23) i (9.24), to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora $\vec{A}\;$ jest równa prędkości dla danego punktu cieczy:

$\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_x}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}},{{\partial A_x}\over{\partial x}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}},{{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=\left({{\partial \Psi}\over{\partial y}},-{{\partial\Psi}\over{\partial x}},0\right)=\vec{v}\;$

(9.26)

Patrząc na wzory (9.23) i (9.24), a także na definicję prędkości (9.20) poprzez potencjał pola prędkości Φ, wtedy dostajemy wniosek:

${{\partial\Phi}\over{\partial x}}={{\partial\Psi}\over{\partial y}}\;$ (9.27)

${{\partial\Phi}\over{\partial y}}=-{{\partial\Psi}\over{\partial x}}\;$ (9.28)

Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja Φ(x,y), a częścią urojoną jest funkcja Ψ(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis:

$W(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y)\;$

(9.29)

Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) (9.29) względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt (9.27) i (9.28) i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości (9.20):

$w={{dW}\over{dz}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial x}}={{\partial(\Phi+i\Psi)}\over{\partial(iy)}}=v_x-iv_y\;$

(9.30)

Zespolona sprzężona prędkość na powstaje z jej odpowiednika normalnego (9.30), i piszemy go wzorem poniżej.

$w^*=\left({{\partial W}\over{\partial z}}\right)^*=v_x+iv_y\;$

(9.31)

Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość Ψ wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji ψ z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów $_{dx:dy=v_x:v_y}\;$:

$d\Psi={{\partial\Psi}\over{\partial x}}dx+{{\partial\Psi}\over{\partial y}}dy=-{{\partial\Phi}\over{\partial y}}dx+{{\partial\Phi}\over{\partial x}}dy= -v_ydx+v_xdy=\;$ $=-v_y{{v_x}\over{v_y}}dy+v_xdy=-v_xdy+v_xdy=0\;$

(9.32)

Obliczenia wykonane w punkcie (9.32) mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość Ψ jest wielkością stałą.

Wprowadzenie tensora deformacji

Nowe położenie cząstki x₁ jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, co możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji:

$x_i=a_i+s_i\;$ (9.33)

$dx_i=da_i+ds_i\;$ (9.34)

Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie (9.34) w zależności od różniczki da_i, wiedząc, że pole s_i jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a_i, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała piszemy:

$dx_j=da_j+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}da_i=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\;$

(9.35)

Tensor $_{{{\partial s_i}\over{\partial a_j}}}\;$ nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie (9.35) zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a_i i a_i+da_i, wykorzystując przy tym fakt (9.35):

$d\tilde{l}^2-dl^2=dx_jdx_j-da_jda_j=\left(\delta_{ji}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_i\left(\delta_{jk}+{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_k-da_jda_j=\;$ $=da_jda_j+\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}\right)da_ida_k-da_ida_i=\;$ $=\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)da_ida_k=2\epsilon_{ik}da_ida_k\;$

(9.36)

Wprowadzimy teraz tensor deformacji ε_ik, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego, definicja tego tensora jest:

$\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}+{{\partial s_j}\over{\partial a_i}}{{\partial s_j}\over{\partial a_k}}\right)\;$

(9.37)

Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s_i jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych przedstawiamy:

$da_i=dx_i-ds_i=\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k\;$

(9.38)

Wyrażenie (9.38) zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x_i i x_i+dx_i, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie, wtedy powiemy:

$d\tilde{l}^2-dl^2=dx_idx_i-da_ida_i=dx_idx_i-\left(\delta_{ij}-{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)dx_j\left(\delta_{ik}-{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}\right)dx_k=2\overline{\epsilon}_{ik}\;$

(9.39)

Tensor deformacji $\overline{\epsilon}_{ik}\;$ nazywamy w tym przypadku tensor:

$\overline{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}-{{\partial s_l}\over{\partial x_i}}{{\partial s_l}\over{\partial x_k}}\right)\;$

(9.40)

Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego $_{{{\partial s_l}\over{\partial a_i}}<<1}\;$, to w wyrażeniach na tensory deformacji (9.37) i (9.40) możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji $\epsilon_{ik}\;$ i $\overline{\epsilon}_{ik}\;$:

$\epsilon_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_l}}\right)\;$ (9.41)

$\tilde{\epsilon}_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_l}\over{\partial x_k}}+{{\partial x_k}\over{\partial x_l}}\right)\;$ (9.42)

Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną ε_ik, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D_ik, który jest tensorem asymetrycznym:

${{\partial s_i}\over{\partial a_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial s_l}}\right)=\epsilon_{ik}+D_{ik}\;$

(9.43)

By zobaczyć co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny $_{D_{ik}}\;$ możemy wyznaczyć wektor $_{\vec{D}}\;$, który ma trzy niezależne elementy, a jego definicja jest:

$D_l={{1}\over{2}}\epsilon_{lik}D_{ik}={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}\left({{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{\partial s_k}\over{\partial a_i}}\right)= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}-{{1}\over{4}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=\;$ $={{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}=-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\;$

(9.44)

Równość (9.44) możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora $\vec{s}\;$ i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości $\vec{s}\;$, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem:

$\vec{D}=-{{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\;$

(9.45)

Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D_ik, przestawionego w punkcie (9.43) (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D_l napisanego w punkcie (9.44) (druga równość poniżej), którego elementy możemy przestawić jako:

$D_{ik}=\begin{bmatrix} 0&D_{12}&D_{13}\\ -D_{12}&0&D_{23}\\ -D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}={{1}\over{2}}\begin{bmatrix}0&D_3&-D_2\\ -D_3&0&D_1\\ D_2&-D_1&0\end{bmatrix}\;$

(9.46)

Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu $\vec{a}\;$ wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor $\operatorname{rot}\vec{s}\;$ i przechodzącej przez punkt określany przez wektor $\vec{a}\;$, i wykorzystując fakt (9.46), co piszemy je:

$ds_i=D_{ik}da_k=-\epsilon_{ijk}D_la_k\Rightarrow d\vec{s}=-\vec{D}\times d\vec{a}={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a}\;$

(9.47)

Tensor deformacji i jego sens fizyczny

Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze.

Wydłużenie liniowe ciał fizycznych

Wydłużenie liniowe ε ciał nazywamy wielkość, jego przepis jest:

$\epsilon={{d\tilde{l}-dl}\over{dl}}\;$

(9.48)

Z równania (9.36) możemy napisać tożsamość jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl²:

$d\tilde{l}^2=dl^2+2\epsilon_{ik}da_ida_k\Rightarrow \left({{d\tilde{l}}\over{dl}}\right)^2=1+2\epsilon_{ik}{{da_i}\over{dl}}{{da_k}\over{dl}}=1+2\epsilon_{ik}e_ie_k\;$

(9.49)

• gdzie e_i są to elementy składowe wektora $\vec{e} \;$, którego odkształcenie jest w kierunku wektora $\vec{e}\;$. W takim bodź razem wielkość (9.48) możemy zapisać:

$\epsilon={{d\tilde{l}}\over{dl}}-1=\sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_ie_k}-1=\epsilon_{ik}e_ie_k\;$

(9.50)

Wielkość ε daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora $\vec{e}\;$, tensor ε_ik ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji:

$\epsilon_{ik}=\begin{bmatrix} \epsilon_1&0&0\\ 0&\epsilon_2&0\\ 0&0&\epsilon_3 \end{bmatrix}\;$

(9.51)

Wielkości ε_i występujące w macierzy na ε_ik są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami.

Skręcenia

Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.

Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe i są zdefiniowane w sposób:

$\vec{e}_1={{d\vec{a}_1}\over{dl_1}}\;$ (9.52)

$\vec{e}_2={{d\vec {a}_2}\over{dl_2}}\;$ (9.53)

Określmy sobie teraz kąt θ, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu:

$\theta={{\pi}\over{2}}-\phi\;$

(9.54)

Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez (9.54), zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek:

$dx_{1i}dx_{2i}=d\tilde{l}_1d\tilde{l}_2\cos\theta\;$

(9.55)

• gdzie z oczywistych powodów wielkości $d\tilde{l}_1\;$ i $d\tilde{l}_2\;$ możemy zapisać:

$d\tilde{l}_1=\sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}\;$ (9.56)

$d\tilde{l}_2=\sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}\;$ (9.57)

Infinitezymalny iloczyn dx_1idx_2i zapisujemy wzorem według (9.35), do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero:

$dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta_{ik}+{{\partial s_i}\over{\partial a_k}}\right)da_{1k}\left(\delta_{il}+{{\partial s_i}\over{\partial a_l}}\right)da_{2l}=2\epsilon_{kl}da_{1k}da_{2l}\;$

(9.58)

Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego:

$d\tilde{l}=(1+\epsilon)dl\;$

(9.59)

Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru (9.55), z którego wyznaczymy kosinus kąta θ, i do którego wykorzystamy definicję wydłużenia $d\tilde{l}\;$ (9.59) i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek (9.58):

$\cos\theta={{2\epsilon_{ik}{{\partial a_{1l}}\over{dl_1}}{{a_{2l}}\over{dl_2}}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}={{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}\over{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}}\simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}\;$

(9.60)

Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków $\vec{e}_1=(1,0,0)\;$, $\vec{e}_2=(0,1,0)\;$, wtedy współczynnik γ na podstawie definicji kata θ (9.54), a także definicji wektorów (9.52) i (9.53), możemy napisać tożsamość:

$\sin\phi=\cos\left({{\pi}\over{2}}+\phi\right)=\cos\theta=2\epsilon_{12}=\gamma\;$

(9.61)

Wielkość określoną wzorem (9.61) nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata φ, możemy napisać:

$\sin\varphi\simeq\varphi=\gamma\;$

(9.62)

Przypadek rozszerzalności objętościowej

Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, którą określimy wzorem poniżej, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją, wtedy piszemy naszą wielkość:

$\theta={{d\tilde{V}-dV}\over{dV}}={{d\tilde{V}}\over{dV}}-1={{dx_1}\over{da_1}}{{dx_2}\over{da_2}}{{dx_3}\over{da_3}}-1\;$

(9.63)

Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru (9.59), ale tym razem mamy dx_i=(1+ε_ii)da_i, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych (9.41), określamy:

$\theta=(1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33})-1\simeq \epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{22}={{\partial s_k}\over{\partial x_k}}=\operatorname{div}\vec{s}\;$

(9.64)

Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca

Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji napiszmy jako:

$\epsilon_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ik}=\tilde{\epsilon}_{ik}+{{1}\over{3}}\theta\delta_{ik}\;$

(9.65)

Możemy zauważyć, że tensor $\tilde{\epsilon}_{ik}\;$ jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód:

$\tilde{\epsilon}_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}\delta_{ll}=\epsilon_{ll}-{{1}\over{3}}\epsilon_{ll}3=0\;$

(9.66)

Widzimy, że tensor $\tilde{\epsilon}_{ik}\;$ ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie (9.64) dochodzimy do wniosku, że tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji ε_ik, czyli: 1/3θδ_ik opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało.

Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji

Mamy sobie tensor prędkości przesunięć $_{{{\partial v_j}\over{\partial x_k}}}\;$, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną, któego zapis jest:

${{\partial v_i}\over{\partial x_k}}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)+{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;$

(9.67)

Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze (9.67) nazywamy tensorem prędkości deformacji:

$\Nu_{ik}={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\;$

(9.68)

Ślad tensora Ν_ik (9.68) nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia:

$\Nu_{ll}={{\partial v_l}\over{\partial x_l}}=\operatorname{div}\vec{v}\;$

(9.69)

Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji (9.41) jest to po prostu tensor prędkości deformacji:

${{\partial\epsilon_{ik}(x_l,t)}\over{\partial t}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)=\Nu_{ik}\;$

(9.70)

Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi (9.14), co możemy już zacząć te obliczenia.

${{1}\over{2}}\epsilon_{lik}\left[{{1}\over{2}}\left({{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}\right)\right]= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}-{{1}\over{2}}\epsilon_{lki}{{\partial v_k}\over{\partial x_i}}= {{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}+{{1}\over{4}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}= {{1}\over{2}}\epsilon_{lik}{{\partial v_i}\over{\partial x_k}}=\;$ $={{1}\over{2}}\operatorname{rot}\vec{v}=\vec{\omega}\;$

(9.71)

Zasady zachowania w mechanice materiałów

Wyprowadzimy tutaj prawa zachowania masy, a właściwie jej lokalną własność z globalnego zachowania masy, zasadę zachowania pędu, a także na samym końcu zasadę zachowania momentu pędu.

Lokalna zasada zachowania energii

Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu określaną przez:

$-{{dm}\over{dt}}=\oint\rho\vec{v}d\vec{S}\;$

(10.1)

Minus znajdującej się po lewej strony równości (10.1) ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest:

$m=\int\rho dV\;$

(10.2)

Równość (10.2) wstawiamy do równości (10.1), w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa:

$-{{d}\over{dt}}\int_V \rho dV=\oint \rho\vec{v}d\vec{S}\Rightarrow\int_V\left[{{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})\right]dV=0\;$

(10.3)

Ponieważ całkowanie we wzorze (10.3) jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić:

${{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;$

(10.4)

Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów

Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe, ten wektor definiujemy:

$P_i=\sigma_{ij}n_j\;$

(10.5)

Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

$\oint_{S}P_idS=\oint_S\sigma_{ij}n_jdS=\oint\sigma_{ij}dS_j=\int_V\sigma_{ij,j}dV\;$

(10.6)

Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości $\vec{f}\;$, ona wynika z tego, że wektor $\vec{f}\;$ jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość $\vec{f}\;$:

$\vec{f}={{d\vec{F}}\over{dV\rho}}\Rightarrow d\vec{F}=\rho\vec{f}dV\Rightarrow\vec{F}=\int\rho\vec{f}dV\;$

(10.7)

Jak można zauważyć, że wielkość (10.7) dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=ρdV.

$\underbrace{\rho dV}_{dm}{{dv_i}\over{dt}}=dF^{(c)}_i\Rightarrow\int \rho{{dv_i}\over{dt}}dV=F^{(c)}_i\;$

(10.8)

Definicja siły F^(c)_i jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie (10.5) i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie (10.7), które to podstawimy do wzoru (10.8), w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości.

$\int_V\rho{{dv_i}\over{dt}}dV=\int_V\rho f_idV+\int{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}dV\Rightarrow \int_V\left(\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}\right)dV=0\;$

(10.9)

Ponieważ równość (10.7) jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w (10.9) jest zawsze równa zero:

$\rho{{dv_i}\over{dt}}-\rho f_i-{{\partial\sigma_{ij}}\over{dx_j}}=0\;$

(10.10)

Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu (10.10) możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń, które będziemy pisać:

$\rho{{dv_i}\over{dt}}=\rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}{{dx_j}\over{dt}}= \rho{{\partial v_i}\over{\partial t}}+\rho{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}v_j={{\partial }\over{\partial t}}(\rho v_i)-v_i{{\partial \rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_jv_i)-v_i{{\partial }\over{\partial x_j}}(\rho v_j)=\;$ ${{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_iv_j)-v_i\left({{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}(\rho v_i)\right)={{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j\right)\;$

(10.11)

Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń (10.11) do drugiego prawa Newtona (10.10), otrzymujemy:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[(\rho v_i)v_j-\sigma_{ij}\right]=\rho f_i\;$

(10.12)

Tensor naprężeń σ_ij możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej jest:

$\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+R_{ij}\;$

(10.13)

Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor R_ij jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu (10.10), w ten sposób dostajemy niestępujący wniosek jako równanie różniczkowe o charakterze wektorowym:

$\rho{{d\vec{v}}\over{dt}}=\rho\vec{f}-\operatorname{grad}p\;$

(10.14)

Moment sił w dynamice materiałów

Wzór (10.12), który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie:

$\epsilon_{lki}x_k\left[{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v_i)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=\epsilon_{lki}x_k\rho f_i\;$

(10.15)

Wykorzystując definicję momentu sił M_l i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie (10.15) za pomocą prawa o pochodnej iloczynu, wtedy możemy napisać tożsamość wedle sposobu:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]+\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=M_l\;$

(10.16)

Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero, co można pokazać w sposób:

$\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right){{\partial x_k}\over{\partial x_j}}=\;$ $= {{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=$ $={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)+\epsilon_{lij}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[\epsilon_{lji}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)-\epsilon_{lji}\left(\rho v_jv_i-\sigma_{ji}\right)\right]=0$

(10.17)

Wyrażenie zapisane w punkcie (10.17) jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor $\sigma_{ij}\;,$ jest tensorem symetrycznym, wtedy równość (10.16) jest równa wyrażeniu:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\epsilon_{lki}x_k\rho v_i\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\epsilon_{lki}\left(\rho v_iv_j-\sigma_{ij}\right)\right]=M_l\;$

(10.18)

Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów

Równość (10.10) wymnażamy przez współrzędną prędkości v_i, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody:

$v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i{{\partial \sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}+v_i\rho f\;$

(10.19)

Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy (10.4) i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, mamy:

$v_i\rho{{dv_i}\over{dt}}=v_i\rho\left({{\partial v_i}\over{\partial t}}+v_j{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\right)= {{1}\over{2}}\rho{{\partial v^2}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}\rho v_j{{\partial v^2}\over{\partial x_j}}= \;$ $={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}(\rho v^2)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial\rho}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\rho v^2v_j\right)-{{1}\over{2}}v^2{{\partial \rho v_j}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2))}\over{\partial t}}+{{1}\over{2}}{{\partial(\rho v^2v_j)}\over{\partial x_j}}$

(10.20)

Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie (10.19), co po tej czynności otrzymujemy:

$v_i{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}={{\partial(v_i\sigma_{ij})}\over{\partial x_j}}-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;$

(10.21)

Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.20) i (10.21) możemy podstawić do równania (10.19), zatem po dokonaniu tejże operacji otrzymany wzór możemy napisać:

${{1}\over{2}}{{\partial\rho v^2}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[{{\rho}\over{2}}v^2v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+v_i \rho f_i\;\;$

(10.22)

Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy wektorem Poyntinga, jego definicję piszemy:

${{1}\over{2}}\rho v^2v_i-\sigma_{ij}v_i\;$

(10.23)

Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem, stąd jego definicja:

$f_i={{\partial U}\over{\partial x_i}}\;$

(10.24)

Wtedy na podstawie tożsamości (10.24) możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości (10.22), mamy:

$v_i\rho f_i=-v_i\rho{{\partial U}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho Uv_i)+U{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-U{{\partial\rho}\over{\partial t}}=\;$ $-{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho U v_i)-{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho U\right)+\rho{{\partial U}\over{\partial t}}$

(10.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (10.25), którego wynik możemy wstawić do (10.22) i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące:

${{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho U\right)v_j-\sigma_{ij}v_i\right]=-\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}+\rho {{\partial U}\over{\partial t}}\;$

(10.26)

Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P_i podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie jest opisane:

$\Delta s_i=s_i-s_i^'\;$

(10.27)

I wykorzystując fakt, że siły napięć P_i są wyrażone przez tensor napięcia σ_ij (10.5), zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem jest napisana:

$\Delta W=\oint_SP_i\Delta s_idS=\oint \sigma_{ij}n_j\delta s_idS=\oint \sigma_{ij}\Delta s_i dS_j\;$

(10.28)

Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor σ_ij jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem (9.41), to wtedy dla stanu równowagi zachodzi σ_ij,j, wtedy możemy dokonać obliczenia:

$(\sigma_{ij}s_i)_{,j}=\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\;$ $=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\sigma_{ij}\epsilon_{ij}\;$

(10.29)

Praca wykonana nad układem przez siły napięć (10.28) możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (10.29) jako całkę objętościową deformowanego ciała, co piszemy:

$\Delta W=\oint_V\sigma_{ij}\Delta s_idS_j=\int_V(\sigma_{ij}\Delta s_i)_{,j}=\int_V\sigma_{ij}\Delta \epsilon_{ij}dV\;$

(10.30)

Wprowadźmy teraz funkcję Φ, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt (9.70), a także z symetryczności tensora σ_ij, piszemy:

${{\partial\Phi}\over{\partial t}}={{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}{{\partial\epsilon_{ij}}\over{\partial t}}=\sigma_{ij}{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ij}{{\partial s_j}\over{\partial x_i}}\right)=\;$ $={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\sigma_{ij}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+\sigma_{ji}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}\right)=\sigma_{ij}{{\partial}\over{\partial t}}{{\partial s_i}\over{\partial x_j}}=\sigma_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;$

(10.31)

Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie (10.31), to wzór (10.22) możemy przepisać:

${{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho_0\dot{s}_i\dot{s}_i}\over{2}}\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho_0}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j\right)-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left(\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=-{{\partial\Phi}\over{\partial t}}+\dot{s}_i\rho_0f_i\;$

(10.32)

Równanie (10.32) możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu, dochodzimy do wniosku:

${{\partial}\over{\partial t}}\left[{{\rho_0}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho_0f_is_i\right]+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left({{\rho_0}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i\dot{s}_j-\sigma_{ij}\dot{s}_i\right)=0\;$

(10.33)

Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie (10.33) wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu jako całkowanie po objętości zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s_i nie zmienia się poza ciałem, mamy:

${{d}\over{dt}}\int_V\left({{\rho_0}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i+\Phi-\rho_0f_is_i\right)=0\;$

(10.34)

Wyrażenie (10.34) przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów podzielonej przez ten element objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Te energie energię kinetyczną T i potencjalną U wyrażamy:

$T={{1}\over{2}}\int_V\rho\dot{s}\dot{s}_idV\;$ (10.35)

$U=\int_V(\Phi-\rho f_is_i)dV\;$ (10.36)

A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej (10.35) i potencjalnej (10.36) jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej (10.34):

$E=T+U=\operatorname{const}\;$

(10.37)

Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości ρ(p) i całkowaną względem ciśnienia:

$\mathcal{P}=\int{{dp}\over{\rho(p)}}\;$

(10.38)

Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia $\mathcal{P}\;$ względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi (10.38), dostajemy:

${{\partial \mathcal{P}}\over{\partial x_j}}={{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}={{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial x_j}}\;$

(10.39)

Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie (10.4) i pochodnej funkcji (10.38) względem współrzędnej j-tej, piszemy:

$-{{\partial p}\over{\partial x_i}}v_i=-\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial x_i}}v_i=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)+\mathcal{P}{{\partial}\over{\partial x_i}}(\rho v_i)=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-\mathcal{P}{{\partial\rho}\over{\partial t}}=\;$ $=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}\;$

(10.40)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość $\mathcal{P}\;$(10.39), której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji (10.38) względem czasu i dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu:

$\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial p}}{{\partial p}\over{\partial t}}=\rho{{1}\over{\rho}}{{\partial p}\over{\partial t}}={{\partial p}\over{\partial t}}\;$

(10.41)

Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez (10.13):

$v_i{{\partial}\over{\partial x_j}}\sigma^{(p)}_{ij}=v_i{{\partial}\over{\partial x_i}}(-p\delta_{ij})=-v_i{{\partial p}\over{\partial x_i}}=-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+\rho{{\partial\mathcal{P}}\over{\partial t}}=\;$ $-{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(\rho\mathcal{P}v_i\right)-{{\partial}\over{\partial t}}(\mathcal{P}\rho)+{{\partial p}\over{\partial t}}$

(10.42)

Mając ostateczny wzór (10.42) i definicję tensora napięć (10.13), zatem możemy napisać równość wynikająca z (10.26) dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych:

${{\partial}\over{\partial t}}\left({{\rho}\over{2}}v^2+\rho\mathcal{P}-p+\rho U\right)+{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[\rho\left({{v^2}\over{2}}+\mathcal{P}+U\right)v_j-R_{ij}v_j\right]=-R_{ij}{{\partial v_i}\over{\partial x_j}}\;$

(10.43)

Lewa strona wzoru (10.43) opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej ciała zdeformowanego na ciepło.

Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Będziemy się tutaj zajmować równaniami materiałowymi, które np. opisuje właściwości sprężyste sprężyny, a także zobaczmy jaka jest zależność tensora napięć od temperatury w przybliżeniu liniowym i na samym końcu podamy twierdzenie o zjawisku, które się nazywa tarciem. Rysunek obok pokazuje co się stanie z ciałem, gdy na niego działamy coraz większym naprężeniem.

Według rysunku obok zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a dzielimy na zakres obowiązywania prawa Hooke'a, na nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych, na zakres odkształceń plastycznych i na zakres symbolizujący zerwanie próbki.

Prawo Hooke'a

W zakresie sprężystym dla danego ciała tensor napięć jest wprost proporcjonalny do współczynnika , który określa deformację naszego badanego ciała. Jest to równanie określane według:

$\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;$

(11.1)

Współczynniki c_ijkl nazywamy modułami sprężystymi. Ponieważ tensor napięć i tensor deformacji z samej definicji są tensorami symetrycznymi względem przestawień wskaźników, z symetryczności tensora c_ijkl możemy powiedzieć:

$c_{ijkl}=c_{jikl}=c_{ijlk}=c_{jilk}\;$

(11.2)

Wprowadźmy teraz funkcję Ψ, w taki sam sposób jak we wzorze (10.31) mającej te same właściwości, zatem na podstawie naszej definicji Φ możemy napisać tożsamość:

${{\partial\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}}}=\sigma_{ij}=c_{ijkl}\epsilon_{kl}\;$

(11.3)

I jeszcze raz zróżniczkujmy tensor (11.3) względem tensora deformacji, ale ze wskaźnikami k i l, czyli liczymy pochodne względem tensora deformacji ε_kl, wtedy powiemy:

${{\partial^2\Phi}\over{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}}}=c_{ijkl}\;$

(11.4)

Będziemy się zajmować ciałami sprężystymi, które są izotropowe i mające pewne symetrie, będziemy rozpatrywać tensor c_ijkl, który jest niezmienniczy względem obrotów, a jedyną wielkością niezmienniczą jest delta Kroneckera δ_ij, zatem tensor c_ijkl jest tensorem zbudowanym za pomocą wspomnianych delt w sposób:

$c_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu\delta_{ik}\delta_{jl}+\nu\delta_{il}\delta_{jk}\;$

(11.5)

Z własności symetrii tensora c_ijkl=c_jlc_kl=c_ijkl wynika ν=μ, że według wzoru (11.5) przy wykorzystaniu prawa Hooka dla tensora napięć (11.1) możemy wtedy napisać dysputę:

$\sigma_{ij}=\left(\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+2\mu\delta_{ik}\delta_{jl}\right)\epsilon_{kl}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}\;$

(11.6)

Z tożsamości (11.6) będziemy teraz wyznaczać tensor deformacji, ale przedtem policzmy ślad tensora napięć zapisanego przy pomocy wzoru (11.6), czyli wtedy możemy napisać następującą tożsamość:

$\sigma_{ll}=2\mu\epsilon_{ij}+3\lambda\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}\Rightarrow \epsilon_{ll}=\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\;$

(11.7)

Uzyskany końcowy wynik w punkcie (11.7) możemy podstawić do wzoru na tensor napięć (11.6), otrzymujemy:

$\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ij}+\lambda\delta_{ij}\sigma_{ll}\left(2\mu+3\lambda\right)^{-1}\Rightarrow\epsilon_{ij}=\sigma_{ij}{{1}\over{2\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(3\mu+3\lambda)}}\delta_{ij}\sigma_{ll}\;$

(11.8)

Przepiszmy równanie (11.8) z nowymi współczynnikami μ i λ, otrzymujemy:

$\epsilon_{ij}=2\mu^'\sigma_{ij}+\lambda^'\delta_{ij}\sigma_{ll}\;$

(11.9)

• gdzie współczynniki μ' i λ', są to współczynniki określane:

$\mu^'={{1}\over{4\mu}}\;$ (11.10)

$\lambda^'=-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}\;$ (11.11)

Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.

Wydłużenie liniowe

Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć (10.5) jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor σ₁₁, na podstawie wzoru (11.9) tensory deformacji są napisane:

$\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_{11}=(2\mu^'+\lambda^')\sigma_{11}\\ \epsilon_y=\epsilon_{22}=\lambda^'\sigma_{11}\\ \epsilon_z=\epsilon_{33}=\lambda^'\sigma_{11} \end{cases}\;$

(11.12)

Definicję modułu Younga na podstawie naprężenia P i tensora napięć σ₁₁ piszemy wedle schematu poniżej, a także napiszmy czemu jest równa jego wartość:

$P=\sigma_{11}=E\epsilon_{x}\Rightarrow E={{\sigma_{11}}\over{\epsilon_x}}={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;$

(11.13)

A ilorazem Poissona nazywamy stosunek ε_x przez ε_y wziętej z minusem, jego definicja jest:

$\nu=-{{\epsilon_y}\over{\epsilon_x}}=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}\;$

(11.14)

Wyznaczmy teraz moduł Younga (11.13) i iloraz Poissona (11.14) wykorzystując przy tym definicję λ^' (11.10) i definicję μ^' (11.11), wtedy te współczynniki E i ν piszemy:

$E={{1}\over{2\mu^'+\lambda^'}}={{1}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\mu\lambda}}={{4\mu^2(2\mu+3\lambda)}\over{4\mu^2+4\lambda\mu}}={{\mu(2\mu+3\lambda)}\over{\lambda+\mu}}\;$

(11.15)

$\nu=-{{\lambda^'}\over{2\mu^'+\lambda^'}}=-{{-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}\over{2{{1}\over{4\mu}}-{{\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)}}}}={{2\lambda}\over{2\mu(2\mu+3\lambda)-2\lambda\mu}}={{2\lambda}\over{4(\lambda+\mu)}}={{\lambda}\over{2(\lambda+\mu)}}\;$

(11.16)

Z tożsamości (11.15) wyznaczmy parametr λ, zatem przejdźmy do sedna sprawy:

$E(\lambda+\mu)=\mu(2\mu+3\lambda)\Rightarrow\lambda(E-3\mu)=2\mu^2-E\mu\Rightarrow \lambda={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\;$

(11.17)

Ze wzoru (11.16) wyznaczmy parametr λ, by potem przejść do wyznaczania parametru μ w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona ν:

$2\nu(\lambda+\mu)=\lambda\Rightarrow\lambda={{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}$

(11.18)

Porównujemy obie strony równań (11.17) i (11.18), w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr μ:

${{2\nu\mu}\over{1-2\nu}}={{2\mu^2-E\mu}\over{E-3\mu}}\Rightarrow 2E\nu\mu-6\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu-4\mu^2\nu+2\nu E\mu\;$ $-2\nu\mu^2=2\mu^2-E\mu\Rightarrow-2\nu\mu=2\mu-E\Rightarrow 2\mu(1+\nu)=E\Rightarrow \mu={{E}\over{2(1+\nu)}}$

(11.19)

Mając już wyliczony parametr μ wedle końcowego jego przestawienia (11.19), co to możemy podstawić do równości na parametr λ, dostajemy:

$\lambda={{2\nu}\over{(1-2\nu)}}{{E}\over{2(1+\nu)}}={{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\;$

(11.20)

Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa

Wzory na parametr μ (11.19) i na parametr λ (11.20) są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E (11.13) i parametr Poissona ν (11.14), które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć (10.13) możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów (11.7), a także ze wzoru na współczynnik kompresji (9.64) biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy:

$\sigma_{ll}=-3p=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll}=(2\mu+3\lambda)\theta\Rightarrow\;$ $p={{2\mu+3\lambda}\over{3}}\theta=\left({{2}\over{3}}{{E}\over{2(1+\nu)}}+{{\nu E}\over{(1+\nu)(1-2\nu)}}\right)\theta=\;$ $={{1}\over{3(1+\nu)}}\left(E(1-2\nu)+2\nu E\right)\theta={{E}\over{3(1-2\nu)}}\theta$

(11.21)

Wprowadźmy teraz moduł kompresji κ, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru (11.21) jest opisana:

$\kappa={{p}\over{\theta}}={{E}\over{3(1-2\nu)}}\;$

(11.23)

Skręcenia

Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.

Niech mamy teraz tensor napięć σ₁₂, który wedle jej definicji w punkcie (11.6) zapisujemy:

$\sigma_{12}=2\mu\epsilon_{12}\;$

(11.24)

Wzór końcowy wynikowy (9.61) możemy wstawić do wzoru (11.24), otrzymujemy:

$\epsilon_{12}=\mu\gamma\;$

(11.25)

Współczynnik sprężystości G=μ możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika μ (11.19), w sposób:

$\mu=G={{E}\over{2(1+\nu)}}\;$

(11.26)

Rozszerzalność temperaturowa

Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć (11.6) należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana:

$\sigma_{ij}=2\mu\epsilon_{ik}+\lambda\delta_{ij}\epsilon_{ll}-\alpha\kappa\delta_{ij}(T-T_0)\;$

(11.27)

We wzorze (11.27) występuje wielkość α, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości α i różnicy temperatur T i T₀, którego to nazwiemy przez θ, którą definiujemy jako względną zmianę objętości:

$\theta=\alpha(T-T_0)\;$

(11.28)

Tensorowa postać prawa tarcia

Niech tensor tarcia R_ij będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a_ikjl, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c_ikjl przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu:

$R_{ik}=a_{ikjl}\mathcal{\Nu}_{jl}\;$

(11.29)

A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości Ν_jl i współczynników η i η^', które są nazywane współczynnikami lepkości.

$R_{ik}=2\eta\Nu_{ik}+\xi\delta_{ik}\Nu_{ll}\;$

(11.30)

Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R_ik=-δ_ikp', wtedy możemy policzyć ślad tensora (11.30), który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej:

$-3p^'=(2\eta+3\xi)\mathcal{\Nu}_{kk}\;$

(11.31)

Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości:

$\xi=-{{2}\over{3}}\eta\;$

(11.32)

Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (9.68) w równaniu (11.31), dla której jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi (11.32), lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł:

$p^'=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\mathcal{\Nu}_{kk}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right){{\partial v_k}\over{\partial x_k}}=-\left({{2}\over{3}}\eta+\xi\right)\operatorname{div}\vec{v}\;$

(11.33)

Teoria sprężystości w przestawieniu klasycznym

Rozpatrzmy teraz równość (10.12) pomijając w nim wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości stojące w drugim wyrazie pod pochodną cząstkową liczoną względem współrzędnej prostokątnego układu współrzędnych, a także zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i tą gęstość oznaczymy przez ρ₀:

$\rho{{\partial^2s_i}\over{\partial t^2}}-{{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}=\rho f_i\;$

(12.1)

Dalszym krokiem jest skorzystanie z definicji tensora napięć, którego definicja jest przy prawie Hooke'a w punkcie (11.6) i wykorzystaniu własności na tensor deformacji (9.41), w ten sposób równość (12.1) przechodzi w:

$\rho{{\partial^2}\over{\partial t^2}}s_i-{{\partial}\over{\partial x_j}}\left[2\mu{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_j}}+{{\partial s_j}\over {\partial x_i}}\right)+\lambda\delta_{ij}{{\partial s_l}\over{\partial x_l}}\right]=\rho f_i\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \rho{{\partial^2 s_i}\over{\partial t^2}}-\mu{{\partial^2s_i}\over{\partial x_j\partial x_j}}+(\mu+\lambda){{\partial^2s_j}\over{\partial x_i\partial x_j}}=\rho f_i\;$

(12.2)

Równość (12.2), który jest określona przy pomocy wektora deformacji $\vec{s}\;$, możemy zapisać w postaci wektorowej używając operatorów gradientu i dywergencji przy pomocy parametrów μ i λ:

$\rho{{\partial}\over{\partial t^2}}\Delta\vec{s}-\mu\Delta\vec{s}-(\mu+\lambda)\operatorname{grad}\mbox{ }\operatorname{div}\vec{s}=\rho \vec{f}\;$

(12.3)

Jeśli się ograniczymy do problemów typowo statycznych. tzn. dla problemów całkowicie niezależnych od czasu, zatem na podstawie równości (12.3) napiszmy równość różniczkową pomijać we wspomnianym wzorze drugą pochodną cząstkową wektora deformacji względem czasu:

$\mu\Delta\vec{s}+(\mu+\lambda)\operatorname{grad}\mbox{ }\operatorname{div}\vec{s}+\rho \vec{f}=0\;$

(12.4)

Wałek skręceń w teorii sprężystości

Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.

Na dolnej podstawie wałka skręceń x₃, z powodów oczywistych mamy s_i=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem (10.5), na górnej podstawie wektor przesunięcia$\vec{s}\;$ jest określony:

$\vec{s}=\vec{\varphi}_0\times\vec{r}=(-\varphi_0 x_2,\varphi_0x_1,0)\;$

(12.5)

Równaniem statycznym (12.4) będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość:

${{\partial\sigma_{ij}}\over{\partial x_j}}=0\Leftrightarrow\mu{{\partial^2s_i}\over{\partial x_j\partial x_j}}+(\mu+\lambda){{\partial^2s_j}\over{\partial x_i\partial x_j}}=0\;$

(12.6)

Zdeformowanie $\vec{s}\;$ dla różnych punktów wałka skręceń, którego równość określamy przez równość:

$\begin{cases}s_1=-\varphi(x_3)x_2\\ s_2=\varphi(x_3)x_1\\ s_3=0\\ \end{cases}\;$

(12.7)

Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania (9.41), w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania $\vec{s}\;$, które określaliśmy w punkcie (12.7), to te tensory deformacji określamy przez:

$\begin{cases}\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=\epsilon_{13}=0\\ \epsilon_{13}=-{{1}\over{2}}x_2{{d\varphi}\over{d x_3}}\\ \epsilon_{23}={{1}\over{2}}x_1{{d\varphi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}$

(12.8)

Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji (12.8) możemy policzyć je wykorzystując przy tym wzór (11.6):

$\begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0\\ \sigma_{13}=-\mu x_2{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \sigma_{23}=\mu x_1{{d\phi}\over{dx_3}}\\ \end{cases}$

(12.9)

Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem (12.6), to na podstawie tychże wzorów (12.9) możemy zapisać:

$\begin{cases} 0={{\partial\sigma_{13}}\over{\partial x_3}}=-\mu x_2{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}}\\ 0={{\partial\sigma_{23}}\over{\partial x_3}}=\mu x_1{{d^2\varphi}\over{dx_3^2}} \end{cases}$

(12.10)

Z dwóch równości (12.10) możemy wyznaczyć funkcję φ(x₃) zależną od argumentu x₃, która jest wysokością wałka skręceń:

$\varphi(x_3)=ax_3+b\;$

(12.11)

Ponieważ dla warunków brzegowych równość (12.11), z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b.

$\varphi(0)=b=0\;$ (12.12)

$\varphi(l)=al+b=\varphi_0\;$ (12.13)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.12) i (12.13) wzór (12.11) możemy zapisać:

$\varphi(x_3)={{\varphi_0}\over{l}}x_3\;$

(12.14)

Patrząc na układ równań (12.9) możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora $\vec{n}=[\cos\varphi,\sin\varphi]\;$, a zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

$P_1^{(n)}=\sigma_{11}\cos\varphi+\sigma_{12}\sin\varphi=0\;$

(12.15)

$P_2^{(n)}=\sigma_{21}\cos\varphi+\sigma_{22}\sin\varphi=0\;$

(12.16)

$P_3^{(n)}=\sigma_{31}\cos\varphi+\sigma_{23}\sin\varphi=-\mu R\sin\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\cos\varphi+\mu R\cos\varphi{{\varphi_0}\over{l}}\sin\varphi=0\;$

(12.17)

Rozwiązaniem równania (12.6), który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości (12.7) do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć $\vec{s}\;$, jest:

$\begin{cases} s_1=-{{\varphi_0}\over{l}}x_2x_3\\ s_2={{\varphi_0}\over{l}}x_1x_3\\ s_3=0\end{cases}$

(12.18)

Tensory naprężeń (12.9), na podstawie definicji funkcji φ(x₃) napisanego w punkcie (12.14) i naprężenia dla wektora normalnego $\vec{n}=(0,0,1)\;$ dla x₃=l, określamy przez:

$\sigma_{13}=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_1=-\mu x_2{{\varphi_0}\over{l}}\;$ (12.19)

$\sigma_{23}=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\Rightarrow P_2=\mu x_1{{\varphi_0}\over{l}}\;$ (12.20)

$P_3=0\;$ (12.21)

Siły działające na walek skręceń są prostopadłe do osi x₃, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i $\vec{r}=[x_1,x_2,0]\;$ jest równy zero, a oto jego dowód:

$[P_1,P_2,P_3][x_1,x_2,0]=-\mu x_2x_1{{\varphi_0}\over{l}}+\mu x_1{{\varphi}\over{l}}x_2=0\;$

(12.22)

Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń P₁, P₂, P₃, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu M_s:

$M_s=\int\left(x_1P_2-x_3P_1\right)ds=\int\mu{{\varphi_0}\over{l}}\left(x_1^2+x_2^2\right)ds= \int\mu{{\varphi_0}\over{l}}r^2 rd\varphi=\;$ $=\mu{{\varphi_0}\over{l}}\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{R}r^3dr=\mu{{\varphi_0}\over{l}}=\mu{{\varphi_0}\over{l}}2\pi{{R^4}\over{4}}=\mu{{\pi R^4}\over{2l}}\varphi_0\;$

(12.23)

Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu (12.23), co stąd możemy wyznaczyć kąt φ₀, który w zależności od momentu pędu piszemy przez:

$\varphi_0={{2lM_3}\over{\mu\pi R^4}}\;$

(12.24)

Matematyczny opis fal sprężystych

Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s_i jest opisywane przez równość (12.2), którą ogólne rozwiązanie spełnia wspomnianą równość, jest w postaci:

$s_i=f(\vec{n}\vec{r}-ct)\;$

(12.25)

Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania (12.25), który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia $\vec{n}\vec{r}-ct\;$. Zakładając przy tym, że mamy $\vec{k}=(k,0,0)\;$:

$\vec{s}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=\vec{A}e^{i(kx-\omega t)}\;$

(12.26)

Rozwiązanie (12.26) możemy podstawić do równości (12.2), otrzymujemy wtedy równość algebraiczną:

$-\rho_0\omega^2A_i+\mu k^2A_i+(\mu+\lambda)k^2\delta_{i1}A_i=0\;$

(12.27)

Rozwiązanie równości (12.27) jest to rozwiązanie, dla którego A_i musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania (12.27) musi mieć wartość zerową:

$\begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2&0&0\\ 0&\mu k^2-\rho_0\omega^2&0\\ 0&0&\mu k^2-\rho_0\omega^2 \end{vmatrix}=0\;$

(12.28)

Wyznacznik równania (12.28) możemy policzyć w taki sposób by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe:

$[(2\mu+\lambda)k^2-\rho_0\omega^2](\mu k^2-\rho_0\omega^2)^2=0\;$

(12.29)

Z równości (12.29) możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego:

$k_1^2={{\rho_0}\over{2\mu+\lambda}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_1^2}}\;$ (12.30)

$k_2^2={{\rho_0}\over{\mu}}\omega^2={{\omega^2}\over{c_2^2}}\;$ (12.31)

Równaniu falowym o wartości liczby falowej (12.30) odpowiada amplituda $\vec{A}^{(1)}\;$, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego (12.31) odpowiada wektor amplitudy $\vec{A}^{(2)}\;$, co te amplitudy piszemy:

$\vec{A}^{(1)}=(A_1,0,0)\;$ (12.32)

$\vec{A}^{(2)}=(0,A_2,A_3)\;$ (12.33)

Fala odpowiadająca amplitudzie (12.32) odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda (12.33), zatem w takim przypadku prędkości opisywane przez te fale są zapisane:

$c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;$ (12.34)

$c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;$ (12.35)

Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych $\vec{s}_1\;$ i podłużnych $\vec{s}_2\;$ jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku:

$\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_2=\underbrace{\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_1}+\underbrace{\vec{A}_2e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}}_{\vec{s}_2}\;$

(12.36)

Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na (12.32) i (12.33) dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć:

$\operatorname{rot}\vec{s}_1=0\;$ (12.37)

$\operatorname{div}\vec{s}_1\neq 0\;$ (12.38)

Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych, tzn., której przypadek opisujemy:

$\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0\;$ (12.39)

$\operatorname{rot}\vec{s}_2\neq 0\;$ (12.40)

Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki:

$\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}-\Delta\vec{s}\;$

(12.41)

Wtedy równość (12.3) możemy przepisać do równości:

$\rho_0{{\partial^2\vec{s}}\over{\partial t^2}}=\mu\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s}-(2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s}=0\;$

(12.42)

Jeśli do równania (12.42) podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru (12.41) jest:

$\rho_0\left({{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}+{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}\right)=(2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1}+\mu\Delta\vec{s}_2\;$

(12.43)

Równanie (12.43) możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe:

$\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_1^2}}{{\partial^2\vec{s}_1}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_1=\sqrt{{{2\mu+\lambda}\over{\rho_0}}}\;$ (12.44)

$\Delta\vec{s}_1-{{1}\over{c_2^2}}{{\partial^2\vec{s}_2}\over{\partial t^2}}=0\mbox{ gdzie: }c_2=\sqrt{{{\mu}\over{\rho_0}}}\;$ (12.44)

Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć $\vec{s}_1\;$ dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć:

$\operatorname{rot}\vec{s}_1=\operatorname{rot}\vec{A}_1e^{i(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)}= \epsilon_{ijk}\nabla_j A_{1k}e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\epsilon_{ijk}A_{1k}k_je^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_1\times\vec{s}_1=0\;$

(12.45)

Na podstawie założenia (12.37) i wywodów (12.45) otrzymujemy, że fala $\vec{s}_1\;$ jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć $\vec{s}_2\;$ dla fali podłużnej:

$\operatorname{div}\vec{s}_2=\nabla_jA_{2j}e^{i(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)}=i\vec{k}_2\cdot\vec{s}_2=0\;$

(12.46)

Na podstawie założenia (12.39) i wywodów (12.46) otrzymujemy, że fala $\vec{s}_2\;$ jest falą poprzeczną.

Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała

Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno (10.35) i (10.36) do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni:

$\mathfrak{L}=\int_V\left({{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-\Phi+\rho_0f_is_i\right)dV+\oint\overline{f}_is_idS\;$

(12.47)

Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian (12.47) i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero, zatem naszym celem jest napisanie funkcjonału i jego wariacji:

$S=\int_{t_1}^{t_2}\mathfrak{L}dt\wedge \delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0\;$

(12.48)

Wariacja funkcjonału S (12.48) jest tak zbudowana, by wariacja wielkości δs_i na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t₁ i t₂, co piszemy:

$\delta sx_i(t_1)=\delta s_i(t_2)=0\;$

(12.49)

Napiszmy teraz funkcję Φ, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a (11.3) i przy założeniu symetryczności tensora deformacji (dlatego w definicji funkcji Φ występuje czynnik $_{{{1}\over{2}}}\;$) i przy symetryczności tensora c_iklm, zatem wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji (9.41):

$\Phi={{1}\over{2}}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm}={{1}\over{2}}c_{iklm}{{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right){{1}\over{2}}\left({{\partial s_i}\over{\partial x_k}}+{{\partial s_k}\over{\partial x_i}}\right)={{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}\;$

(12.50)

Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie (12.48), zatem tą naszą wariację naszej funkcji S piszemy:

$0=\delta S=S(s+\delta s_i)-S(s_i)=\int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg\{{{\rho}\over{2}}(\dot{s}_i+\delta \dot{s}_i)\dot{s}_i+\delta_i)-{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_k}} (s_i+\delta s_i){{\partial}\over{\partial x_m}}(s_l+\delta s_l)+\;$ $+\rho_0f_i(s_i+\delta s_i)\Bigg\}dV+\oint_S\overline{f}_ik(s_i+\delta s_i)dS-\;$ $-\int_{t_1}^{t_2}\Bigg[\int_V\Bigg\{ {{\rho}\over{2}}\dot{s}_i\dot{s}_i-{{1}\over{2}}c_{iklm}{{\partial s_i}\over{\partial x_k}}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}+\rho f_is_i\Bigg\}dV+\oint\overline{f}_is_idS\Bigg]dt=\;$ $= \int_{t_1}^{t_2}\left[\int_V\left\{\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_i-c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\delta s_i\right\}+\oint_S\overline{f}_i\delta s_idS\right]$

(12.51)

W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie (12.51) pomijaliśmy wyrazy δs_i rzędu wyższego rzędu niż pierwszego i skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a (11.1). Dalszym naszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie (12.51) w nawiasie klamrowym, zatem teraz dokonajmy teraz tychże obliczeń:

$\int_{t_1}^{t_2}\rho\dot{s}_i\delta \dot{s}_idVdt=\rho \dot{s}_i\delta s_i\Bigg|^{t_2}_{t_1}dV=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}_i\delta s_idV dt=-\int_{t_1}^{t_2}\rho\ddot{s}\delta s_i dV dt\;$

(12.52)

Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie (11.1), stąd na podstawie tego możemy powiedzieć, że zachodzi:

$\int_{t_1}^{t_2}c_{iklm}{{\partial s_l}\over{\partial x_m}}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}dV dt= \int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}{{\partial \delta s_i}\over{\partial x_k}}=\int_{t_1}^{t_2}\left[(\sigma_{ik}\delta s_i)_{,k}-\sigma_{ik,k}\delta s_i\right]dV dt=\;$ $=\int_{t_1}^{t_2}\sigma_{ik}\delta s_idS_kdt-\int_{t_1}^{t_2}{{\partial \sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}\delta s_idV dt$

(12.53)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (12.52) i w punkcie (12.53) wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie (12.51), to na podstawie tego uzyskujemy równość:

$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\int_V\left\{-\rho\ddot{s}_i+{{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\right\}\delta s_idV dt-\int_{t_1}^{t_2}\oint_S\left\{\sigma_{ik}n_k-\overline{f}_i\right\}\delta s_idSdt=0\;$

(12.54)

Równość całkowa (12.54) jest równa tożsamościowo zero, bo mamy dowolne δs_i, zatem na podstawie tego otrzymujemy dwie bardzo ważne równości:

$\rho\dot{s}_i={{\partial\sigma_{ik}}\over{\partial x_k}}+\rho f_i\;$ (12.55)

$\sigma_{ik}n_k=\overline{f}_i\;$ (12.56)

Wzór (12.55) jest to obiekt, który symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie (10.10), a wzór (12.56) jest to powtórzeniem wzoru (10.5).

Wprowadzenie do hydrodynamiki

Równanie Naviera-Stokesa

Będziemy się tutaj zajmować równaniem ogólnym dla hydrodynamiki (10.10), a także korzystając z definicji tensora napięć (10.13), a także wykorzystując twierdzenie o tarciu (11.30) i twierdzenie o prędkości (9.68), jak również wykorzystując związek pomiędzy dwoma parametrami lepkości η i ξ, to na podstawie tego możemy napisać równanie Naviera-Stokesa w postaci skalarnej:

$\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\eta{{\partial^2v_i}\over{\partial x_l\partial x_l}}+{{1}\over{3}}\eta{{\partial^2v_l}\over{\partial x_i\partial x_l}}+\rho f_i\;$

(13.1)

Równanie (13.1) możemy przepisać w postaci wektorowej:

$\rho(\dot{\vec{v}}+(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}+{{1}\over{3}}\eta\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v}+\rho\vec{f}\;$

(13.2)

Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego

Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy η jest równa zero, wtedy równanie (13.1) będziemy pisać:

$\rho\left(\dot{v}_i+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;$

(13.3)

Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz prędkość, jej do tej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy $_{\vec{v}\cdot\vec {n}=0}\;$. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie (13.3) po lewej stronie w nawiasie:

$v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}=v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}-v_l{{\partial v_l}\over{\partial x_i}}+v_l{{\partial v_i}\over{\partial x_l}}={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\left(\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\right)v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=\;$ $={{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\left(v_lv_l\right)-\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}\;$

(13.4)

Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w (13.4) do wzoru (13.3), wtedy dostajemy jeszcze inny zapis naszego ostatnio wspomnianego wzoru:

$\rho\dot{v}_i+{{1}\over{2}}{{\partial v_lv_l}\over{\partial x_i}}-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_l{{\partial v_k}\over{\partial x_j}}=-{{\partial p}\over{\partial x_i}}+\rho f_i\;$

(13.5)

Równanie skalarne (13.5), które jest przestawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równania możemy przestawić w postaci wektorowej:

$\rho\dot{\vec{v}}+{{\rho}\over{2}}\operatorname{grad}(\vec{v}^2 )-\rho\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\rho\vec{f}\;$

(13.6)

Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów

Dla spoczywającej ciecz będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem:

$\vec{v}=0\;$ (13.7)

$\rho=\rho_0\;$ (13.8)

$p=p_0\;$ (13.9)

Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu), wtedy powiemy:

$\vec{v}=\vec{v}^'\;$ (13.10)

$p=p_0+p^'\;$ (13.11)

$\rho=\rho_0+\rho^'\;$ (13.12)

Napiszmy teraz równanie ciągłości (10.4) wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem (13.7), (13.8) i (13.9), a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu (13.10), (13.11) i (13.12), wtedy równanie ciągłości przyjmuje wygląd:

${{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho_0+\rho^'\right)+\operatorname{div}\left[(\rho_0+\rho^')\vec{v}\right]=0\;$

(13.13)

W równaniu (13.13) po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy, otrzymujemy:

${{\partial \rho^'}\over{\partial t}}+\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'=0\;$

(13.14)

Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru (13.5), które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków (13.10), (13.11) i (13.12), to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych piszemy:

$(\rho+\rho^')\left(\dot{v}_i+v_l^'{{\partial v^'_i}\over{\partial x_l}}\right)=-{{\partial(p_0+p^')}\over{\partial x_i}}\;$

(13.15)

We wzorze (13.15) pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy tą nasza równość przepisujemy po tej wspomnianej operacji:

$\rho_0{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=-\operatorname{grad}p^'$

(13.16)

Równanie stanu będziemy linearyzować rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy ρ wokół punktu ρ=ρ₀:

$p=p_0+\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}(\rho-\rho_0)+...\;$

(13.17)

Biorąc definicję ciśnienia (13.11) i gęstości ciała (13.12), wtedy na podstawie (13.17) możemy zauważyć:

$p^'=c^2\rho^'\mbox{ dla }c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}\;$

(13.18)

Wstawiamy uzyskaną równość (13.18) do równania ciągłości (13.14), to dostajemy zależność:

${{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t^2}}=\rho_0\operatorname{div}\vec{v}^'\;$

(13.19)

Równość (13.19) zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową (13.16):

${{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\rho_0\operatorname{div}{{\partial\vec{v}^'}\over{\partial t}}=0\Rightarrow {{1}\over{c^2}}{{\partial p^'}\over{\partial t}}-\operatorname{div}\operatorname{grad}p^'=0\;$

(13.20)

Równość (13.20) możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan:

${{1}\over{c^2}}{{\partial^2p^'}\over{\partial t^2}}+\Delta p=0\;$

(13.21)

Równanie (13.21) jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty:

$pV^{\kappa}=\operatorname{const}\Rightarrow p=\operatorname{const}\rho^{\kappa}\;$

(13.22)

Będziemy wykorzystywać równość (13.18), to do wyznaczenia prędkości światła, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu, mamy:

$c^2=\left({{dp}\over{d\rho}}\right)_{\rho=\rho_0}=\kappa\rho_0^{\kappa-1}\operatorname{const}\simeq\kappa \rho_0^{\kappa-1}{{p_0}\over{\rho_0^{\kappa}}}=\kappa{{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow c=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;$

(13.23)

Równanie (13.23) jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej·

Wyprowadzenie równania Bernoulliego

Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość (13.6) po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość ρ, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie, przyjmuje postać:

$\dot{\vec{v}}+{{1}\over{2}}\operatorname{grad}\vec{v}^2=-\operatorname{grad}{p}+\vec{f}=0\;$

(13.24)

Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości Φ, którego definicja jest podana w punkcie (9.20), a także wprowadzimy, że wielkość $\vec{f}\;$ jest gradientem potencjału U wziętej z minusem (10.24), a także wykorzystamy definicję wielkości $\mathcal{P}\;$, czyli poprzez (10.38), a co z niego wynika równość (10.41), to na podstawie tychże rozważanych rozważań dochodzimy do wniosku:

${{\partial}\over{\partial x_i}}\left[\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}{{\partial\Phi}\over{\partial x_k}}+\mathcal{P}+U\right]=0\;$

(13.25)

Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości (13.25) jest równa wielkości stałej zależnej od czasu:

$\dot{\Phi}+{{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C(t)\;$

(13.26)

Dla przepływów stacjonarnych równość (13.26), dla której pochodna funkcji Φ znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego:

${{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U=C\;$

(13.27)

Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania (13.6) i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej jest napisana:

$\int_V\left\{\operatorname{grad}\left({{1}\over{2}}\vec{v}^2+\mathcal{P}+U\right)-\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}\right\}\cdot d\vec{r}=0\;$

(13.28)

Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy $_{(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0}\;$, to stąd podobnie jak poprzednio wynika równość jak w punkcie (13.27), tylko dla $\dot{\Phi}\;$ równego zero.

Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie $_{\dot{\vec{v}}=0}\;$, $_{\rho=\rho_0}\;$ i $_{\mathcal{P}={{p}\over{\rho_0}}}\;$, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego możemy przepisać do postaci:

${{\rho_0}\over{2}}v^2+p+\rho_0U=C\;$

(13.29)

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości (10.4), gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości jest napisane przez:

$\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;$

(12.30)

Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie (12.30):

$0=\int\operatorname{div}(\rho\vec{v})=\oint_{t_1}^{t_2}\rho\vec{v}d\vec{S}=\int_{S_2}\rho\vec{v}d\vec{S}_2-\int_{S_1}\rho\vec{v}d\vec{S}_1\;$

(13.30)

Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem (13.30), są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach:

$\rho_2 S_2v_2=\rho_1S_1v_1=\operatorname{const}\;$

(13.31)

Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego (13.27), którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron:

${{1}\over{2}}v^2=-\int_{p_0}^p{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow vdv=-{{dp}\over{\rho}}\Rightarrow dv={{dp}\over{\rho v}}\;$

(13.32)

Ponieważ iloczyn ρSv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go otrzymując własność:

${{d\rho}\over{\rho}}+{{dS}\over{S}}+{{dv}\over{v}}=0\;$

(13.33)

Równość końcową wynikową (13.32) podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie (13.33):

${{dS}\over{S}}=-{{d\rho}\over{\rho}}+{{dp}\over{\rho v^2}}\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}\left(1-v^2{{d\rho}\over{dp}}\right)\;$

(13.34)

Wielkość występująca w punkcie (13.18), która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości (13.34) i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową (13.32), mamy:

${{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow {{dS}\over{S}}={{dv}\over{v}}\left(-1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\;$

(13.35)

Równanie (13.35) jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha, i piszemy ją:

$m={{v}\over{c}}\;$

(13.36)

Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej ρ jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku (13.18) w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość (13.35) możemy przepisać:

${{dS}\over{S}}={{dp}\over{\rho v^2}}=-{{dv}\over{v}}\;$

(13.37)

Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością

Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego (13.27), które będziemy mogli wykorzystać wiedząc, że różne punkty w takiej przestrzeni są w spoczynku, zatem to nasze prawo zapisujemy w postaci:

$\int_{p_0}^{p}{{dp}\over{\rho}}+gh=0\;$

(13.38)

Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy będziemy mogli zapisać:

${{p}\over{\rho}}={{p_0}\over{\rho_0}}\Rightarrow \rho=p {{\rho_0}\over{p_0}}\;$

(13.39)

Końcową równość (13.39) będziemy mogli podstawić do wzoru (13.38), w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony:

${{p_0}\over{\rho_0}}\int^p_{p_0}{{dp}\over{p}}+gh=0\Rightarrow {{p_0}\over{\rho_0}}\ln{{p}\over{p_0}}=-gh\;$

(13.40)

Z równości (13.40) możemy wyznaczyć jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy:

$p=p_0e^{-{{\rho_0g}\over{p_0}}h}\;$

(13.41)

Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a

Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy $\operatorname{div}\vec{v}=0\;$, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa (13.6) przechodzi w równość wektorową:

$\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v})=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;$

(13.42)

Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić:

$p=p_1\mbox{ dla }x_3=0\;$ (13.43)

$p=p_2\mbox{ dla }x_3=l\;$ (13.44)

Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku:

${{\partial v_3}\over{\partial x_3}}=0\;$

(13.45)

Z równości różniczkowej (13.45) wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość jest wyrażona:

$v_3=v_3(x_1,x_2)=v_3(r)\;$

(13.46)

W równości (13.42), jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika, wynika natychmiast równość:

$0=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;$

(13.47)

Równość (13.47), którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero, przechodzi w równość:

$\begin{cases} {{\partial p}\over{\partial x_1}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_2}}=0\\ {{\partial p}\over{\partial x_3}}=\eta\left({{\partial^2 v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial ^2v_3}\over{\partial x_2^2}}\right) \end{cases}\;$

(13.48)

Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x₁ i współrzędnej x₂, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x₃, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań (13.48), bo prędkość v₃ zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych, wtedy powiemy:

${{\partial p}\over{\partial x_3}}=C=\eta\left({{\partial^2v_3}\over{\partial x_1^2}}+{{\partial^2 v_3}\over{\partial x_2^2}}\right)\;$

(13.49)

Na podstawie zależności (13.49) możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych (13.43) i (13.44) i zależności ciśnienia od długości rury x₃, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p₁-p₂, a także jest zależna ona od długości rurki "l":

$p=Cx_3+\operatorname{const}\Rightarrow p=-{{p_1-p_2}\over{l}}x_3+p_1\mbox{, }C=-{{p_1-p_2}\over{l}}\;$

(13.50)

Jeśli wykorzystamy przedstawienie (MMF-7.36) laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość (13.49), na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie (13.50) możemy napisać:

$-{{p_1-p_2}\over{\eta l}}={{1}\over{r}}{{d}\over{dr}}\left(r{{dv_3}\over{dr}}\right)\;$

(13.51)

Równość (13.49) możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r":

$r{{dv_3}\over{dr}}=-{{p_1-p_2}\over{2\eta l}}r^2+c_2\Rightarrow v_3=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}r^2+c_2\ln r+c_1\;$

(13.52)

Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c₂ jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v₃ jest równa zero, wtedy rysujemy:

$v_3(R)=-{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2+c_1=0\Rightarrow c_1={{p_1-p_2}\over{4\eta l}}R^2\;$

(13.53)

Wykorzystując wzór na stałą c₁ (13.53) i wzór na stałą c₂, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej (13.52):

$v_3(r)=-{{p_2-p_1}\over{4\eta l}}(R^2-r^2)\;$

(13.54)

Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a (13.54), to:

$Q=\int\rho v_3 dS=\rho{{(p_1-p_2}\over{4\eta l}}\int_0^{R}\int_0^{2\pi}(R^2-r^2)rdr d\theta=2\pi \rho{{p_1-p_2}\over{4\eta l}}\left({{1}\over{2}}R^2-{{1}\over{4}}R^2\right)=\;$ $={{\pi R^4\rho}\over{4\eta l}}(p_2-p_1)\;$

(13.55)

Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy jako iloraz dwóch ściśle określonych całek i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki:

$\vec{v}_3={{\int\rho v_3dS}\over{\int\rho dS}}={{Q}\over{\pi R^2}}={{R^2(p_2-p_1)}\over{8\eta l}}={{1}\over{2}}v_3(0)\;$

(13.56)

Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy (13.56) w postaci:

$p_2-p_1={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}\;$

(13.57)

Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy, określamy:

$F_3=(p_2-p_1)\pi R^2={{8\eta l}\over{R^2}}\overline{v}_3\pi R^2=8\pi\eta l\overline{v}_3\;$

(13.58)

Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością

Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v₀ można rozważyć tak jak by kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v₀. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie (13.2) możemy przepisać jakie jest równanie ruchu cieczy, przy uwagach wyżej wprowadzonych:

$\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}=-\operatorname{grad}p+\eta\Delta\vec{v}\;$

(13.59)

W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość:

$\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}<<\eta\Delta\vec{v}\;$

(13.60)

Zatem równanie (13.59) na podstawie warunku (13.60) możemy zapisać:

$\operatorname{grad}p=\eta\Delta\vec{v}\;$

(13.61)

Podziałajmy obustronnie równość (13.61) operatorem rotacji i dostajemy wniosek:

$\operatorname{rot}\operatorname{grad}p=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\Rightarrow 0=\eta\operatorname{rot}\Delta\vec{v}\;$

(13.62)

Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do (13.61), jest to równanie na prędkość $\vec{v}_2\;$, której laplasjan prędkości $\vec{v}_2\;$ jest równy zero:

$\Delta\vec{v}_2=0\;$

(13.63)

Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości (13.61) spełniające (13.62) jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero:

$\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi\;$

(13.64)

Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe (13.61) jest sumą prędkości opisaną wzorem (13.64), która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości (13.63):

$\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_2\;$

(13.65)

Ponieważ prędkość płynu $\vec{v}_0\;$ jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość $\vec{v}_2\;$ możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła $_{\vec{v}_0}\;$ i funkcji r, która jest odległością od środka kuli:

$\vec{v}_2=\vec{v}_0g(r)\;$

(13.66)

Jeśli wzór (13.66) wstawimy do wzoru (13.63), na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze (13.66) jest równy zero:

$\Delta g(r)=0\;$

(13.67)

Ponieważ funkcja występująca pod operatorem Δ jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru (MMF-7.36) możemy zapisać równoważną do równości (13.67) postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r):

${{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rg)=0\Rightarrow g={{a}\over{r}}+b\;$

(13.68)

Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(∞)=0, czyli w równaniu (13.68) należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc (13.66) i (13.65), dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r":

$\vec{v}=\operatorname{grad}\Phi+\vec{v}_0{{a}\over{r}} \;$

(13.69)

Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie (13.69) jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy:

$0=\operatorname{div}\vec{v}\;$

(13.70)

to wtedy prędkość opisana wzorem (13.69) podstawiamy do równości (13.70). wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji Φ, który jest w definicji prędkości $\vec{v}_1\;$ (13.64):

$\Delta\Phi=a{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;$

(13.71)

Będziemy szukali rozwiązania równania (13.71) dla którego zachodzi$_{\vec{v}=(0,0,v_0)}\;$ w postaci funkcji zależnej od prędkości v₀ i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej:

$\Phi=\vec{v}_0\vec{r}f(r)=v_0x_3f(r)\;$

(13.72)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji Φ, wychodząc od wzoru (13.72), wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji Φ jest zależny od wektora prędkości $_{\vec{v}_0}\;$, wektora wodzącego danego punktu cieczy $_{\vec{r}}\;$ i położenia radialnego:

$\Delta \Phi=\nabla_i\nabla_i v_0x_3f(r)=\nabla_j(v_0x_3\nabla_jf(r))+v_0 \nabla_zf(r)=\;$ $=v_0\nabla_z f(r)+v_0x_3\Delta f(r)+v_0 \nabla_zf(r)=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f(r)}\over{\partial x_3}}=\;$ $=v_0x_3\Delta f(r)+2v_0{{\partial f}\over{\partial r}}{{\partial r}\over{\partial x_3}}= v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2v_0x_3{{1}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}={{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r}}\left({{\partial^2(rf)}\over{\partial r^2}}+2{{\partial f}\over{\partial r}}\right)$

(13.73)

Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami (13.71) i (13.72) do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r:

${{\partial^2}\over{\partial r^2}}(rf)+2{{\partial f}\over{\partial r}}={{a}\over{r^2}}\;$

(13.74)

Rozwiązaniem równania (13.74) jest rozwiązanie zapisane w postaci poniżej, co nie musimy tutaj sprawdzać na ławach tejże książki, jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki:

$f(r)=A+{{B}\over{r^3}}-{{a}\over{2r}}\;$

(13.75)

Wyznaczmy teraz prędkość $\vec{v}_2\;$ ze wzoru (13.64) mając funkcję Φ zdefiniowanego według wzoru (13.72), w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości, mamy:

$\vec{v}_1=\operatorname{grad}\Phi=\operatorname{grad}\left(\vec{v}_0\cdot\vec{r}f(r)\right)=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^{'}(r){{\vec{r}}\over{r}}\;$

(13.76)

Równość (13.76) podstawiamy do wzoru (13.69) i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor $\vec{r}\;$ i prędkości $\vec{v}_0\;$, który zależy natomiast od funkcji f(r):

$\vec{v}=\vec{v}_0f(r)+(\vec{v}_0\cdot\vec{r})f^'(r){{\vec{r}}\over{r}}+a{{\vec{v}_0}\over{r}}\;$

(13.77)

Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa $\vec{v}_0\;$, co piszemy:

$\lim_{r\rightarrow\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_0\;$

(13.78)

Do wzoru (13.77) możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według (13.78), czyli bardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości:

$\lim_{r\rightarrow\infty}f(r)=1\;$ (13.79)

$\lim_{r\rightarrow\infty}rf^{'}(r)=0\;$ (13.80)

Z warunku (13.79) dla funkcji (13.75) otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór (13.77), wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne:

$f(R)+{{a}\over{R}}=0\;$ (13.81)

$f^'(R)=0\;$ (13.82)

Wzór (13.75) możemy podstawić do wzorów (13.81) i do (13.82), wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia rozważanej kulki:

$1+{{B}\over{R^3}}-{{a}\over{2R}}+{{a}\over{R}}=0\Rightarrow 1+{{B}\over{R^3}}+{{a}\over{2R}}=0\;$ (13.83)

$-3{{B}\over{R^4}}+{{a}\over{2R^2}}=0\Rightarrow B={{1}\over{6}}aR^2\;$ (13.84)

Wzór końcowy (13.84) podstawiamy do wzoru (13.83), i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki:

$1+{{a}\over{6R}}+{{a}\over{2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a}\over{6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a}\over{3R}}=0\Rightarrow a=-{{3}\over{2}}R\;$

(13.85)

A równość na stałą B (13.84), do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie (13.85), otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R:

$B={{1}\over{6}}aR^2={{1}\over{6}}(-1){{3}\over{2}}RR^2=-{{1}\over{4}}R^3\;$

(13.86)

Prędkość $\vec{v}_1\;$ (13.76) możemy policzyć wykorzystując definicję funkcji f(r) (13.75) i mając także, że A=1 i (13.85) jako definicję stałej "a" i (13.86) jako definicja stałej B, co stąd możemy wyliczyć całkowitą wspomnianą prędkość wedle schematu:

$\vec{v}_1=\vec{v}_0\left(1-{{1}\over{4}}{{R^3}\over{r^3}}+{{3}\over{4}}{{R}\over{r}}\right)+(\vec{v}\cdot\vec{r}){{\vec{r}}\over{r^3}}{{3}\over{4}}R\left({{R^2}\over{r^2}}-1\right)\;$

(13.87)

Równanie Naviera-Stokesa (13.62), który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt (13.65), a także fakt (13.63):

$\operatorname{grad}p=\eta\Delta\left(\vec{v}_2+\operatorname{grad}\Phi\right)\Rightarrow \operatorname{grad}p=\eta\operatorname{grad}\Delta\Phi\;$

(13.88)

Końcową równość (13.88) możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości Φ dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem (13.71), a także wzór na definicję stałej "a" jest według (13.85):

$p=p_0+\eta\Delta\Phi\Rightarrow p=p_0-{{3}\over{2}}\eta R{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}\;$

(13.89)

Możemy teraz policzyć całkowitą siłę wykorzystując wzór (13.89), wiedząc że całka po ciśnieniu p₀ jest równa zero, wtedy powiemy:

$\vec{F}=\oint_{S}pd\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta R\oint_S{{\vec{v}_0\cdot\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}= -{{3}\over{2}}\eta R\oint{{1}\over{r^3}}\left[\vec{r}\times(d\vec{S}\times\vec{v}_0)+\vec{v}_0(\vec{r}d\vec{S})\right]=\;$ $=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\oint {{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-{{3}\over{2}}\eta\vec{v}_0R 4\pi=-6\pi\eta R\vec{v}_0\;$

(13.90)

Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.90) możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością $\vec{v}_0\;$.