Ogólna teoria względności/Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności

Wprowadzenie do Ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności jest współczesną teorią, która opisuje grawitację w sposób bardziej dokładny niż teoria grawitacji Newtona, który jest on opisany przez:

$\vec{F}_{AB}=-G{{m_1m_2}\over{r^2}}{{\vec{r}}\over{r}}$

(1.1)

• gdzie F_ABsiła grawitacji działa wzdłuż wektora $\vec{r}$(jest to różnica położenia ciała B i ciała A), która charakteryzuje oddziaływanie ciała B na ciało A, ale o zwrocie przeciwnym niż wektor położenia ciała B względem ciała A.

Postulaty teorii względności:

Postulat pierwszy - jest uogólnienie zasady Galileusza, ale też i Einsteina ze szczególnej teorii względności, że układy poruszające się z przyspieszeniem zerowym lub mającym pewną wartość, to w tych układach spełnione są prawa fizyki.

Postulat drugi - prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, nawet w tych układach poruszających się z pewnym niezerowym przyspieszeniem.

Elementy ogólnej teorii względności

Szczególna teoria względności wyróżnia pewne klasy układów odniesienia zwanych układami inercjalnymi. Szczególna teoria nie ma grawitacji, więc należy sformułować tak nową teorię (OTW), by wszystkie równania były równoprawne i zawierały grawitację.

Zasada równoważności

Obserwator znajduje na Ziemi, i zauważa, że na niego działa jakaś siła grawitacji, która wywołuje siła ciężkości działająca na nasze ciało. Innym razem obserwator znajduje się w kosmosie w rakiecie, która porusza się z przyspieszeniem $\vec{a}=\vec{g}$ w sposób płynny, on nie zauważa żadnej różnicy, między układem na Ziemi czy w rakiecie, czyli który układ jest inercjalny. A zatem jeśli założymy, że nasz układ jest inercjalny, to pochodne cząstkowe elementów tensora krzywizny są równe zero. Ale w myśl tej zasady również układy nieinercjalne są nierozróżnialne od inercjalnych. A zatem prawa wyprowadzone dla układów inercjalnym powinny być słuszne też w nieinercjalnych układach odniesienia. Tzn.: pochodną cząstkową zwykłą zastępujemy pochodną tensorową, bo symbole Christoffera są równe zero, a następnie w myśl tej zasady można uogólnić otrzymane prawa na układu nieinercjalne.

Silna zasada równoważności

Każde prawo fizyczne w sformułowane w szczególnej teorii względności w postaci tensorowej w układzie lokalnie płaskim (inercjalnym) ma taką samą postać w ogólnej teorii względności, czyli w czasoprzestrzeni zakrzywionej.

Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią absolutną z trójwymiarową przestrzenią znanej z mechaniki Newtona i czwartą współrzędną zwanej współrzędną czasową.

Metryka w czasoprzestrzeni może przybierać postać lorentzowską, przez obranie układu inercjalnego, który jest układem lokalnie płaskim w danym punkcie przestrzeni.

Kontrawariantny czterowektor położenia

Kontrawariantnym czterowektorem położenia w ogólnej teorii względności nazywamy wektor:

$x^{\mu}=(ct,x,y,z)\;$

(1.2)

Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności przedstawiamy w analogii do interwału szczególnej teorii względności, w której zastąpujemy tensory metryczne Minkowskiego innymi tensorami, które w ogólności nie są diagonalne:

$ds^2=\sum^3_{\mu,\nu=0}g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\;$

(1.3)

• gdzie :$g_{\mu\nu}\;$, to tensor metryczny.

Udowodnimy, że jeśli w jednym układzie współrzędnym metrykę przedstawiamy wedle sposobu (1.3), to w innym w układzie współrzędnym kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego pozostaje niezmienny, zatem to udowodnijmy, stosując tym razem konwencję Einsteina:

$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=g_{\mu\nu}{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}d{x^'}^{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}d{x^'}^{\beta}=\underbrace{g_{\mu\nu}{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}}_{{g^'}_{\alpha\beta}}d{x^'}^{\alpha}d{x^'}^{\beta}={g^'}_{\alpha\beta}d{x^'}^{\alpha}d{x^'}^{\beta}\;$

(1.4)

Na podstawie dowodu (1.4) kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest niezmiennikiem, tzn. jego infinitezymalna wartość nie zależy od wyboru układu współrzędnych, tzn. nie zależy względem jakich współrzędnych liczymy naszą metrykę.

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (1.3) jest większy od zera, gdy mamy do czynienia z cząstką o masie spoczynkowej różnej od zera, natomiast dla fotonów lub dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero, to kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest równy zero.

Przykładem tensora metrycznego jest tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni Einsteina w czterowymiarowej czasoprzestrzeni) znany w płaskiej przestrzeni dla słabego pola grawitacyjnego, którego można napisać:

$\eta_{\mu\nu}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

(1.5)

Dla tensora metrycznego (1.5) interwał czasoprzestrzenny obliczony według (1.3), tzn. w szczególnej teorii względności, jest napisany:

$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\;$

(1.6)

Interwał (1.6) jest podstawą szczególnej teorii względności. Widzimy, że w powyższym interwale współrzędne przestrzenne są na równi sobie, niezależne z jakimi mamy do czynienia współrzędnymi przestrzennymi, współrzędna czasowa w tym interwale jest wyróżniona, czas w metrach (ct) jest iloczynem prędkości światła i czasu w sekundach.

Czterowektor prędkości

Czterowektorem prędkości zdefiniowanej jako pochodną kontrawariantnego czterowektora położenia względem interwału czasoprzestrzennego (1.3) nazywamy wielkość zdefiniowaną:

$u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}\;$

(1.7)

Wielkość $s\;$ jest to jest interwał czasoprzestrzenny dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera i dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero.

Czterowektor pędu

Czterowektorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowaną:

$p^{\mu}=m_0cu^{\mu}\;$

(1.8)

Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki

Jeśli będziemy korzystali ze wzoru (1.3), to go można równoważnie zapisać w sposób najpierw dzieląc obustronnie przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera):

$1=g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}\Rightarrow 1=u_{\mu}u^{\mu}\Rightarrow 1={{dx_{\mu}}\over{ds}}{{dx^{\mu}}\over{ds}}\;$

(1.9)

Gdy mamy cząstkę o masie spoczynkową równej zero, wtedy musimy podzielić równanie (1.3) obustronnie przez różniczkę dowolnego parametru λ, wtedy czterowektor prędkości definiujemy podobnie jak dla cząstki masowej, wtedy otrzymujemy równanie inne niż (1.9):

$0=g_{\mu\nu}{{dx^{\mu}}\over{d\lambda}}{{dx^{\nu}}\over{d\lambda}}\Rightarrow 0={{dx_{\nu}}\over{d\lambda}}{{dx^{\nu}}\over{d\lambda}}\;$

(1.10)

Równanie (1.9) wymnażamy obustronnie przez wyrażenie (m₀c)², korzystając z definicji czterowektora pędu (1.8) ,dostajemy inne równoważne do (1.9) równanie w postaci:

$p_{\mu}p^{\mu}=m_0^2c^2\;$

(1.11)

Jak udowodniliśmy równanie (1.11) jest słuszne tylko dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera, ale równanie (1.11) możemy uogólnić dla cząstek o wszystkich masach spoczynkowych.

Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna

Infinitezymalnym czasem własnym mierzoną przez zegary w ogólnej teorii względności nazywamy wielkość, który dany obserwator doświadczający dwóch zdarzeń bliskich w czasie doświadcza w układzie własnym, że dla niego czas w układzie w którym cząstka spoczywa (układ własny) jest mierzony w zależności od czasu w układzie, w którym cząstka porusza się:

$d\tau={{1}\over{c}}\sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}={{1}\over{c}}\sqrt{dx_{\mu}dx^{\mu}}\;$

(1.12)

Infinitezymalną długością własną mierzoną przez pręty między dwoma sąsiednimi punktami nazywamy długość zdefiniowaną:

$dl=\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}=\sqrt{-dx_{\mu}dx^{\mu}}\;$

(1.13)

Długość własna w układzie własnym spoczywającym jest równa długości pręta w układzie spoczywającym, tzn. w układzie współrzędnym. gdy długość pręta między oba jego końcami mierzymy w tym samym czasie współrzędnościowym, czyli dla spoczywającego pręta względem układu dla pręta poruszającego się. Odpowiednie infinitezymalne czasy własne między dwoma zdarzeniami i infinitezymalne długości własne dwóch sąsiednich zdarzeń istnieją, jeśli pod pierwiastki są wielkości infinitezymalne, ale dodatnie.

Niezmienniczość (1.12) i (1.13), które można je liczyć w dowolnym układzie współrzędnym, można tak samo udowodnić, jak przy dowodzie na niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego (dowód (1.4)).

Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń

Przykład numer- układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω

Teraz przedstawmy układ rotujący ze stałą prędkością z częstotliwością kołową: $\omega\;$, to jego wartość prędkości w zależności od częstotliwości kołowej i promienia od pewnego punktu względem którego następuje obrót ma się jako według wzoru$_{v=\omega r}\;$, to jego interwał czasoprzestrzenny w zależności od interwału czasoprzestrzennego w układzie inercjalnym przestawiam się:

$d\tau^2=\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)c^2dt=\left(1-{{\omega^2r^2}\over{c^2}}\right)c^2dt^2\;$

(1.14)

W układzie nieinercjalnym ciało rotujące jest w spoczynku, jeśli na układ działa siła odśrodkowa, to: $_{F_0=-m\omega r}\;$, to można powiedzieć, że ta siła równoważy siła grawitacji, według teorii równoważności. To energia kinetyczna ciała obracającego ma się jako: $_{E_k={{m\omega^2r^2}\over{2}}}\;$, a energia potencjalna w układzie nieinercjalnym ma się jako:$_{E_p=\varphi m}\;$ Można przyjąć, że w takim układzie całkowita energia mechaniczna, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się zero lub z dokładnością do stałej, ale w naszym przypadku lepiej przyjąć za tą stała jest liczbą zero, zatem: $_{E_k+E_p=0}\;$,to $_{0={{m\omega^2 r^2}\over{2}}+\varphi m\Rightarrow {{\omega^2 r^2}\over{c^2}}=-{{2\varphi}\over{c^2}}}\;$. A zatem nasz interwał czasoprzestrzenny przedstawia się względem ostatnich rozważań i wzoru na interwał czasoprzestrzenny (1.14):

$d\tau^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2\;$

(1.15)

Dochodzimy więc do wniosku, że wedle wzoru (1.14) i (1.15), że element tensora metrycznego, a mianowicie element o współczynnikach dolnych zerowych przedstawia się:

$g_{00}=1+{{2\varphi}\over{c^2}}\;$

(1.16)

Widzimy, że ona zależy od potencjału skalarnego pola grawitacyjnego słabego, a więc można powiedzieć, że w układzie nieinercjalnym siły bezwładności zastępują siły grawitacji. Według zasady równoważności nie rozróżnia się sił grawitacji od sił pochodzenia nieinercjalnego (siły bezwładności), a zatem można powiedzieć:

$g_{00}=1-{{2GM}\over{c^2r^2}}\;$

(1.17)

Jeśli mamy układ zwykły oznaczony współrzędnymi: (x,y,t), to w układzie rotującym układ jest względem współrzędnych: $(x',y',t')\;$, czyli obracającym się ze stałą prędkością kątową ω, to transformacje z układu obracającego się do układu nieobracającego mają się jak:

$x=x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t)\;$

(1.18)

$y=x^'\sin(\omega t)+y'\cos(\omega t)\;$

(1.19)

Można policzyć różniczki zupełne wyrażeń (1.18) i (1.19), które są takowymi transformacjami z jednego układu współrzędnych do drugiego:

$dx=dx'(\cos\omega t)-dy'\sin(\omega t)-x'\sin(\omega t)\omega dt-y^'\cos(\omega t)\omega dt=dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega y dt\;$

(1.20)

$dy=dx'\sin(\omega t)+dy'\cos(\omega t)+x'\cos(\omega t)\omega dt-y'\sin(\omega t)\omega dt=dx'\sin(\omega t)+dy'\sin(\omega t)+\omega x dt\;$

(1.21)

Obliczenia na liczbach ogólnych (1.20) i (1.21) przedstawiamy w uproszczeniu jako kombinacje różniczek współrzędnych i czasu:

$dx=dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega y dt\;$

(1.22)

$dy=dx'\sin(\omega t)+dy'\cos(\omega t)+\omega x dt\;$

(1.23)

Interwał czasoprzestrzenny w układzie inercjalnym przedstawia wedle sposobu (1.6). Mając transformacje różniczek, tzn. (1.22) i (1.23), wyznaczmy wedle jakiego sposobu przedstawia się on w układzie nieinercjalnym i w ten sposób możemy wyznaczyć elementy tensora metrycznego w nieinercjalnym układzie odniesienia względem układu czysto inercjalnego, który porusza się względem innych układów inercjalnym ze stałą prędkością kątową:

$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2=\;$ $=c^2dt^2-(dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega y dt)^2-(dx'\sin(\omega t)+dy'\sin(\omega t)+\omega x dt)^2=\;$ $=c^2dt^2-dx^{'2}\cos^2(\omega t)-dy^{'2}\sin^2(\omega t)-\omega^2y^2 dt^2+2dx'dy'\cos(\omega t)\sin(\omega t)+2dx'\cos(\omega t)\omega y dt+\;$ $+2dy'\sin(\omega t)\omega y dt-dx^{'2}\sin^2(\omega t)-dy^{'2}\sin^2(\omega t)-\omega^2 x^2 dt^2-2dx'dy'\sin(\omega t)\cos(\omega t)+\;$ $-2dx'\sin(\omega t)\omega x dt-2dy'\cos(\omega t)\omega x dt=\;$ $=\left(1-{{\omega^2 (x^2+y^2)}\over{c^2}}\right)c^dt^2-dx^{'^2}-dy^{'2}+$ $+2\omega dt\left(dx'\cos(\omega t)y+dy'\sin(\omega t)y-dx'\sin(\omega t)x-dy'\cos(\omega t)x\right)=$ $=\left(1-{{\omega^2 r^2}\over {c^2}}\right)c^2dt^2-dx^{2'}-dy^{'2}+ 2\omega dt\left(dx'(\cos(\omega t)y-\sin(\omega t)x)+dy'(\sin(\omega t)y-\cos(\omega t)x)\right)$

(1.24)

Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które są potrzebne do obliczeń interwału w układzie nieinercjalnych w (1.24) wedle współrzędnych w układzie nieinercjalnym:

$\cos(\omega t)y-\sin(\omega t)x=\cos(\omega t)\left(x' \sin(\omega t)+y'\cos(\omega t)\right)-\sin(\omega t)\left(x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t)\right)=\;$ $=x^'\sin(\omega t)\cos(\omega t)+y^{'}\cos^2(\omega t)-x^'\cos(\omega t)\sin(\omega t)+y^'\sin^2(\omega t)=y'\;$

(1.25)

a także drugie pomocnicze obliczenia:

$\sin(\omega t)y-\cos(\omega t)x=\sin(\omega t)(x'\sin(\omega t)+y'\cos(\omega t))-\cos(\omega t)(x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t))=\;$ $=x'\sin^2(\omega t)+y'\sin(\omega t)\sin(\omega t)-y'\cos(\omega t)\sin(\omega t)+x'\cos^2(\omega t)-y'\sin(\omega t)\cos\omega t=x'\;$

(1.26)

Dochodzimy, że interwał czasoprzestrzenny na podstawie obliczeń (1.24) i obliczeń pomocniczych (1.25) i (1.26) przedstawia się względem współrzędnych nieinercjalnych:

$ds^2=\left(1-{{\omega^2 r^2}\over {c^2}}\right)c^2dt^2+2(\omega dx'y'-\omega dy'x')dt-dx^{'2}-dy^{'2}$

(1.27)

W obliczeniach (1.27) grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek względem nieinercjalnego układu współrzędnych, wtedy dostajemy wzór na interwał czasoprzestrzenny w naszym rozważanym układzie współrzędnym:

$ds^2=\underbrace{\left(1-{{\omega^2 r^2}\over {c^2}}\right)}_{g_{00}}c^2dt^2+\underbrace{{{\omega y'}\over{c}}}_{g_{01}}dx'dt+\underbrace{{{\omega y'}\over{c}}}_{g_{10}}dx'dt+ dx\underbrace{(-{{\omega x'}\over{c}})}_{g_{20}}dy'dt+\underbrace{(-{{\omega x'}\over{c}})}_{g_{02}}dy'dt+\;$ $+\underbrace{(-1)}_{g_{11}}dx^{'2}+\underbrace{(-1)}_{g_{22}}dy^{'2}$

(1.28)

Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie współrzędnych możemy napisać na podstawie definicji interwału znanej ze szczególnej teorii względności przy definicji kwadratu infinitezymalnego interwału (1.28):

$g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix} 1-{{\omega^2 r^2}\over{c^2}}&{{\omega y'}\over{c}}&-{{\omega x'}\over{c}}\\ {{\omega y'}\over{c}}&-1&0\\ -{{\omega x'}\over{c}}&0&-1 \end{bmatrix}$

(1.29)

Warto zauważyć, że elementy pozadiagonalne tensora metrycznego, wskazują na jakiś rodzaj rotacji wedle naszego przedstawienia interwału (1.28) w układzie nieinercjalnym.

Tensor Einsteina

Wyprowadzimy tutaj tensor Einsteina i wyznaczmy pochodna tensorową tensorową tego tensora i przekonamy się, że ona wynosi zero. Tożsamość Bianchiego, które podamy tutaj bez dowodu, ale jego dowód znajduje się w punkcie (MMF-2.126):

$R_{\mu \nu \gamma \alpha ;\sigma}+R_{\mu \nu \sigma\gamma;\alpha}+R_{\mu \nu\alpha \sigma;\gamma}=0\;$

(1.30)

W obliczeniach na tensorach będziemy korzystać, z własności na tensorze Ricciego: g^μγR_μνγσ=R_νσ, oraz z antysymetryczności przedstawiania wskaźników pierwszej pary lub drugiej. Zastosujmy zwężenie tożsamości Bianchiego wymnażając obustronnie przez podwójnie kontrawariantny tensor metryczny g^μγ tożsamość (1.30):

$g^{\mu\gamma}\left[R_{\mu\nu \gamma \alpha;\sigma}+R_{\mu\nu \sigma \gamma;\alpha}+R_{\mu\nu \alpha\sigma;\gamma}\right]=0\Rightarrow R_{\nu\alpha;\sigma}-R_{\nu\sigma;\alpha}+{R^\gamma}_{\nu\alpha\sigma;\gamma}=0\;$

(1.31)

Dokonajmy teraz ponownego zwężania ostatniej równości (1.31), a także korzystając znów w naszej równości tensorowej z własności na tensorach Ricciego:

$g^{\nu\alpha}\left[R_{\nu\alpha;\sigma}-R_{\nu\sigma;\alpha}+{R^\gamma}_{\nu\alpha\sigma;\gamma}\right]=0\Rightarrow R_{;\sigma}-{R^\alpha}_{\sigma;\alpha}-{R^{\gamma}}_{\sigma;\gamma}=0\;$

(1.32)

Po ostatnich przekształceniach, i po przemianowaniu wskaźników w równaniu (1.32) wedle schematu α→γ, wtedy dojdziemy do następnego równania:

$R_{;\sigma}-{R^{\gamma}}_{\sigma;\gamma}-{R^{\gamma}}_{\sigma;\gamma}=0\;$

(1.33)

Wykorzystujemy definicję delty Kroneckera oraz wykorzystujemy go do pierwszego wyrazu w równaniu tensorowym (1.33), a także redukujemy wyrazy podobne w tym samym równaniu:

$R_{;\alpha}{\delta^{\alpha}}_{\sigma}-2{R^{\gamma}}_{\sigma;\gamma}=0\Rightarrow {R^{\alpha}}_{\sigma;\alpha}-{{1}\over{2}}{\delta^{\alpha}}_{\sigma}R_{;\alpha}=0\;$

(1.34)

Idąc dalej by mieć górne wskaźnik przy tensorach w równaniu tensorowym (1.34) należy to równanie tensorowe wymnożyć przez tensor g^σβ, wtedy dostaniemy co chcieliśmy.

$g^{\sigma\beta}\left({R^{\alpha}}_{\sigma;\alpha}-{{1}\over{2}}{\delta^{\alpha}}_{\sigma}R_{;\alpha}\right)=0\Rightarrow {R^{\alpha\beta}}_{;\alpha}-{{1}\over{2}}g^{\alpha\beta}R_{;\alpha}=0\;$

(1.35)

Wyłączając pochodną tensorową przed nawias i wykorzystując przy tym, że pochodna tensorowa elementów tensora metrycznego jest równa zero, wtedy (1.35) przechodzi w równanie:

$\left(R^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g^{\alpha\beta}R\right)_{;\alpha}=0\;$

(1.36)

Tensor występujący pod pochodną tensorową (1.36) nazywamy tensorem Einsteina i jest funkcją dwuwskaźnikowego tensora krzywizny R^αβ, skalaru krzywizny R, a także jest funkcją tensora metrycznego, który panuje w danej geometrii w przestrzeni czterowymiarowej.

$G^{\alpha\beta}=R^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g^{\alpha\beta}R\;$

(1.37)

Tensor Einsteina (1.37) na podstawie tożsamości (1.36) ma taką własność, że jego pochodna tensorowa względem wskaźnika α występujący w jego definicji (1.37) jest równa zero.

${G^{\alpha\beta}}_{;\alpha}=0\;$

(1.38)

Tensor Einsteina (1.37) można zapisać w postaci bezwskaźnikowej, tzn. bez powiedzenia z jakiego typu tensorem mamy do czynienia w przypadku tensora Einsteina G^αβ, który można zdefiniować nie tylko w postaci jakby miał tylko górne wskaźniki, ale wszystkie te zapisy tensorowo są równoważne w zapisie wspomnianego tensora.

$\mathbf{G}=\mathbf{R}-{{1}\over{2}}\mathbf{g}R\;$

(1.39)

Wyprowadzona własność tensora Einsteina jest bardzo potrzebna w ogólnej teorii względności i jest wykorzystana w równaniach tensorowych Einsteina opisująca grawitację.

Rozszerzony tensor Einsteina

Rozszerzony tensor Einsteina zdefiniujmy w oparciu o tensor Einsteina (1.37) o stałą kosmologiczną Λ:

$O^{\alpha\beta}=G^{\alpha\beta}+\Lambda g^{\alpha\beta}\;$

(1.40)

Wyznaczmy pochodną tensorową rozszerzonego tensora Einsteina (1.40) względem współrzędnej kontrawariantnej o numerze β, zatem na podstawie (1.38) i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero:

${O^{\alpha\beta}}_{;\alpha}=\left(G^{\alpha\beta}+\Lambda g^{\alpha\beta}\right)_{;\alpha}= {G^{\alpha\beta}}_{;\alpha}+\Lambda {g^{\alpha\beta}}_{;\alpha}=0+\Lambda\cdot 0=0\;$

(1.41)

Doszliśmy więc do wniosku, że rozszerzony tensor Einsteina ma te same własności co zwykły tensor Einsteina.

Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)

Przestrzeń jest lokalnie płaska w czasoprzestrzeni Einsteina, że w danym otoczeniu punktu mamy doczynienia z czasoprzestrzenią Minkowskiego, bo przestrzeń, która jest rozwiązaniem ogólnej teorii względności nie może być globalnie płaska, ale może być spełniona tylko w przybliżeniu w otoczeniu pewnego punktu w którym na płaskość obowiązuje, w której mamy tensor metryczny w przybliżeniu Minkowskiego (1.5), gdy pochodne zupełne tego tensora metrycznego są równe zero, tzn.:

${{\partial {g^'}_{\alpha\beta}}\over{\partial x^{\gamma}}}=0\;$

(1.42)

• gdzie:${g^'}_{\alpha\beta}\;$ jest to tensor metryczny Minkowskiego $\eta_{\alpha\beta}\;$ z małą poprawką do niego by z bardzo dużą dokładnością był spełniony powyższy warunek.

Zakładamy, że istnieje przekształcenia między aktualną przestrzenią, a układem lokalnie płaskim, które jest prawdziwy dla punktu, w którym ta lokalna płaskość jest spełniona według:

$g_{\alpha\beta}={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}{g^'}_{\mu\nu}\;$

(1.43)

• gdzie:${g^'}_{\mu\nu}\simeq\eta_{\mu\nu}\;$- jest to tensor metryczny Minkowskiego.

A także również zachodzi dla ściśle określonego punktu w przestrzeni lokalnie płaskiej równanie (1.42), i ze względu na symetryczność ogólnej definicji tensora metrycznego ma on w rezultacie 1+2+3+4=10 niezależnych składowych, a ilość składowych tensora ${\Lambda^{\mu}}_{\alpha}\;$ jest 4· 4=16 elementów, zatem ilość niezależnych stopni swobody w równaniu (1.43) jest równa 16-10=6. Te sześć stopni swobody odpowiada sześciu stopniom swobody przekształcenia Lorentza, tzn. nasz układ można przesunąć z prędkością $\vec{v}\;$ względem trzech jego niezależnych współrzędnych lub obrócić badany układ o trzy niezależne kąty. W sumie mamy sześć stopni swobody ${\Lambda^{\mu}}_{\alpha}\;$, które powodują, że lokalny układ inercjalny pozostanie układem inercjalnym. Według równania (1.42) ilość niezależnych równań jest 10·4=40 (jest 10-to ilość niezależnych składowych tensora metrycznego, który jest jak wiadomo symetryczny i cztery niezależne składowe tensora kontrawariantnego położenia), daje nam też 40 stopni swobody. Ponieważ w tym punkcie lub jego otoczeniu istnieje tensor metryczny Minkowskiego, to małe poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy tak wybrać, by były spełnione równania (1.42), co w połączeniu z (1.43) daje nam pewne $_{{{\partial{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}}\over{\partial x^{\gamma}}}}\;$, które możemy tak obrać by były spełnione omawiane warunki lokalnej płaskości. Jeśli mamy dany punkt układu lokalnie płaskiego wedle (1.42) i (1.43), to tensor Christoffera dla tego punktu jest równy zero i według twierdzenia Taylora istnieje w otoczeniu tego punktu w przybliżeniu canaj wyżej do wyrazów liniowych tensora krzywizny (należy pamiętać, że pochodna cząstkowa tensora krzywizny dla układu lokalnie płaskiego jest równa zero), w którym są spełnione te zależności, też istnieje w przybliżeniu lokalna płaskość dla punktów tego otoczenia. Zatem na podstawie powyższych rozważań zawsze istnieje układ lokalnie płaski, w których dla tych punktów spełnione są (1.42) i (1.43).

Definicja tensora gęstości energii

W szczególnej teorii względności tensor gęstości napięć-energii przedstawia się wzorem:

$T^{\mu\nu}=(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^{\nu}-p\eta^{\mu\nu}\;$

(1.44)

• gdzie $\eta^{\mu\nu}\;$, jest to tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego o sygnaturze $_{(1,-1,-1,-1)}\;$, gdy mamy synaturę przeciwną, tzn.:$(-1,1,1,1)\;$, to tensor gęstości energii ma się jako:

$T^{\mu\nu}=(\rho c^2+p)u^{\mu}u^{\nu}+p\eta^{\mu\nu}\;$

(1.45)

My zawsze będziemy przyjmować jak w szczególnej teorii względności tą sygnaturę pierwszą. Wielkość :$_{u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}}\;$ jest to pochodna dla μ=0 współrzędnej czasowej zdefiniowanej x⁰=ct względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanej przez:$_{ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}\;$, gdy mamy:$_{0\neq \mu=i}\;$, to jest ona pochodna współrzędnej położenia cząstki względem tak samo zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego.

Należy pamiętać, że ρ₀ jest to gęstość spoczynkowa, p- to ciśnienie cząstki płynu w danym punkcie. A także zależy od jej prędkości światła (fal elektromagnetycznych).

Miano tensora gęstości energii ma się jak:

$[T^{\mu\nu}]={{J}\over{m^3}}={{Nm}\over{m^2}}={{N}\over{m^2}}=Pa\;$

(1.46)

W ogólnej teorii względności, zastępując wedle schematu$_{\eta^{\mu\nu}\rightarrow g^{\mu\nu}}$, oraz metrykę Minkowskiego przez inną metrykę zdefiniowaną jako tensor g^μν czyli wtedy mamy:$_{ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}$, który na ogół nie jest tensorem metrycznym Minkowskiego w OTW, ale może być, przy pierwszej sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego mamy dla tensora napięć-energii w ogólnej teorii względności.

$T^{\mu\nu}=(\rho c^2+p)u^{\mu}u^{\nu}-pg^{\mu\nu}\;\;$

(1.47)

lub równoważnie:

${T^{\mu}}_{\nu}=(\rho c^2+p)u^{\mu}u_{\nu}-p{\delta^{\mu}}_{\nu}\;$

(1.48)

Z powyższej definicji wynika, że dla tensora metrycznego jako tensora symetrycznego, wynika symetryczność tensora gęstości energii-napięć przy dowolnym tensorze metrycznym i na podstawie tego zdefiniowanej metryce.

Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność

Z wykładu o szczególnej teorii względności mamy, że zachodzi lokalna zasada zachowania energii-pędu, którą udowodnimy w następnym module:

${T^{\mu\nu}}_{,\mu}=0\;$

(1.49)

Powyższy wzór jest spełniony dla punktów układu lokalnie płaskiego, w których zachodzą tożsamości (1.42) i (1.43), czyli tensor metryczny jest w przybliżeniu tensorem Minkowskiego i jego pierwsze pochodne względem współrzędnych kontrawariantnych są równe zero, ale już o wyższych pochodnych tensora gęstości energii, lokalna definicja lokalnej płaskości nić nie mówi o tych pochodnych, zatem również ma metrykę prawie płaską, gdy mamy do czynienia z układami, w których punktach istnieje słabe pole grawitacyjne, jak np. dla metryki obowiązujących dla pól Newtonowskich. Uogólnijmy ten wzór na dowolną metrykę, ogólnie nie tylko na lokalną płaską metrykę Minkowskiego, ale za tą metrykę obowiązującą wedle ogólnej teorii względności, którą poznamy i z którego będziemy wyznaczać elementy tensora metrycznego i przy pomocy której, będziemy tworzyć definicję kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego:

${T^{\mu\nu}}_{;\mu}=0\;$

(1.50)

Powyższe równanie określa zasadę zachowania energii-pędu dla dowolnej przestrzeni zakrzywionej.

Równania pola Einsteina

Tutaj przedstawmy równania Einsteina bez stałej kosmologicznej, które można zapisać w postaci:

$G^{\alpha\beta}=\kappa T^{\alpha\beta}\;$

(1.51)

Stosując definicję tensora Einsteina, to równanie grawitacji (1.37) zapisujemy w postaci pełnej:

$R^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g^{\alpha\beta}R=\kappa T^{\alpha\beta}\;$

(1.52)

Widzimy, że tensor Einsteina (lewa strona równania Einsteina (1.52)) jest zależna od dwuwskaźnikowego tensora krzywizny oraz od skalaru krzywizny. W powyższym wzorze tensor Einsteina jest w proporcjonalny do tensora gęstości energii. Przekształcając równanie Einsteina (1.52) tak by otrzymać jego odwrotną postać, gdy tensor czegoś w rodzaju równania Einsteina omawianego wcześniej, czyli:

$T^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g^{\alpha\beta}T$

Z równań Einsteina można udowodnić, że przechodzi on do postaci, które poniżej podamy ale bardzo podobnych do oryginalnych równań Einsteina (1.52), gdy wszystkie tensory w równaniu Einsteina przedstawimy jako kowariantno-kontrawariantnego tensora i dokonując sumować po tych samych wskaźnikach górno-dolnych i po tych czynnościach dostajemy skalary odpowiednich wielkości, tzn. skalaru krzywizny i skalaru tensora gęstości napięć-energii, dzięki których możemy dokonać dalszych operacji:

$R-{{1}\over{2}}4R=\kappa T\Rightarrow -R=\kappa T\;$

(1.53)

Dokonując pewnych przekształceń pewnych wyrażeń w (1.53), wtedy wiemy po tych dysputach, że skalar krzywizny ma się jako:

$R=-\kappa T\;$

(1.54)

Widzimy względem ostatniego wzoru, że skalar krzywizny jest proporcjonalny do skalaru tensora gęstości napięć-energii. Wzór (1.54) na skalar krzywizny podstawiamy do równania Einsteina (1.51) za skalar krzywizny (za R), wtedy mamy:

${R^{\mu}}_{\nu}+{{1}\over{2}}{\delta^{\mu}}_{\nu}\kappa T=\kappa {T^{\mu}}_{\nu}\;$

(1.55)

Następnie możemy przenieść pewne wyrazy nie będące tensorem krzywizny na prawą stronę, a więc równanie tensorowe Einsteina przestawia się:

${R^{\mu}}_{\nu}=\kappa({T^{\mu}}_{\nu}-{{1}\over{2}}{\delta^{\mu}}_{\nu}T)\;$

(1.56)

Równanie pola (1.51) względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu:

$R_{\mu\nu}=\kappa(T_{\mu\nu}-{{1}\over{2}}g_{\mu\nu}T)\;$

(1.57)

Widzimy, że nowe równania Einsteina, tylko w innej postaci chociaż są do siebie równoważne, ale są do siebie bardzo podobne do oryginalnej postaci równań tensorowych wprowadzonych przez Alberta Einsteina.

Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej

Przedstawmy równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej, czyli musimy uwzględnić rozszerzony tensor Einsteina w postaci (1.57), a więc równanie Einsteina (1.51) z uwzględnieniem rozszerzenia tego tensora o dodatkowy wyraz jest:

$O^{\alpha\beta}=\kappa T^{\mu\nu}\;\;$

(1.58)

Podstawiając za O^αβ definicję tego tensora wedle (1.40), czyli z uwzględnieniem stałej kosmologicznej Λ, wtedy dostajemy równanie grawitacji Einsteina:

$G^{\alpha\beta}+\Lambda g^{\alpha\beta}=\kappa T^{\alpha\beta}\;$

(1.59)

Ostatnie równanie można zapisać w postaci bezwskaźnikowej bez uwzględnienia z jakimi tensorami mamy do czynienia:

$\mathbf{G}+\mathbf{g}\Lambda=\kappa\mathbf{T}\;\;$

(1.60)

• gdzie $\mathbf{G}\;$ jest tensorem Einsteina i ona jest zdefiniowane wedle (1.37).

Policzmy ślady w równaniu tensora Einsteina (1.60) względem niemych tych samych wskaźników górno-dolnych do wyznaczenia ich jako skalarów tychże wielkości, czyli tensor Einsteina przedstawimy w postaci kowariantno-kontrawariantnego tensora (1.59):

$G=R-{{1}\over{2}}4 R\Rightarrow G=-R\;$

(1.61)

Widzimy, że skalar tensora Einsteina jest równa skalarowi krzywizny z dokładnością do minusa.

Uwzględniając definicję rozszerzonego tensora Einsteina w równaniu Einsteina (1.59), gdy w ogólności stała kosmologiczna jest nie równa zero, zatem licząc ich ślady, wtedy mamy:

$G+4\Lambda=\kappa T\;$

(1.62)

Biorąc policzoną wartość skalaru G (1.61) podstawiamy do równania skalarnego (1.62), wtedy dostajemy równość:

$-R+4\Lambda=\kappa T\Rightarrow R=4\Lambda-\kappa T\;$

(1.63)

Widzimy, że skalar krzywizny zależy od stałej kosmologicznej i skalaru tensora gęstości energii, stąd mamy czemu jest równy skalar Ricciego, poniżej mamy równania Einsteina w jego pełnej postaci z uwzględnieniem stałej kosmologicznej zapisując je w postaci bezwskaźnikowej:

$\mathbf{R}-{{1}\over{2}}\mathbf{g}R+\Lambda\mathbf{g}=\kappa\mathbf{T}\;$

(1.64)

Wszystkie wyrazy po lewej stronie przenosimy na prawą stronę równania (1.64) oprócz tensora krzywizny, wtedy dostajemy po przekształceniu:

$\mathbf{R}=\kappa\mathbf{T}+{{1}\over{2}}\mathbf{g}R-\Lambda\mathbf{g}\;$

(1.65)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za skalar krzywizny Ricciego, w równaniu tensorowym (1.65) wyrażenia policzonego w punkcie (1.63), wtedy po dokonanych operacjach tuż po, dostajemy:

$\mathbf{R}=\kappa\mathbf{T}+{{1}\over{2}}\mathbf{g}(4\Lambda-\kappa T)-\Lambda\mathbf{g}\;$

(1.66)

Po krótkich przekształceniach i redukcji pewnych wyrazów w (1.66), otrzymujemy że tensor dwuwskaźnikowy krzywizny jest równy pewnemu wyrażeniu, bardzo podobnego do pierwotnego równania Einsteina (1.64) z uwzględnieniem stałej kosmologicznej.

$\mathbf{R}=\kappa(\mathbf{T}-{{1}\over{2}}\mathbf{g}T)+\Lambda\mathbf{g}\;$

(1.67)

Równanie (1.67) przedstawimy w postaci wskaźnikowej, gdy operujemy tym razem na wskaźnikach tylko dolnych:

$R_{\alpha\beta}=\kappa(T_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}T)+g_{\alpha\beta}\Lambda\;$

(1.68)

Widzimy, że powyższe równania tensorowe są bardzo podobne do standardowych (pierwszych) równań Einsteina, a więc można bardzo łatwo zapamiętać je.

Zachowawczość energii a równania grawitacji Einsteina

Korzystając z równań grawitacji Einsteina (1.58), to równania są tak sformułowane, by była spełniona zasada energii, tzn. jeśli lewa strona tegoż równania, którego pochodna tensorowa jest równe zero według (1.41), to musi być spełniona zasada zachowania energii, tzn. dokonując różniczkowania tensorowego obu stron naszego równania, otrzymujemy:

${O^{\alpha\beta}}_{;\beta}=\kappa {T^{\alpha\beta}}_{;\beta}\Rightarrow {T^{\alpha\beta}}_{;\beta}=0\;$

(1.69)

Z obliczeń (1.82) wynika równanie (1.50), czyli z ogólnej teorii względności wynika zasada zachowania energii.

Równania ruchu a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności

Mając już policzona metrykę czasoprzestrzeni poprzez równania Einsteina (1.51) lub mając niezerową stałą kosmologiczną, to wtedy liczymy z równania (1.58), zatem na podstawie tegoż równania liczymy już wspomnianą metrykę poprzez policzone już elementy tensora metrycznego. Na podstawie tego liczymy elementy tensora Christoffera i w ten sposób wyznaczamy następne położenie cząstki masowej w ogólnej teorii względności. Już mając następne położenie wyznaczamy znów metrykę przy nowym położeniu cząstek masowych i te kroki powtarzamy w nieskończoność do chwili, do której interesuje nas badanie układu relatywistycznego.

W przestrzeni euklidesowej linia prosta jest to krzywa, której przenosi swój własny wektor w sposób równoległy, w przestrzeni nieuklidesowej mamy jakąś krzywą, która jest prostą w tym naszym układzie, i aby nasz wektor był przenoszony równolegle to musi być styczna do tej prostej, czyli wielkość zdefiniowana $_{U^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{d\lambda}}}\;$ musi spełniać warunek:

${U^{\mu}}_{;{\beta}}=0\;\;$

(1.70)

aby cały czas wektor U^μ był styczny do naszej prostej w tej naszej przestrzeni absolutnej. Oczywiste jest, że wektor U^μ aby był czterowektorem prędkości (1.6), tzn. U^μ=u^μ, to musi zachodzić λ=s, czyli nasz parametr byłby wtedy interwałem czasoprzestrzennym. Ale dla ogólności rozważań lepiej przyjąć dowolny parametr λ, bo zmiana interwału czasoprzestrzennego dla bezmasowych cząstek (m₀) jest równy zero wedle (1.3), wtedy czterowektor prędkości jest nieokreślony.

Linie geodezyjne a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia

Z definicji pochodnej kontrawariantnej i własności styczności wektora do prostej (1.70), a także z definicji pochodnej tensorowej można zapisać równanie geodezyjne w postaci pierwotnej:

$0={U^{\mu}}_{;{\beta}}={U^{{\mu}}}_{;{\beta}}={U^{\mu}}_{,{\beta}}+U^{\alpha}{\Gamma^{\mu}}_{{\alpha}{\beta}}\;\;$

(1.71)

Pomnóżmy obustronnie równość tensorową (1.71) przez kontrawariantny tensor czterowektora prędkości U^β, wtedy otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego równanie:

$0=U^{\beta}{U^{\mu}}_{,{\beta}}+U^{\alpha}U^{\beta}{\Gamma^{\mu}}_{{\alpha}{\beta}}\;\;$

(1.72)

Z definicji czterowektora prędkości i twierdzenie o pochodnej złożonej wyznaczmy wyrażenie występujące jako pierwszy składnik we wzorze (1.72), zatem możemy napisać:

$U^{\beta}{U^{\mu}}_{,{\beta}}={{dx^{\beta}}\over{d\lambda}}{{d}\over{dx^{\beta}}}\left({{dx^{\mu}}\over{d\lambda}}\right)={{d}\over{d\lambda}}\left({{d x^{\mu}}\over{d\lambda}}\right)={{dU^{\mu}}\over{d\lambda}}\;\;$

(1.73)

Na podstawie obliczeń (1.73) na liczbach ogólnych, które to wniosek podstawiamy do równania tensorowego (1.71) za pierwszy składnik, zatem udowodniliśmy że zachodzi:

$0={{dU^{\mu}}\over{d\lambda}}+{\Gamma^{\mu}}_{{\alpha}{\beta}}U^{\alpha}U^{\beta}\;\;$

(1.74)

Podstawiając, za współrzędne czterowektora wektora prędkości U^β jego definicję, jako pochodna czteropołożenia względem interwału czasoprzestrzennego, dostajemy równoważne równanie tensorowe do (1.74):

$0={{d}\over{d\lambda}}\left({{dx^{\mu}}\over{d\lambda}}\right)+{\Gamma^{\mu}}_{{\alpha}{\beta}}{{dx^{\alpha}}\over{d\lambda}}{{dx^{\beta}}\over{d\lambda}}\;\;$

(1.75)

Wyrażenie (1.74) możemy zapisać w postaci bezwskaźnikowej, bez uwzględnienia z jakimi rodzaju tensorami mamy do czynienia:

$0={{d\vec{U}}\over{d\lambda}}+\vec{U}^T\mathbf{\Gamma}\vec{U}\;\;$

(1.76)

Otrzymaliśmy równanie, dzięki któremu czterowektor U^β jest przenoszony równolegle, stycznie wzdłuż naszej prostej i jest to równanie ruchu cząstki masowej lub bezmasowej w ogólnej teorii względności.

Jeśli w prowadzimy definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez inny parametr ξ w sposób: s=aξ+b, to można udowodnić w sposób łatwy, korzystając z poprzedniego równania, że line geodezyjne wedle (1.74) zapisujemy jako:

$0={{d}\over{d\xi}}\left({{dx^{\mu}}\over{d\xi}}\right)+{\Gamma^{\mu}}_{{\alpha}{\beta}}{{dx^{\alpha}}\over{d\xi}}{{dx^{\beta}}\over{d\xi}}\;\;$

(1.77)

W przestrzeni euklidesowej mamy na pewno, że poszczególne elementy tensora metrycznego spełniają związek: Γ^μ_αβ=0, stąd dostajemy:

${{d}\over{d\lambda}}\left({{dx^{\mu}}\over{d\xi}}\right)=0\;\;$

(1.78)

Rozwiązując to równanie dostajemy rozwiązanie w postaci równań, gdzie $x^{\mu}=a^{\mu}\xi+b^{\mu}\;\;$ jest równaniem prostej w naszej przestrzeni przy naszej definicji tensora Christoffela.

Linie geodezyjne a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia

Przedstawimy teraz inne podejście do ruchu cząstki materialnej czyli piszemy linie geodezyjne w sposób kowariantny, czyli proste w przestrzeni czterowymiarowej spełniający warunek, który jest pochodną kowariantną U^μ_;β=0, ale z definicji pochodnej kowariantnej możemy napisać:

$0=U_{{\mu};\beta}=U_{{\mu},{\beta}}-{\Gamma^{{\alpha}}}_{{\mu}\beta}U_{{\alpha}}\;$

(1.79)

Pomnóżmy teraz obie strony równania tensorowego (1.79) przez elementy czterowektora prędkości U^l, otrzymując wynikowe równanie:

$0=U^{\beta}U_{{\mu},{\beta}}-{\Gamma^{\alpha}}_{{\mu}{\beta}}U_{\alpha}U^{\beta}\;$

(1.80)

Rozwińmy wyrażenie występujące w równaniu tensorowym (1.80) występujący jako odjemna wykorzystując definicję pochodnej zupełnej, i przestawmy ją jako pochodna kowariantnego tensora czteroprędkości względem parametru λ.

$U^{\beta}U_{{\mu},{\beta}}={{dx^{\beta}}\over{d\lambda}}{{dU_{\mu}}\over{dx^{\beta}}}={{dU_{\mu}}\over{d\lambda}}\;$

wykorzystując udowodnioną powyższą tożsamość i podstawiając do równości (1.80), wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi na pewno tożsamość poniżej, które to poniższe równanie jest równaniem linii geodezyjnej.

$0={{dU_{\mu}}\over{d\lambda}}-{\Gamma^{\alpha}}_{{\mu}{\beta}}U_{\alpha}U^{\beta}\;$

(1.81)

Możemy wykorzystać definicję czterowektora prędkości, wtedy wzór na równość tensorową (1.81) zapisujemy wedle:

$0={{d^2x_{\mu}}\over{d\lambda^2}}-{\Gamma^{\alpha}}_{{\mu}{\beta}}{{dx_{\alpha}}\over{d\lambda}}{{dx^{\beta}}\over{d\lambda}}\;$

(1.82)

Jeśli oznaczymy jako definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez parametr ξ w sposób s=aξ+c, to ostatnie równanie na linie geodezyjne można przedstawić w postaci:

$0={{d^2x_{\mu}}\over{d\xi^2}}-{\Gamma^{\alpha}}_{{\mu}{\beta}}{{dx_{\alpha}}\over{d\xi}}{{dx^{\beta}}\over{d\xi}}\;$

(1.83)

Równania (1.74) i (1.80) stanowią równania ruchu cząstki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Einsteina i jak udowodnimy później, te dwa równania są ze sobą równoważne.

Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez pewien tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

$0={{dU^{\mu}}\over{d\lambda}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}\Rightarrow 0={{dU^{\mu}}\over{d\lambda}}g_{\mu\nu}+g_{\mu\nu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}\Rightarrow 0={{dU_{\nu}}\over{d\lambda}}+\Gamma_{\nu\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta} \;$

(1.84)

Wykorzystajmy własność taką, że ogólnie tensor czteroprędkości kontrawariantny U^α przedstawmy z zależności od kowariantnego tensora U_γ, co tensorowo możemy zapisać:

$U^{\alpha}=g^{\alpha\gamma}U_{\gamma}\;$

(1.85)

Wykorzystując tożsamość tensorową (1.85) do równości tensorowej (1.84):

$0={{dU_{\nu}}\over{d\lambda}}+\Gamma_{\nu\alpha\beta}g^{\alpha\gamma}U_{\gamma}U^{\beta}\Rightarrow 0={{dU_{\nu}}\over{d\lambda}}+{{\Gamma_{\nu}}^{\gamma}}_{\beta}U_{\gamma}U^{\beta}\Rightarrow 0={{dU_{\nu}}\over{d\lambda}}+{\Gamma^{\gamma}}_{\nu\beta}U_{\gamma}U^{\beta}\;$

(1.86)

Powyżej skorzystaliśmy z własności na tensorach Christoffera, że: Γ_ν^γ_β=Γ^γ_νβ, zatem na podstawie dowodu (1.86) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości (1.74) i (1.81), które oznaczają to samo.

Równanie dewiacyjne, dewiacja geodezyjna

Weźmy sobie dwie krzywe geodezyjna, odległość pomiędzy cząstkami poruszających się na tych liniach określamy według definicji $\xi^{\alpha}=x_1^{\alpha}-x_2^{\alpha}\;$, zatem różnica wzorów na linie geodezyjne (1.75) dla $x_1^{\alpha}\;$ i $x_2^{\alpha}\;$, określamy jako:

${{d^2\xi^{\alpha}}\over{d\lambda^2}}+{\Gamma^{\alpha}}_{\omega\eta,\gamma}\xi^{\gamma}U^{\omega}U^{\eta}=0\;$

(1.87)

Napiszmy teraz drugą pochodną wielkości absolutnej ξ wykorzystując (MMF-2.33), a także (MMF-2.35) wykorzystując przy okazji udowodnioną tożsamość (1.87) dla układu współrzędnych lokalnie płaskiego, w której w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero:

${{d^2\xi}\over{d\lambda^2}}={{d}\over{d\lambda}}\left({{d\xi^{\alpha}}\over{d\lambda}}e_{\alpha}+\xi^{\alpha}{{de_{\alpha}}\over{d\lambda}}\right)= {{d}\over{d\lambda}}\left[\left({{d\xi^{\gamma}}\over{d\lambda}}+\xi^{\eta}{\Gamma^{\gamma}}_{\eta\beta}U^{\beta}\right)e_{\gamma}\right]=\;$ $=\left({{d^2\xi^{\alpha}}\over{d\lambda^2}}+{\Gamma^{\alpha}}_{\eta\beta,\omega}\xi^{\eta}U^{\omega}U^{\beta}\right)e_{\alpha}+\left({{d\xi^{\gamma}}\over{d\lambda}}+\xi^{\eta}{\Gamma^{\gamma}}_{\eta\beta}U^{\beta}\right){\Gamma^{\alpha}}_{\gamma\omega}U^{\omega}e_{\alpha}=\;$ $= \left(-{\Gamma^{\alpha}}_{\beta\omega,\eta}\xi^{\eta}U^{\beta}U^{\omega}+{\Gamma^{\alpha}}_{\eta\beta,\omega}\xi^{\eta}U^{\omega}U^{\beta}\right)e_{\alpha}=\left({\Gamma^{\alpha}}_{\eta\beta,\omega}-{\Gamma^{\alpha}}_{\beta\omega,\eta}\right)\xi^{\eta}U^{\omega}U^{\beta}e_{\alpha}=\;$ $={{R^{\alpha}}_{\beta\omega\eta}}\xi^{\eta}U^{\omega}U^{\beta}e_{\alpha}$

(1.88)

Końcowy wniosek wynikający z obliczeń (1.88) jest słuszny tylko w układzie współrzędnych lokanie płaskim, w której to w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero. Udowodnijmy jego słuszność w dowolnym układzie współrzędnych:

${R^{\alpha}}_{\eta\omega\alpha}\xi^{\eta}U^{\omega}U^{\beta}e_{\alpha}={{R^{\alpha}}_{\beta\omega\eta}}{\overline{\Lambda^{\eta}}}_{\eta^'}\xi^{\eta^'}{\overline{\Lambda}^{\omega}}_{\omega^'}U^{\omega^'}{\overline{\Lambda}^{\beta}}_{\beta^'}U^{\beta^'}{\Lambda_{\alpha}}^{\alpha^'}e_{\alpha^'}=\;$ $={{R^{\alpha}}_{\beta\omega\eta}}{\overline{\Lambda^{\eta}}}_{\eta^'}{\overline{\Lambda}^{\omega}}_{\omega^'}{\overline{\Lambda}^{\beta}}_{\beta^'}{\Lambda_{\alpha}}^{\alpha^'}\xi^{\eta^'}U^{\omega^'}U^{\beta^'} e_{\alpha^'}={{R^{\alpha^'}}_{\beta^'\omega^'\eta^'}}\xi^{\eta^'}U^{\omega^'}U^{\beta^'}e_{\alpha^'}\;$

(1.89)

Na podstawie obliczeń (1.89) wynikających z (1.88) wnioskujemy, że w dowolnym układzie współrzędnych jest spełnione prawo zwane równaniem dewiacyjnym:

$\nabla_V\nabla_V\xi^{\alpha}={R^{\alpha}}_{\beta\omega\eta}U^{\omega}U^{\beta}\xi^{\eta}\Rightarrow{{d^2\xi^{\alpha}}\over{d\lambda^2}}={R^{\alpha}}_{\beta\omega\eta}U^{\omega}U^{\beta}\xi^{\eta}\;$

(1.90)

Tensor gęstości energii

Tutaj przedstawimy właściwości zachowawcze tensora gęstości energii, i wszystko co jest potrzebne do tego obiektu. Tensor energii poznaliśmy w podpunkcie (1.47) bez jego uzasadnienia dlaczego tak jest.

Gęstość masy w danym punkcie zależna od prędkości

Gęstość ciała w pewnym punkcie jest z oczywistych powodów zależna od prędkości ciała i też ona zależy od gęstości spoczynkowej w danym rozważanym punkcie, w którym to opisujemy tą właśnie wielkość. Oczywiście masa ciała jest zależna od masy spoczynkowej m₀ i od długości l wzdłuż której porusza się to właśnie ciało, która też zależy od prędkości danego punktu (naszej cząstki) należącego do naszego ciała.

$\rho={{m}\over{V}}={{m}\over{S l}}={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}{{1}\over{S l_0\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{m_0}\over{Sl_0}}{{1}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}=\rho_0\gamma^2\;$

(2.1)

Zatem gęstość danej cząstki materii w danym punkcie poruszającej się z pewną prędkością zależy od jego gęstości spoczynkowej i od prędkości płynu w tym samym punkcie na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (2.1):

$\rho=\rho_0\gamma^2\;$

(2.2)

• gdzie $_{\gamma={{1}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}}\;$ jest to pewna wielkość, która jest zależna od wartości prędkości danej cząstki płynu (w danym punkcie), która często występuje w szczególnej teorii względności.

Koncentracja cząstek w danym punkcie zależna od prędkości

Koncentracja cząstek jest to liczba cząstek w jednostce objętości wyrażona jako iloraz liczby cząstek przez jej objętość zajmowaną przez nie. Tak jak zauważyliśmy przy liczeniu gęstości w danym punkcie, koncentracja cząstek w danym punkcie, który się porusza się z prędkością v jest:

$n={{N}\over{V}}={{N}\over{Sl}}={{N}\over{Sl_0\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}= {{N}\over{S l_0}}{{1}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=n_0\gamma$

(2.3)

Koncentracja cząstek w danym punkcie jest dana wzorem względem koncentracji spoczynkowej, tzn. gdy dana cząstka porusza się z prędkością zerową:

$n=n_0\gamma\;$

(2.4)

Definicja funkcji γ jest taka, że ona jest zależna od wartości prędkości cząstki, ale jego definicję już wcześniej pokazano w poprzednim rozdziale.

Prawo zachowania ilości cząstek

Prawo ciągłości dla koncentracji cząstek w zależności od prędkości danej cząstki płynu jest zdefiniowana wzorem podobnym do (2.5) dla ściśle określonego punktu:

${{\partial n}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(n\vec{v})=0$

(2.5)

Jeśli zdefiniujemy współrzędną czasową jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy x₀=ct, to czterowektor koncentracji na podstawie wzoru (2.5) wyraża się wzorem poniżej. Widzimy, że element czasowy czterowektora prędkości jest równe koncentrancji cząsteczek z dokładnością do stałej, a elementy przestrzenne są równe iloczynowi koncentracji cząsteczek przez i-tą współrzędną danej prędkości w danym punkcie dla płynu:

$N^{\mu}=(n c,nv^i)\;$

(2.6)

Po wprowadzeniu definicji współrzędnej czasowej i definicji tensora koncentracji (2.6), to równanie ciągłości (2.5) zapisujemy w sposób równoważny wedle:

${N^{\mu}}_{,\mu}=0$

(2.7)

Zdefiniujmy tensor koncentracji, poprzez koncentrację spoczynkową n₀ i przez czteroprędkość u^μ, wedle:

$N^{\mu}=cn_0u^{\mu}\;$

(2.8)

Udowodnijmy, że ta definicja jest równoważna z wcześniejszą definicją tensora koncentracji N^μ. Najpierw udowodnijmy przejście od (2.8) do (2.6) dla μ=0, czyli dla elementu czasowego wspomnianego tensora.

$N^0=c n_0 u^{0}=c n_0{{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c{{n_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c n$

(2.9)

a teraz gdy 0≠ μ=i, udowodnijmy przejście od (2.8) do (2.6) dla tego ostatniego przypadku, czyli dla współrzędnych przestrzennych ostatnio wspomnianego czterowektora prędkości:

$N^i=c n_0 u^i=c n_0{{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c n_0 v^i {{1}\over{c\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=n_0v^i\gamma=nv^i$

(2.10)

Na podstawie obliczeń (2.9) i (2.10) udowodniliśmy, że koncentracja wyrażona tymi wzorami są ze sobą równoważne. Co kończy dowód. Jeśli zachodzi warunek (2.7) przy definicji tensora koncentracji cząstek (2.8), to zachodzi również, gdy pominiemy stałą c:

$N^{\mu}=n_0 u^{\mu}\;$

(2.11)

Definicję (2.11) przyjmijmy jako ostateczną definicję tensora koncentracji cząstek, który również spełnia warunek (2.7).

Prawo zachowania tensora napięć-energii

Prawo ciągłości ilości masy materii (energii) jest wyrażona poprzez wzór poniżej, którego tutaj nie wyprowadzamy, co jest tematem mechaniki teoretycznej. Przedstawia się w zależności od gęstości płyny w danym punkcie względem czasu i położenia, jeśli dany punkt, którego dotyczy lokalne prawo ciągłości porusza się z prędkości $\vec{v}\;$.

${{\partial\rho}\over{\partial t}}+\operatorname{div}(\rho\vec{v})=0\;$

(2.12)

• gdzie $\rho\;$ jest to gęstość cząstki płynu w danym punkcie wyrażona przez wzór (2.2) i która zależy od wartości prędkości i gęstości spoczynkowej masy.
• $\vec{v}\;$ to jej prędkość chwilowa danej cząstki.

Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien czterowektor:

$j^{\mu}=(\rho c,\rho v^i)\;$

(2.13)

To prawo ciągłości (2.12) na podstawie definicji gęstości prądu (2.13) zapisujemy w bardzo prosty sposób:

$\partial_{\mu}j^{\mu}=0\;$, lub jako:${j^{\mu}}_{,\mu}=0\;$

(2.14)

Z definiujmy jako czterowektor prądu względem czterowektora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ₀:

$j^{\mu}=c\rho_0 u^0u^{\mu}\;$

(2.15)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (2.15) do (2.13) dla μ=0 czteroprądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

$j^0=c\rho_0{{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}{{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c{{\rho_0}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}=c\rho_0\gamma^2=c\rho\;$

(2.16)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (2.8) do (2.6) dla elementów przestrzennych czteroprądu prądu j_μ , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

$j^{i}=c\rho_0 u^0u^i=c\rho_0{{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}{{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=c{{\rho_0}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}{{v^i}\over{c}}=\rho v^i\;$

(2.17)

Zatem elementy czterowektora według (2.9) (elementy czasowe) i (2.17) (elementy przestrzenne) czyli wzór na definicję czteroprądu (2.8), który jest przedstawiony w zależności od czteropędu cząstki i gęstości spoczynkowej jest równoważny z definicją początkową (2.13). Co kończy dowód.

Zdefiniujmy tensor gęstości napięć-energii z pierwszym wskaźnikiem zerowym przy pomocy czterowektora prądu (2.15):

$T^{0\mu}=cj^{\mu}=\rho_0 c^2 u^0u^{\mu}\;$

(2.18)

Wyrażenie (2.8) pomnożyliśmy przez wartość prędkości światła definicję czteroprądu (2.15) obustronnie i w ten sposób sposób otrzymaliśmy tensor gęstości energii-napięć o jednym górnym lewym wskaźniku równej zero. Jeśli prawo ciągłości zachodzi dla j^μ (2.15), to również zachodzi dla T^0μ (2.18), a zatem mamy lokalną zasada zachowania dla tensora gęstości napięć-energii:

${T^{0\mu}}_{,\mu}=0\;$

(2.19)

Podajmy ogólny tensor gęstości napięć-energii, który na razie podamy bez dowodu, a udowodnimy poniżej, którego to szczególny przypadkiem jest (2.18):

$T^{\mu\nu}=\rho_0 c^2u^{\mu}u^{\nu}\;$

(2.20)

Tensor gęstości energii definiujemy jako strumień czteropędu względem powierzchni stałego x^α. Zobaczymy, czy nasza definicja tensora napięć opowiedziana przed chwilą jest zgodna z naszymi oczekiwaniami, zatem:

• T⁰⁰ jest strumieniem energii przez powierzchnię t=const, co jest gęstością energii,
• a T⁰ⁱ jest strumieniem energii przez powierzchnię xⁱ.
• Tⁱ⁰ jest i-tym pędem przez powierzchnię t=const.

Zatem w ogólnym przypadku T^ij definiujemy jako strumień i-tej współrzędnej tego pędu przez powierzchnię j. Tensor gęstości energii w postaci bez-wskaźnikowej definiujemy jako iloczyn tensora pędu cząstki relatywistycznej i tensora strumienia cząstek (2.6)(lub (2.8)) w sposób:

$\mathbf{T}=\mathbf{p}\cdot\mathbf{N}\;$

(2.20)

Biorąc za definicję czteropędu (1.8), a także definicję tensora koncentracji (2.8), zatem tensor (2.20) definiujemy w postaci wskaźnikowej przez:

$T^{\mu\nu}=m_0cu^{\mu}cn_0u^{\nu}=m_0n_0c^2u^{\mu}u^{\nu}=\rho_0 c^2u^{\mu}u^{\nu}\;$

(2.21)

Równanie ciągłości dla gęstości energii (pędu), przy stałym pierwszym wskaźniku w tensorze energii-pędu T^μν, piszemy wedle zasady:

${{\partial}\over{\partial t}}{{T^{\mu 0}}\over{c}}+\nabla_i T^{\mu i}=0\;$

(2.22)

Równość (2.22) możemy zapisać w postaci rozwiniętej zapisanej przy pomocy różniczkowania względem każdej zmiennej kontrawariantnej:

${{\partial T^{\mu 0}}\over{d(ct)}}+{{\partial T^{\mu 1}}\over{dx^1}}+{{\partial T^{\mu 2}}\over{dx^2}}+{{\partial T^{\mu 3}}\over{dx^3}}=0\;$

(2.23)

Równość (2.23) może być zapisana w sposób ogólny zapisanej w sposób tensorowy korzystając przy tym z definicji tensora położenia (1.2):

${T^{\mu\nu}}_{,\nu}=0$

(2.24)

Tensor gęstości energii jest symetryczny ze względu na kontrawariantne wskaźniki (u góry tensora) przy definicji podwójnie kontrawariantnego tensora gęstości energii (2.21), zatem ma miejsce własność:

$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}\;$

(2.25)

Równanie (2.24) zawiera w sobie równanie obrazujące lokalną zasadę zachowania energii.

Przejście od układu współrzędnych płaskiego do zakrzywionej czasoprzestrzeni

Tensor gęstości energii w układzie krzywoliniowym w zależności od tensora energii w przestrzeni Minkowskiego zapisujemy wedle rachunku tensorowego, w których względem zmiany układu współrzędnych czasoprzestrzeni z układu lokalnie płaskiego do krzywoliniowego, zapisujemy w sposób:

${\overline{T}}^{\mu\nu}=T^{\alpha\beta}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\beta}\;$

(2.26)

Wyznaczmy pochodną kowariantną lewej strony wyrażenia (2.26), korzystając przy tym z lokalnego zachowania energii (1.49), dostajemy:

${{\overline{T}}^{\mu\nu}}_{;\nu}= {{T}^{\alpha\beta}}_{;\gamma}{{\Lambda}^{\gamma}}_{\nu}{{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}{{\overline{\Lambda}}^{\nu}}_{\beta}= {{T}^{\alpha\beta}}_{,\gamma}{{\Lambda}^{\gamma}}_{\nu}{{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}{{\overline{\Lambda}}^{\nu}}_{\beta}= {{T}^{\alpha\beta}}_{,\gamma}\left({{\Lambda}^{\gamma}}_{\nu}{{\overline{\Lambda}}^{\nu}}_{\beta}\right){{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}= {{T}^{\alpha\beta}}_{,\gamma}{\delta^{\gamma}}_{\beta}{{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}= \;$ $={{T}^{\alpha\beta}}_{,\beta}{{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}=0\cdot {{\overline{\Lambda}}^{\mu}}_{\alpha}=0\;$

(2.27)

Tensor gęstości energii (literka z górnym podkreśleniem) jest tensorem w krzywoliniowym układzie współrzędnym, a nie z pokreśleniem w płaskiej przestrzeni Minkowskiego, skorzystaliśmy tutaj, że w układzie płaskim pochodna kowariantna jest równa zwykłej pochodnej zupełnej dla tensora gęstości bez podkreślenia i dlatego zastąpiliśmy średnik przez przecinek. Również skorzystaliśmy, że zwykła pochodna w układzie Minkowskiego tensora gęstości energii jest równa zero, stąd udowodniliśmy twierdzenie o zasadzie zachowania energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych (1.50). Przepiszmy jeszcze raz definicję tensora gęstości energii (1.44), ale dla przestrzeni Minkowskiego, w który obowiązuje tensor metryczny Minkowskiego bez zaniedbania ciśnienia p:

$T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-\eta^{\mu\nu}p\;$

(2.28)

I udowodnijmy, że ten tensor gęstości napięć-energii (2.28) dla układów płaskich przechodzi w tensor gęstości energii dla układów ogólnie krzywoliniowych (1.44) i oznaczmy ten tensor z podkreśleniem:

${\overline{T}}^{\mu\nu}=T^{\alpha\beta}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\beta}=\left[\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-\eta^{\mu\nu}p\right]{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\beta}=\;$ $=\left(\rho_0 c^2+p\right){\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\alpha}u^{\alpha} {\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\beta}u^{\beta}-p\eta^{\alpha\beta}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right){\overline{u}}^{\mu}{\overline{u}}^{\nu}-{\overline{g}}^{\mu\nu}p\;$

(2.29)

Zatem udowodniliśmy, że tensor gęstości energii (1.44) jest również słuszny nie tylko dla płaskiej przestrzeni Minkowskiego, ale również dla przestrzeni krzywoliniowych. Udowodnimy również, że jeśli (2.21) spełnia warunek jako lokalną zasadę zachowania energii wedle (1.49) (co udowodniliśmy dla układów posiadających ciśnienie o zaniedbywalnej wartości dla tensora gęstości napięć-energii (2.21), który to spełnia warunek (2.24)) w układzie lokalnie płaskim, to również tensor gęstości napięć-energii napisanej w układzie krzywoliniowym spełnia warunek (1.50) na podstawie dowodu przejścia z układu Minkowskiego (który jest układem lokalnie płaskim) do układu krzywoliniowego.

Płyny z uwzględnieniem zasad termodynamiki

Aby posługiwać wzorami opisującymi płyn, należy się posłużyć pierwszą zasadą termodynamiki, która przedstawia zmianę energii wewnętrznej układu w zależności od zmiany ciepła dostarczającego do ciała i pracy wykonanej nad układem przez zmianą objętości układu, przedstawiając je wzorem, z którego wyprowadzimy zmianę ciepła dostarczonego do ciała:

$\Delta U=\Delta Q-p\Delta V\Rightarrow\Delta Q=\Delta U+p\Delta V\;$

(2.30)

Wiadomo jednak, co jest oczywiste dla nas z definicji, że koncentracja cząsteczek wyrażona przez n napisaną poprzez liczbę cząstek należącej do układu N przez objętość V (w którym znajdują się cząstki), z którego wyznaczmy objętość układu zajmowanego przez nie w zależności od liczby cząstek i koncentracji. A potem wyznaczmy, jeśli zmiana koncentracji cząsteczek jest równa Δ n, to jaka jest zmiana objętości tego ciała przy stałej ilości cząsteczek N jakie układ zawiera.

$n={{N}\over{V}}\Rightarrow V={{N}\over{n}}\Rightarrow \Delta V=-{{N}\over{n^2}}\Delta n\;$

(2.31)

Tutaj skorzystamy z postulatu Einsteina, o równoważności masy i energii ciała w postaci E=m c², to energia układu w zależności od gęstości ciała i jego objętości wyrazimy wedle wzoru poniżej, z którego wyznaczymy zmianę energii całkowitej ciała:

$E=\rho_0 c^2 V\Rightarrow \Delta E=\rho_0 c^2\Delta V+c^2V\Delta\rho_0\;$

(2.32)

Wykorzystując wzór na zmianę energii wewnętrznej ciała wedle końcowych obliczeń w wynikowym wzorze (2.32), i podstawiamy to do wzoru (2.30), wtedy zmiana ciepła dostarczonego do ciała jest wyrażona:

$\Delta Q=\rho_0 c^2\Delta V+c^2V\Delta\rho_0+p\Delta V \Rightarrow\Delta Q=c^2V\Delta \rho_0+(\rho_0 c^2+p)\Delta V\;$

(2.33)

Teraz skorzystamy z definicji koncentracji (2.31) i podstawimy go do końcowego wzoru w drugim wyrazie za zmianę objętości ciała, wtedy dostajemy wzór na tą samą zmianę ciepła:

$\Delta Q=c^2{{N}\over{n}}\Delta \rho_0-(\rho_0 c^2+p){{N}\over{n^2}}\Delta n\;$

(2.34)

Z definiujmy ciepło przypadająca na jeden cząstkę, który jest stosunkiem ciepła dostarczonego do ciała przez liczbę cząstek posiadanej przez ciało:

$q={{Q}\over{N}}\;$

(2.35)

Wykorzystując definicję ciepła przypadającego na jedną jednostkę czyli parametru q z definiowanego w punkcie (2.35), przy stałej ilości cząstek w układzie, wtedy mamy wedle wzoru (2.34) następną równoważną równość:

$N\Delta q=c^2{{N}\over{n}}\Delta \rho_0-(\rho_0 c^2+p){{N}\over{n^2}}\Delta n\;$

(2.36)

Poprzednie równanie mnożymy przez${{n}\over{N}}\;$, wtedy dostajemy inną postać równania (2.36):

$n\Delta q=c^2\Delta \rho_0-(\rho_0 c^2+p){{\Delta n}\over{n}}\;$

(2.37)

Obierzmy z definicji, że nΔ q=TΔ S, czyli zmiana ciepła dostarczonego do ciała jest równa iloczynowi temperatury i zmiany entropii posiadanej przez ciało, ależ mamy układy quasistatyczne w którym entropia pozostaje stała, to dochodzimy do wniosku, że zmiana entropii ciała jest równa zero, czyli zachodzi Δ S=0, a zatem ostateczny wzór ma się, jak po uwzględnieniu wzoru (2.37) dla układów izotropowych (brak zmiany entropii całkowitej układu):

$c^2\Delta \rho_0-(\rho_0 c^2+p){{\Delta n}\over{n}}=0\;$

(2.38)

Ten wzór będziemy wykorzystywać podczas dowodu lokalnej zasady zachowania napięć-energii (1.49) dla definicji tensora metrycznego (1.44).

Dowód poprawności tensora gęstości energii

Weźmy pod lupę wzór na tensor gęstości energii-pędu (2.28) słuszny w szczególnej teorii względności i wykorzystajmy lokalną zasadę zachowania energii (1.49) i wstawiając ten pierwszy wzór do tego drugiego, dostajemy równość:

$\left[(\rho_0 c^2+p)u^{\alpha}u^{\beta}-\eta^{\alpha\beta}p\right]_{,\beta}=0\;$.

(2.39)

Z korzystamy tu z definicji tensora koncentracji zdefiniowanej w punkcie (2.11) i tożsamości określającej lokalną zasadę zachowania liczby cząstek (2.7), wtedy lewą stronę wzoru (2.39) możemy poprzekształcać:

$\left[(\rho_0c^2+p)u^{\alpha}u^{\beta}\right]_{,\beta}=\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}n_0u^{\beta}\right]_{,\beta}= \left[{{\rho_0c^2+p}\over{n}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}n_0u^{\beta}+{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\underbrace{(n_0 u^{\beta})_{,\beta}}_{=0}=\;$ $=\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}n_0u^{\beta}\;$

(2.40)

Ponieważ η^αβ jest macierzą, którego elementy są stałymi elementami tensora metrycznego, to jego pochodna zupełna względem jakikolwiek zmiennej jest równa zero:

$(p\eta^{\alpha\beta})_{,\beta}=p_{,\beta}\eta^{\alpha\beta}+p{\eta^{\alpha\beta}}_{,\beta}=p_{,\beta}\eta^{\alpha\beta}\;$

(2.41)

Wykorzystując tożsamość (2.41), a także wniosek wynikający z obliczeń (2.40), to wtedy lokalną zasada zachowania energii-pędu (2.39) możemy zapisać:

$n_0u^{\beta}\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\eta^{\alpha\beta}=0\;$

(2.42)

Pomnóżmy obie strony ostatniego równania (2.42) przez element czerowektora prędkości kowariantnego u^α, i wykorzystując własności tensora metrycznego Minkowskiego, otrzymujemy:

$n_0u^{\beta}u_{\alpha}\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\eta^{\alpha\beta}u_{\alpha}=0\Rightarrow n_0u^{\beta}u_{\alpha}\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}u^{\beta}=0\;$

(2.43)

Wydzielmy przed nawias tensor czterowekora prędkości u^β w wyrażeniu (2.43) i potem wykorzystując z wiadomości analizy matematycznej o pochodnej iloczynu, dochodzimy do:

$u^{\beta}\left[n_0u_{\alpha}\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}u^{\alpha}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\right]=0\;$ $u^{\beta}\left[n_0u_{\alpha}{u^{\alpha}}_{,\beta}{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}+n_0u_{\alpha}u^{\alpha}\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\right]=0\;$

(2.44)

Wiadomo jednak, że zachodzi w ogólnej teorii względności, że z tożsamości (1.9) i definicji czterowektora prędkości (1.7) otrzymujemy wzór poniżej, z którego wyznaczymy jej pochodną cząstkową obu stron względem parametru x^β:

$u_{\alpha}u^{\alpha}=1\Rightarrow u_{\alpha}{u^{\alpha}}_{,\beta}=0\;$

(2.45)

Na podstawie zachodzących tożsamości (2.45), wtedy równość (2.44) przechodzi w bardziej uproszczoną równość:

$u^{\beta}\left[n_0\left[{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\right]=0\Rightarrow u^{\beta}\left[n_0{{((\rho_0)_{,\beta}c^2+p_{,\beta})n_0-(\rho_0c^2+p)(n_0)_{,\beta}}\over{n_0^2}}-p_{,\beta}\right]=0\;$

(2.46)

Po dalszych dokonanych przekształceniach i grupowaniach wyrazów w równości (2.46), dochodzimy do bardziej zgrabnej równości wynikowej:

$u^{\beta}\left[(\rho_0)_{,\beta}c^2+p_{,\beta}-{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}(n_0)_{,\beta}-p_{,\beta}\right]=0\Rightarrow u^{\beta}\left[(\rho_0)_{,\beta}c^2-{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}(n_0)_{,\beta}\right]=0\;$

(2.47)

Zakładamy, że czterowektor u^β jest wielkością, którego składowe są w ogólności niezerowe, wtedy wyrażenie w nawiasie równości (2.47) równa się zero.

$(\rho_0)_{,\beta}c^2-{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}(n_0)_{,\beta}=0\;$

(2.48)

Ostatecznie wzór (2.48) zapiszmy w postaci różniczek upuszczając w nim różniczkę ∂x^β, która leży w mianowniku tego równania:

$d\rho_0 c^2-(\rho_0c^2+p){{dn_0}\over{n_0}}=0\;$

(2.49)

Widzimy, że taki sam wzór otrzymaliśmy rozpatrując z zasad termodynamiki (2.38) biorąc w tym wzorze zamiast różnic różniczki, i mamy pierwszy powód ze tensor gęstości energii jest poprawny. Wykonajmy obliczenia pomocnicze na tensorach czteroprędkości dla $0\neq\alpha=i\;$, i gdy prędkość cząstki w układzie szczególnej teorii względności jest o wiele mniejsza niż prędkość światła dla małych prędkości , zatem można powiedzieć, że można napisać dwie tożsamości przybliżone na współrzędne czterowektora prędkości i pochodną części przestrzennej czterowektora prędkości względem parametru x^β, które są zapisane warunkami przybliżonymi poniżej. Należy pamiętać że pierwsza z tych tożsamości jest w ogólności nierówna zero.

$u^i={{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}} } }}\simeq{{v}\over{c}}\simeq 0\;$ (2.50)

${u^i}_{,\beta}\simeq{{v_{,\beta}}\over{c}}\;$ (2.51)

Przybliżenie (2.50) jest słuszne gdy zachodzi ${{v}\over{c}}<<1\;$, wtedy wyrażenie (2.42), korzystając z udowodnionych własności, możemy zapisać:

$n_0u^{\beta}\left[{{\rho_0 c^2+p}\over{n_0}}u^{i}\right]_{,\beta}-p_{,\beta}\eta^{i\beta}=0\Rightarrow n_0u^{\beta}\left({{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}\right)_{,\beta}u^i+n_0u^{\beta}{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}{u^i}_{,\beta}-p_{,\beta}\eta^{i\beta}=0\;$

(2.52)

Jeśli weźmiemy przybliżenie, którego napisaliśmy w dowodzie (2.50), to na podstawie tego końcowy wzór w punkcie (2.52) przechodzi w bardziej uproszczoną przybliżoną tożsamość:

$n_0u^{\beta}{{\rho_0c^2+p}\over{n_0}}{u^i}_{,\beta}-p_{,\beta}\eta^{i\beta}=0\Rightarrow(\rho c^2+p){u^i}_{,\beta}u^{\beta}-p_{,\beta}\eta^{i\beta}=0\;$

(2.53)

Policzmy pewne wyrażenie, które występuje w punkcie (2.53), wyrażając je poprzez pochodne zupełne prędkości vⁱ względem czasu rzeczywistego t.

${u^i}_{,\beta}u^{\beta}\simeq{{ {v^i}_{;\beta}}\over{c}}u^{\beta}=c^{-1}{{\partial v^i}\over{\partial x^{\beta}}}{{dx^{\beta}}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\simeq {{1}\over{c^2}}{{dv^i}\over{dt}}\;$

(2.54)

Znając elementy przestrzenne tensora metrycznego Minkowskiego wyrażone poprzez równość (2.54) i dokonując przy tym przybliżenia $_{{{p}\over{c^2}}<<1}\;$, dostajemy:

$(\rho_0 c^2+p){{a^i}\over{c^2}}+p_{,i}=0\Rightarrow(\rho_0+{{p}\over{c^2}})a_i=-p_{,i}\;$

(2.55)

Ostatnie równanie równanie, czyli (2.55) jest znane z nierelatywistycznej dynamiki płynów, tzn. gdy zachodzi warunek $_{{{p}\over{c^2}}<<1}\;$, czyli ciśnienie panujące w danym punkcie w przestrzeni jest o wiele mniejsza niż kwadrat wartości prędkości światła.

Udowodniliśmy, że tensor gęstości energii T^αβ (2.28), ma taką postać jaką podaliśmy wcześniej, a na podstawie (2.27) jest słuszny w dowolnym układzie współrzędnym co jest zasadą zachowania w geometrii zakrzywionej, która wynika z lokalnej zasady zachowania energii (1.49) wedle (2.24), co kończy dowody dotyczące własności tensora gęstości energii.

Właściwości skalaru tensora metrycznego

Przedstawimy tu jakim wzorem przedstawia się elementarna infinitezymalna objętość w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także elementarne wiadomości o tensorach metrycznych, a mianowicie o ich wyznacznikach wyznaczając ich pochodne względem elementów tensora metrycznego i pytamy siebie jakie są właściwości tego tensora.

Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności

Macierz iloczynu skalarnego w przestrzeni Minkowskiego jest napisana tak jak w punkcie (1.5) i oznaczamy go przez znak grecki (η) i można udowodnić, że ten wyznacznik tensora Minkowskiego jest napisany wedle:

$\operatorname{det}(\eta)=-1\;$

(3.1)

W układzie lokalnie inercjalnym opisywanej przez macierz iloczynu skalarnego (tensor metryczny, który jest symetryczny) w przestrzeni Minkowskiego można przetransformować do układów krzywoliniowego, to macierz tensora metrycznego przechodzi w macierz tensora metrycznego Minkowskiego dla małych gęstości materii w tejże geometrii. Transformacja z układu współrzędnych lokalnie inercjalnego opisywanej przez macierz (g) do innego rodzaju współrzędnych ma się jako:

${x^{i}}^{'}=\Lambda^i_{j}x^j\;$

(3.2)

• gdzie Λⁱ_j jest macierzą przejścia.

Transformacja macierzy iloczynu skalarnego z układu lokalnie płaskiej do innego układu względem macierzy transformacji piszemy z wiadomości z algebry:

$(g)=(\Lambda)^T(\eta)(\Lambda)\;$

(3.3)

Wyznacznik macierzy, dzięki któremu budujemy transformacje w wyniku podobieństwa macierzy z układu lokalnie płaskiego w krzywoliniowy (3.3):

$g=\operatorname{det}(g)=\operatorname{det}(\Lambda)\operatorname{det}(\eta)\operatorname{det}(\Lambda)\;$

(3.4)

Ale wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego ma wartość wedle (3.1), wtedy wyrażenie (3.4), na wyznacznik macierzy (g), możemy zapisać:

$g=\operatorname{det}(g)=-\operatorname{det}^2(\Lambda)\;$

(3.5)

Otrzymujemy więc wyznacznik macierzy transformacji, który jest pierwiastkiem z minus jedynki wyznacznika tensora metrycznego (g), który obowiązuje w układzie krzywoliniowym:

$\sqrt{-g}=|\operatorname{det}(\Lambda)|\;$

(3.6)

W układzie Minkowskiego, który obowiązuje w układzie lokalnie płaskim, nieskończenie mały element objętości zapisujemy:

$d^4x'=dx_0'dx_1'dx_2'dx_3'\;$

(3.7)

W naszym przypadku moduł Jakobianu jest modułem wyznacznika macierzy przejścia do układu krzywoliniowego w przestrzeni Minkowskiego, a zatem ta sama objętość pod względem wartości zapisujemy w innym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

$d^4x'=|J|d^3x=|\operatorname{det}(\Lambda)|d^3x=\sqrt{-g}d^3x\;$

(3.8)

Ostatecznie patrząc na wzór (3.8), w postaci skróconej, nasz wzór na objętość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) jest wyrażony wzorem poniżej.

$d^4x'=\sqrt{-g}d^4x\;$

(3.9)

Widzimy, że objętość opisywanej wedle szczególnej teorii względności zależy od wyznacznika macierzy tensora metrycznego obowiązującego w tymże układzie współrzędnych krzywoliniowym.

Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

Mamy sobie wyznacznik macierzy tensora metrycznego, który obowiązuje w szczególnej teorii względności i rozwińmy go względem kolumny o numerze β wedle twierdzenia Laplace'a:

$g=\sum_{\alpha}(-1)^{\alpha+\beta}g_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}\;$

(3.10)

Podzielmy wyrażenie (3.10) przez wyznacznik macierzy tensora metrycznego przez g, wtedy otrzymujemy wyrażenie z którego wywnioskujemy dalsze dysputy.

$1=\sum_{\alpha}g_{\alpha\beta}\underbrace{g^{-1}(-1)^{\alpha+\beta}A_{\alpha\beta}}_{g^{\alpha\beta}}\;$

(3.11)

Wprowadzamy podwójnie kontrawariantny tensor metryczny, tak by prawa strona w (3.11) była równa lewej stronie tego równania, korzystając przy tym z jego definicji tego tensora, a także z definicji tensora Kroneckera, i mówiąc ogólnie, że w dowodzie powyższym nie obowiązuje konwencja Einsteina. Zatem podwójnie kontrawariatna macierz tensora metrycznego na podstawie wcześniejszej tożsamości przestawia się:

$g^{\alpha\beta}=g^{-1}(-1)^{\alpha+\beta}A_{\alpha\beta}\;$

(3.12)

Wyznaczmy pochodną wyznacznika macierzy tensora metrycznego względem jakiegoś elementu tego samego tensora, co można zapisać:

${{\partial g}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}= {{\partial g}\over{\partial g_{\alpha\beta}}}{{\partial g_{\alpha\beta}}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}= (-1)^{\alpha+\beta}A_{\alpha\beta}{{\partial g_{\alpha\beta}}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}=gg^{\alpha\beta}{{\partial g_{\alpha\beta}}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}\;$

(3.13)

Powyższe równanie można pomnożyć przez różniczkę cząstkową:$\partial g^{\gamma\omega}$, i podzielić potem przez $\partial g_{\alpha\beta}\;$, otrzymujemy:

${{\partial g}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}=gg^{\gamma\omega}\;$

(3.14)

Co dalej można otrzymać równoważne równanie, ale tym razem mnożąc (3.13) przez różniczkę cząstkową ∂g^αβ i dzieląc przez ∂x^μ, otrzymujemy:

$g_{,\mu}=gg^{\alpha\beta}g_{\alpha\beta,\mu}\;$

(3.15)

Dalej przekształcając prawą strona równości (3.15), tak by zebrać pewne dwa czynniki czynniki pod pochodną względem parametru x^μ:

$g_{,\mu}=g^{\alpha\beta}g_{\alpha\beta,\mu}=g\left[\left(g^{\alpha\beta}g_{\alpha\beta}\right)_{,\mu}-{g^{\alpha\beta}}_{,\mu}g_{\alpha\beta}\right]= -gg_{\alpha\beta}{g^{\alpha\beta}}_{,\mu}$

(3.16)

Pierwszy wyraz występujący w wyrażeniu (3.16) pod pochodną liczony względem współrzędnej x^μ jest wielkością stałą, to ta jego pochodna jest wielkością zerową:

$g_{,\mu}=-gg_{\alpha\beta}{g^{\alpha\beta}}_{,\mu}$

(3.17)

Powyższe równanie na tensorach metrycznych można zapisać równoważnie:

${{\partial g}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}=-gg_{\gamma\omega}$

(3.18)

Wzory (3.14) i (3.18), to są dwa podstawowe wzory oparte na tensorach metrycznych, pierwsza względem elementu tensora metrycznego podwójnie kowariantnego, a drugi względem podwójnie kontrawariantnego.

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności według Hilberta polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a.

Równania grawitacji Einsteina-Hilberta

Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu $\mathfrak{L}\;$ liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej.

$S=\int \mathfrak{L}d{x^'}^4\;$

(4.1)

Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w krzywoliniowym układzie współrzędnym względem tej samej objętości w płaskim układzie współrzędnej wedle sposobu (3.9) podstawiając go do całki Lagrange'a (4.1):

$S=\int\underbrace{\sqrt{-g}\mathfrak{L}}_{\mathfrak{L}^'}dx^4\;$

(4.2)

Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru φ i ∂_μφ jest.

$\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}^'}\over{\partial(\partial_{\mu}\varphi)}}-{{\partial\mathfrak{L}^'}\over{\partial\varphi}}=0\;$

(4.3)

Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości:

$\mathfrak{L}=\mathfrak{L}_g+\mathfrak{L}_m\;$

(4.4)

Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu (4.4) rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić:

$\mathfrak{L}_g=a+bR+cR^2+...\;$

(4.5)

Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną Λ i przez stałą κ występującego w prawie grawitacji Einsteina (1.51).

$a={{\Lambda}\over{\kappa}}\;$ (4.6)

$b=-{{1}\over{2\kappa}}\;$ (4.7)

Część przestrzenna Lagrangianu (4.5) wedle oznaczeń (4.6) i (4.7) po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać.

$\mathfrak{L}_g=-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)\;$

(4.8)

Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania (4.2), wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian (4.4), która jest sumą Lagrangianu przestrzennego (4.8) i masowego, jest napisana wzorem:

$S=\int d^4x\sqrt{-g}\left\{-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;$

(4.9)

• gdzie:$_{g=-\operatorname{\det}(g_{\alpha\beta})}\;$

Ale $_{\sqrt{-g}}\;$ jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego.

Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu (4.9) w stosunku do (4.4) jest zdefiniowana:

$\mathfrak{L}^'=\sqrt{-g}\mathfrak{L}=\sqrt{-g}\left\{-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;$

(4.10)

Równanie Eulera Einsteina (4.3) względem nowego Lagrangianu $\mathfrak{L}\;$, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy $\varphi=g^{\alpha\beta}\;$ przy (4.3), to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać:

$\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}-{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\;$

(4.11)

Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x^μ w przestrzeni nieuklidesowej, to (4.11) zapisujemy:

$\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}=0\;$

(4.12)

A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższych tożsamości czyli pierwszy wyraz w (4.11) znika, zatem dostajemy z omawianego równania:

${{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left(\sqrt{-g}\mathfrak{L}\right)=0\;$

(4.13)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór (3.18), wtedy mamy:

$\sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{\partial\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow \sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{gg_{\alpha\beta}}\over{2\sqrt{-g} }}=0\;$

(4.14)

Całkowity Lagrangian po podstawieniu (4.8) do (4.4) przyjmuje postać:

$\mathfrak{L}=-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\;$

(4.15)

Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (4.14) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (4.15):

$\sqrt{-g}{{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left(-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)+ \left(-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right){{1}\over{2\sqrt{-g}}}gg_{\alpha\beta}=0\;$

(4.16)

Po podzieleniu obustronnie równości (4.16) przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli $_{\sqrt{-g}}\;$:

${{1}\over{4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m+ {{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left(-{{1}\over{2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)=0\;$

(4.17)

Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego $_{R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}}\;$, i tensor Ricciego $_{ {{\partial R}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=R_{\alpha\beta}}\;$, a także na podstawie powyższej równości (4.17) mamy:

${{1}\over{4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m-{{1}\over{2\kappa}}R_{\alpha\beta}+{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow\;$ $\Rightarrow-{{1}\over{2\kappa}}\left[\left(R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\right)+g_{\alpha\beta}\Lambda\right]= -{{1}\over{2}}\left(2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;$

(4.18)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (4.18), przez $_{-{{1}\over{2\kappa}}}\;$, otrzymujemy:

$R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R+g_{\alpha\beta}\Lambda=\kappa\left(2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;$

(4.19)

Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle (1.37), a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci (1.40), a tensor gęstości energii przyjmuje postać według naszych rozważań według (4.19):

$T_{\alpha\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\;$

(4.20)

Ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną jest przedstawione:

$G_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}\Lambda=\kappa T_{\alpha\beta}\;$

(4.21)

Ten sam tensor gęstości energii, co przedstawiony w punkcie (4.20), ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale tam jeszcze dodatkowo udowodnimy własność lokalnej zasady zachowania tensora energii dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T^μν_,ν=0, co na podstawie dowodu (2.24) można udowodnić lokalną zasadę zachowania energii ogólnie dla układu zakrzywionego, wedle (1.5).

Tensor gęstości energii

Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x^α i jego miano jest takie J/m³, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania zapisaną wedle sposobu:

$S=c\int^{t_2}_{t_1}dt\int \mathfrak{L}({q^{\mu}},{q^{\mu}}_{,\alpha}) dV=\int \mathfrak{L}({q^{\mu}},{q^{\mu}}_{,\alpha})dVd(ct)$

(4.22)

• Oznaczając przy tym dτ=dVd(ct)=dx⁰dx¹dx²dx³ jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni)
• gdzie dx⁰=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach,
• xⁱ to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach.

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania (4.22) można przedstawić wedle sposobu:

$S=c\int \mathfrak{L}({q^{\mu}},{q^{\mu}}_{,\alpha})dVdt=\int \mathfrak{L}({q^{\mu}},{q^{\mu}}_{,\alpha})d\tau$

(4.23)

W powyższym wzorze oznaczeniem q^μ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania (4.23) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a wedle sposobu:

${{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}-{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}}}=0$

(4.24)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej w przestrzeni Minkowskiego kontrawariantnej x^β na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej q^μ oraz względem pochodnej wspomnianej względem współrzędnej uogólnionej x^β, czyli q^μ_β:

${{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial x^{\beta}}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}}}{q^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\mu}}_{,\alpha,\beta}$

(4.25)

Z zasady wariacyjnej (4.24) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

${{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}}}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}$

(4.26)

Podstawiamy równanie (4.26) do pierwszego wyrazu z lewej strony równania (4.25) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

${{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial x^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\mu}}_{,\alpha,\beta}\Rightarrow{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial x^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\mu}}_{,\beta}\right)$

(4.27)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej x^β troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

${{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial x^{\beta}}}=\delta^{\alpha}_{\beta}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial x^{\alpha}}}$

(4.28)

Równanie (4.27) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (4.28), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x^α, zatem:

$0={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\mu}}_{,\beta}-\delta^{\alpha}_{\beta}\mathfrak{L}\right)$

(4.29)

Równanie (4.29) mnożymy przez η^βγ i jednocześnie zamieniając γ na β, otrzymujemy:

$0={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}q^{\mu,\beta}-\eta^{\alpha\beta}\mathfrak{L}\right)\;$

(4.30)

W tożsamości (4.30) rozpisujemy pochodną cząstkową względem zmiennej x^β i jednocześnie mnożymy obustronnie tak powstałe równanie przez q^ω_,β w ten sposób powstały czynnik przy nowo powstałym operatorze możemy bezkarnie włączyć pod nową pochodną cząstkową:

$0={q^{\omega}}_{,\beta}{q^{\gamma}}_{,\alpha}{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}q^{\mu,\beta}-\eta^{\alpha\beta}\mathfrak{L}\right)\Rightarrow0={{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\gamma}}_{,\alpha} {q^{\omega}}_{,\beta} q^{\mu,\beta} -\eta^{\alpha\beta}{q^{\gamma}}_{,\alpha}{q^{\omega}}_{,\beta} \mathfrak{L}\right)\;$

(4.31)

Tak w powstałym równaniu (4.31) wykorzystujemy transformację tensora metrycznego, który obowiązuje w płaskim układzie współrzędnym Minkowskiego w krzywoliniowy układ współrzędnych zanurzonych w układzie Minkowskiego:

$0={{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\gamma}}_{,\alpha} {q^{\omega}}_{,\beta} q^{\mu,\beta} -g^{\gamma\omega} \mathfrak{L}\right)\;$

(4.32)

Zdefiniujmy tensor podwójnie kontrawariantny wedle wzoru (4.32) i nazwijmy go tensorem gęstości energii-pędu w krzywoliniowym układzie współrzędnych zanurzonych w układzie Minkowskiego i napiszmy z niego wynikający tensor gęstości energii podwójnie kowariantny.

$T^{\gamma\omega}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{q^{\gamma}}_{,\alpha} {q^{\omega}}_{,\beta} q^{\mu,\beta} -g^{\gamma\omega} \mathfrak{L}\Rightarrow T_{\gamma\omega}= {{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}} {{\partial x^{\alpha}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial x^{\beta}}\over{\partial q^{\omega}}}q^{\mu,\beta}-g_{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;$

(4.33)

Zachowawczość tensora gęstości energii T^γω przy jego definicji (4.33) na podstawie tożsamości różniczkowej (4.32) przedstawia się:

${{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}T^{\gamma\omega}=0\Rightarrow {T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}=0\;$

(4.34)

Udowodnijmy równoważność tensora gęstości energii-pędu (4.20) w przedstawieniu (4.33), zatem przekształcajmy pierwszy wyraz końcowego tensora w ostatnio wspomnianym przedstawieniu T_γω wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g^εξ=q^ε_,νq^ξ_,ν, otrzymujemy:

${{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\xi}}}{{\partial g^{\epsilon\xi}}\over{\partial {q^{\mu}}_{,\alpha}}}{{\partial x^{\alpha}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial x^{\beta}}\over{\partial q^{\omega}}}q^{\mu,\beta}= {{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\xi}}}{{\partial g^{\epsilon\xi}}\over{{\partial q^{\mu}}_{,\alpha} }}{{\partial x^{\alpha}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial x^{\beta}}\over{\partial q^{\omega}}}q^{\mu,\beta}= {{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\xi}}}{{\partial \left({q^{\epsilon}}_{,\nu}{q^{\xi}}_{,\nu}\right)}\over{{\partial q^{\mu}}_{,\alpha} }}{{\partial x^{\alpha}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial x^{\beta}}\over{\partial q^{\omega}}}q^{\mu,\beta}=\;$ $= 2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\mu}}}{q^{\epsilon}}_{,\alpha}{{\partial x^{\alpha}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial x^{\beta}}\over{\partial q^{\omega}}}q^{\mu,\beta}=2 {{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\mu}}}{{\partial q^{\epsilon}}\over{\partial q^{\gamma}}}{{\partial q^{\mu}}\over{\partial q^{\omega}}}= 2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\epsilon\mu}}}{\delta^{\epsilon}}_{\gamma}{\delta^{\mu}}_{\omega}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}\;$

(4.35)

Na podstawie obliczeń (4.35) tensor gęstości energii (4.33) możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego prostego i odwrotnego:

$T_{\gamma\omega}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\gamma\omega}}}-g_{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;$

(4.36)

Wiemy, że zawsze możemy obrać układ lokalnie płaski, który istnieje w danym punkcie w przestrzeni wedle ogólnej teorii względności, zatem na podstawie tego wiemy, że tensor gęstości energii-pędu w układzie krzywoliniowym zanurzonym w przestrzeni Minkowskiego (4.35) można uogólnić na przypadek dowolnego układu krzywoliniowego, zatem dochodzimy do wniosku, że wtedy mamy tensor (4.20). Ponieważ w układzie lokalnie płaskim zachodzi (4.34) (co udowodniliśmy na podstawie zasady wariacji), to na podstawie dowodu (2.20) spełniona jest tensorowa zasada zachowania energii w postaci wzoru (1.50). Zatem na podstawie tego udowodniliśmy ściśle określoną postać tensora gęstości energii, a także jej zachowawczość na podstawie tylko zasady wariancji.

Linie geodezyjne

Załóżmy, że mamy energię kinetyczną z definiowaną jak w mechanice klasycznej, ale za pomocą interwału, a nie za pomocą czasu, czyli podobnie jak w mechanice Newtona, ale tym razem długość czterowektora prędkości przedstawiamy względem tensora metrycznego obowiązującego w tym układzie współrzędnych, nie musi być to układ kartezjański:

$L=m_0{{U^2}\over{2}}=m_0{{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}\over{2}}$

(4.37)

Kładąc dalej we wzorze stałą m₀=1 w (4.37), co nie umniejsza dowodu, wtedy nasz wspomniany Lagrangian przedstawiamy wedle sposobu:

$L={{1}\over{2}}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

(4.38)

Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g_αν i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu (4.37):

$\delta\int\limits_{\lambda 1}^{\lambda}L(x^{\alpha},\dot{x}^{\alpha})d\lambda=0$

(4.39)

Aby cząstka przebyła z punktu A do B w czasoprzestrzeni drogą najkrótszą, wtedy powinno zachodzić równanie Eulera-Lagrange'a:

${{d}\over{d\lambda}}{{\partial L}\over{\partial \dot{x}^{\alpha}}}-{{\partial L}\over{\partial x^{\alpha}}}=0$

(4.40)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a (4.40), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu:

${{\partial L}\over{\partial x^{\alpha}}}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}\left({{1}\over{2}}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial x^{\alpha}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

(4.41)

• wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a (4.40), możemy przekształcić do:

${{\partial L}\over{\partial \dot{x}^{\alpha}}}={{1}\over{2}}\left(g_{\mu\nu}\delta_{\alpha\nu}\dot{x}^{\mu}+g_{\mu\nu}\delta_{\alpha\mu}\dot{x}^{\nu}\right)= {{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{x}^{\mu}+g_{ji}\dot{x}^{\nu} \right)={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{x}^{\mu}+g_{\mu\alpha}\dot{x}^{\mu} \right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left(2g_{\alpha\mu}\dot{x}^{\mu}\right)=g_{\alpha\mu}\dot{x}^{\mu}$

(4.42)

Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia (4.42) względem pewnego parametru λ czyli pierwszy wyraz w (4.40), który jest liczony względem λ, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia (4.42).

${{d}\over{d\lambda}}{{\partial L}\over{\partial \dot{x}^{\alpha}}}={{d}\over{d\lambda}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{x}^{\mu} \right)=g_{\alpha\mu}\ddot{x}^{\mu}+{{dg_{\alpha\mu}}\over{d\lambda}}\dot{x}^{\mu}=g_{\alpha\mu}\ddot{x}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

(4.43)

A więc nasze równanie Lagrangianu (4.40), której części są przedstawione i policzone w punktach (4.41) i (4.43), czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym Lagrangianie (4.38), przedstawia się:

$g_{\alpha\mu}\ddot{x}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial x^{\alpha}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$

(4.44)

Pomnóżmy teraz równanie (4.44) przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element g^βα:

$g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{x}^{\mu}+g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}-g^{\beta\alpha}{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial x^{\alpha}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}=0$

(4.45)

Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego.

$g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}=\delta^{\beta}_k$ (4.46)

$g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{x}^{\mu}=\delta^{\beta}_k\ddot{x}^{\mu}=\ddot{x}^{\beta}$ (4.47)

Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości (4.45), możemy napisać:

$g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial \dot{x}^{\nu}}}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left({{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial x^{\mu}}}\right)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

(4.48)

Wyrażenie (4.45), wedle obliczeń pomocniczych (4.46) i (4.47) na tensorach metrycznych, a także z symetryczności tensora metrycznego (4.48), przedstawiamy w końcowej postaci:

$\ddot{x}^{\beta}+{{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial x^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial x^{\alpha}}}\right)\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}=0$

(4.49)

Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym (4.49):

${\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial x^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial x^{\alpha}}}\right)$

(4.50)

A zatem nasze równanie (4.49), na podstawie definicji symboli Christoffela (4.50), przedstawia się:

$\ddot{x}^{\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\mu}=0$

(4.51)

Udowodniliśmy w ten sposób że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a (4.51) policzonego za pomocą warunku wariacyjnego.

Słabe pola grawitacyjne

Słabe pole grawitacyjne jest opisane przez teorię grawitacji Newtona. Metryka w słabych polach grawitacyjnych jest opisywana prawie przez metrykę Minkowskiego z małą poprawką.

Tensor metryczny w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych zapisujemy w postaci:

$g_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}\;$

(5.1)

• gdzie η_αβ jest to tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego, która określa metrykę o formie kwadratowej, która jest nieujemna.

A także zachodzi dla słabego pola grawitacyjnego, której moduł poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego jest o wiele mniejsza niż jeden, co zapisujemy:

$|h_{\alpha\beta}|<<1\;$

(5.2)

Lorentzowskie przekształcenia tła

Mamy sobie szczególną teorię względności w którym jest napisany pewny tensor przekształcenia ${\Lambda^{\alpha}}_{\beta}\;$ przechodząc ze starego do nowego układu współrzędnych, to pisząc pewny tensor metryczny obowiązującego w nowym układzie współrzędnym względem tensora metrycznego obowiązującego w starym układzie współrzędnym, dochodzimy do wniosku korzystając przy tym z (5.1):

${g^'}_{\alpha\beta}={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}g_{\mu\nu}={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}\left(\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\right)={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}\eta_{\mu\nu}+{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}h_{\mu\nu}\;$

(5.3)

Ponieważ również zachodzi dla tensora g^'_αβ przybliżenie (5.1) przy warunku (5.2), zatem możemy powiedzieć na podstawie (5.3):

${\eta^'}_{\alpha\beta}={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}\eta_{\mu\nu}\;$ (5.4)

${h^'}_{\alpha\beta}={\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}h_{\mu\nu}\;$ (5.5)

Napiszmy sobie przekształcenie Lorentza: ${\Lambda^{\alpha}}_{\beta}\;$, który w szczególnej teorii względności jest:

${\Lambda^{\alpha}}_{\beta}=\begin{pmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\;\;$

(5.6)

Wtedy na podstawie tensora przekształcenia (5.6) napiszmy, czy wedle (5.4) tensor Minkowskiego przechodzi sam w siebie:

${\eta^'}_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}=\;\;\;$ $=\begin{pmatrix} \gamma&\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&-\gamma&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma^2-\beta^2\gamma^2&0&0&0\\ 0&\beta^2\gamma^2-\gamma^2&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}=\;$ $=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}=\eta_{\alpha\beta}$

(5.7)

Na podstawie obliczeń (5.7) przekształcenie (5.4) przekształca tensor metryczny Minkowskiego w sam siebie, a poprawka do tensora metrycznego, która występuje w punkcie (5.1) przekształca się z jednego układu współrzędnej do drugiego wedle transformacji (5.5). Ta właściwość tensora metrycznego przy tensorze przekształcenia pozwala mówić o wygodnej fikcji, możemy mówić o słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach jako czasoprzestrzeni płaskiej ze zdefiniowanej nad nim tensorem $h_{\mu\nu}\;$, co pozwala policzyć czterowskaźnikowy tensor krzywizny znając tylko poprawki do tensorów metrycznych (5.1) spełniających warunek słabo zakrzywionej czasoprzestrzeni wedle (5.2). Należy pamiętać, że mimo przekształcenia (5.4) przy tensorze przekształcenia (5.6) przestrzeń jest w istocie słabo zakrzywiona.

Przekształcenia cechowania

Obierzmy sobie przekształcenie wiążące pierwszy układ współrzędnych, które jest rozwiązaniem równań grawitacji ogólnej teorii względności, z innym układem współrzędnych, która jest zapisana w postaci równania:

${x^'}^{\alpha}=x^{\alpha}+\xi^{\alpha}(x^{\beta})\;$

(5.8)

Dowolność współrzędnych równania Einsteina pozwala obrać możliwie mały wektor $_{\xi^{\alpha}(x^{\beta})}\;$, by przejść do innego układu współrzędnych, którego oba współrzędne, tzn. $_{{x^'}^{\alpha}}\;$ i $_{x^{\alpha}}\;$ są rozwiązaniami równań Einsteina. Możemy napisać sobie przekształcenie wiążące nowy tensor metryczny z jego starym odpowiednikiem:

${g^'}_{\alpha\beta}=g_{\mu\nu}{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\Lambda^{\nu}}_{\beta}\;$

(5.9)

Wypiszmy teraz przekształcenia $_{{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}}\;$że:

${\Lambda^{\mu}}_{\alpha}={{\partial x^{\mu}}\over{\partial {x^'}^{\alpha}}}= {{\partial}\over{\partial {x^'}^{\alpha}}}\left({x^'}^{\mu}-\xi^{\mu}\right)= {\delta^{\mu}}_{\alpha}-{\xi^{\mu}}_{,\alpha}\;$

(5.10)

Podstawmy elementy tensora transformacji Λ^μ_α jako tensora kowariantnego względem jego jakiegoś wskaźnika kowariantnego, zatem wtedy mając wzór (5.10) przy przekształceniach tensorów metrycznych ze starego układu współrzędnych do nowego (5.9):

${g^'}_{\alpha\beta}=g_{\mu\nu}\left({\delta^{\mu}}_{\alpha}-{\xi^{\mu}}_{,\alpha}\right)\left({\delta^{\nu}}_{\beta}-{\xi^{\nu}}_{,\beta}\right)= g_{\mu\nu}\left({\delta^{\mu}}_{\alpha}{\delta^{\nu}}_{\beta}-{\delta^{\mu}}_{\alpha}{\xi^{\nu}}_{,\beta}-{\delta^{\nu}}_{\beta}{\xi^{\mu}}_{,\alpha}+{\xi^{\mu}}_{,\alpha}{\xi^{\nu}}_{,\beta}\right)=\;$ $= g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}{\delta^{\nu}}_{\beta}-g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}{\xi^{\nu}}_{,\beta}-g_{\mu\nu}{\delta^{\nu}}_{\beta}{\xi^{\mu}}_{,\alpha}+g_{\mu\nu} {\xi^{\mu}}_{,\alpha}{\xi^{\nu}}_{,\beta}=g_{\alpha\beta}-g_{\alpha\nu}{\xi^{\nu}}_{,\beta}-g_{\mu\beta}{\xi^{\mu}}_{,\alpha}+g_{\mu\nu} {\xi^{\mu}}_{,\alpha}{\xi^{\nu}}_{,\beta}\;\;$

(5.11)

Weźmy sobie takie przekształcenie ze starego układu współrzędnych do nowego (5.8), by zachodziło $_{\left|\xi^{\alpha}(x^{\beta})\right|<<1}\;$ oraz (5.1) przy warunku (5.2), czyli warunku słabego pola grawitacyjnego, zatem przekształcenia tensora metrycznego ze starego układu współrzędnych do nowego względem przekształcenia opisywanych względem współrzędnych (5.8), wyrażenie (5.11) możemy zapisać:

${g^'}_{\alpha\beta}\simeq\eta_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}-\eta_{\alpha\nu}{\xi^{\nu}}_{,\beta}-\eta_{\mu\beta}{\xi^{\mu}}_{,\alpha}= \eta_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}\;$

(5.12)

Zatem poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego wedle równania (5.1) transformuje się wedle schematu:

${h^'}_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}\;$

(5.13)

Przekształcenie tensorów metrycznych lub jego poprawki, czyli tensora metrycznego Minkowskiego z układu o współrzędnych kontrawariantnej bezpromowania do układu ze współrzędnymi primowanymi tego samego typu tensora, jest napisane wedle równania (5.12) lub (5.13) dla metryki prawie płaskiej.

Tensor krzywizny dla słabego pola grawitacyjnego

Aby mieć pełny tensor Einsteina, trzeba znać tensor krzywizny dwuwskaźnikowy, i skalar krzywizny Ricciego, które można wyznaczyć z czterowskaźnikowego tensora krzywizny.

Należy zauważyć, że tutaj w wykładzie pochodna zachowuje się jak tensor, bo η_αβ jest stałą macierzą, i tylko z tego względu, bo w ogólności nie jest spełnione dla dowolnych tensorów metrycznych, tzn. czy pochodna cząstkowa jest tensorem. Tensor krzywizny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest opisany wzorem w zależności od tensorów metrycznych obowiązującej w naszej czasoprzestrzeni (czterowymiarowej przestrzeni absolutnej):

$R_{\alpha\beta\mu\nu}={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\nu,\beta,\mu}-g_{\nu\beta,\alpha,\mu}-g_{\alpha\mu,\beta,\nu}+g_{\mu\beta,\alpha,\nu}\right)\;$

(5.14)

Można $g_{\alpha\beta}\;$ zastąpić przez $\eta_{\alpha\beta}\;$ w tensorze Einsteina, ponieważ poprawka do tensora metrycznego jest taka, że $|h_{\alpha\beta}|<<1\;$, czyli praktycznie tensor absolutnej przestrzeni czterowymiarowej jest to samo zdefiniowany w przybliżeniu co tensor przestrzeni Minkowskiego. Ale za to w tensorze krzywizny należy zastąpić $g_{\alpha\beta}\;$ tensorem $h_{\alpha\beta}\;$ przy pochodnych, ponieważ dowolna pochodna tensora Minkowskiego jest równa zero, zatem tutaj odgrywa dużą rolę pochodna poprawki do tensora krzywizny, to tensor krzywizny jest:

$R_{\alpha\beta\mu\nu}={{1}\over{2}}\left(h_{\alpha\nu,\beta,\mu}-h_{\nu\beta,\alpha,\mu}-h_{\alpha\mu,\beta,\nu}+h_{\mu\beta,\alpha,\nu}\right)\;$

(5.15)

Ponieważ jak powiedzieliśmy wcześniej tensor przestrzeni absolutnej jest równy tensorowi przestrzeni Minkowskiego, zatem powinno zachodzić po takim zastąpieniu:

$R_{\beta\nu}=\eta^{\alpha\mu}R_{\alpha\beta\mu\nu}\;$

(5.16)

Biorąc te same uwagi, co do tensora dwuwskaźnikowego tensora krzywizny (5.16), skalar Ricciego zapisujemy wedle:

$R=\eta^{\beta\nu}R_{\beta\nu}\;$

(5.17)

Wyznaczmy teraz tensor krzywizny Ricciego mając już napisany czterowskaźnikowy tensor krzywizny (5.15):

$R_{\beta\nu}=\eta^{\alpha\mu}R_{\alpha\beta\mu\nu}= \eta^{\alpha\mu}{{1}\over{2}}\left(h_{\alpha\nu,\beta,\mu}-h_{\nu\beta,\alpha,\mu}-h_{\alpha\mu,\beta,\nu}+h_{\mu\beta,\alpha,\nu}\right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{h_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}-{{h_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{h^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu} \right)\;$

(5.18)

A przybliżony skalar Ricciego liczymy według (5.17), tutaj korzystamy z definicji tensora Ricciego zdefiniowanego w punkcie (5.18):

$R=\eta^{\beta\nu}{{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{h_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}-{{h_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{h^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu} \right)={{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{{h_{\nu}}^{\nu}}_{,\alpha}}^{,\alpha}-{h_{\alpha}^{\alpha,\nu}}_{,\nu}+{h^{\alpha\nu}}_{,\alpha,\nu} \right)\;$

(5.19)

Mając już wszystkie policzone tensory krzywizny (czterowskaźnikowy i dwuwskaźnikowy skalar krzywizny), a także skalar Ricciego, to możemy przejść do dalszych etapów liczenia innych tensorów występujących w ogólnej teorii Einsteina.

Równania Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego

Mamy już wyznaczony tensor krzywizny oraz skalar krzywizny Ricciego, to policzmy teraz tensor Einsteina zdefiniowanej w module (1.37), zastępując w tym tensorze ogólny tensor metryczny tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego, bo tutaj zachodzi warunek (5.1), a ponadto mając warunek na przybliżenie dla poprawki tensora metrycznego dla przestrzeni, w której obowiązuje słabe pola grawitacyjne:

$G_{\beta\nu}=R_{\beta\nu}-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}R=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{h_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}-{{h_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{h^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu} \right)-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}{{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{{h_{\nu}}^{\nu}}_{,\alpha}}^{,\alpha}-{h_{\alpha}^{\alpha,\nu}}_{,\nu}+{h^{\alpha\nu}}_{,\alpha,\nu} \right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{h_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}-{{h_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{h^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu} \right)-{{1}\over{4}}\eta_{\beta\nu}\left( {h_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{{h_{\nu}}^{\nu}}_{,\alpha}}^{,\alpha}-{h_{\alpha}^{\alpha,\nu}}_{,\nu}+{h^{\alpha\nu}}_{,\alpha,\nu} \right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {h_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{h_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}-{{h_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{h^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu} \right)-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}\left( {h_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{{h_{\nu}}^{\nu}}_{,\alpha}}^{,\alpha} \right)\;$

(5.20)

Zdefiniujmy inny nowy tensor w oparciu o poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego h_αβ, który jest częścią ogólnego tensora metrycznego obowiązującej w przestrzeni w ogólnej teorii względności, ale dla słabego pola grawitacyjnego:

$h^{\alpha\beta}=\overline{h}^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}\eta^{\alpha\beta}\overline{h}\;$

(5.21)

Końcowe obliczenia dla tensora Einsteina w słabym polu grawitacyjnym (5.20), korzystając z zależności tensora poprawki do tensora Minkowskiego poprzez nowe tensory, zatem korzystając z (5.21), wtedy nasz tensor Einsteina można zapisać w takim razie w postaci:

$G_{\beta\nu}={{1}\over{2}}\left( {(\overline{h}_{\alpha\nu}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\nu}\overline{h})_{,\beta}}^{,\alpha}-{(\overline{h}_{\nu\beta}-{{1}\over{2}}\eta_{\nu\beta}\overline{h})_{,\alpha}}^{,\alpha}-({{\overline{h}_{\alpha}}^{\alpha}}-{{1}\over{2}}{\eta_{\alpha}}^{\alpha}\overline{h})_{,\beta,\nu}+({\overline{h}^{\alpha}}_{\beta}-{{1}\over{2}}{\eta^{\alpha}}_{\beta}\overline{h})_{,\alpha,\nu}\right)+\;$ $-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}\left( (\overline{h}_{\alpha\nu}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\nu}\overline{h})^{,\nu,\alpha}-({\overline{h}_{\nu}}^{\nu}-{{1}\over{2}}{\eta_{\nu}}^{\nu}{\overline{h})_{,\alpha}}^{,\alpha} \right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {{\overline{h}_{\alpha\nu}}_{,\beta}}^{,\alpha}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\nu}{\overline{h}_{,\beta}}^{,\alpha} -{{\overline{h}_{\nu\beta}}_{,\alpha}}^{,\alpha}+{{1}\over{2}}\eta_{\nu\beta}{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha}-{{\overline{h}_{\alpha}}^{\alpha}}_{,\beta,\nu}+{{1}\over{2}}4\overline{h}_{,\beta,\nu}+{\overline{h}^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu}-{{1}\over{2}}{\delta^{\alpha}}_{\beta}\overline{h}_{,\alpha,\nu} \right)+\;$ $-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}\left( {\overline{h}_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\nu}\overline{h}^{,\nu,\alpha}-{{{\overline{h}_{\nu}}^{\nu}}_{,\alpha}}^{,\alpha}+{{1}\over{2}}4{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha} \right)\;$ $={{1}\over{2}}\left( {\overline{h}_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{{1}\over{2}}\overline{h}_{,\beta,\nu}-{\overline{h}_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}+{{1}\over{2}}\eta_{\nu\beta}{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha}-\overline{h}_{,\beta,\nu}+2\overline{h}_{,\beta,\nu}+{\overline{h}^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu}-{{1}\over{2}}\overline{h}_{,\beta,\nu} \right)\;$ $-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}\left( {\overline{h}_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha}-{{1}\over{2}}{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha}-{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha}+2{\overline{h}_{,\alpha}}^{,\alpha} \right)=\;$ $={{1}\over{2}}\left( {\overline{h}_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{\overline{h}_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}+{\overline{h}^{\alpha}}_{\beta,\alpha,\nu}-\eta_{\beta\nu}{\overline{h}_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha} \right)= \;$ $={{1}\over{2}}\left( {\overline{h}_{\alpha\nu,\beta}}^{,\alpha}-{\overline{h}_{\nu\beta,\alpha}}^{,\alpha}+{{\overline{h}_{\alpha\beta}}^{,\alpha}}_{,\nu}-\eta_{\beta\nu}{\overline{h}_{\alpha\nu}}^{,\nu,\alpha} \right) \;$

(5.22)

Wzór na tensor metryczny Einsteina (5.22) dla słabego pola grawitacyjnego jest tensorem bardzo skomplikowanym, więc wprowadźmy pewne cechowanie, które wprowadzimy później w tym module.

Klasa funkcji cechowań Lorentza dla słabego pola grawitacyjnego

Wzór na tensor Einsteina jest wzorem bardzo skomplikowanym, więc przydało by się go uprościć do najprostszej postaci, w tym celu wprowadzimy pewną klasę cechowań, w którym ten tensor spełnia owe warunki i udowodnimy, że jeśli takie cechowanie istnieje to istnieje układ współrzędnych spełniających to cechowanie.

Weźmy sobie równanie (5.21) i podstawmy do niego tożsamość (5.13), ale najpierw przekształcając go do postaci podwójnie kowariantnej:

${\overline{h}^'}_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\beta}\overline{h}^'={\overline{h}}_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\beta}\overline{h}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}\Rightarrow {\overline{h}^'}_{\alpha\beta}={\overline{h}}_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}+{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\beta}\left(\overline{h}^'-\overline{h}\right)\;$

(5.23)

Z własności (5.21) wyznaczmy ślad poprawki h_αβ do tensora metrycznego Minkowskiego. Zatem na podstawie poniższych obliczeń jest on równy skalarowi $\overline{h}\;$ z minusem.

$h={h^{\alpha}}_{\alpha}={\overline{h}^{\alpha}}_{\alpha}-{{1}\over{2}}{\delta^{\alpha}}_{\alpha}\overline{h}=\overline{h}-{{1}\over{2}}4\overline{h}=-\overline{h}\Rightarrow h=-\overline{h}\;$

(5.24)

Wtedy równość (5.23) (ostatni wyraz), na podstawie końcowego wyniku wynikowego (5.24) przy wykorzystaniu własności (5.13), zapisujemy:

${\overline{h}^'}_{\alpha\beta}={\overline{h}}_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\beta}\left({h^'}-h\right)= {\overline{h}}_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}-{{1}\over{2}}\eta_{\alpha\beta}\left( -{\xi^{\mu}}_{\mu}-{\xi^{\mu}}_{\mu} \right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow{\overline{h}^'}_{\alpha\beta}={\overline{h}}_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}+\eta_{\alpha\beta}{\xi^{\mu}}_{\mu}\;$

(5.25)

Stosować będziemy definicję operatora d'Alemberta, zapisanej za pomocą drugich zupełnych pochodnych względem czasu i względem współrzędnych położenia:

$\square=-{{\partial^2}\over{c^2\partial t^2}}+\nabla^2\;$

(5.26)

Napiszmy pewną tożsamość, korzystając z definicji tensora metrycznego Minkowskiego i operatora d'Alemberta (5.26), która będzie nam później potrzebna:

${f^{,\alpha}}_{,\alpha}={{\partial}\over{\partial x^{\mu}}}\eta_{\mu\nu}{{\partial}\over{\partial x^{\nu}}}f=\left({{\partial^2}\over{c^2\partial t^2}}-\nabla^2\right)f=-\square f\;$

(5.27)

Wtedy równanie (5.25) działamy pochodną cząstkową względem zmiennej o wskaźniku $\beta\;$ obustronnie, korzystając z tożsamości (5.27), możemy napisać:

${{\overline{h}^'}^{\alpha\beta}}_{,\beta}={{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\alpha,\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\beta,\alpha}}_{,\beta}+\eta^{\alpha\beta}{\xi^{\mu}}_{,\mu,\beta}\Rightarrow {{\overline{h}^'}^{\alpha\beta}}_{,\beta}={{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\alpha,\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\beta,\alpha}}_{,\beta}+\eta^{\alpha\beta}{{\xi^{\mu}}_{,\mu}}^{,\alpha}\;$ ${{\overline{h}^'}^{\alpha\beta}}_{,\beta}={{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\alpha,\beta}}_{,\beta}\Rightarrow {{\overline{h}^'}^{\alpha\beta}}_{,\beta}={{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}+\square\xi^{\alpha} \;$

(5.28)

Obierzmy sobie nowy układ współrzędnych, w których zawsze zachodzi wyrażenia poniżej przy naszym cechowaniu, którego to wyrażenie tożsamościowo jest równe zero:

${{\overline{h}^'}^{\alpha\beta}}_{,\beta}= 0\;$

(5.29)

Jeśli powyższe cechowanie zawsze zachodzi, to ono jest prawdziwe bez względu na punkt, w którym spełnione jest to cechowanie, czyli każda następna pochodna cząstkowa lewej strony (5.29) daje nam zawsze wartość zerową. Równanie (5.28) na podstawie cechowania (5.29) przyjmuje postać:

$0={{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}-{\xi^{\alpha,\beta}}_{,\beta}\Rightarrow {{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}=-\square\xi^{\alpha}\;$

(5.30)

Końcowe równanie (5.30) jest rozwiązaniem w postaci $g=\square f\;$, którego dla określonego g istnieje zawsze rozwiązanie f, ale f nie jest jedynym rozwiązaniem, które to równanie spełnia. W rzeczywistości możemy obrać taką tensorową funkcję $\eta^{\alpha}\;$, by ono spełniało równanie jednorodne:

$\square \eta^{\mu}=0\;$

(5.31)

wtedy rozwiązanie końcowe (5.30) na podstawie równania jednorodnego (5.31) można napisać:

${{\overline{h}}^{\alpha\beta}}_{,\beta}=-\square\left(\eta^{\alpha}+\xi^{\alpha}\right)\;$

(5.32)

Wedle (5.32), cechowanie prowadzi do klasy funkcji cechowań, które spełniają w ogólności wspomniane równanie, i to tej klasy nie należy tylko jedna funkcja, ale tych funkcji jest nieskończenie wiele. Zatem, jeśli mamy pewien układ współrzędnych, w którym istnieje słabe pole grawitacyjne, to można zawsze wybrać układ współrzędnych, w którym spełnione jest cechowanie (5.29), ponieważ zawsze można znaleźć taki tensor $\xi^{\alpha}\;$, których jest nieskończenie wiele spełniających równanie tensorowe różniczkowe napisane ostatnio.

Tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego przy wybranym cechowaniu

Prowadźmy cechowanie dla słabego pola grawitacyjnego w tensorze Einsteina w końcowej równości (5.22), bo jak powiedzieliśmy na podstawie poprzedniego podrozdziału zawsze istnieje układ współrzędnych, w których jest spełnione cechowanie:

${\overline{h}_{\alpha\nu}}^{,\nu}=0\;$

(5.33)

który jest równoważny cechowaniu (5.29) z własności przestrzeni Minkowskiego. Tensor Einsteina (5.22) w oparciu o przyjęciu cechowania wedle (5.33), i biorąc poczynione uwagi dla cechowania w nowym układzie współrzędnych, którego istnieje (5.32), upraszcza się on do postaci:

$G_{\beta\nu}=-{{1}\over{2}}{\overline{h}_{\beta\nu,\alpha}}^{,\alpha}\;$

(5.34)

Dla sygnatury tensora metrycznego obowiązującej w szczególnej teorii względności jednej z dwóch, ale w tym książce obowiązuje sygnatura dla η_αβ, tzn.: (1,-1,-1,-1), wtedy wyrażenie (5.34) możemy przedstawić wedle sposobu (5.27):

$G_{\beta\nu}=-{{1}\over{2}}\left({{\partial^2}\over{c^2\partial t^2}}-\nabla^2\right)\overline{h}_{\beta\nu}\Rightarrow G_{\beta\nu}={{1}\over{2}}\square \overline{h}_{\beta\nu}\;$

(5.35)

Jest to ogólny tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego, które stosujemy, gdy zaburzenie tensora metrycznego do tensora Minkowskiego jest nad wyraz małe.

Wyznaczanie stałej κ w równaniach grawitacji Einsteina

Jeśli mamy definicję tensora h_αβ poprzez tensor $\overline{h}\;$ w definicji (5.21), to wtedy podwojony element podwójnie kowariantny wspomnianego tensora, czyli h₀₀ jest równy tensorowi $\overline{h}_{00}\;$

$h_{00}=\overline{h}_{00}-{{1}\over{2}}\overline{h}=\overline{h}_{00}-{{1}\over{2}}\overline{h}_{00} \Rightarrow 2h_{00}=\overline{h}_{00}\;$

(5.36)

Stosując powyższą definicję $\overline{h}_{00}\;$(5.36), to nasz tensor Einsteina (5.35) dla wskaźników podwójnie kowariantnych zerowych jest w postaci:

$G_{00}=\square{h_{00}}\;$

(5.37)

Zastosujmy przybliżenia, że c^-2<<1, mamy wtedy że $\square\simeq \nabla^2\;$, zatem tensor Einsteina (5.37) zapisujemy wedle sposobu poniżej, który nie zależy od pochodnych względem czasu:

$G_{00}=\nabla^2h_{00}\;$

(5.38)

Ale z drugiej jednak strony wedle obliczeń dla (1.16) i wedle (5.1) dla (5.2), wtedy poprawka h₀₀ do tensora metrycznego Minkowskiego jest zapisywana wedle schematu:

$g_{00}=1+{{2\varphi}\over{c^2}}\Rightarrow h_{00}={{2\varphi}\over{c^2}}\;$

(5.39)

Tensor Einsteina ostatecznie dla dolnych zerowych wskaźników stosując (5.39) do (5.38), to wtedy jego przedstawienie można zapisać:

$G_{00}={{2}\over{c^2}}\nabla^2\varphi\;$

(5.40)

Sygnaturę tensora metrycznego η_αβ, jeśli mamy $(-1,1,1,1)\;$, to również otrzymamy taką samą postać jak powyżej równania na tensor Einsteina G₀₀, ale tym razem wziętych z minusem, które zależy od potencjału skalarnego grawitacji dla słabych pól grawitacyjnych.

Z prawa Gausa dla grawitacji, co można udowodnić, ale my to zapiszemy bez dowodu:

$\nabla^2\varphi=4\pi G\rho\;$

(5.41)

Wyrażenie (5.41) możemy podstawić do wzoru na tensor Einsteina o zerowych wskaźnikach (5.40):

$G_{00}={{2}\over{c^2}}4\pi G\rho\Rightarrow G_{00}={{8\pi G\rho}\over{c^2}}\;$

(5.42)

Tensor gęstości napięć-energii (1.44) będziemy obliczać dla wskaźników zerowych dla prędkości dążących do zera, a więc dla prędkości, które są o wiele mniejsze od prędkości światła i dla zaniedbywalnego ciśnienia (p=0), ale ponieważ zachodzi ds=cdt, dla interwału czasoprzestrzennego i $x_{0}=x^{0}\;$, co jest słuszne dla słabego pola grawitacyjnego:

$T_{00}=T^{00}\eta_{00}\eta_{00}=T^{00}=\rho c^2u^0u^0=\rho c^2\;$

(5.43)

Mając równania Einsteina (1.51), ale stosując go dla dolnych wskaźników zerowych, czyli łącząc (5.42) z (5.43) i zaniedbując stałą kosmologiczną, wedle naszego równania grawitacji Einsteina dostajemy wzór:

${{8\pi G\rho}\over{c^2}}=\kappa \rho c^2\;$

(5.44)

Ponieważ mamy do czynienia z gęstościami materii o niezerowej wartości, zatem stała κ po podzieleniu równania (5.44) przez ρ jest równa:

$\kappa={{8\pi G}\over{c^4}}\;$

(5.45)

Widzimy, że stała proporcjonalności κ (5.45) w prawie grawitacji Einsteina zależy tylko od stałych fizycznych, tzn. prędkości światła "c" i stałej grawitacyjnej "G" występującej w prawie grawitacji Newtona.

Ogólne równania pola wedle równań Einsteina ze stałą kosmologiczną

Otrzymaliśmy zatem, że równania Einsteina wedle (1.51) z dodatkiem o stałą kosmologiczną przyjmują postać:

$G_{\alpha\beta}+\Lambda g_{\alpha\beta}={{8\pi G}\over{c^4}}T_{\alpha\beta}\;$

(5.46)

Co w postaci bezwskaźnikowej powyższe równania (5.46) i ze względu, że one są to równania tensorowe można je zapisać:

$\mathbf{G}+\Lambda\mathbf{g}={{8\pi G}\over{c^4}}\mathbf{T}\;$

(5.47)

Powyższe równanie tensorowe nazywamy równaniem grawitacji Einsteina, jak widzieliśmy stałą κ, która jest również słuszna dla słabego pola grawitacyjnego wyprowadziliśmy właśnie mając na myśli słabe pola grawitacyjne i w przybliżeniu dla prędkości o wiele mniejsze od prędkości światła, i w ten sposób wyprowadziliśmy równania Einsteina dla wszystkich pół grawitacyjnych, tzn. dla słabych i silnych pól grawitacyjnych.

Metryka dla słabego pola grawitacyjnego

Naszym celem jest wyznaczenie interwału czasoprzestrzennego, dla słabych pól grawitacyjnych. Otrzymaliśmy, że równania dla słabego pola grawitacyjnego na podstawie zależności między poprawką do tensora metrycznego Minkowskiego dla pól słabych grawitacyjnych przy definicji tensora Einsteina dla tych pól (5.35), to równania dla tych pól (1.51) zapisujemy jako:

$\underbrace{{{1}\over{2}}\square\overline{h}_{\beta\nu}}_{G^{\beta\nu}}=\kappa T_{\beta \nu}\;$

(5.48)

Stacjonarne słabe pole grawitacyjne a poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego

Biorąc, że nasze pole jest stacjonarne nie zależy od czasu czyli pochodne czasowe w (5.48), są równe zero, zatem owe równanie dla miejsc w których nie ma masy, a ciśnienie jest zaniedbywalne, przejawia się w postaci:

$\nabla^2\overline{h}_{\beta\nu}=0\;$

(5.49)

Można udowodnić, że powyższe równanie ma rozwiązanie w zależności od stałego tensora A^μν:

$\overline{h}_{\beta\nu}={{A_{\beta\nu}}\over{r}}\;$

(5.50)

Stosując warunek cechowania (5.33) względem równania (rozwiązania) tensorowego, czyli biorąc pochodną poprawki do tensora Minkowskiego względem współrzędnych przestrzennych, otrzymujemy:

$0={\overline{h}^{\mu\nu}}_{,\nu}={{A^{\alpha i}x_i}\over{r^3}}\;$

(5.51)

Stała tensorowa A^αβ jest z oczywistych powodów niezależna od czasu w powyższym równaniu, co zostało zastosowane, ponieważ rozpatrujemy rozwiązania stacjonarne $\overline{h}_{\beta\nu}\;$ równania grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego. Aby równanie tensorowe (5.51) było tożsamościowo równe zero, to musi być spełniony warunek:

$A^{\alpha i}=0\;$

(5.52)

Ale ponieważ stała A^α0 nie zależy od czasu jak zakładaliśmy, tzn. zachodzi warunek 0=A^{α 0}_,0, dochodzimy więc do wniosku, że A^α0≠0. Ponieważ zachodzi symetryczność między tensorami A^βν, tzn.: A^βν=A^νβ, to jedynym tensorem, który jest nie równy zero dla A⁰⁰, bo x_i jest dowolne i z własności przestrzeni Minkowskiego dla tensora podwójnie kowariantnego jedynym tensorem, który jest nie równy zero, to A₀₀. Zatem udowodniliśmy, że jedynym niezerowym tensorem dla (5.51) wedle (5.52) jest element tensora:

$\overline{h}_{00}={{A_{00}}\over{r}}\;$

(5.53)

Gdy mamy ciało jako źródło grawitacji, które jest prawie punktowe i nieporuszające się (zerowy element czterowektora prędkości jest równy zero) i w tym punkcie, w którym znajduje się ciało o masie M panuje zaniedbywalnie ciśnienie, to jego tensor gęstości energii spełnia warunek:

$T_{00}=T^{00}\eta_{00}\eta_{00}=T^{00}=\rho c^2 u^0u^0- \eta^{00}p=\rho c^2=\underbrace{M\delta^3(\vec{r})}_{\rho}c^2=Mc^2\delta^3(\vec{r})\Rightarrow$ $\Rightarrow T_{00}=Mc^2\delta^3(\vec{r})\;$

(5.54)

Wykorzystajmy wzór na grawitację Einsteina (1.51) przy stałej κ równej (5.45), i niech całkowanie objętościowe będzie po kuli, a całkowanie powierzchniowe po sferze należącym do tej kuli, zatem dla współczynników zerowych podwójnie dolnych tensora Einsteina mamy:

$G_{00}={{1}\over{2}}\nabla^2{{A_{00}}\over{r}}\Rightarrow \int G_{00}dV={{1}\over{2}}\int \nabla^2{{A_{00}}\over{r}}dV={{1}\over{2}}\int \nabla{{A_{00}}\over{r}}d\vec{S}=-{{A_{00}}\over{2}}\int{{\vec{r}}\over{r^3}}d\vec{S}=\;$ $= -{{A_{00}}\over{2}}\int_{S}{{1}\over{r^2}}dS=-{{A_{00}}\over{2}}{{1}\over{r^2}}4\pi r^2=-2\pi A_{00}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \int G_{00}dV=-2\pi A_{00}\Rightarrow G_{00}=-2\pi A_{00}\delta^3(\vec{r})$

(5.55)

To możemy napisać na podstawie prawa grawitacji (1.51) i definicji tensora Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych, a właściwie dla jej dolnych wskaźników zerowych (5.55):

$G_{00}=\kappa T_{00}\Rightarrow -2\pi A_{00}\delta^3(\vec{r})={{8\pi G}\over{c^4}}Mc^2\delta^3(\vec{r})\Rightarrow A_{00}=-{{4GM}\over{c^2}}\;$

(5.56)

Na podstawie obliczeń dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla (5.50) przy niezerowej stałej tensorowej A⁰⁰, korzystając z definicji potencjału grawitacyjnego dla pola grawitacyjnego klasycznego, mamy:

$\varphi=-{{GM}\over{r}}\;$

(5.57)

zatem (5.50) przy definicji A₀₀ (5.56), wykorzystując definicję potencjału skalarnego grawitacyjnego (5.57), i podstawiając do wzoru na $_{\overline{h}_{00}}\;$, dostajemy:

$\overline{h}_{00}=-{{4GM}\over{c^2r}}={{4\varphi}\over{c^2}}\;$

(5.58)

Widzimy, że w powyższym wzorze jedynym niezerowym elementem tensora $_{\overline{h}^{\mu\nu}}\;$ jest element zależny od potencjału skalarnego grawitacyjnego, który jest opisany w grawitacji wedle jej przestawienia klasycznego (dla słabego pola grawitacyjnego) w sposób (5.58).

Interwał czasoprzestrzenny słabego pola grawitacyjnego Newtona

Powyższe równanie jest spełnione, gdy odległość od masy punktowej jest bardzo duża, praktycznie nieskończona, gdy odległość jest w miarę duża, to potencjał grawitacyjny ma się jak według teorii Einsteina, nie Newtona, wykorzystując (5.58) wiedząc, że zachodzi $\overline{h}_{ii}=0\;$ , a także (5.52) i (5.50), wtedy możemy powiedzieć:

$\overline{h}={\overline{h}^{\mu}}_{\mu}={\overline{h}^0}_0+{\overline{h}^i}_i={\overline{h}^0}_0=\overline{h}_{00}\;$

(5.59)

zatem możemy napisać na podstawie (5.59), a także z tożsamości (5.36), której poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego, a właściwie względem jej podwójnie dolnych elementów zerowych h₀₀ jest wyrażona przy pomocy potencjału grawitacyjnego wedle:

$\overline{h}=\overline{h}_{00}=2h_{00}={{4\varphi}\over{c^2}}\;$

(5.60)

Korzystając z powyższych wniosków, a także z tego, że$\overline{h}_{ii}\;$ jest równe zero, co uzyskaliśmy w poprzednim rozdziale na podstawie cechowania (5.33), zatem można powiedzieć:

$h_{33}=h_{22}=h_{11}=\overline{h}_{11}-{{1}\over{2}}\eta_{11}\overline{h}= 0-1{{1}\over{2}}(-1){{4\varphi}\over{c^2}}={{2\varphi}\over{c^2}}\;$

(5.61)

Składniki tensora metrycznego mają się jak dla pozostałych wskaźników tensora metrycznego dla słabego pola grawitacyjnego:

$g_{ii}=-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\;$

(5.62)

Możemy wykorzystać definicję tensora dla wskaźników dolnych zerowych wedle (1.16) oraz to, że elementy tensora metrycznego dla współrzędnych przestrzennych są (5.62), wtedy interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego zapisujemy:

$ds^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2+\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)\;$

(5.63)

Po krótkich przekształceniach w (5.63) możemy napisać wzór jako równoważny do poprzedniego:

$ds^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)\;$

(5.64)

Dla słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że potencjał skalarny zapisujemy wedle (5.57), wobec tego interwał czasoprzestrzenny (5.64) wedle definicji potencjału skalarnego pola grawitacyjnego wspomnianego wcześniej wygląda:

$ds^2=\left(1-{{2GM}\over{c^2r}}\right)c^2dt^2-\left(1+{{2GM}\over{c^2r}}\right)\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)\;$

(5.65)

Z powyższego równania interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak interwał czasoprzestrzenny Minkowskiego, tzn. gdy φ<<c², czyli wtedy można stosować szczególną teorię względności.

Pola grawitacyjne stacjonarne od odległych źródeł relatywistycznych

Tensor Einsteina (1.37) dla pól grawitacyjnego, korzystając ze wzoru (5.1), wygląda:

$G_{\beta\nu}=R_{\beta\nu}-{{1}\over{2}}g_{\beta\nu}R=R_{\beta\nu}-{{1}\over{2}}(\eta_{\beta\nu}+h_{\beta\nu})R=R_{\beta\nu}-{{1}\over{2}}\eta_{\beta\nu}R+O(r^{-2})\;$

(5.66)

Powyżej skorzystaliśmy, że η_αβ, to tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego, a h_αβ, to poprawka do tensora przestrzeni Minkowskiego, tak by nasza przestrzeń, była lekko zakrzywiona, podobna do przestrzeni płaskiej Minkowskiego z poprawką O(r^-2) przedstawiona dla elementu tensora metrycznego o wskaźnikach zerowych:

$g_{00}=1+{{2\varphi}\over{c^2}}+O(r^{-2})=1-{{2GM}\over{c^2r}}+O(r^{-2})\;$

(5.67)

dla elementów tensora metrycznego dla macierzy diagonalnej o podwójnie i-tych (przestrzennych) wskaźnikach:

$g_{ii}=-1+{{2\varphi}\over{c^2}}+O(r^{-2})=-1-{{2GM}\over{c^2r}}+O(r^{-2})\;$

(5.68)

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego dla dużej odległości od źródła relatywistycznego, znając już elementy tensora metrycznego, tzn. (5.67) i (5.68), dla której kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego przedstawiamy wedle sposobu (1.3), przedstawia się:

$ds^2=\left(1-{{2GM}\over{c^2r}}+O(r^{-2})\right)c^2dt^2-\left(1+{{2GM}\over{c^2r}}+O(r^{-2})\right)(dx^2+dy^2+dz^2)\;$

(5.69)

Widzimy, że dla dużych odległości od źródła relatywistycznego interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak dla zwykłych źródeł (5.65), czyli dla słabych pól grawitacyjnych.

Fizyka w zakrzywionych czasoprzestrzeniach

Tutaj będziemy rozpatrywać czy równania grawitacji Einsteina (Ogólnej teorii względności) przechodzą w równania Newtona. Jaki jest warunek zachowawczy dla pól grawitacyjnych, oraz czy wzór na energię całkowitą w przybliżeniu małych pól i małych pędów, czy przechodzi na energię cząstki w polu grawitacyjnym znanego z mechaniki klasycznej.

Fizyka w słabych stacjonarnych polach grawitacyjnych

Teraz będziemy rozpatrywać metrykę w słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach, które wcześniej wyznaczyliśmy dla słabych pól grawitacyjnych Newtonowskich, którego interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego jest już wyznaczony i jest w postaci (5.65), nasz rozważany interwał jest zależny o potencjału skalarnego pola Newtowskiego. Stosując definicję czterowektora prędkości, którą w ogólnej teorii względności tak samo zapisujemy jak szczególnej teorii względności, tylko że w tym pierwszym przypadku interwał czasoprzestrzenny jest ściśle określany, i zapisujemy go wedle sposobu (1.7). Różniczka interwału czasoprzestrzennego występującego w pochodnej przy definicji czterowektora prędkości jest zdefiniowany tak by kwadrat był zdefiniowany wedle sposobu (1.3), wtedy możemy napisać część przestrzenna czteroprędkości przy pomocy pochodnej względem czasu:

$u^{i}={{dx^{i}}\over{dt}}{{dt}\over{ds}}$

(6.1)

Naszą metrykę (5.65) przedstawiamy wyłączając przed pierwiastek wyrażenie cdt w naszej różniczce interwału czasoprzestrzennego, którego czas t jest liczony w sekundach:

$ds=cdt\sqrt{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}}$

(6.2)

Pochodna czterowektora położenia dla współrzędnych przestrzennych w naszej rozważanej metryce jest:

$u^{i}=v^i{{dt}\over{cdt\sqrt{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}}}}={{v^i}\over{c}}\left(\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)- \left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}$

(6.3)

Części przestrzenna czterowektora prędkości są równa zero, bo zachodzi v<<c dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, wtedy wyrażenie w nawiasie w (6.3) dla słabych pól grawitacyjnych jest równe zero. Cześć czasowa czterowektora prędkości przybliżeniu jest równa jeden:

$u^0={{dx^0}\over{ds}}={{dx^0}\over{dt}}{{dt}\over{ds}}\simeq{{cdt}\over{dt}}{{dt}\over{cdt}}=1$,a także $u^i\simeq 0$, bo ${{v}\over{c}}<<1$

(6.4)

co to wynika z wyrażenia na uⁱ opisanej powyżej dla słabych pól grawitacyjnych, ale też musi być spełnione: $_{{{\varphi}\over{c^2}}<<1}$, aby prędkość zerowa czerowektora prędkości była równa w przybliżeniu jeden. Z własności prędkości w czterowektorze, można udowodnić, że można pominąć prędkości dla μ≠ 0, rozważyć tylko będziemy przypadek μ=0, dla którego u⁰≈1, stąd drugi wyraz w równaniu na linie geodezyjne na ruch po stycznej można przedstawić:

${\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}={\Gamma^{\mu}}_{00}u^0u^0= {\Gamma^{\mu}}_{00}$

(6.5)

Na podstawie (6.5) równanie ruchu cząstki po stycznej wedle równania na linie geodezyjne (1.74) jest wyrażone:

${{du^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}\Rightarrow {{du^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{00}=0$

(6.6)

To co nam pozostało do policzenia w równaniu (6.6) jest policzenie elementów tensora Christoffela, tzn. elementów Γ^μ₀₀. Tutaj policzymy najpierw Γ⁰₀₀, i dalej elementy tensora Γⁱ₀₀. Policzmy tensor Christoffera dla μ=0, a więc:

${\Gamma^0}_{00}={{1}\over{2}}g^{00}\left(g_{00,0}+g_{00,0}-g_{00,0}\right)={{1}\over{2}}g^{00}g_{00,0}$

(6.7)

Według naszej metryki (5.63), mamy składowe tylko diagonalne tensora metrycznego dla omawianego słabego pola grawitacyjnego Newtonowskiego, dzięki którego elementy tensora metrycznego tworzą interwał czasoprzestrzenny opisującego słabe pole Newtonowskie (5.65):

$g_{00}=1+{{2\varphi}\over{c^2}}\;$ (6.8)

$g_{ij}=\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\delta_{ij}$ (6.9)

Ogólnie mówiąc pochodna tensora metrycznego względem x^μ dla metryki newtonowskiej obowiązującego w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla wszystkich jego składowych, piszemy:

$g_{\alpha\beta,\mu}={{2}\over{c^2}}\varphi_{,\mu}\delta_{\alpha\beta}$

(6.10)

Elementy odwrotne tensora metrycznego liczymy podobnie jak w punkcie (6.8) i (6.9), które potrzebne będą nam do policzenia elementów tensora Christoffela wraz z elementami tensora prostego metrycznego:

$g^{00}=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\;$ (6.11)

$g^{ij}=\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\delta^{ij}$ (6.12)

Tensor Christoffera dla wszystkich wskaźników zerowych w tym tensorze (6.7) po wykorzystaniu policzonego elementu tensora metrycznego odwrotnego też o zerowych wskaźnikach (6.11), a także na podstawie policzonego elementu tensora prostego metrycznego zapisane w punkcie (6.8), możemy napisać:

${\Gamma^0}_{00}={{1}\over{2}}\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}{{2}\over{c^2}}\varphi_{,0}= {{\varphi_{,0}}\over{c^2+2\varphi}}= {{\varphi_{,0}}\over{c^2}}= {{\partial\varphi}\over{\partial x_0}}{{1}\over{c^2}}= {{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}}={{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}}$

(6.13)

Dla małych prędkości względem prędkości światła, wykorzystując wzór (6.6) w czasoprzestrzeni prawie płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego dla wskaźnika μ zerowego, można napisać tożsamość na linie geodezyjne:

${{du^0}\over{ds^2}}+{\Gamma^0}_{00}=0$

(6.14)

Mnożymy równanie (6.14) obustronnie przez m₀c i wykorzystując definicję czterowektora pędu (1.8) poprzez czterowektor prędkości, otrzymujemy:

${{dp^0}\over{ds^2}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c$

(6.15)

Następnie wyrażamy czteropęd cząstki, o zerowej współrzędnej kontrawariantnej względem jej energii, i korzystając że tensor kowariantny jest równy tensorowi kontrwariantnemu, bo zachodzi dla słabych pól grawitacyjnych (pól Newtonowskich):

$p^0=p_0g^{00}={{p_0}\over{1+{{2\varphi}\over{c^2}}}}\simeq p_0\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\simeq p_0={{E}\over{c}}\Rightarrow p^0\simeq {{E}\over{c}}$

(6.16)

Mając definicję tensora pędu o zerowej współrzędnej kontrawariantnej czterowektora pędu poprzez energii cząstki (6.16), która ta tożsamość zachodzi w przybliżeniu, podstawiamy go do równania (6.15) i mnożąc jednocześnie go przez prędkość światła "c", otrzymujemy:

${{dE}\over{ds}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c^2$

(6.17)

Dla płaskiej przestrzeni dla prędkości nierelatywistycznych, zachodzi ds=cdt w przybliżeniu na podstawie definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (6.2):

${{dE}\over{dt}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c^3$

(6.18)

Podstawiając w równaniu (6.18) za element tensora Christoffera (6.13) i w rezultacie otrzymujemy:

${{dE}\over{dt}}=-{{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}} m_0 c^3$

(6.19)

Dokonując pewnych przekształceń w równaniu (6.19) uniezależniamy się od prędkości światła w prawej stronie wspomnianego wcześniej równania, czyli po pewnych skróceniach dostajemy tożsamość:

${{dE}\over{dt}}=-m_0{{\partial\varphi}\over{\partial t}}$

(6.20)

Powyższe równanie mówi, o ile pole grawitacyjne (wielkość skalarnego potencjału słabego pola grawitacyjnego) nie zależy od czasu, to energia całkowita (mechaniczna) cząstki jest zachowana.

Następnym naszym krokiem jest policzenie następnych elementów o wskaźniku dolnych niezerowych, która jest jednym ze składowych tensora Chrostoffela, tzn. dla 0≠μ=i, przy czym należy pamiętać, że metryka dla słabego pola grawitacyjnego jest taka, w której występują tylko diagonalne elementy tensora metrycznego, a więc:

${\Gamma^i}_{00}={{1}\over{2}}g^{ij}(g_{j0,0}+g_{0j,0}-g_{00,j})=-{{1}\over{2}}g^{ij}g_{00,j} \Rightarrow{\Gamma^i}_{00}=-{{1}\over{2}}\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}{{2}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}={{1}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}$

(6.21)

Poniżej mamy równanie na linie geodezyjne po którym poruszało się ciało, czyli korzystając z równania tensorowego (6.6) dla wskaźników dolnych przestrzennych tensora Christoffera:

${{du^i}\over{ds}}=-{\Gamma^i}_{00}$

(6.22)

Równość (6.22), z definicji czterowektora pędu dla współrzędnych przestrzennych (1.8) zdefiniowanych poprzez czterowektor prędkości, zapisujemy:

${{dp^i}\over{ds}}=-{\Gamma^i}_{00}m_0 c$

(6.23)

Dla prędkości nierelatywistycznych oczywiste jest, że w przybliżeniu mamy dla słabego pola grawitacyjnego, że ds≈c dt, jednocześnie możemy pomnożyć obustronnie równanie (6.23) przez prędkość światła w próżni "c":

${{dp^i}\over{dt}}=-{\Gamma^i}_{00}m_0 c^2$

(6.24)

Podstawiając do (6.24) policzony tensor Γⁱ₀₀ (6.21), wtedy otrzymujemy równanie ruchu w zależne od rozkładu potencjału skalarnego pola grawitacyjnego w przestrzeni.

${{dp^i}\over{dt}}=-{{1}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}m_0 c^2$

(6.25)

Po pewnych skróceniach w równaniu (6.25) likwiduje się zależność od prędkości światła z prawej stronie wspomnianego równanie, wtedy to nasze równanie ruchu cząstki przyjmuje kształt:

${{dp^i}\over{dt}}=-m_0\varphi_{,j}\delta^{ij}$

(6.26)

Jeśli oznaczymy jako energię potencjalną cząstki przez oznaczenie zależne od jej potencjału grawitacyjnego i jej masy spoczynkowej, czyli od energii potencjalnej ciała o masie m₀ E_p=φ m₀, to z własności pochodnej cząstkowej, można zapisać prawą stronę (6.26) bez minusa:

$m_0\varphi_{,j}=(m_0\varphi)_{,j}={{\partial E_p}\over{\partial x^j}}$

(6.27)

To mamy równanie ruchu, które jest zależne od gradientu energii potencjalnej, które opisuje ruch naszego ciała w potencjalnym skalarnym polu grawitacyjnym, wtedy równanie (6.26) przy zachodzącej tożsamości (6.27) zapisujemy:

${{dp^i}\over{dt}}=-{{\partial E_p}\over{\partial x^j}}\delta^{ij}$

(6.28)

Widzimy, że jest to pewna forma równania ruchu cząstki w zależności współrzędnej pędu i rozkładu pola grawitacyjnego. Lewa strona jest równaniem Newtona, a prawa jest siłą pola grawitacyjnego w danym punkcie przestrzeni trójwymiarowej. Przy czym należy pamiętać że składowe kowariantne i kontrkowariantne w metryce euklidesowej są nierozróżnialne, bo g_ij≈ 1δ_ij, dla słabych pól grawitacyjnych. Wstawiając za definicja gradientu, to powyższe równanie ruchu można przedstawić w postaci:

${{d\vec{p}}\over{dt}}=-\operatorname{grad}E_p$

(6.29)

Dla naszych rozważanych prędkości, pęd cząstki można opisać wzorem dla przypadku nierelatywistycznego pⁱ=m₀ vⁱ, a także jego przyspieszenie $_{\vec{a}={{d\vec{v}}\over{dt}}}\;$, ostatecznie otrzymujemy najprostszą postać równania ruchu cząstki w polu potencjalnym sił grawitacyjnych.

$m_0\vec{a}=-\operatorname{grad}E_p$

(6.30)

Powyższe równanie można przedstawić jako dwa równania, pierwsze jako druga zasada dynamiki Newtona, a drugie opisujące siły grawitacyjne w polu skalarnym sił grawitacyjnych poprzez potencjał grawitacyjny φ:

$\vec{F}=m_0\vec{a}$ (6.31)

$\vec{F}=-\operatorname{grad}E_p=-m_0\operatorname{grad}\varphi$ (6.32)

Udowodniliśmy, że dla ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla prędkości nierelatywistycznych ogólna teoria względności sprowadza się do drugiego prawa Newtona i teorii grawitacji Newtona.

Zachowawczy charakter wielkości fizycznych

Skorzystajmy z równania na linie geodezyjne w pewnej czasoprzestrzeni i równocześnie na równanie ruchu cząstki masowej (1.81) mnożąc to równanie przez wyrażenie (m₀c)² i po z korzystaniu z definicji czterowektora pędu (1.8), wtedy dostajemy równość tensorową:

$m_0c{{dp_{\alpha}}\over{ds}}-{\Gamma^{\gamma}}_{\alpha\beta}p^{\beta}p_{\gamma}=0\;$

(6.33)

Zajmijmy się odjemnikiem występującej w równaniu na linię geodezyjne zapisanej za pomocą czterowektora pędu w powstałym równaniu (6.33) przekształcając ten wyraz:

${\Gamma^{\gamma}}_{\alpha\beta}p^{\beta}p_{\gamma}= {{1}\over{2}}g^{\gamma\mu}(g_{\alpha\mu,\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\beta,\mu})p^{\beta}p_{\gamma}= {{1}\over{2}}(g_{\alpha\mu,\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\beta,\mu})p^{\beta}p^{\mu}=$ $={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu,\beta}p^{\beta}p^{\mu}+g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}-g_{\alpha\beta,\mu}p^{\beta}p^{\mu}\right)= {{1}\over{2}}\left( g_{\alpha\beta,\mu}p^{\mu}p^{\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}-g_{\alpha\beta,\mu}p^{\beta}p^{\mu} \right)=$ $={{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}$

(6.34)

Na podstawie obliczeń (6.34) dla drugiego wyrazu występującego w równaniu tensorowym (6.33), wtedy równanie na linie geodezyjne zapisujemy przy pomocy czteropędu i pewnej pochodnej cząstkowej elementu tensora metrycznego:

$m_0c{{dp_{\alpha}}\over{d s}}-{{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}=0$

(6.35)

Stąd równanie (6.35) można zapisać w innej równoważnej postaci przenosząc drugi wyraz w rozważanym równaniu na jego prawą stronę:

$m_0c{{dp_{\alpha}}\over{d s}}={{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}$

(6.36)

Można stąd wywnioskować wedle równania (6.36), że jeśli jakieś elementy tensora metrycznego dla ciała poruszającego się wzdłuż jakieś ściśle określonej trajektorii nie zależą od jakieś współrzędnej x^α, wtedy wielkość p_α=m₀c u_α pozostaje stała wzdłuż tej trajektorii cząstki dla współrzędnej α.

Całkowita energia cząstki w polu grawitacyjnym

Z wykładu ogólnej teorii względności, w której występuje wzór (1.11) z definicji metryki dla słabego pola grawitacyjnego (5.65) wiedząc, że elementy tego tensora nie zależą od czasu, bo mamy doczynienia z polem stacjonarnym. Wedle równania (6.36) kowariantny pęd o współczynniku zerowym dla masowej cząstki jest stały względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, a dla słabych pól grawitacyjnych jest stały względem czasu, co możemy napisać tą równość sposobem:

$m_0^2c^2=p_{\mu}p^{\mu}=p^{\alpha}p^{\beta}g_{\alpha\beta}= \left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left((p^x)^2+(p^y)^2+(p^z)^2\right)\;$

(6.37)

Jeśli oznaczymy że kwadrat całkowitego pęd cząstki jest równy sumie kwadratów pędu cząstki jej współrzędnych przestrzennych:

$(p^x)^2+(p^y)^2+(p^z)^2=p^2\;$

(6.38)

wtedy równanie (6.37) na podstawie zachodzącej tożsamości (6.38) wyznaczając stąd wyraz z kwadratem współrzędnej zerowej czterowektora pędu, wtedy to nasze wspomniane wcześniej równanie przyjmuje postać:

$m_0^2c^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\;\Rightarrow \left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2=m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\;$

(6.39)

Dzielimy obie strony równości (6.39) przez zawsze niezerowe wyrażenie $_{1+{{2\varphi}\over{c^2}}}\;$, wtedy otrzymujemy równość, z którego możemy wyznaczyć kwadrat zerowej współrzędnej czterowektora pędu:

$(p^0)^2=\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\;$

(6.40)

Ponieważ mamy doczynienia z słabym polem grawitacyjnym, to powinno wtedy zachodzić $_{{{2\varphi}\over{c^2}}<<1}\;$, to przyjmując na podstawie ostatniego przybliżenia równość (6.40), otrzymujemy:

$({p^0})^2=\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\Rightarrow$ $\Rightarrow(p^0)^2=m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2-{{2\varphi}\over{c^2}}\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\;$

(6.41)

Możemy dokonać odpowiednich wymnożeń w równaniu (6.41) po jego prawej stronie przy opuszczaniu nawiasu i biorąc w końcu wyrażenie m₀²c², wtedy dostajemy równość na kwadrat czasowego elementu czterowektora pędu:

$(p^0)^2=m_0^2c^2\left( 1+{{p^2}\over{m_0^2c^2}}-{{2\varphi}\over{m_0^2c^4}}p^2-{{2\varphi}\over{c^2}} -{{2\varphi}\over{m_0^2c^4}}p^2+{{4\varphi^2}\over{m_0^2c^6}}\right)\;$

(6.42)

Dokonując przybliżeń w powyższym równaniu, czyli wybierając wyrazy rzędu c⁰ oraz rzędu c^-2, a wyrazy o większym rzędzie pomijamy w prawej stronie równości (6.42), wtedy:

$(p^0)^2\simeq m_0^2c^2\left(1+{{p^2}\over{m^2_0c^2}}-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\;$

(6.43)

Policzmy samo $p^0\;$ względem równości (6.43) zakładając, że p₀≥0, czyli przyjmuje on wartość nieujemną, który jest element zerowym czterowektora pędu, a więc do dzieła:

$p^0=m_0c\sqrt{1+{{p^2}\over{m^2_0c^2}}-{{2\varphi}\over{c^2}}}\;$

(6.44)

Biorąc przybliżenie $_{\sqrt{1+x}\simeq 1+{{1}\over{2}}x}\;$ w równaniu (6.44), wtedy po rozpisaniu pierwiastka w równaniu (6.44), wtedy ta nasza tożsamość przyjmuje wygląd:

$p^0=m_0c\left(1+{{p^2}\over{2m_0^2c^2}}-{{\varphi}\over{c^2}}\right)\;$

(6.45)

Po zastosowaniu twierdzenia rozdzielności mnożenia względem dodawania (6.45), otrzymujemy:

$p^0=m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\;$

(6.46)

Obniżmy wskaźnik przy p⁰ w równaniu (6.46), czyli będziemy mówić o kontrawariantności zerowej współrzędnej, przy której przejdźmy do kowariantności zerowej współrzędnej czterowektora pędu, oraz korzystając z tego, że macierz tensora metrycznego dla słabych pól grawitacyjnych jest diagonalna, a więc to przejście można dokonać w sposób bardzo łatwy, tzn. tylko wymnażając p⁰ przez element tensora metrycznego prostego g₀₀ w metryce słabego pola grawitacyjnego.

$p_0=p^{\alpha}g_{\alpha 0}=\left(m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\right)\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\Rightarrow$ $\Rightarrow p_0=m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}+\left(m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\right){{\varphi}\over{c^2}}\;$ $p_0=m_0c+{{p^2}\over{2m_0c}}-m_0{{\varphi}\over{c}}+m_0{{2\varphi}\over{c}}+{{p^2}\over{2mc}}{{2\varphi}\over{c^2}}-m_0{{2\varphi^2}\over{c^3}}\;$

(6.47)

Dokonując odpowiednich przybliżeń, czyli wybierając wyrazy nie wyższe niż rzędu c^-1 w ostatnim równaniu wynikowym (6.47), otrzymujemy:

$p_0=m_0c+{{p^2}\over{2m_0c}}+m_0{{\varphi}\over{c}}\;$

(6.48)

Równanie (6.48) wymnażamy przez prędkość światła c i zastosowaniu definicji energii cząstki poprzez iloczyn pęd kowariantnego wymnożonej przez prędkość światła $_{p_0={{E}\over{c}}}\;$.

$E=m_0c^2+m_0\varphi+{{p^2}\over{2m_0}}\;$

(6.49)

Widzimy, że wielkość podana z prawej strony składa się z energii spoczynkowej, energii potencjalnej w polu grawitacyjnym oraz energii kinetycznej znanej z mechaniki klasycznej.

Elementy czterowektora pędu w układach kulistym i walcowym układu współrzędnych

Zapoznamy się tutaj ze współrzędnymi kulistymi i walcowymi, w których napiszemy z definicji pędu kontrawariantnego (1.8) jako funkcję ich mas relatywistycznych i odpowiednich pochodnych czasowych.

Współrzędne kuliste

Możemy wykorzystać definicję momentów pędu (1.8), ale weźmy go dla współrzędnych kontrawariantnych, dla współrzędnych kowariantnych pędu można je otrzymać ze współrzędnych kontrawariantnych przez proste własności tensora metrycznego przyjmując, że różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z metryki Minkowskiego (1.6) jest:

$ds=\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}cdt=\gamma^{-1}cdt\;$

(6.50)

Wtedy pęd kontrawariantny radialny możemy przedstawić poprzez pochodną radialną względem czasu i też jest zależna od masy relatywistycznej, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:

$p^r=m_0c{{dr}\over{ds}}=m_0c{{dr}\over{\gamma^{-1} cdt}}=m_0\gamma{{dr}\over{dt}}=m\dot{r}\;$

(6.51)

Pęd kontrawariantny θ-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej zupełnej kąta θ-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:

$p^{\theta}=m_0c{{d\theta}\over{ds}}=m_0c{{d\theta}\over{\gamma^{-1}cdt}}=m_0\gamma\dot{\theta}=m\dot{\theta}\;$

(6.52)

Pęd kontrkowariantny ψ-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej kąta φ-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:

$p^{\phi}=m_0c{{d\phi}\over{ds}}=m_0\gamma\dot{\phi}=m\dot{\phi}\;$

(6.53)

Końcowe wzory dla poszczególnych pędów kontrawariantnych (6.50), (6.51) i (6.52) są słuszne tylko dla szczególnej teorii względności, ale te końcowe wzory możemy uogólnić na przypadek innej dowolnej metryki i dla fotonów (cząstek o zerowej masie spoczynkowej), którą wyliczymy z ogólnej teorii względności.

Współrzędne walcowe i radialne

Podobnie jak poprzednio definicję kontrawariantnego pędu, ale tym razem dla współrzędnych walcowych, podobnie przyjmujemy:

$p^r=m\dot{r}\;$ (6.54)

$p^{\theta}=m\dot{\theta}\;$ (6.55)

$p^z=m\dot{z}\;$ (6.56)

Oczywiste jest ze wzory (6.54), (6.55) i (6.56) możemy uogólnić na przypadek dowolnej metryki wyliczonej z równania grawitacji Einsteina (1.51) lub (1.58), a także dla fotonów, czyli cząstek o zerowej masie spoczynkowej. Wzory dla współrzędnych radialnych wyglądają tak samo jak dla współrzędnych walcowych, tylko nie ma tutaj współrzędnej zetowej kontrawariantnego czteropędu, bo ten układ współrzędnych jest przedstawieniem położeń za pomocą współrzędnych (r,θ) na płaszczyźnie.

Kowariantny pęd θ-owy i φ-owy a współrzędne klasycznego momentu pędu

Rozpatrzmy słabe pole grawitacyjne według metryki Newtona (5.65), widzimy, że na podstawie definicji potencjału grawitacyjnego (5.65) znanego z teorii grawitacji Newtona, że jeśli tensory metryczne nie zależą od zmiennych kątowych, to pędy kowariantne względem tychże wielkości kątowych są wielkościami niezależnymi od kątów w metryce słabego pola grawitacyjnego, metrykę (5.65) w zmiennych kulistych możemy zapisać:

$ds^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left(dr^2+r^2\sin^2\phi d\theta^2+r^2d\phi^2\right)\;$

(6.57)

Co po odpowiednich wymnożeniach w (6.50), wydzielając odpowiednie elementy diagonalne tensora metrycznego, mamy:

$ds^2=\underbrace{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)}_{g_{tt}}c^2dt^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)}_{g_{rr}}dr^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\sin^2\phi}_{g_{\theta\theta}} d\theta^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2}_{g_{\phi\phi}}d\phi^2\;$

(6.58)

Pędy kowariantne wedle metryki słabego pola grawitacyjnego we współrzędnych kulistych (6.51) są zdefiniowane jako wielkości stałe, o ile tensor metryczny nie zależy od zmiennej x^θ, wtedy ta wielkość bardzo przypomina θ-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona:

$p_{\theta}=p^{\theta}g_{\theta\theta}=-m{{d\theta}\over{dt}}\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\sin^2\phi\simeq-(r\sin\phi) [mr\sin(\phi)\dot{\theta}]=-r_{\theta}mv_{\theta}=L_{\theta}\;$

(6.59)

Kowariantny pęd jak udowodnimy jest wielkością stałą względem zmiennej o wskaźniku dolnym φ, bo tensor metryczny prosty nie zależy od zmiennej położeniu o tym wskaźniku, wtedy ta wielkość bardzo przypomina φ-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona:

$p_{\phi}=p^{\phi}g_{\phi\phi}=-m{{d\phi}\over{dt}}\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\simeq -m{{d\phi}\over{dt}}r^2=-r mr{{d\phi}\over{dt}}=-r mv_{\phi}=L_{\phi}\;$

(6.60)

Widzimy na podstawie (6.59) (pęd kowariantny θ-owy) i (6.60) (pęd kowariantny ψ-owy) są w przybliżeniu równe współrzędnym odpowiednio momentu pędu θ-owego lub φ-owego dla metryki słabego pola grawitacyjnego, ale także również dla innych metryk, w których tensor metryczny nie zależy od współrzędnych kątowych i czasu, które w granicy słabego pola grawitacyjnego przechodzą w metrykę Minkowskiego.

Promieniowanie grawitacyjne

Tutaj będziemy się zajmować falami grawitacyjnymi, tzn. co to są fale grawitacyjne, czy to jest fala poprzeczna czy podłużna, dlaczego prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej, jak można wykryć fale grawitacyjną za pomocą rezonatora grawitacyjnego, jak je wytwarzać.

Propagacja fal grawitacyjnych

Udowodnimy, że dla naszego pola grawitacyjnego niestacjonarnego w dużej odległości od źródła, pole grawitacyjne rozchodzi się na w sposób fali. Tensor Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych daleko od źródła grawitacyjnego przedstawia się wedle schematu (5.35) i daleko od źródła tensor gęstości energii znika T^αβ=0, bo w rozważanym punkcie gęstość jest już równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe. Z równania grawitacji Einsteina, dla zerowego tensora gęstości energii-pędu powyższego równania, oczywiste jest, że tensor Einsteina G^αβ=0.

Z zerowania się tensora gęstości energii i równanie grawitacji Einsteina (1.51) po pomnożeniu jego przez dwa i korzystając z definicji operatora d'Alemberta mamy z oczywistych powodów:

$0=\square \overline{h}_{\alpha\beta}\Rightarrow\left(-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}+\nabla^2\right)\overline{h}^{\alpha\beta}=0$

(7.1)

Końcowe równanie (7.1) jest równaniem falowym, a poniżej podamy jego rozwiązanie w postaci poniżej, którego to zapis zależy od czterowektora kontrawariantnego położenia x^μi czterowektora kowariantnego liczby falowej k^μ:

$\overline{h}^{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta}e^{ik_{\mu}x^{\mu}}$

(7.2)

Końcowe równanie falowe (7.1) po podstawieniu do niego rozwiązania falowego (7.2) i zakładając przy tym, że stała tensorowa A^αβ występująca w naszym wspomnianym rozwiązaniu jest stałą dowolną:

$\eta^{\mu\nu}{\overline{h}^{\mu\nu}}_{,\mu,\nu}=0\Rightarrow\eta^{\mu\nu}k_{\mu}k_{\nu}\overline{h}^{\alpha\beta}=0\Rightarrow\eta^{\mu\nu}k_{\mu}k_{\nu}=0\Rightarrow k_{\mu}k^{\mu}=0\;$

(7.3)

Wielkość występująca w $\overline{h}^{\alpha\beta}$ pod eksponensem zapisanej w punkcie (7.2) można rozpisać w zależności od czasu i wektora $\vec{r}\;$ wedle sposobów w zależności wprost proporcjonalnej od częstotliwości kołowej i zwykłej liczby falowej k.

$k_{\alpha}x^{\alpha}=k_0 ct+\mathbf{k}\vec{r}$

(7.4)

Jeśli weżniemy, że zachodzi dla fotonu podróżującego wzdłuż wektora przestrzennego $\vec{k}\;$, którego elementy są to składowe czterowektora k^μ bez jej współrzędnej czasowej:

$x^{\alpha}(\lambda)=k^{\alpha}\lambda+l^{\alpha}\;$

(7.5)

Ależ wiadomo jednak, że l^λ jest stałym tensorem (wektorem). Możemy podstawić (7.5) do (7.4) i się przekonamy, że względem rozwiązania (7.5) wyrażenie (7.4) jest wielkością stałą na podstawie końcowego wyrażenia (7.3), że długość czterowektora $k^{\mu}\;$ w czasoprzestrzeni jest wielkością stałą:

$k_{\alpha}x^{\alpha}=k_{\alpha}k^{\alpha}\lambda+k_{\alpha}l^{\alpha}=\operatorname{const}\Rightarrow k_{\alpha}x^{\alpha}=k_{\alpha}l^{\alpha}$

(7.6)

Znając definicję częstotliwości kołowej i liczby falowej poprzez długość fali grawitacyjnej, które można zapisać te wielkości fizyczne wedle:

$k_0={{\omega}\over{c}}\;$ (7.7)

$k=|\vec{k}|={{2\pi}\over{\lambda}}\;$ (7.8)

Możemy wykorzystać z równości końcowej (7.3) i wykorzystując dwie tożsamości (7.7) oraz (7.8), wtedy to nasze wyrażenie rozpiszmy na część czasową i przestrzenną , wtedy możemy powiedzieć, że fala grawitacyjna rozchodzi się z prędkością fazową równą prędkości światła c:

$k_{\mu}k^{\mu}=0\Rightarrow k_0k_0-k_ik_i=0\Rightarrow k_0^2=\sum^3_{i=1}k_i^2\Rightarrow {{\omega^2}\over{c^2}}=\vec{k}^2\Rightarrow\omega=\left|\vec{k}\right|c\Rightarrow \omega=kc\;$

(7.9)

Dla (7.7) (współrzędna czasowa liczby falowej) i (7.8) (długość liczby falowej w przestrzeni) przy k^μ, na którą składa się na jej część czasową i przestrzenną, wtedy równanie (7.2) piszemy:

$\overline{h}^{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta} e^{i\left({{\omega}\over{c}}ct+\vec{k}\vec{r}\right)}\Rightarrow \overline{h}^{\alpha\beta}=A^{\alpha\beta}e^{i\left(\omega t+\vec{k}\vec{r}\right)}\;$

(7.10)

Wykorzystując definicję prędkości fazowej i grupowej znanej z fizyki ogólnej i zależności końcowej (7.9):

$v_f={{\omega}\over{k}}={{kc}\over{k}}=c\;$ (7.11)

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{dkc}\over{dk}}=c\;$ (7.12)

Na podstawie obliczeń (7.11) i (7.12) udowodniliśmy, że prędkość grupowa i fazowa fal grawitacyjnych są sobie równe, ze względu na właściwości czterowektora falowego w czasoprzestrzeni.

Do naszego rozwiązania (7.2) należy dodać cechowanie pola grawitacyjnego (5.33), czyli wielkości $\overline{h}^{\alpha\beta}$, czyli z tego cechowania wynika końcowa tożsamość:

${\overline{h}^{\alpha\beta}}_{,\beta}=0\Rightarrow A^{\alpha\beta}k_{\beta}e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}}=0\Rightarrow A^{\alpha\beta}k_{\beta}=0$

(7.13)

Wedle powyższych rozważań udowodniliśmy, że fale grawitacyjne są falami poprzecznymi, bo iloczyn skalarny między czterowektorem liczby falowej i tensorem amplitudy fali grawitacyjnej (7.2) jest równy zero.

Bezśladowe cechowanie poprzeczne Lorentza

Mamy sobie nowy układ współrzędnych względem starego układu, w obu układach panuje cechowanie Lorentza (5.29), dla równości różniczkowej (5.28) znajdźmy sobie taki tensor ξ^α przy tych cechowaniach w starym i w nowym układzie współrzędnych, który spełnia równanie różniczkowe (5.28) tożsamościowo, zatem nasz wspomniany tensor musi zatem spełniać w takim przypadku równanie różniczkowe:

$\square \xi^{\alpha}=0\;$

(7.14)

Rozwiązaniem równania (7.14) jest rozwiązaniem w postaci funkcji zależnej od czterowektora falowego k_μ wedle:

$\xi^{\alpha}=B^{\alpha}e^{ik_{\mu}x^{\mu}}\;$

(7.15)

Mając rozwiązaniem równania falowego (7.2) i rozwiązanie w postaci funkcji ξ (7.15) równania (7.14), wtedy równość końcową (5.25) możemy zapisać na podstawie:

${A'}_{\alpha\beta}=A_{\alpha\beta}-iB_{\alpha}k_{\beta}-iB_{\beta}k_{\alpha}+i\eta_{\alpha\beta}B^{\mu}k_{\mu}\;$

(7.16)

Obierzmy sobie dodatkowe cechowania obowiązujące w nowym układzie współrzędnych wedle sposobów:

${{A'}^{\alpha}}_{\alpha}=0\;$ (7.17)

${A^{'}}_{\alpha\beta}U^{\beta}=0\;$ (7.18)

Przedstawmy teraz tożsamości wynikające z (7.17) oraz z (5.21), wtedy na podstawie tego otrzymujemy dwa poniższe warunki:

$\overline{h}={\overline{h}^{\alpha}}_{\alpha}=0\;$ (7.19)

$h_{\alpha\beta}=\overline{h}_{\alpha\beta}\;$ (7.20)

Równość tensorową (7.16) na podstawie pierwszego cechowania (7.17) możemy napisać w postaci:

$0={A^{\alpha}}_{\alpha}-iB^{\alpha}k_{\alpha}-iB_{\alpha}k^{\alpha}+i{\delta^{\alpha}}_{\alpha}B^{\mu}k_{\mu}\Rightarrow 0={A^{\alpha}}_{\alpha}+2iB^{\alpha}k_{\alpha}\;$

(7.21)

Mamy cztery wartości tensora B^α przy jakiś wartościach A_αβ, czyli mamy jedno tensorowe równanie więzów z czterema niewiadomymi. Weźmy sobie pod lupę cechowanie (7.17) na podstawie obrania nowego układu spełniającego to cechowanie, wtedy na podstawie (7.16) dostajemy znów inną tożsamość:

$0=A_{\alpha\beta}U^{\beta}-iB_{\alpha}k_{\beta}U^{\beta}-iB_{\beta}k_{\alpha}U^{\beta}+i\eta_{\alpha\beta}B^{\mu}k_{\mu}U^{\beta}\;$ $A_{\alpha\beta}U^{\beta}=iB_{\alpha}k_{\beta}U^{\beta}+iB_{\beta}k_{\alpha}U^{\beta}-i\eta_{\alpha\beta}B^{\mu}k_{\mu}U^{\beta}\;$

(7.22)

Jeśli pomnożyć końcowe równanie (7.22) przez k^α, to lewa strona tejże wspomnianej równości wedle warunku na poprzeczność fal grawitacyjnych wynikające z warunku cechowania Lorentza (7.13) co stąd wynika, że ta strona naszego równania jest zawsze równa zero, ale przy jakich B_α, zatem z (7.22) mamy:

$0=k^{\alpha}iB_{\alpha}k_{\beta}U^{\beta}+k^{\alpha}iB_{\beta}U^{\beta}k_{\alpha}-ik^{\alpha}\eta_{\alpha\beta}U^{\beta}B^{\mu}k_{\mu}\Rightarrow 0=k^{\alpha}iB_{\alpha}k_{\beta}U^{\beta}-ik_{\beta}U^{\beta}B^{\mu}k_{\mu}\Rightarrow 0=0\;$

(7.23)

Na podstawie (7.23) jest ona spełniona bez względu jakie wartości przyjmuje B_α, zatem dostajemy na podstawie wiadomości z algebry, że równość tensorowa (7.22) ma w sobie trzy niezależne równania z czterema niewiadomymi B_α. Jeśli połączymy równanie (7.22) z (7.21) dostajemy cztery niezależne równania z czteroma niewiadomymi, którymi są elementy tensora B_α, których jest cztery, zatem na podstawie znanych A_αβ możemy wyznaczyć właśnie elementy tensora B_α jednoznacznie. Dochodzimy do wniosku, że cechowania (7.17) i (7.18) są spełnione w jakimś tam układach odniesienia, których jest nieskończenie wiele jak przy cechowaniu Lorentza (5.33). Jeśli założymy, że cząstka spoczywa, to wtedy mamy U^β=δ^β₀, wtedy na podstawie równania (7.18) mamy 0=A_αβδ^β₀=A_{α 0}, zatem na podstawie symetryczności A_αβ pierwsza kolumna i wiersz są zerowymi wielkościami. Jeśli przyjąć, że cząstka porusza się w kierunku osi zetowej, czyli jego czterowektor liczby falowej jest:

$k^{\mu}=(k^1={{\omega}\over{c}},0,0,k)\;$

(7.24)

wtedy warunek (7.13) implikuje 0=A_αβk^β=k³A_α3, zatem na podstawie tego rozważania i symetryczności A_αβ dostajemy, że trzecia kolumna i wiersz są wielkościami zerowymi. Jeśli weźmiemy dodatkowo warunek (7.18), z poprzednimi rozważaniami: 0=A^α_α=A_xx+A_yy⇒A_yy=-A_xx, zatem naszą macierz A_αβ możemy zapisać:

$A^{TT}_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&A_{xx}&A_{xy}&0\\ 0&A_{xy}&-A_{xx}&0\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$

(7.25)

Wpływ fal grawitacyjnych na swobodną cząstkę

Cząstka spoczywająca nie ma elementów przestrzennych czterowektora prędkości, wtedy wzór na linię geodezyjną (1.74), gdy parametr $\lambda\;$ jest interwałem czasoprzestrzennym, możemy zapisać:

${{du^{\alpha}}\over{ds}}=-{\Gamma^{\alpha}}_{00}\;$

(7.26)

Do wzoru (7.26) bardzo nam są potrzebne elementy tensora Christoffera na podstawie (7.2) i na podstawie elementów amplitudy tensorowej A^αβ(7.25), które to Γ^α₀₀ następnie wyznaczymy, zatem do dzieła:

${\Gamma^{\alpha}}_{00}={{1}\over{2}}\eta^{\alpha\beta}\left(h_{\beta 0,0}+h_{0\beta,0}-h_{00,\beta}\right)\;$

(7.27)

Zatem na podstawie równania na fale grawitacyjne przy obranym cechowaniu (7.17) i (7.18) oraz macierzy tensora amplitud (7.25), a także względem równania fali (7.2), przy obranym cechowaniu zachodziłoby (7.20) oraz że te amplitudy nie mają wierszy oraz kolumn o numerze zerowym oraz jego elementy nie zależą od czasu, zatem elementy tensora Christoffera (7.27) są wielkościami zerowymi, czyli znikają, zatem na podstawie (7.26) cząstka spoczywająca współrzędnościowo pozostanie nadal cząstką spoczywającą, ponieważ cząstka która ma czteroprędkość a właściwie jej część przestrzenną, która równa jest nadal zero, dalej będzie miała ten sam czteroprędkość, którego zmiana jest równa zero wedle naszej metryki przy przyjętych cechowaniu. Zatem dochodzimy do wniosku, że fala grawitacyjna wcale nie wpływa na ruch punktowej masy wedle współrzędnych czteropołożenia położenia, ale to nic nie znaczy. Fala grawitacyjna może zmieniać odległość właściwą między dwoma punktami w sposób wedle (1.13):

$\Delta l=\int \left|ds^2\right|^{{{1}\over{2}}}=\int \left|g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}\right|^{{{1}\over{2}}}=\int^{x_2}_{x_1}\left|g_{xx}\right|^{{{1}\over{2}}}dx=\int^{x_2}_{x_1} \left|\eta_{xx}+h_{xx}\right|^{{{1}\over{2}}}dx\simeq\;$ $\simeq x_2-x_1-{{1}\over{2}}h_{xx}(x_2-x_1)\;$

(7.28)

Również jak się przekonamy, że za pomocą zmiany długości właściwej Δl można wykryć budując pewne układu fizyczne, mimo że fala grawitacyjna nie działa na punktowe masy.

Równanie dewiacji a odległość wektorowa pomiędzy obydwa spoczywającymi współrzędnościowo cząstkami

Równanie dewiacji z którego będziemy korzystać jest to (1.90), i w nim zakładamy, że cząstka spoczywa współrzędnościowo, bo prędkości współrzędnościowe przestrzenne jako są równe zero, i będziemy badali odległość przestrzenną iksową odległości pomiędzy dwoma cząstkami, wtedy czterowektor prędkości i odległość początkowa pomiędzy dwoma cząstkami przestawiamy jako U^μ=(1,0,0,0),ξ^μ=(0,ε,0,0). W takim wypadku równanie dewiacyjne możemy napisać poniżej wykorzystując przy tym twierdzenie (MMF-2.106):

${{d^2\xi^{\lambda}}\over{d\lambda^2}}={{1}\over{c^2}}{{d^2\xi^{\lambda}}\over{d t^2}}=\epsilon {R^{\alpha}}_{00x}=-\epsilon {R^{\alpha}}_{0x0}\;$

(7.29)

Dla słabego pola grawitacyjnego mamy (5.1), wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny R^α_0x0 (MMF-2.101) możemy napisać z definicji tensora fali grawitacyjnego (7.2) i definicji tensora amplitudy (7.25):

$\begin{cases}{R^x}_{0x0}=R_{x0x0}=-{{1}\over{2}}h_{xx,0,0}\\ {R^y}_{0x0}=R_{y0x0}=-{{1}\over{2}}h_{xy,0,0}\\ {R^y}_{0y0}=R_{y0y0}=-{{1}\over{2}}h_{yy,0,0}=-{R^x}_{0x0} \end{cases}\;$

(7.30)

Wszystkie pozostałe elementy tensora krzywizny inne niż policzone powyżej są równe zero, i ich nie podaliśmy, bo dowód zerowania się ich jest trywialny. Równania dewiacyjne w kierunku osi iksowej piszemy jako:

${{\partial^2}\over{\partial t^2}}\xi^x={{1}\over{2}}\epsilon{{\partial^2}\over{\partial t^2}}h_{xx}\;$ (7.30)

${{\partial^2}\over{\partial t^2}}\xi^{y}={{1}\over{2}}\epsilon{{\partial^2}\over{\partial t^2}}h_{xy}\;$ (7.31)

Jeśli tensor ξ^α jest zdefiniowany w kierunku osi igrekowej, wtedy otrzymujemy dwa równania dewiacyjne:

${{\partial^2}\over{\partial t^2}}\xi^y={{1}\over{2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}h_{yy}=-{{1}\over{2}}\epsilon{{\partial^2}\over{\partial t^2}}h_{xx}\;$ (7.32)

${{\partial^2}\over{\partial t^2}}\xi^x={{1}\over{2}}\epsilon{{\partial^2}\over{\partial t^2}}h_{xy}\;$ (7.33)

Ścisła fala grawitacyjna wynikająca z praw grawitacji Einsteina

Wszystkie fale grawitacyjne, których chcemy zaobserwować na Ziemi są to fale, które są opisywane przy pomocy teorii zlinearyzowanej, ale chcemy opisać fale grawitacyjne przy pomocy teorii dokładnej, czyli opisywanej przy pomocy dokładnego równania grawitacji Einsteina. Obierzmy teraz dwie zmienne nowe zdefiniowane przy pomocy zmiennych t i z, których definicje są:

$u=ct-z\;$ (7.34)

$v=ct+z\;$ (7.35)

Mamy sobie zdefiniowany interwał czasoprzestrzenny w przestrzeni Minkowskiego (1.6) i wykorzystując równania na zmienne u (7.34) i (7.35) z których wyznaczmy wzory na zmienne "u" i "ct", i w ten sposób możemy napisać ten nasz interwał czasoprzestrzenny w tychże zmiennych:

$ds^2=d(u+v)^2-dx^2-dy^2-d(v-u)^2=\;$ $={{1}\over{4}}\left(du^2+dv^2+2dudv+dx^2\right)-dx^2-dy^2-{{1}\over{4}}\left(du^2+dy^2-2dudv\right)=dvdu-dx^2-dy^2\;$

(7.36)

Zobaczymy, że fale grawitacyjne wpływają na odległości prostopadłe w stosunku do biegu fali grawitacyjnej przy jej opisie, która wynika z jej teorii dokładnej, czyli z równań grawitacji Einsteina. W tym celu napiszmy interwał czasoprzestrzenny, w których wprowadzimy funkcje f(u) i g(u), które są zależne od zmiennej "u":

$ds^2=dudv-f^2(u)dx^2-g^2(u)dy^2\;$

(7.37)

Napiszemy teraz wszystkie niezerowe elementy tensora Christoffela i niezerowe elementy tensory czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

${\Gamma^x}_{xu}={{\dot{f}}\over{f}}\;$ (7.38)	${\Gamma^y}_{yu}={{\dot{g}}\over{g}}\;$ (7.39)	${\Gamma^v}_{xx}={{2\dot{f}}\over{f}}\;$ (7.40)	${\Gamma^v}_{yy}={{2\dot{g}}\over{g}}\;$ (7.41)
${R^x}_{uxu}=-{{\ddot{f}}\over{f}}\;$ (7.42)	${R^y}_{uyu}=-{{\ddot{g}}\over{g}}\;$ (7.43)	$R=R_{uu}=-{{\ddot{f}}\over{f}}-{{\ddot{g}}\over{g}}\;$ (7.44)

Z powyższych wnioskach możemy napisać tensory Einsteina i dowiemy się, że tensor Einsteina G_μν posiada również elementy niediagonalne oprócz jej elementów diagonalnych:

$G_{uu}=R_{uu}-{{1}\over{2}}g_{uu}R=-{{\ddot{f}}\over{f}}-{{\ddot{g}}\over{g}}-{{1}\over{2}}\cdot 0\cdot R=-{{\ddot{f}}\over{f}}-{{\ddot{g}}\over{g}}\;$

(7.45)

$G_{uv}=R_{uv}=R_{vu}-{{1}\over{2}}g_{uv}R=-{{1}\over{2}}(-1)R={{1}\over{2}}\left(-{{\ddot{f}}\over{f}}-{{\ddot{g}}\over{g}}\right)\;$

(7.46)

Będziemy badać fale rozprzestrzeniające tam gdzie nie ma masy, wtedy z równania grawitacji Einsteina (1.51), gdy tensor napięć-energii jest równy zero, mamy:

${{\ddot{f}}\over{f}}+{{\ddot{g}}\over{g}}=0\;$

(7.47)

Jako funkcję f(u) możemy przyjąć jako dowolną funkcję i rozwiązać równanie dla g(u). Możemy funkcję f(u) w taki sposób napisać jako funkcję opisującą pewnego rodzaju falę podobną do (7.2) i zapytać siebie jaka jest funkcja przy tak postawionych warunkach, czyli g(u). Dla przypadku prawie liniowego funkcja f(u) jest bliska jedności:

$f\simeq 1+\epsilon(u)\;$

(7.48)

wtedy funkcja g(u) jest prawie liniowa i w zależności od funkcji prawie liniowej f(u) (7.46) możemy napisać jej rozwiązanie:

$g\simeq 1-\epsilon(u)\;$

(7.49)

Detekcja fal grawitacyjnych

Detektor rezonansowy dla wykrycia fal grawitacyjnych.

Załóżmy, że mamy układ o współczynnik tłumienia ν i sprężyny o stałej sprężystości k, który jest oscylatorem harmonicznym tłumionym. Dla pierwszej i drugiej kulki rozważanego układu, równanie ruchu ma się:

$\begin{cases} mx_{1,0,0}=k(x_2-x_1-l_0)-\nu(x_1-x_2)_{,0}\\ mx_{2,0,0}=-k(x_2-x_1-l_0)-\nu(x_2-x_1)_{,0} \end{cases}\;\;$

(7.50)

Możemy odejmować dwa równania (7.50) od siebie w naszym układzie równań otrzymując wynikowe równanie, które należy rozwiązać:

$m(x_2-x_1)_{,0,0}=-2k(x_2-x_1-l_0)-2\nu(\dot{x_2}-\dot{x_1})\;\;$

(7.51)

Wprowadźmy nowe oznaczenia (parametry), które wykorzystamy do równania różniczkowego (7.51), tzn. parametr ξ (która jest zależna od położenia obu kulek i długości własnej użytej sprężynki), częstotliwości własnej układu ω₀ (zależna od stałej sprężystości sprężynki i masy tej sprężynki), a także od stałej γ (która jest zależna od stałej tłumienia γ i masy sprężynki), zatem te podstawienia:

$\xi=x_2-x_1-l_0\;\;$ (7.52)

$\omega_0^2={{2k}\over{m}}\;\;$ (7.53)

$\gamma={{\nu}\over{m}}\;\;$ (7.54)

Na podstawie oznaczeń ξ (7.52), ω₀² (7.53) i γ (7.54), wtedy równanie (7.51) przechodzi przy tych nowych oznaczeniach w równoważną postać:

$\xi_{,0,0}+\omega_0^2\xi+2\gamma\xi_{,0}=0\;\;$

(7.55)

W równaniach ruchu dla dwóch kulek (7.50) zastosowaliśmy równania ruchu Newtona, bo mamy do czynienia z prędkościami bardzo małymi (o wiele mniejszymi od prędkości światła).

Ponieważ mamy do czynienia z ogólną teorią względności, czyli mamy do czynienia z teorią grawitacją Einsteina, to powyższe wywody nie są w ogólności spełnione i chwilową długość sprężyny jest inna niż zakładana, bo sprężyna jest w układzie dwóch kulek, których fala grawitacyjna zakłóca prawdziwą długość sprężyny, długość sprężyny według rozważanej metryki jest inna niż metryce Minkowskiego (czasoprzestrzeń płaska), jeśli sprężyna jest położona wzdłuż osi iksowej w przestrzeni, ma długość na podstawie (7.28) wyrażonej według:

$l(t)=x_2-x_1-{{1}\over{2}}h_{xx}(x_2-x_1)\;\;$

(7.56)

Należy pamiętać, że długość l₀ jest bardzo mała w porównaniu z długością jakim światło może przebyć w ciągu jednej sekundy. Równania (7.50) możemy zapisać w bardziej ogólny sposób uwzględniając jako sprężynę w ruchu, który ma w tej chwili długość l i zapisać je nie jako różnica położeń dwóch kul z dokładnością do znaku, ale jako różnica aktualnej długości kulki l i jej długości początkowej, bo tutaj nie mamy przestrzeni płaskiej tylko przestrzeń zakrzywioną i uwzględniając jakoby fala grawitacyjna nie oddziaływuje współrzędnościowo z punktowymi masami jako osobno, co tutaj jest ważne, ale kulki oddziałują ze sobą tylko za pomocą sprężynki przez promieniowanie grawitacyjne, które to kulki były początkowo w spoczynku przed dotarciem do nich tej rozważanej fali:

$\begin{cases} mx_{1,0,0}=k(l-l_0)+\nu(l-l_0)_{,0}\\ mx_{2,0,0}=-k(l-l_0)-\nu(l-l_0)_{,0} \end{cases}\;$

(7.57)

Wprowadźmy nowe oznaczenia, która jest funkcją iksowych położeń kul, i poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego i długości początkowej sprężyny nierozciągniętej i jest oznaczona ona przez tożsamość:

$\xi=l-l_0=x_2-x_1-l_0-{{1}\over{2}}h_{xx}(x_2-x_1)\;\;$

(7.58)

Na podstawie powyższej tożsamości możemy napisać przekształcenia wyznaczając różnicę współrzędnych iksowych dwóch rozważanych kulek:

$x_2-x_1\simeq\xi+l_0+{{1}\over{2}}h_{xx}l_0\;\;$

(7.59)

Powyżej przyjęliśmy, że zmiana długości własnej sprężynki stojąca przy h_xx dla słabego pola grawitacyjnego jest bardzo mała, zatem różnica położeń kulek jest w przybliżeniu równa długości sprężynki. Równość (7.50) z poprawką na chwilową długość sprężyny, która jest nie równa różnicy współrzędnych iksowych kulek w zakrzywionej czasoprzestrzeni:

$m(x_2-x_1)_{,0,0}=-2k(l-l_0)-2\nu(l-l_0)_{,0}\;\;$

(7.60)

Wykorzystując oznaczenia na parametry ξ (7.58), oraz na ω₀² (7.53) i γ (7.54), to równanie różniczkowe (7.60) zapisujemy poniżej, który również zawiera poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego dla tychże rozważanych kulek, a także zawiera zmianę długości sprężyny l-l₀ zapisanej według (7.59):

$\xi_{,0,0}+\omega_0^2\xi+2\gamma\xi_{,0}=-{{1}\over{2}}h_{xx,0,0}l_0\;\;$

(7.61)

Powyższe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego tłumionego z przyłożoną siłą, która zmienia się w sposób harmoniczny (w tym przypadku promieniowanie grawitacyjne, które działa na kule poprzez sprężynkę).

Fala kulista w dużej odległości od źródła jest falą w przybliżeniu płaską, a zatem jeśli $\overline{h}_{\alpha\beta}\;\;$ opisuje falę płaską wedle definicji tensora Einsteina (5.35) dla tensora gęstości energii równej zero, wtedy równania grawitacji Einsteina opisują $\overline{h}_{\alpha\beta}\;$ wedle (7.2), jeśli częstotliwość tej fali jest jakaś tam, to częstotliwość fali $h_{xx}\;$, wedle równości (5.20) jest taka sama, zatem jeśli pierwsza zmienia się względem funkcji kosinus (dla $\overline{h}_{\alpha\beta}\;$), to druga też, zatem niech będą funkcje $h_{xx}\;$ i $\xi\;$, która zmieniają się względem czasu z częstotliwością Ω:

$h_{xx}=A\cos(\Omega t)\;\;$ (7.62)

$\xi=R\cos(\Omega t+\varphi)\;\;$ (7.63)

Powyższe dwa równania są prawdziwe, bo można tak wybrać przesunięcie fazowe oraz Ω, by były spełnione równania ruchu dwóch kulek w polu grawitacyjnym, których drgania kulek maja się jak promieniowanie grawitacyjne.

Podstawiamy za h_xx równania fali grawitacyjnej (7.62) i przemieszczenia harmonicznego kulek (7.63), którego zmianę powoduje fala grawitacyjna (promieniowanie grawitacyjne) o takiej samej częstotliwości co fala grawitacyjna, do równości (7.61), co w rezultacie ono przyjmuje postać:

$-\Omega^2 R\cos(\Omega t+\varphi)+\omega_0^2 R\cos(\Omega t+\varphi)-2\gamma R\Omega\sin(\Omega t+\varphi)={{1}\over{2}}l_0 A\Omega^2 \cos(\Omega t)\;\;$

(7.64)

Co po krótkich przestawianiach wyrazów w tożsamości (7.64), czyli grupując wyrazy stojące przy funkcji sinus i kosinus:

$\cos(\Omega t+\varphi)R\left[-\Omega^2+\omega_0^2\right]-2\gamma R\Omega\sin(\Omega t+\varphi)={{1}\over{2}}l_0 A\Omega^2 \cos(\Omega t)\;\;$

(7.65)

Wykorzystując z własności kosinusów i sinusów sumy składników pod tymi funkcjami trygonometrycznymi możemy zapisać (7.65) rozwijając w odjemnej naszej tożsamości funkcji kosinus i odjemniku funkcję sinus:

$\left(\cos(\Omega t)\cos\varphi-\sin(\Omega t)\sin\varphi\right)R(\omega_0^2-\Omega^2)-2\gamma R\Omega\left(\cos(\Omega t)\sin\varphi+\sin(\Omega t)\cos\varphi\right)=\;$ $={{1}\over{2}}l_0A\Omega^2\cos(\Omega t)\;$

(7.66)

Grupujemy wyrazy z kosinusami i sinusami, których argumentem jest Ω t we wzorze (7.66) i aby ona zachodziła dla dowolnych chwili czasu t, to nasze wspomniane równanie przechodzi w dwa równania równoważne pierwotnemu.

$(\omega_0^2-\Omega^2)R\cos\varphi-2\gamma R\Omega\sin\varphi={{1}\over{2}}l_0 A\Omega^2\;$ (7.67)

$-(\omega_0^2-\Omega^2)R\sin\varphi-2\gamma R\Omega\cos\varphi=0 \;$ (7.68)

Z tożsamości uzyskanej w punkcie (7.68) możemy wyznaczyć tanges przesunięcia fazowego kulek względem fali promieniowania grawitacyjnego, który jak udowodnimy zależy tylko od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i częstotliwości własnej detektora fali grawitacyjnej:

$\operatorname{tg}(\varphi)={{2\gamma\Omega}\over{\Omega^2-\omega_0^2}}\;\;$

(7.69)

Pomnóżmy równanie (7.67) przez wyrażenie $2\gamma\Omega\;\;$, czyli podwojony iloczyn stałej tłumienia γ i częstotliwości drgań fali grawitacyjnej, wtedy dostajemy tożsamość:

$(\omega_0-\Omega^2)2\gamma\Omega R\cos\varphi-4R\gamma^2\Omega^2\sin\varphi=l_0A\gamma\Omega^3\;\;$

(7.70)

a także wykorzystując również tożsamość (7.68), którą podstawiamy do tożsamości (7.70), wtedy oczywiście dostajemy wniosek:

$-(\omega_0^2-\Omega^2)(\omega_0^2-\Omega^2)R\sin\varphi-4R\gamma^2\Omega^2\sin\varphi=l_0A\gamma\Omega^3\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \left[(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2\right]R\sin\varphi=-l_0A\gamma\Omega^3\;$

(7.71)

Policzmy teraz czemu jest równa funkcja sinφ wyrażając kwadrat kotangensa względem kwadratu funkcji sinus φ, korzystając z definicji tangensa kąta, który jest ilorazem sinusa kąta φ przez jego kosinus tego samego kąta, i jeszcze korzystając z definicji jedynki trygonometrycznej, możemy napisać:

$\operatorname{ctg}^2\varphi={{\cos^2\varphi}\over{\sin^2\varphi}}= {{1-\sin^2\varphi}\over{\sin^2\varphi}}=\sin^{-2}\varphi-1\Rightarrow \sin^{-2}\varphi=\operatorname{ctg}^{2}\varphi+1\Rightarrow \sin^2\varphi={{1}\over{\operatorname{ctg}^2\varphi+1}}\;$

(7.72)

Ze wzoru na $\sin^2\varphi\;$ w ostatnim rozważanym wyrażeniu (7.72) przechodzimy do wzoru na funkcję trygonometryczną dla naszego zadania:

$\sin^2\varphi={{1}\over{1+({{\Omega^2-\omega_0^2)}\over{2\gamma\Omega}})^2}}= {{1}\over{{{4\gamma^2\Omega^2+(\Omega^2-\omega_0^2)^2}\over{4\gamma^2\Omega^2}}}}= {{4\gamma^2\Omega^2}\over{(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}\;$

(7.73)

Równość (7.73) możemy spierwiastkować obustronnie, tak by po lewej stronie wspomnianego równania otrzymać sam sinus kata φ, wtedy otrzymujemy wyrażenie:

$\sin\varphi={{2\gamma\Omega}\over{\sqrt{(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}}\;$

(7.74)

Wyznaczony wzór na funkcję sinφ zapisanej i udowodnionej w punkcie (7.74) podstawiamy do wzoru uzyskanego wcześniej w punkcie (7.71), wtedy można otrzymać tożsamość, którą poddamy dalszej obróbce:

$\left[(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2\right]R{{2\gamma\Omega}\over{\sqrt{(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}}=-l_0A\gamma\Omega^3\Rightarrow\;$ $\Rightarrow 2\gamma\Omega R\sqrt{(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}=-l_0A\gamma\Omega^3\;$

(7.75)

Zatem amplituda drgań dla oscylatora harmonicznego tłumionego jest napisana wedle wzoru poniżej, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań fali grawitacyjnej Ω, częstotliwości własnej układu własnego ω₀ i współczynnika tłumienia γ:

$R=-{{{{1}\over{2}}l_0A\Omega^2}\over{\sqrt{(\Omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}}\;$

(7.76)

Jest ona zależna od częstotliwości rezonansowej ω₀ i współczynnika pełniącego rolę współczynnika tłumienia γ. Energia układu (oscylatora harmonicznego tłumionego) jest zdefiniowana jako energia kinetyczna obu kulek i energii potencjalnej sprężyny w polu grawitacyjnym, bo tutaj sprężynka znajduje się w polu promieniowania grawitacyjne oddziałujące ze sprężynką.

$E={{1}\over{2}}m(x_{1,0})^2+{{1}\over{2}}m(x_{2,0})^2+{{1}\over{2}}k\xi^2\;$

(7.77)

Jeśli dodamy do siebie dwa równania układu równań (7.57) do siebie, wtedy otrzymamy równanie różniczkowe poniżej i założymy że nasz układ był w spoczynku, zanim dodarła do naszego badanego układu fala grawitacyjna, czyli przyjmujemy, że C=0, który jest warunkiem brzegowym:

$(x_2+x_1)_{,0,0}=0\Rightarrow x_{2,0}+x_{1,0}=C\Rightarrow x_{2,0}=-x_{1,0}+C\;$

(7.78)

Parametr (7.58) można zapisać, jeśli przyjmiemy założenie, że mamy do czynienia z słabym polem grawitacyjnym w postaci fal grawitacyjnym, wtedy czwarty człon w nim możemy pominąć:

$\xi=l-l_0=x_2-x_1-l_0-{{1}\over{2}}h_{xx}l_0\simeq \xi=x_2-x_1-l_0\Rightarrow \xi_{,0}\simeq x_{2,0}-x_{1,0}=2x_{2,0}$

(7.79)

zatem wedle obliczeń (7.79), które dokonaliśmy w tymże punkcie i dla naszych warunków brzegowych możemy napisać tożsamość między prędkościami dwóch kulek.

$x_{1,0}=-x_{2,0}=-{{1}\over{2}}\xi_{,0}\;$

(7.80)

Energia układu (7.77) po wykorzystaniu dwóch podstawień do którego będziemy wykorzystywali obliczenia (7.80), które wynika z punktu przestawionego wzorem (7.79), wtedy ową energię chwilową zapisujemy wedle schematu poniżej, która jest zależna od pochodnej zmiennej ξ względem czasu i samego przesunięcia ξ, którego to ξ jest to przesunięcie od położenia równowagi obu rozważanych w tym zadaniu kulek układu fizycznego:

$E={{1}\over{2}}m(-{{1}\over{2}}\xi_{,0})^2+{{1}\over{2}}m({{1}\over{2}}\xi_{,0})^2+ {{1}\over{2}}\omega_0^2({{1}\over{2}}\xi)^2\Rightarrow E={{1}\over{4}}m\left(\xi^2_{,0}+\omega_0^2\xi^2\right)\;$

(7.81)

Wykorzystujemy definicję parametru ξ napisanej w punkcie (7.63), które to podstawiamy do równości (7.81) na energię układu, wtedy owe równanie ma wygląd:

$E={{1}\over{4}}m\left(R^2\Omega^2\sin^2(\Omega t+\varphi)+\omega_0^2R^2\cos^2(\Omega t+\varphi)\right)\;$

(7.82)

Wiemy jednak, że średnia wartość kwadratu kosinusa z definicji wartości średniej jest równa połowie jedynki względem czasu t, zatem co zapisujemy wzorem poniżej. Widzimy, że powyższa równość jest zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i przesunięcia fazowego φ.

$\langle \cos^2(\Omega t+\varphi)\rangle=\langle\sin^2(\Omega t+\varphi)\rangle={{1}\over{2}}\;$

(7.83)

Średnia wartość energii oscylatora wedle wartości chwilowej (7.81), korzystając już z obliczonej wartości średniej kwadratu kosinusa, to średnią energię drgań układu dwóch kulek i sprężyny zapisujemy wedle:

$\langle E\rangle={{1}\over{8}}mR^2(\Omega^2+\omega_0^2)\;$

(7.84)

Amplituda rezonansowa nazywamy takie R w tożsamości (7.76), dla które zachodzi, gdy ω₀=Ω, wtedy dochodzimy do wniosku, że mamy amplitudę rezonansową drgań przy udziale fal grawitacyjnych:

$R={{{{1}\over{2}}l_0\Omega^2 A}\over{\sqrt{4\Omega^2\gamma^2}}}= {{{{1}\over{2}}l_0\Omega^2 A}\over{2\Omega\gamma}}={{1}\over{4}}l_0 A{{\Omega}\over{\gamma}}\;$

(7.85)

Energia rezonansowa średnia (7.84) na podstawie amplitudy rezonansowej układu dwóch kulek połączonej sprężynką policzonej w punkcie (7.85), do której to podstawimy do wzoru na średnią energię:

$\langle E\rangle={{1}\over{8\cdot 16}}ml_0^2A^2\left({{\Omega}\over{\gamma}}\right)^2 2\Omega^2= {{1}\over{8\cdot 8}}ml_0^2A^2\Omega^2\left({{\Omega}\over{\gamma}}\right)^2= {{1}\over{64}}ml_0^2\Omega^2A^2\left({{\Omega}\over{\gamma}}\right)^2 \;$

(7.86)

Dobrocią oscylatora harmonicznego tłumionego nazywamy wielkość zdefiniowanej wedle sposobu poniżej, z której ją wyznaczymy dla częstotliwości rezonansowej, tzn. gdy $\Omega=\omega_0\;$

$Q={{\omega_0}\over{2\gamma}}\Rightarrow 2Q={{\Omega}\over{\gamma}}\;$

(7.87)

Energia średnia rezonansowa (7.86) w której podstawimy za stosunek $_{{{\Omega}\over{\gamma}}}\;$ podwojoną dobroć Q, czyli z korzystamy ze wzoru (7.87), zatem tą pierwszą wielkość fizyczną możemy napisać sposobem:

${\langle E\rangle}_{rezonas}={{1}\over{16}}ml_0\Omega^2A^2Q^2\;$

(7.88)

I co kończy nasze rozważania na temat detekcji fal grawitacyjnych.

Tensorowe twierdzenie wirialne a lokalna zasada zachowania energii

Naszym wzorem, które zechcemy udowodnić jest twierdzenie łączący tensor gęstości energii o wskaźnikach zerowych górnych (lewa strona) po przez wyrażenie z tensorem gęstości energii o wskaźnikach górnych o wartościach przestrzennych:

${{1}\over{c^2}}{{d^2}\over{dt^2}}\int T^{00}x^lx^mdV=2\int T^{lm}dV\;$

(7.89)

Powyższy wzór jest wzorem, w której jest dokonane całkowanie po pewnej objętości, której ogranicza pewna powierzchnia zamknięta, na której powierzchni tensor gęstości energii jest równa zero, bo tak zamknięta powierzchnia jest poza obszarem, w której tensor gęstości energii jest różny od zera. Dowód powyższego lematu opiera się na zasadzie zachowawczości tensora napięć-energii dla słabego pola grawitacyjnego (1.49):

${T^{\mu\nu}}_{,\nu}=0\Rightarrow {T^{\mu 0}}_{,0}+{T^{\mu k}}_{,k}=0\Rightarrow {T^{\mu 0}}_{,0}=-{T^{\mu k}}_{,k}\;$

Zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wiedząc, że T^μν jest równe zero na zewnątrz źródła i będziemy korzystać z symetryczności tensora gęstości energii.

${{1}\over{c^2}}{{d^2}\over{dt^2}}\int T^{00}x^lx^mdV= {{1}\over{c}}{{d}\over{dt}}\int {T^{00}}_{,0}x^lx^mdV= -{{1}\over{c}}{{d}\over{dt}}\int {T^{0k}}_{,k}x^lx^mdV \;$

(7.90)

Rozwińmy tożsamość występująca we wzorze (7.90), zatem korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu trzech składników można napisać tożsamość:

$(T^{0k}x^lx^m)_{,k}={T^{0k}}_{,k}x^lx^m+T^{0k} {x^l}_{,k}x^m+T^{0k}x^l{x^m}_{,k}= {T^{0k}}_{,k}x^lx^m+T^{0k}{\delta^l}_{k}x^m+T^{0k}x^l{\delta^m}_{k}=\;$ $={T^{0k}}_{,k}x^lx^m+T^{0l}x^m+T^{0m}x^l\Rightarrow {T^{0k}}_{,k}x^lx^m=(T^{0k}x^lx^m)_{,k}-T^{0l}x^m-T^{0m}x^l\;$

(7.91)

Wyrażenie końcowe zapisane w rozważanej powyżej w punkcie (7.91) możemy podstawić do tożsamości fizycznej (7.90) wynikającej z zachowalności energii i pędu, wtedy dostajemy równanie:

${{1}\over{c^2}}{{d^2}\over{dt^2}}\int T^{00}x^lx^mdV= -{{1}\over{c}}{{d}\over{dt}}\int\left[(T^{0k}x^lx^m)_{,k}-T^{0l}x^m-T^{0m}x^l\right]dV=\;$ $-{{1}\over{c}}{{d}\over{dt}}\int T^{0k}x^lx^mdS_k+\int {T^{0l}}_{,0}x^mdV+\int {T^{0m}}_{,0}x^ldV=-\int {T^{kl}}_{,k}x^mdV-\int {T^{km}}_{,k}x^ldV \;$

(7.92)

W powyższym rozpisaniu korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamiany całek objętościowych, w której jest całkowanej po ściśle określonej nam objętości, na całkę powierzchniową, w której jest całkowanie po powierzchni zamkniętej ograniczającą wcześniej wprowadzoną objętość. Następnym krokiem jest udowodnienie poniżej tożsamości korzystając z twierdzenia z pochodnej iloczynu znanej z analizy:

$(T^{kl}x^m)_{,k}dV={T^{kl}}_{,k}x^m+T^{kl}{\delta^m}_{k}={T^{kl}}_{,k}x^m+T^{ml}\;$

(7.93)

Możemy wykorzystać tożsamość (7.93) do dalszej części dowodu (7.92), wiedząc jednocześnie że pierwsza i trzecia ciałka jest równa zero przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradzkiego-Gauusa, która jest całką po powierzchni zamkniętej, którego to T_αβ jest równa zero na tej powierzchni, wtedy dochodzimy do wniosku:

${{1}\over{c^2}}{{d^2}\over{dt^2}}\int T^{00}x^lx^mdV= -\int (T^{kl}x^m)_{,k}dV+\int T^{ml}dV-\int (T^{km}x^l)_{,k}dV+\int T^{lm}dV=\;$ $=\int T^{ml}dV+T^{lm}dV=2\int T^{ml}dV\;$

(7.94)

W powyższym dowodzie znów korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, w której na jej powierzchni całkowanej panuje zerowa wartość tensora gęstości energii. Co kończy dowód twierdzenia (7.89).

Wytwarzanie fal grawitacyjnych

Fala grawitacyjna rozchodząca się od niezerowego źródła, w której gęstość materii poza źródłem jest równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe, zatem tensor gęstości energii dla punktu poza źródłem zapisujemy wedle:

$T^{\alpha\beta}=0\;$

(7.95)

Zatem biorąc to do równania grawitacji Einsteina (1.51) i z przybliżeniem słabości pola grawitacyjnego tensor Einsteina wedle końcowego przedstawienia (5.17), jeśli będziemy wykorzystywać (7.95), zapisujemy wtedy go łącząc to z prawem grawitacji Einsteina:

$G^{\alpha\beta}=\kappa T^{\alpha\beta}\Rightarrow G^{\alpha\beta}=0\Rightarrow {{1}\over{2}}\square\overline{h}_{\alpha\beta}=0\;$

(7.96)

Rozwiązaniem równań grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacji (7.96) jest wyrażenie $\overline{h}_{\alpha\beta}\;$, która jest zależna od stałej częstotliwości kołowej Ω i czasu t:

$\overline{h}_{\alpha\beta}=B_{\alpha\beta}e^{-i\Omega t}\;$

(7.97)

Aby sprawdzić jakie B_αβ spełnia równanie (7.96) dla odpowiedzi (7.97), to po podstawieniu naszego rozwiązania do rozważanego równania różniczkowego, mamy:

$\square B_{\alpha\beta}e^{-i\Omega t}=0\Rightarrow\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+\nabla^2\right)B_{\alpha\beta}e^{-i\Omega t}=0\Rightarrow \left({{\Omega^2}\over{c^2}}+\nabla^2\right)B_{\alpha\beta}=0\;$

(7.98)

Można udowodnić, że rozwiązanie w $B_{\alpha\beta}\;$ równania różniczkowego (7.98) jest rozwiązanie w postaciach zależnych od dwóch niezależnych stałych występujące w dwóch składnikach osobno:

$B_{\alpha\beta}={{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}+{{Z_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}\;$

(7.99)

Sprawdźmy czy (7.99) jest rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (7.98), zatem jeśli obierzemy definicję kwadratu Δ=∇² we współrzędnych kulistych, zatem operator Δ zapisujemy w postaci:

$\Delta=\nabla^2={{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda$

to policzmy, czy rozwiązanie (7.99) jest poprawnym rozwiązaniem dla równania różniczkowego (7.98) dla promienia od źródła, który się znajduje dla r=0, wtedy przejdźmy do właściwej idei dowodu:

$\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+\nabla^2\right)B_{\alpha\beta}=\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda\right) \left({{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}+{{Z_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}\right)=$ $=\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)\right){{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}+\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)\right){{Z_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}$

(7.100)

Wyznaczmy pierwszy składnik w (7.100), czyli ile jest on równy:

$\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}(r)}\right){{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}={{\Omega^2}\over{c^2}}{{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}+{{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}\left(r{{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}\right)=\;$ $= {{\Omega^2}\over{c^2}}{{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}-{{\Omega^2}\over{c^2}}{{1}\over{r}}A_{\alpha\beta}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}=0$

(7.101)

zatem ten nasz pierwszy składnik w (7.100) wedle (7.101) jest równy zero, dla drugiego wyrazu mamy podobnie, a dowód przebiega analogicznie jak dla (7.101), zatem dochodzimy do wniosku, że rozwiązanie (7.99) jest rozwiązaniem (7.98) poprawnym. W rozwiązaniu w (7.99) wybierzmy tylko pierwszy wyraz, a w przypadku drugiego wyrazu stałą w nim występującą wyzerujmy, bo to równanie ma dwie niezależne stałe w dwóch niezależnych składnikach, bo tak robimy, że interesuje nasz rozwiązania rozchodzące się od źródła:

$B_{\alpha\beta}={{A_{\alpha\beta}}\over{r}}e^{i{{\Omega}\over{c}}r}\;$

(7.102)

Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które będą w przyszłości nam potrzebne. Obierzmy kulę, która ma promień ε, którego promień jest zaniedbywalnie mały. Zakładamy, że źródło jest niezerowe tylko wewnątrz sfery o promieniu podanym wyżej, zatem przejdźmy do dzieła.

$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\oint {{\Omega^2}\over{c^2}}B_{\alpha\beta}d^3x\leq{{\Omega^2}\over{c^2}}(B_{\mu\nu})_{max}d^3x=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{\Omega^2}\over{c^2}}(B_{\alpha\beta})_{max}{{4}\over{3}}\pi\epsilon^3=0$

(7.103)

Pozostało nam jeszcze do obliczenia całkę z działania operatora ∇ względem infinitezymalnej objętości, którego to B_αβ jest zależna od trzech współrzędnych i czasu w kartezjańskim układzie współrzędnych, która jest przestrzenią zanurzoną w czasoprzestrzeni czterowymniarowej:

$\int \nabla^2B_{\alpha\beta}d^3x=\oint\nabla B_{\alpha\beta} d\vec{S}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\oint\nabla B_{\alpha\beta} d\vec{S}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}4\pi\epsilon^2{{d}\over{dr}}B_{\alpha\beta}=\;$ $=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}4\pi\epsilon^2{{d}\over{dr}}{{1}\over{r}}A_{\alpha\beta}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}4\pi\epsilon^2A_{\alpha\beta}\left[ |-{{1}\over{r^2}}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}-{{1}\over{r}}i{{\Omega}\over{c}}e^{-i{{\Omega}\over{c}}r}|_{r=\epsilon} \right]=\;$ $= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\left(-4\pi\epsilon^2A_{\alpha\beta}\right){{1}\over{\epsilon^2}} e^{-i{{\Omega}\over{c}}\epsilon}-4\pi\epsilon^2{{1}\over{\epsilon}}i{{\Omega}\over{c}}e^{-i{{\Omega}\over{c }}\epsilon}\right]=\;$ $=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(-4\pi-4\pi\epsilon i {{\Omega}\over{c}}\right)A_{\alpha\beta}e^{-i{{\Omega}\over{c}}\epsilon}=-4\pi A_{\alpha\beta}$

(7.104)

Następnym wyrażeniem pomocniczym, która korzysta z udowodnionych tożsamości, którego to pierwsza jest równa zero, a druga jest równa stałej tożsamości, czyli za pomocą tożsamości (7.103) i (7.104) możemy wyznaczyć wyrażenie:

$\int\left({{\Omega^2}\over{c^2}}+\nabla^2\right)B_{\alpha\beta}dV=-4\pi A_{\alpha\beta}\;$

(7.105)

Równaniem grawitacji, którego to równanie jest zapisywane w punkcie (1.51), wewnątrz źródła jest opisane wedle wzoru ze stałą $\kappa\;$, która jest równa (5.46), którego to zapis jest za pomocą tensora napięć-energii i tensora $_{\overline{h}_{\alpha\beta}}\;$, dla słabego pola grawitacyjnego jest wyrażona:

${{1}\over{2}}\square\overline{h}_{\alpha\beta}={{8\pi G}\over{c^4}}T_{\alpha\beta}\Rightarrow \left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}+\nabla^2\right)\overline{h}_{\alpha\beta}={{16\pi G}\over{c^4}}T_{\alpha\beta}\Rightarrow \left({{\Omega^2}\over{c^2}}+\nabla^2\right)\overline{h}_{\alpha\beta}={{16\pi G}\over{c^4}}T_{\alpha\beta}\;$

(7.106)

Przecałkujmy wyrażenie (7.106) obustronnie i wiedząc, że mamy definicję rozwiązania (7.97) i w nim stałej (7.102) dla rozmiarów kuli dążącej do prawie do zera, bo nasze źródło jest prawie punktowe:

$(-4\pi A_{\alpha\beta})e^{-i\Omega t}={{16\pi G}\over{c^4}}\int T_{\alpha\beta}dV\;$

(7.107)

zatem możemy powiedzieć, że tensor A_αβ jest zapisany jako całka z iloczynu tensora energii i napięć przez funkcję eksponencjalną , którego argumentem jest funkcja zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej, a przed tą naszą rozważaną całką występują stałe mówiące o stałej grawitacji i prędkości światła c:

$A_{\alpha\beta}=-{{4G}\over{c^4}}\int T_{\alpha\beta}e^{i\Omega t}dV\;$

(7.108)

Jeśli oznaczymy definicję gęstości tensora energii poprzez amplitudę drgań tensora gęstości energii i częstotliwość kołowa tych drgań i całkę występującą po prawej stronie (7.108) poprzez definicję (7.109), to możemy zdefiniować wyrażenie na J_αβ jako całkę po pewnej objętości zamkniętej po amplitudzie drgać omawianego tensora gęstości energii:

$T_{\alpha\beta}=S_{\alpha\beta}e^{-i\Omega t}\;$ (7.109)

$J_{\alpha\beta}=\int T^{\alpha\beta}e^{i\Omega t}\Rightarrow J_{\alpha\beta}=\int S_{\alpha\beta}dV\;$ (7.110)

Wtedy stałą A_αβ (po lewej stronie w (7.108)) i wedle definicji tensora gęstości energii poprzez stałą amplitudy (7.109) i wykorzystując przy tym fakt, że w definicji tensora J_αβ zapisanej w punkcie (7.110), zatem tensor A_αβ jest zapisany na podstawie tychże danych w zależności od tensora J_αβ w postaci:

$A_{\alpha\beta}=-{{4G}\over{c^4}}J_{\alpha\beta}\;$

(7.111)

Jest to amplituda fal grawitacyjnych występująca we wyrażeniu (7.102) i wyrażona jest przez całkę z amplitudy drgań tensora gęstości energii. Rozwiązanie dla słabych pól grawitacyjnych wykorzystując wzór (7.111), przyjmuje postać:

$\overline{h}_{\alpha\beta}=-{{4G}\over{c^4}}J_{\alpha\beta}{{e^{i({{\Omega}\over{c}}r-\Omega t)}}\over{r}}\;$

(7.112)

Jest to rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzanych przez źródła prawie punktowe i nierelatywistyczne, które wytwarzają te właśnie fale zwane promieniowaniem grawitacyjnym.

Właściwości fali grawitacyjnej dla jednego wskaźnika zerowego górnego

Jeśli wykorzystamy równanie (7.110), którego wielkość jest całką amplitudy po infinitezymalnej objętości tensora gęstości energii oraz korzystając z definicji tensora gęstości energii dla źródła fal grawitacyjnych (7.109), co można wykorzystać mnożąc (7.110) przez niezerowe wyrażenie $e^{-i\Omega t}\;$:

$J_{\mu\nu}e^{-i\Omega t}=\int T_{\alpha\beta}dV\;$

(7.113)

I jeśli zróżniczkujemy obie strony wyrażenia (7.113) względem czasu w sekundach, ale przedtem podnosząc wszystkie wskaźniki do góry i biorąc jednocześnie drugi wskaźnik jako zerowy, wtedy mamy:

$-i\Omega J^{\mu 0}e^{-i\Omega t}=\int {T^{\mu 0}}_{,0}dV=\int {T^{\mu k}}_{,k}dV=\oint T^{\mu k}n_kdS=0\;$

(7.114)

Powyższe równanie zachodzi, bo tensor gęstości energii po za źródłem fal grawitacyjnych jest równy zero, a my całkujemy po powierzchni, która otacza nasze źródło naszego promieniowania. W powyższych obliczeniach przyjęliśmy, że tensor gęstości energii na zewnątrz źródła jest równy zero na zewnątrz badanego źródła, bo wytwarzać fal grawitacyjnych jest bardzo mały, otrzymujemy:

$J^{\mu 0}=0\Rightarrow \overline{h}^{\mu 0}=0\;$

(7.115)

Dalsze zerowania się tensora metrycznego $\overline{h}^{\mu \nu}\;$wynika stąd, gdy skorzystamy z symetryczności tensora (7.94), a także wynikającego z symetryczności tensora J^μν (7.110), wynika poprzez to (7.1112) symetryczność tensora $\overline{h}^{\mu\nu}\;$.

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy definiujemy poprzez tensor gęstości energii o wskaźnikach dwóch górnych i zerowych i wyrazimy ją poprzez funkcję fali o częstotliwości kołowej Ω (eksponens z argumentu iΩt) i przez tensor D^lm:

$I^{lm}=\int T^{00}x^lx^mdV=D^{lm}e^{-i\Omega t}\;$

(7.116)

Jeśli zachodzi tożsamość (7.113), to na podstawie tożsamości zdefiniowanej w (7.89), możemy napisać, dokonując pewnych przekształceń i wykorzystania wzoru (7.116) dla wskażników l,m=1,2,3 w sposób:

$J^{lm}e^{-i\Omega t}=\int T^{lm}dV\Rightarrow J^{lm}e^{-i\Omega t}={{1}\over{2c^2}}{{d^2}\over{dt^2}}\int T^{00}x^lx^mdV\Rightarrow J^{lm}e^{-i\Omega t}=\;$ $=-{{\Omega^2}\over{2c^2}}D^{lm}e^{-i\Omega t}\Rightarrow J^{lm}=-{{\Omega^2}\over{2c^2}}D^{lm}\Rightarrow J_{lm}=-{{\Omega^2}\over{2c^2}}D_{lm}\;$

(7.117)

Rozwiązanie (7.112) na podstawie obliczeń (7.116), wykorzystując fakt (7.115), który mówi, że jedynymi elementami tensora poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego w postaci fal grawitacyjnych$\overline{h}_{\alpha\beta}\;$ są równe zero, gdy zachodzi dla α=0 lub β=0. Zatem wskaźniki przy naszym tensorze są równe 1,2,3, zatem dochodzimy wtedy do wniosku, że zachodzi ogólne rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzane przez źródła prawie punktowe o niezerowych elementach:

$\overline{h}_{lm}={{2G\Omega^2}\over{c^6}}D_{lm}{{e^{i\left({{\Omega}\over{c}}r-\Omega t\right)}}\over{r}}\;$

(7.118)

Tensory poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy obliczyć ze wzoru (5.21), gdy mamy już policzone (7.118).

Układ dwóch kulek jako układ prostego oscylatora

Widzimy, że na podstawie wzorów (7.116), że gdy I^lm(t), to dla t=0 ono jest równe D^lm, to wtedy mając cechowanie, w której dwuwskaźnikowe tensory krzywizny fali grawitacyjnej (7.2), w której w pewnym cechowaniu tensor amplitudy jest równy (7.25), wtedy tensory (7.118) w tym cechowaniu możemy przepisać:

$\overline{h}^{TT}_{zi}=0\;$

(7.119)

$\overline{h}_{xx}^{TT}=-\overline{h}_{yy}^{TT}={{G\Omega^2}\over{c^6}}\left(\not{I}_{xx}-\not{I}_{yy}\right)\left(t-{{r}\over{c}}\right)\;$

(7.120)

$\overline{I}_{xy}^{TT}=2{{G\Omega^2}\over{c^6}}\not{I}_{xy}\left(t-{{r}\over{c}}\right)\;$

(7.121)

Przy powyższych uwagach wprowadziliśmy tensor bezśladowy z definiowany w oparciu o tensor I^lm (7.116):

$\not{I}_{lm}=I_{lm}-{{1}\over{3}}\delta_{lm}{I^l}_l\;$

(7.122)

Rozważmy teraz falę emitowaną przez prosty oscylator fal grawitacyjnych, których wykrywamy, za pomocą detektora pokazywanego w punkcie Detekcja fal grawitacyjnych. Ten detektor też wytwarza fale grawitacyjne, w których obie masy drgają z częstotliwością ω i z amplitudą A wokół średniego położenia równowagi. W tym przykładzie detektora fal mamy tylko składową I_xx nierównej zero, tą składową możemy policzyć mając na uwadze harmoniczne drgania:

$I_{xx}=mc^2\left[(x_1)^2+(x_2)^2\right]=mc^2\left[\left(-{{1}\over{2}}l_0-A\cos\omega t\right)^2+\left({{1}\over{2}}l_0+A\cos\omega t\right)^2\right]=\;$ $=mc^2{{1}\over{4}}l_0^2+A^2m\cos^2\omega t+l_0mc^2Acos\omega t+{{1}\over{4}}ml_0^2+A^2mc^2\cos^2\omega t+l_0Amc^2\cos\omega t=\;$ $={{1}\over{2}}mc^2l_0^2+2mA^2\cos^2\omega t+2l_0Amc^2\cos\omega t={{1}\over{2}}mc^2l_0^2+2mA^2+mc^2A^2\cos 2\omega t+2l_0Amc^2\cos\omega t$

(7.123)

Zdefiniujmy teraz elementy tensora (7.122) mając na uwadze element tensora I_xx (7.123) przy częstotliwości kołowej ω, czyli wykorzystując czwarty wyraz powyższych końcowych obliczeń możemy zdefiniować elementy tensora (7.122):

$\begin{cases} \not{I}_{xx}=I_{xx}-{{1}\over{3}}{I^l}_{l}={{2}\over{3}}I_{xx}={{4}\over{3}}c^2ml_0Ae^{-i\omega t}\\ \not{i}_{yy}={I}_{zz}-{{1}\over{3}}I_{xx}={{1}\over{3}}I_{xx}=-{{2}\over{3}}ml_0c^2Ae^{-i\omega t} \end{cases}\;$

(7.124)

Zdefiniujmy teraz tensory (7.119), (7.120) i (7.121) w oparciu o tensor (7.124):

$\overline{h}_{xx}=-\overline{h}_{yy}={{2mGl_0A}\over{c^4}}e^{i\omega\left({{r}\over{c}}-t\right)}\;$ (7.125)

$\overline{h}_{xy}^{TT}=0\;$ (7.126)

Jeśli uwzględnimy człon trzeci w końcowych obliczeniach (7.123), wtedy wzór na tensor $\overline{I}_{xx}\;$ i $\overline{I}_{yy}\;$, który powstaje z (7.120) po zastąpieniu Ω przez 2ω, wtedy otrzymujemy:

$\overline{h}_{xx}^{TT}=-\overline{h}_{yy}^{TT}={{4mG\omega^2A^2}\over{c^4}}e^{2i\omega\left({{r}\over{c}}-t\right)}\;$ (7.127)

$\overline{h}_{xy}^{TT}=0\;$ (7.128)

Całkowite promieniowanie wytwarzane przez prosty oscylator jest częścią rzeczywistą sumy składników, tzn. (7.125) i (7.127):

$\overline{h}_{xx}^{TT}={{2mG\omega^2l_0}\over{c^4}}\cos\omega\left({{r}\over{c}}-t\right)+{{4mG\omega^2A^2}\over{c^4}}\cos 2\omega\left({{r}\over{c}}-t\right)\;$

(7.129)

Układ podwójny gwiazd o jednakowych masach

Bardziej wygodniejszym przykładem jest podwójmy układ gwiezdny dwóch jednakowych gwiazd, które krążą po orbicie o promieniu $_{{{1}\over{2}}l_0}\;$, czyli wokół wspólnego środka masy, wtedy równanie ruchu z drugiej zasady dynamiki dynamiki Newtona jest:

$G{{m^2}\over{l_0^2}}=m\omega^2\left({{l_0}\over{2}}\right)\Rightarrow\omega=\left({{2Gm}\over{l_0^3}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;$

(7.130)

Położenia układu dwóch gwiazd opiszemy przy odpowiednich wyborze współrzędnych, przy czym oznaczamy przez jedynkę pierwszą gwiazdę, a przez dwójkę drugą gwiazdę:

$\begin{cases} x_1(t)={{1}\over{2}}l_0\cos\omega t&y_1(t)={{1}\over{2}}l_0\sin\omega t\\ x_2(t)=-x_1(t)&y_2(t)=-y_1(t) \end{cases}\;$

(7.131)

Wiedząc, ze tensor kwadrupolowy definiujemy sposobem I_ik=mc²x_ix_k według (7.116), wtedy te elementy tego tensora możemy napisać dla podwójnego układu gwiazd, których ich współrzedne zdefiniowane są sposobem (7.131):

$\begin{cases} I_{xx}=m c^2x^2_1(t)={{1}\over{4}}c^2l_0^2\cos^2\omega t={{1}\over{4}}mc^2l_0^2\cos2\omega t+\operatorname{const}\\ I_{yy}=mc^2y^2_1(t)={{1}\over{4}}c^2l_0^2\sin^2\omega t=-{{1}\over{4}}mc^2l_0^2\cos2\omega t+\operatorname{const}\\ I_{xy}=mc^2x_1(t)y_1(y)={{1}\over{4}}c^2ml_0^2\sin2\omega t\\ \end{cases}\;$

(7.132)

Napiszmy teraz czemu są równe tensory $\not{I}_{lm}\;$ dla naszego badanego układu wykorzystując jego definicję (7.22), do którego wykorzystamy już policzone elementy tensora I_lm, czyli I_xx, I_yy i I_xy, wiedząc, że I^l_l=0 na podstawie definicji elementów I_lm (7.132):

$\begin{cases} \not{I}_{xx}=-\not{I}_{yy}={{1}\over{4}}mc^2l_0^2e^{-2i\omega t}\\ \not{I}_{xy}={{1}\over{4}}imc^2l_0^2e^{-2i\omega t}\\ \end{cases}\;$

(7.133)

Patrząc na wzory (7.120) i (7.121) dla Ω=2ω i na elementy tensora $\not{I}_{lm}\;$(7.133), wtedy można zapisać wzory na promieniowanie rozchodzące się wzdłuż kierunku zetowego:

$\begin{cases} \overline{h}_{xx}^{TT}=-\overline{h}_{yy}={{2mGl_0^2}\over{c^4}}\omega^2{{e^{2i\omega\left({{r}\over{c}}-t\right)}}\over{r}}\\ \overline{h}_{xy}^{TT}={{2imGl_0^2\omega^2}\over{c^4}}{{e^{2i\omega({{r}\over{c}}-t)}}\over{r}}\end{cases}\;$

(7.134)

Równanie falowe i jego ścisłe rozwiązanie

Ścisłe rozwiązanie falowe dla fali grawitacyjnej dla źródła punktowego jest (7.112), weźmy sobie pewne źródło składające się ze źródeł punktowych, i w ten sposób fala grawitacyjna dociera pokolei do kolejnych punktów tego ośrodka w czasie t'=t-R/c, wtedy mamy wzór na elementy tensora $\overline{h}_{\mu\nu}\;,$ dla tego niepunktowego źródła:

$\overline{h}_{\mu\nu}=-{{4G}\over{c^4}}\int J_{\mu\nu}(\vec{r},t^'){{e^{i\Omega\left({{R}\over{c}}-t\right)}}\over{R}}dV=-{{4G}\over{c^4}}\int {{T_{\mu\nu}(t^',x^i)}\over{R}}e^{i\Omega t^'}e^{i\Omega\left({{R}\over{c}}-t\right)}dV=\;$ $=-{{4G}\over{c^4}}\int{{T_{\mu\nu}\left(t-{{R}\over{c}},x^i\right)}\over{R}}d^3x\;$

(7.135)

Weźmy sobie punkt w którym będziemy obserwować falę grawitacyjną, który jest bardzo daleko od źródła fali grawitacyjnej, wtedy powiemy:

$\left[\sum_i(y^i)^2\right]^{{{1}\over{2}}}\equiv r>>\left[\sum_i(x^i)^2\right]^{{{1}\over{2}}}\;$

(7.136)

Przy tak zachodzącym warunku (7.136) możemy napisać, pod którą pod całką występuje tensor napięć energii a przed całką jest odwrotność promienia r, która wyszła z całki, która była pod postacią R, bo dla małego źródła r i R praktycznie się nie różnią:

$\overline{h}_{\mu\nu}\simeq-{{4G}\over{c^4r}}\int T_{\mu\nu}d^3x\;$

(7.137)

Do wzoru (7.137) możemy wykorzystać (7.89) i definicję tensora kwadrupolowego (7.116), wtedy tensor fali grawitacyjnej przyjmuje wtedy kształt:

$\overline{h}_{lm}=-{{2G}\over{c^4r}}I_{lm,0,0}\left(t-{{r}\over{c}}\right)\;$

(7.138)

Jeśli w prowadzimy cechowanie TT, to wtedy wzór na elementy tensora fali grawitacyjnej są:

$\overline{h}_{xx}^{TT}=-{{G}\over{c^4r}}\left[\not{I}_{xx,00}\left(t-{{r}\over{c}}\right)-\not{I}_{yy,00}\left(t-{{r}\over{c}}\right)\right]\;$ (7.139)

$\overline{h}_{xy}^{TT}=-{{2G}\over{c^4r}}\not{I}_{xy,00}\left(t-{{r}\over{c}}\right)\;$ (7.140)

Energia przenoszona przez fale grawitacyjne wytwarzane przez układ oscylatorów grawitacyjnych

Przy pomocy wcześniejszych rozważań zorientowaliśmy się, że fale grawitacyjne przenoszą energię. Fale grawitacyjne unoszą energię od swych źródeł zabierając im energię. Rozważmy teraz ciało próbne, który nie wpływa na pole fali grawitacyjnej, czyli jego wpływ jest zaniedbywalny, wtedy takie podejście jest niekonsystentne, zatem jeśli przez ciało przechodzi fala grawitacyjna, to po przejściu jego przez układ mas, to fala grawitacyjna powinna być słabsza, tzn. układ ciał przez które przechodzi się fala grawitacyjna, sama staje się jego źródłem. Rozważmy teraz falę padającą o częstotliwości kołowej ω, to fala wyemitowana przez ciało jest emitowana z tą samą częstotliwością, więc fale przechodząca przez układ mas jest zatem sumą dwóch fal, tzn. fali padającej i fali wyemitowanej. Zobaczymy, że te dwie fale interferują one ze sobą dekonstruktywnie, obniżając wypadkową fali w tym kierunku. W innych kierunkach nie ma interferencji, i fale przechodzą jedno koło drugiej.

Fala grawitacyjna i jego strumień energii

Załóżmy, że mamy falę grawitacyjną wytwarzaną przez układ oscylatorów, który jest układem mas znajdujących się w pewnej płaszczyźnie, wtedy bardzo wygodnie jest rozważanie nie jako oscylatora harmonicznego wytwarzającego fale grawitacyjne, ale układ oscylatorów znajdujących się w płaszczyźnie dla z=0. Oscylatory w rozważanej płaszczyźnie są bardzo blisko siebie, więc je możemy uważać jako układ ciągły oscylatorów, i wprowadźmy przez σ jako liczbę oscylatorów przez jednostkę powierzchni. Fala padająca na układ oscylatorów znajdujących się na płaszczyźnie przy cechowaniu (7.25) określamy przez wzory:

$\overline{h}_{xx}^{TT}=A\cos\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)\;$ (7.141)

$\overline{h}_{yy}^{TT}=-\overline{h}_{xx}^{TT}\;$ (7.142)

Przy przejściu fali grawitacyjnej przez naszą rozważaną płaszczyznę układu oscylatorów, wtedy ten układ odpowie stabilną oscylacją:

$\xi=R\cos(\Omega t+\phi)\;$

(7.143)

Wielkości R i φ są to wielkości opisane poprzez wzory na φ (7.69) i na R (7.76). Nasz rozważany ruch jest stabilny ponieważ energia dostarczana przez przechodzącą falę grawitacyjną poprzez sprężynkę jest rozpraszana w wyniku tarcia w oscylatorach w których energia jest kompensowana przez pracę wykonywaną na sprężynkach przez pływowe siły fali grawitacyjnej. Fala grawitacyjna dostarcza energii każdemu oscylatorowi równą:

${{dE}\over{dt}}=\nu\left({{\partial\xi}\over{\partial t}}\right)^2=m\gamma \left({{\partial\xi}\over{\partial t}}\right)^2\;$

(7.144)

Uśrednienie energii dostarczanej przez falę w ciągu jednego okresu równej T=2π/Ω dla wyrażenia (7.138), w wyniku tego mamy uśrednioną energię z definicji wartości średniej:

$\left\langle{{dE}\over{dt}}\right\rangle= {{1}\over{{{2\pi}\over{\Omega}}}}\int_0^{{{2\pi}\over{\Omega}}}m\gamma\Omega^2R^2\sin^2(\Omega t+\phi)dt= {{m\gamma\Omega^3R^2}\over{2\pi}}\int_0^{{{2\pi}\over{\Omega}}}{{1}\over{2}}(1-\cos\left(2\Omega t+2\phi)\right)=\;$ $= {{m\gamma\Omega^3R^2}\over{2\pi}}{{1}\over{2}}{{2\pi}\over{\Omega}}={{1}\over{2}}m\gamma\Omega^2R^2\;$

(7.145)

Wzór (7.145) przestawia energię dostarczaną do układu oscylatorów przez falę grawitacyjną, przy σ oscylatorach energia fali zmniejsza się przy przejściu przez płaszczyznę o wartość:

$\delta F=-{{1}\over{2}}\sigma m\gamma\Omega^2R^2\;$

(7.146)

Każdy oscylator ma tensor kwadrupolowy zapisanej przez wzór (7.123), w której zastąpimy ω t przez Ωt+φ, a A przez R/2. Ponieważ w naszym przypadku R jest niewielkie, to człon jego trzeci możemy pominąć, i w ten sposób otrzymujemy tensor kwadrupolowy:

$I_{xx}=mc^2l_0R\cos(\Omega t+\phi)\;$

(7.147)

Według wzoru (7.118) każdy oscylator wytwarza falę grawitacyjną:

$\delta\overline{h}_{xx}={{2G\Omega^2ml_0R}\over{c^4}}{{\cos\left[\Omega(r-t)-\phi\right]}\over{r}}\;$

(7.148)

Geometria płaszczyzny potrzebna do obliczenia poprawki dla fali grawitacyjnego

Ilość oscylatorów na powierzchni $\pi\tilde{\omega}^2\;$ jest $\pi\tilde{\omega}^2\sigma\;$, a ilość oscylatorów znajdujących się na powierzchni pomiędzy $\tilde{\omega}\;$, a $\tilde{\omega}+d\tilde{\omega}\;$ jest wyrażona przez $2\pi\sigma\tilde{\omega}d\tilde{\omega}\;$, wtedy całkowity tensor $\overline{h}_{xx}\;\;$ możemy wyrazić przez:

$\delta \overline{h}_{xx}^{all}={{2G\Omega^2ml_0R}\over{c^4}}2\pi\int_0^{\infty}\sigma\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]{{\overline{\omega}d\overline{\omega}}\over{r}}\;$

(7.149)

Z rysunku obok należy zauważyć, że $r^2=z^2+\tilde{\omega}^2\Rightarrow rdr=\tilde{\omega}d\tilde{\omega}\;$, i w ten sposób wykorzystując to do wzoru (7.149):

$\delta \overline{h}_{xx}^{all}={{2G\Omega^2ml_0R}\over{c^4}}2\pi\int_z^{\infty}\sigma\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]dr\;$

(7.150)

Całka (7.150) jest całką rozbieżną, gdy przyjmować będziemy σ jako stałą, więc σ możemy uczynić jako funkcję σ(z)e^{ε r} i pozwoleniu by przy scałkowaniu dla ε dążyło do zera, i w ten sposób mamy całkę do policzenia:

$\delta \overline{h}_{xx}^{all}={{4\pi G\Omega^2ml_0R}\over{c^4}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_z^{\infty}\sigma(z)e^{-\epsilon r}\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]dr\;$

(7.151)

Wyznaczmy teraz dokładną całkę występującą we wzorze (7.151) po prawej jego stronie:

$\int_z^{\infty}e^{-\epsilon r}\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]dr= -{{1}\over{\epsilon}}e^{-\epsilon r}\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]\Bigg|_{z}^{\infty}-\;$ $-{{\Omega}\over{c\epsilon}}\int_z^{\infty}e^{-\epsilon r}\sin\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]=-{{1}\over{\epsilon}}e^{-\epsilon z}\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]+\;$ $-{{\Omega}\over{c\epsilon^2}}e^{-\epsilon r}\sin\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\psi\right]-{{\Omega^2}\over{c^2\epsilon^2}}\int_z^{\infty}e^{-\epsilon r}\sin\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]\Rightarrow\;$ $\Rightarrow {{c^2\epsilon^2+\Omega^2}\over{c^2\epsilon^2}}\int_z^{\infty}e^{-\epsilon r}\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]dr=-{{1}\over{\epsilon}}e^{-\epsilon z}\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]+\;$ $-{{\Omega}\over{c\epsilon^2}}e^{-\epsilon z}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]\Rightarrow\int_z^{\infty}e^{-\epsilon r}\cos\left[\Omega\left({{r}\over{c}}-t\right)-\phi\right]dr=\;$ $=-{{c^2\epsilon}\over{c^2\epsilon^2+\Omega^2}}e^{-\epsilon z}\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]-{{c\Omega}\over{c^2\epsilon^2+\Omega^2}}e^{-\epsilon z}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]$

(7.152)

Całkę policzoną w punkcie (7.152) podstawiamy do wzoru (7.151), i w ostatecznych rozrachunkach dostajemy:

$\delta \overline{h}_{xx}^{all}=-{{4\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]\;$

(7.153)

Aby porównać pole (7.153) z falą padającą (7.135) należy to przedostatnie napisać w cechowaniu TT, bo ono pierwotnie nie było w tym cechowaniu, otrzymujemy:

$\delta\overline{h}_{xx}^{TT}=-\delta\overline{h}_{yy}^{TT}=-{{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]\;$

(7.154)

Wypdadkowa fala grawitacyjna piszemy jako sumę fali grawitacyjnej padającej (7.135) na układ oscylatorów fali grawitacyjnej wytwarzanej przez układ oscylatorów w płaszczyźnie (7.154) i w rezultacie otrzymujemy:

$\overline{h}_{xx}^{wypadkowe}=\overline{h}_{xx}^{TT}+\delta \overline{h}^{TT}_{xx}=A\cos \left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)\right]-{{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\phi\right]=\;$ $= A\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi+\psi\right]-{{2\pi G\Omega\sigma m l_0 R}\over{c^3}}\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi+\psi-\phi\right]=\;$ $= A\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\cos\psi+A\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\sin\psi-\;$ $-{{2\pi G\Omega\sigma m l_0 R}\over{c^3}}\Bigg\{\sin\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\underbrace{\cos(\psi-\phi)}_{\cos\psi\cos \phi+\sin\psi\sin\phi}+\;$ $+\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\underbrace{\sin(\psi-\phi)}_{\sin\psi\cos\phi-\cos\psi\sin\phi}\Bigg\}\;$

(7.155)

Powyższe obliczenia będziemy przeprowadzali dla małych wielkości R, czyli z dokładnością wyrazów pierwszego rzędu względem R, wtedy według powyższych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.155) możemy napisać :

$\overline{h}_{xx}^{wypadkowe}\simeq A\cos\psi\left(1+{{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\phi\right)\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\cos\psi+\;$ $+\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)\right]\left(A\sin\psi-{{2\pi G\Omega\sigma l_0R }\over{c^3}}\cos\psi\cos\phi\right)$

(7.156)

W powyższych obliczeniach należy przyjąć zachodzący warunek na kąt ψ:

$\sin\psi-{{2\pi G\Omega\sigma l_0R }\over{c^3}}\cos\psi\cos\phi=0\Rightarrow\operatorname{tg}\psi={{2\pi G\Omega \sigma l_0R}\over{Ac^3}}\cos\phi\;$

(7.157)

W ten sposób otrzymujemy zależność na tensor $\overline{h}_{xx}^{wypadkowe}\;$, który przepisujemy z (7.156) przy zachodzącej tożsamości (7.157):

$\overline{h}_{xx}^{wypadkowe}\simeq A\left(1+{{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\phi\right)\cos\left[\Omega\left({{z}\over{c}}-t\right)-\psi\right]\;$

(7.158)

Wypadkowym efektem przy przejściu fali grawitacyjnej jest zmniejszenie jego amplitudy patrząc na (7.158) o wartość (R ujemne według (7.76)):

$\delta A={{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\phi\;$

(7.159)

Zmniejszenie amplitudy o wartość (7.159) towarzyszy temu zmiana strumienia energii opisanej przez (7.140), po skorzystaniu wzorów (7.76) i z (7.74), co w rezultacie daje mam zastanawiający wynik:

${{\delta F}\over{\delta A}}={{-{{1}\over{2}}\sigma m\gamma\Omega^2R^2}\over{{{2\pi G\Omega \sigma ml_0R}\over{c^3}}\sin\phi}}=-{{\gamma\Omega Rc^3}\over{4\pi Gl_0\sin\phi}}=-{{\gamma\Omega c^3}\over{4\pi Gl_0}}{{R}\over{\sin\phi}}={{\gamma\Omega c^3}\over{4\pi Gl_0}}{{l_0A\Omega^2}\over{4\gamma\Omega}}={{c^3}\over{16\pi G}}\Omega^2A\;$

(7.160)

Wzór (7.160) możemy przecałkować względem argumentu A, i w ten sposób otrzymujemy całkowity strumień energii F w zależności od amplitudy fali A i częstości Ω:

$F={{c^3}\over{32\pi G}}\Omega^2A^2\;$

(7.161)

Średnią po kwadracie dla amplitudy A możemy napisać wzorem poniżej, a także po podstawieniu tego do (7.161) mając na myśli tylko dwie niezależne składowe rozważanego tensora:

$\langle{\overline{h}_{xx}^{TT}}^2\rangle={{1}\over{2}}A^2\;$ (7.162)

$F={{c^3}\over{32\pi G}}\Omega^2\langle\overline{h}_{\mu\nu}^{TT}{\overline{h}^{\mu\nu}}^{TT}\rangle\;$ (7.163)

Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

Tutaj będziemy się zajmować statystyczno-sferycznymi aspektami dla gwiazd. Właściwościami takich układów, że metryka ich nie zmienia się po zastąpieniu t przez -t, a reszta współrzędnych jest taka sama po przejściu z układu, tzn. K=(t,r,θ,φ) do K^'=(-t,r,θ,φ).

Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych

Układem statycznym nazywamy układem, gdy po zamianie z t na -t, układ nie zmienia się, nazwijmy układem przed transformacją K(t,r,θ,φ), a układem po transformacji K^'(-t,r,θ,φ). Transformacja wiążąca układy od K do K' jest przedstawiona wzorem:

$q_{K^'}^{\mu}={\Lambda^{\mu}}_{\nu}q_{K}^{\nu}\;\;$

(8.1)

• gdzie q_K^'μ=(-t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w nowym układzie współrzędnych
• q_K^ν=(t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w starym układzie współrzędnych.

Z własności układów K i K^' mamy:

${\Lambda^i}_j={\delta^i}_{j}\;$

${\Lambda^t}_{i}=0\;$

${\Lambda^{i}}_t=0\;$

${\Lambda^t}_{t}=-1\;$

Następnym krokiem jest wyznaczenie elementów tensora metrycznego, wiedząc że po transformacji z K na K^' elementy tensora metrycznego nie zmieniają się i na podstawie powyższych elementów tensora (macierzy) transformacji Λ^μ_ν, dostajemy transformacje na nasz rozważany tensor:

$\begin{cases} g_{tt}={\Lambda^{\mu}}_t{\Lambda^{\nu}}_{t}g_{\mu\nu}\Rightarrow g_{tt}=({\Lambda^t}_t)^{\phi}g_{tt}\Rightarrow g_{tt}=(-1)^2g_{tt}\Rightarrow g_{tt}=g_{tt}\Rightarrow g_{tt}\in R^1\\ g_{ti}={\Lambda^{\mu}}_t{\Lambda^{\nu}}_ig_{\mu\nu}\Rightarrow g_{ti}={\Lambda^t}_t{\Lambda^i}_ig_{ti}\Rightarrow g_{ti}=-1 g_{ti}\Rightarrow g_{ti}=g_{it}=0\\ g_{rr}={\Lambda^{\mu}}_r{\Lambda^{\nu}}_rg_{\mu\nu}\Rightarrow g_{rr}=({\Lambda^r}_r)^2g_{rr}\Rightarrow g_{rr}=1^2g_{rr}\Rightarrow g_{rr}\in R^1\\ g_{ij}=0 \mbox{ dla } i\neq j \end{cases}\;$

(8.2)

Dochodzimy do wniosku, że nasza metryka dla naszego badanego układu i wedle obliczeń (8.2) metryka (kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego) przedstawia się według:

$ds^2=e^{\Phi(r)}c^2dt^2-e^{\Lambda(r)}dr^2-r^2(\sin^2\phi d\theta^2+d\phi^2)\;$

(8.3)

Ale w powyższym wzorze wyrażenie stojące się przy kwadracie promienia nazwijmy jako kwadrat różniczki pewnej funkcji:

$d\Omega^2=\sin^2\phi d\theta^2+d\phi^2\;$

(8.4)

A zatem naszą metrykę (8.3) wedle przedstawienia kwadratu różniczki pewnej funkcji (8.4) i wiedząc jeszcze, że naszej metryce występują funkcje Φ(r) i Λ(r), które są zależne od promienia r, zatem ostateczna forma naszej metryki, która ma kształt metryki Schwarzschilda z niewyznaczonymi jeszcze z naszymi funkcjami:

$ds^2=e^{\Phi(r)}c^2dt^2-e^{\Lambda(r)}dr^2-r^2d\Omega^2\;$

(8.5)

Naszym celem jest wyznaczenie funkcji Φ(r) i Λ(r) jako funkcje zależne tylko od promienia w układzie kulistym.

Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej

Macierz prosta i odwrotna tensora metrycznego w metryce statyczno-symetrycznej gwiazdy przedstawia się:

$g_{\alpha\beta}=\begin{bmatrix} e^{\Phi}&0&0&0\\ 0&-e^{\Lambda}&0&0\\ 0&0&-r^2\sin^2\phi&0\\ 0&0&0&-r^2 \end{bmatrix}\;$ (8.6)

$g^{\alpha\beta}=\begin{bmatrix} e^{-\Phi}&0&0&0\\ 0&-e^{-\Lambda}&0&0\\ 0&0&-{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}&0\\ 0&0&0&-{{1}\over{r^2}} \end{bmatrix}\;$ (8.7)

Ogólnie elementy 0,1,2,3 będziemy oznaczać przez nazwy odpowiednich zmiennych układu sferycznego i czasu, tzn. przez t,r,θ,φ.

Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki

Odległość radialną wedle (1.13) możemy policzyć z definicji interwału czasoprzestrzennego, gdzie za infinitezymalny czas i różniczek współrzędnych kątowych podstawiamy wartość zero, czyli dt = dθ = dϕ = 0, dostając wzór na odległość radialną:

$R= \int^{r_2}_{r_1}\sqrt{-g_{rr}}dr=\int^{r_2}_{r_1}e^{{{1}\over{2}}\Lambda}dr$

(8.8)

Upływ czasu własnego wedle wzoru (1.12) w polu grawitacyjnym wyraża się w zależności od czasu współrzędnościowego wzorem:

$\tau=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{g_{tt}}dt=\int^{t_2}_{t_1}e^{{{1}\over{2}}\Phi}dt$

(8.9)

Związek między czterowektorami pędu, a masą spoczynkową wyraża się wzorem (1.11), a dla cząstki ogólnie masowej, a w szczególności dla fotonu, oznaczając że jego energia wedle szczególnej teorii względności jest równa E=p₀c, a energia zaobserwowana w układzie lokalnie płaskim jest wyrażona:

${E^*}^2=m_0^2c^4-p_ip^ic^2=m_0^2c^4+\underbrace{(-p^jg_{ji}p^i)}_{p^2}=m_0^2c^4+c^2p^2\;$

(8.10)

• gdzie:$p^2=-p^jg_{ji}p_i\;$ jest to kwadrat długości pędu cząstki według jej długości przestrzennej (nie czasowej dla odróżnienia).

Na podstawie definicji (8.8) i definicji całkowitej energii cząstki poprzez kowariantny pęd cząstki pomnożonej przez prędkość światła, która jest wielkością stałą ze względu, że elementy tensora metrycznego (8.6) nie zależą od czasu, a więc energia cząstki jest zachowana na podstawie wzoru (6.36):

$p_{\mu}p^{\mu}=m_0c^2\Rightarrow p_{\mu}p^{\mu}c^2=m_0c^4\Rightarrow p_tp^tc^2+p_ip^ic^2+m_0^2c^4\Rightarrow p_tp_tg^{tt}c^2=\underbrace{m_0^2c^4-p_ip^ic^2}_{E^*}\Rightarrow\;$ $(p_tc)^2={E^*}^2g_{tt}\Rightarrow p_tc=\sqrt{g_{tt}}E^*\Rightarrow E=\sqrt{g_{tt}}E^*\Rightarrow E=\sqrt{g_{tt}}E^*\Rightarrow E=e^{{{1}\over{2}}\Phi(r)}E^*\;$

(8.11)

Bardzo daleko od źródła energia zaobserwowanego przez obserwatora jest napisana wedle wzoru (8.11), tzn. gdy założymy, gdy $\lim_{r\rightarrow 0}\Phi(r)=0\;$ w układzie lokalnie inercjalnym zmierzymy energię:$E^{*}\simeq E\;$, czyli energia zarejestrowana przez układ lokalnie płaski jest równa prawdziwej energii posiadanej przez ciało dla r bardzo dużego praktycznie niekończonego.

Gdy rozważać będziemy fotony, czyli posiadających masę spoczynkowej równą zero, to energia fotonów wyemitowanych w miejscu określonym promieniem r jest napisana: $_{E^*=h\nu_{em}}\;$, a jego energia określona w układzie lokalnie inercjalnym (układ lokalnie płaski) przedstawia się według wzoru $_{E=h\nu_{rej}}\;$:

$h\nu_{rej}=h\nu_{em} e^{{{1}\over{2}}\Phi(r)}\Rightarrow \nu_{rej}=\nu_{em}e^{{{1}\over{2}}\Phi(r)}$

(8.12)

Jeśli przedstawimy zamiast częstotliwości ν długość fali wedle wzoru $_{\lambda={{c}\over{\nu}}}\;$, wtedy zależność między długościami fali fotonów wyemitowanych a zarejestrowanych przedstawia się:

$\lambda_{rej}=\lambda_{em}e^{-{{1}\over{2}}\Phi(r)}\;$

(8.13)

Przesunięcie ku czerwieni między promieniowaniem wyemitowanym przez gwiazdę, a zarejestrowanym przez obserwatora lub przez detektor wyraża się:

$z={{\lambda_{rej}-\lambda_{em}}\over{\lambda_{em}}}= {{\lambda_{rej}}\over{\lambda_{em}}}-1=e^{-{{1}\over{2}}\Phi(r)}-1$

(8.14)

Elementy tensora Christoffela

Wyznaczmy wszystkie elementy tensora Christofela:

${\Gamma^t}_{tr}={\Gamma^t}_{rt}={{1}\over{2}}g^{tt}\left(g_{tt,r}+g_{rt,t}-g_{tr,r}\right)= {{1}\over{2}}g^{tt}g_{tt,r}={{1}\over{2}}e^{-\Phi}e^{\Phi}{\Phi}^'={{1}\over{2}}{\Phi}^'\;$

(8.15)

${\Gamma^r}_{tt}={{1}\over{2}}g^{rr}\left(g_{tr,r}+g_{tr,t}-g_{tt,r}\right)= -{{1}\over{2}}g^{rr}g_{tt,r}={{1}\over{2}}e^{-\Lambda}e^{\Phi}{\Phi}^'={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}{\Phi}^'\;$

(8.16)

${\Gamma^r}_{rr}={{1}\over{2}}g^{rr}\left(g_{rr,r}+g_{rr,r}-g_{rr,r}\right)= {{1}\over{2}}g^{rr}g_{rr,r}={{1}\over{2}}e^{-\Lambda}e^{\Lambda}{\Lambda}^'={{1}\over{2}}{\Lambda}^'\;$

(8.17)

${\Gamma^r}_{\theta \theta }={{1}\over{2}}g^{rr}\left(g_{\theta r,\theta }+g_{\theta r,\theta }-g_{\theta \theta ,r}\right)= -{{1}\over{2}}g^{rr}g_{\theta \theta ,r}=-{{1}\over{2}}e^{-\Lambda}2r\sin^2\phi=-e^{-\Lambda}r\sin^2\phi\;$

(8.18)

${\Gamma^r}_{\phi\phi}={{1}\over{2}}g^{rr}\left(g_{\phi r,\phi }+g_{\phi r,\phi }-g_{\phi \phi ,r}\right)= -{{1}\over{2}}g^{rr}g_{\phi \phi ,r}=-{{1}\over{2}}e^{-\Lambda}2r=-re^{-\Lambda}\;$

(8.19)

${\Gamma^{\theta}}_{r\theta }={{1}\over{2}}g^{\theta \theta }\left(g_{r\theta ,\theta }+g_{\theta \theta ,\phi }-g_{r\theta ,\theta }\right)= {{1}\over{2}}g^{\theta \theta }g_{\theta \theta ,\phi }={{1}\over{2}}{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}2r\sin^2\phi={{1}\over{r}}\;$

(8.20)

${\Gamma^{\theta}}_{\theta \phi }={{1}\over{2}}g^{\theta \theta }\left(g_{\theta \theta ,\phi }+g_{\phi \theta ,\theta }-g_{\theta \phi ,\theta }\right)= {{1}\over{2}}g^{\theta \theta }g_{\theta \theta ,\phi }={{1}\over{2}}{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}r^22\sin\phi\cos\phi=\operatorname{ctg}\phi\;$

(8.21)

${\Gamma^{\phi}}_{r\phi }={{1}\over{2}}g^{\phi \phi }\left(g_{r\phi ,\phi }+g_{\phi \phi ,r}-g_{r\phi ,\phi }\right)= {{1}\over{2}}g^{\phi \phi }g_{\phi \phi ,r}={{1}\over{2}}{{1}\over{r^2}}2r={{1}\over{r}}\;$

(8.22)

${\Gamma^{\phi}}_{\theta \theta }={{1}\over{2}}g^{\phi \phi }\left(g_{\theta \phi ,\theta }+g_{\theta \phi ,\theta }-g_{\theta \theta ,\phi }\right)= -{{1}\over{2}}g^{\phi \phi }g_{\theta \theta ,\phi }=-{{1}\over{2}}{{1}\over{r^2}}r^22\sin\phi\cos\phi=-\sin\phi\cos\phi\;$

(8.23)

• gdzie powyżej znak prim('), oznacza pochodną po r.

Pozostałe tensory Christoffera są równe zero.

Elementy tensora krzywizny

Policzmy tylko potrzebne czterowskaźnikowe tensory krzywizny, przy czym elementy tensora krzywizny, które w sposób trywialny są równe zero pomijamy, bo są mało ciekawe, zatem:

${R^r}_{trt}={{\partial {\Gamma^r}_{tt}}\over{\partial x^r}}-{{\partial{\Gamma^r}_{tr}}\over{\partial x^t}}+{\Gamma^r}_{tt}{\Gamma^r}_{rr}-{\Gamma^r}_{tr}{\Gamma^r}_{rt}= \left({{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\right)_{,r}+ {{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{2}}\Lambda^{'}-{{1}\over{2}}\Phi^'{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^{''}+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'(\Phi-\Lambda)^'+{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\Lambda^'-{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}(\Phi^{'})^2=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^{''}+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\Lambda^'+{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\Lambda^'-{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}(\Phi^')^2=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^{''}+{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}(\Phi^')^2-{{1}\over{4}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\Lambda^'=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)\;$

(8.24)

${R^{\theta}}_{t\theta t}={{\partial{\Gamma^{\theta}}_{tt}}\over{\partial x^{\theta}}}-{{\partial{\Gamma^{\theta}}_{t\theta }}\over{\partial x^t}}+{\Gamma^r}_{tt}{\Gamma^{\theta}}_{r\theta }-{\Gamma^r}_{t\theta }{\Gamma^{\theta}}_{rt}={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}\;$

(8.25)

${R^{\theta}}_{r\theta r}={{\partial{\Gamma^{\theta}}_{rr}}\over{\partial x^{\phi}}}-{{\partial{\Gamma^{\theta}}_{r\theta }}\over{\partial x^r}}+{\Gamma^r}_{rr}{\Gamma^{\theta}}_{r\theta }-{\Gamma^r}_{r\theta }{\Gamma^{\theta}}_{rr}=\;$ $=+{{1}\over{r^2}}+{{1}\over{2}}\Lambda^'{{1}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}= {{1}\over{2}}{{\Lambda^'}\over{r}}\;$

(8.26)

${R^{\theta}}_{\phi \theta \phi }={{\partial{\Gamma^{\theta}}_{\phi \phi }}\over{\partial x^{\theta}}}-{{\partial{\Gamma^{\theta}}_{\phi \theta }}\over{\partial x^{\phi}}}+{\Gamma^r}_{\phi \phi }{\Gamma^{\theta}}_{r\theta }-{\Gamma^r}_{\phi \theta }{\Gamma^{\theta}}_{r\phi }=\;$ $=-{{\partial\operatorname{ctg}\phi}\over{\partial\phi}}-re^{-\Lambda}{{1}\over{r}}-\operatorname{ctg}\phi\operatorname{ctg}= {{1}\over{\sin^2\phi}}-e^{-\Lambda}-{{1-\sin^2\phi}\over{\sin^2\phi}}= {{1-1+\sin^2\phi}\over{\sin^2\phi}}-e^{-\Lambda}=1-e^{-\Lambda}\;$

(8.27)

${R^{\phi}}_{t\phi t}={{\partial{\Gamma^{\phi}}_{tt}}\over{\partial x^{\phi}}}-{{\partial{\Gamma^{\phi}}_{t\phi }}\over{\partial x^t}}+{\Gamma^r}_{tt}{\Gamma^{\phi}}_{r\phi }-{\Gamma^r}_{t\phi }{\Gamma^{\phi}}_{rt}={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}\;$

(8.28)

${R^{\phi}}_{r\phi r}={{\partial{\Gamma^{\phi}}_{rr}}\over{\partial x^\phi }}- {{\partial{\Gamma^{\phi}}_{r\phi }}\over{\partial x^r}}+{\Gamma^r}_{rr}{\Gamma^{\phi}}_{r\phi }-{\Gamma^r}_{r\phi }{\Gamma^{\phi}}_{rr}= +{{1}\over{r^2}}+{{1}\over{2}}\Lambda^'{{1}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}= {{1}\over{2}}\Lambda^'{{1}\over{r}}\;$

(8.29)

Dalsze obliczenia tensorów krzywizny wynikającego z wcześniejszych obliczeń:

$R_{trr}=R_{rtrt}={R^{r}}_{trt}g_{rr}=-e^{\Lambda}{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{4}}\Phi^'\Lambda^'\right)=\;$ $=-{{1}\over{2}}e^{\Phi}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)\;$

(8.30)

${R^{t}}_{rtr}=g^{tt}R_{trtr}=-e^{-\Phi}{{1}\over{2}}e^{\Phi}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)= -{{1}\over{2}}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)\;$

(8.31)

$R_{\phi t\phi t}=g_{\phi \phi }{R^{\phi }}_{t\phi t}=-r^2{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}=-{{r}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\;$

(8.32)

${R^{t}}_{\phi t\phi }=g^{tt}R_{t\phi t\phi }=g^{tt}R_{\phi t\phi t}= e^{-\Phi}(-1){{r}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'=-{{r}\over{2}}e^{-\Lambda}\Phi^'\;$

(8.33)

$R_{\phi r\phi r}=g_{\phi \phi }{R^{\phi}}_{r\phi r}=-r^2{{1}\over{2}}\Lambda^'{{1}\over{r}}=-{{r}\over{2}}\Lambda^'\;$

(8.34)

${R^r}_{\phi r\phi }=g^{rr}R_{r\phi r\phi }=g^{rr}R_{\phi r\phi r}=-e^{-\Lambda}(-{{r}\over{2}}\Lambda^')=e^{-\Lambda}{{r}\over{2}}\Lambda^'\;$

(8.35)

$R_{\theta t\theta t}=g_{\theta \theta }{R^{\theta }}_{t\theta t}=-r^2\sin^2\phi{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}= -{{r\sin^2\phi}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'$

(8.36)

${R^t}_{\theta t\theta }=g^{tt}R_{t\theta t\theta }=g^{tt}R_{\theta t\theta t}=e^{-\Phi}(-1){{r\sin^2\phi}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'= -{{r\sin^2\phi}\over{2}}e^{-\Lambda}\Phi^'$

(8.37)

$R_{\theta r\theta r}=g_{\theta \theta }{R^{\theta}}_{r\theta r}=-r^2\sin^2\phi {{1}\over{2}}{{\Lambda^'}\over{r}}=-{{r\sin^2\phi}\over{2}}\Lambda^'$

(8.38)

${R^r}_{\theta r\theta }=g^{rr}R_{r\theta r\theta }=g^{rr}R_{\theta r\theta r}= -e^{-\Lambda}(-1){{r\sin^2\phi}\over{2}}\Lambda^'=e^{-\Lambda}{{r\sin^2\phi}\over{2}}\Lambda^'$

(8.39)

$R_{\theta \phi \theta \phi }=g_{\theta \theta }{R^{\theta}}_{\phi \theta \phi }=-r^2\sin^2\phi(1-e^{-\Lambda})$

(8.40)

${R^\phi }_{\theta \phi \theta }=g^{\phi \phi }R_{\phi \theta \phi \theta }=g^{\phi \phi }R_{\theta \phi \theta \phi }=-{{1}\over{r^2}}(-1)r^2\sin^2\phi(1-e^{-\Lambda})=\sin^2\phi(1-e^{-\Lambda})$

(8.41)

Następnym krokiem jest policzenie tensorów Ricciego:

$R_{tt}={R^{\alpha}}_{ t\alpha t}={R^{t}}_{ttt}+{R^r}_{trt}+{R^{\theta}}_{t\theta t}+{R^{\phi}}_{t\phi t}=\;$ $=0+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'{{1}\over{r}}=$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{\Phi^'}\over{r}} \right)$

(8.42)

$R_{rr}={R^{\alpha}}_{r\alpha r}={R^t}_{rtr}+{R^{r}}_{rrr}+{R^{\theta}}_{r\theta r}+{R^{\phi}}_{r\phi r}=$ $=-{{1}\over{2}}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)+{{1}\over{2}}{{\Lambda^'}\over{r}}+{{1}\over{2}}\Lambda^'{{1}\over{r}}={{1}\over{2}}\left( -\Phi^{''}-{{1}\over{2}}(\Phi^')^2+{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{1}\over{r}}\Lambda^'\right)$

(8.43)

$R_{\phi\phi}={R^{\alpha}}_{\phi \alpha \phi }={R^t}_{\phi t\phi }+{R^r}_{\phi r\phi }+{R^{\theta} }_{\phi \theta \phi }+{R^{\phi}}_{\phi \phi \phi }=$ $=-{{r}\over{2}}e^{-\Lambda}\Phi^'+ e^{-\Lambda}{{r}\over{2}}\Lambda^'+1-e^{-\Lambda}=-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}$

(8.44)

$R_{\theta \theta }={R^{\alpha}}_{\theta \alpha \theta }={R^t}_{\theta t\theta }+{R^r}_{\theta r\theta }+{R^{\theta}}_{\theta \theta \theta }+{R^{\phi}}_{\theta \phi \theta }=$ $=-{{r\sin^2\phi}\over{2}}e^{-\Lambda}\Phi^'+e^{-\Lambda}{{r\sin^2\phi}\over{2}}\Lambda^'+\sin^2\phi(1-e^{-\Lambda})=\;$ $= -{{r\sin^2\phi}\over{2}}e^{-\Lambda}(\Phi^'-\Lambda^')+\sin^2\phi(1-e^{-\Lambda})=$ $=\sin^2\phi\left(-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}\right)=\sin^2\phi R_{\phi \phi }$

(8.45)

Następnie policzymy skalar Ricciego:

$R={R^t}_t+{R^r}_r+{R^\phi }_\phi +{R^{\theta}}_\theta =g^{tt}R_{tt}+g^{rr}R_{rr}+g^{\theta \theta }R_{\theta \theta }+g^{\phi \phi }R_{\phi \phi }=$ $=e^{-\Phi}{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{\Phi^'}\over{r}} \right)-e^{-\Lambda}{{1}\over{2}}\left( -\Phi^{''}-{{1}\over{2}}(\Phi^')^2+{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{1}\over{r}}\Lambda^'\right)+$ $-{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}\sin^2\phi\left(-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}\right)-{{1}\over{r^2}}\left(-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}\right) =$ $={{1}\over{2}}e^{-\Lambda}\left(2\Phi^{''}+(\Phi^')^2-\Phi^'\Lambda^'+ 2{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{(\Phi^'-\Lambda^')}\over{r}}e^{-\Lambda}-{{2(1-e^{-\Lambda})}\over{r^2}}=$ $=e^{-\Lambda}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{\phi^'-\Lambda^'}\over{r}}e^{-\Lambda}-2{{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}$

(8.46)

Elementy tensora Einsteina

Wyznaczmy tylko diagonalne elementy tensora Einsteina, ponieważ wszystkie pozadiagonalne jego elementy znikają, że względu na to, że elementy tensora Ricciego i elementy tensora metrycznego mają diagonalne wyrazy, tzn.: niediagonalne wyrazy znikają.

$G_{tt}=R_{tt}-{{1}\over{2}}g_{tt}R=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{\Phi^'}\over{r}} \right)-{{1}\over{2}}e^{\Phi}\Bigg\{e^{-\Lambda}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+\;$ $+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}e^{-\Lambda}-2{{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}\Bigg\}=\;$ $={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\left( {{\Phi^'+\Lambda^'-\Phi^'+\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}e^{\Phi}=e^{\Phi-\Lambda}{{\Lambda^'}\over{r}}-{{e^{\Phi-\Lambda}}\over{r^2}}+{{1}\over{r^2}}e^{\Phi}=\;$ $={e^{\Phi-\Lambda}}\left({{\Lambda^'}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}\right)+{{1}\over{r^2}}e^{\Phi}= {{1}\over{r^2}}e^{\Phi}{{d}\over{dr}}\left[r\left(1-e^{-\Lambda}\right)\right]\;$

(8.47)

$G_{rr}=R_{rr}-{{1}\over{2}}g_{rr}R=\;$ $={{1}\over{2}}\left( -\Phi^{''}-{{1}\over{2}}(\Phi^')^2+{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+2{{1}\over{r}}\Lambda^'\right)+\;$ $-{{1}\over{2}}(-1)e^{\Lambda}\left\{e^{-\Lambda}\left(\Phi^'+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{\phi^'-\Lambda^'}\over{r}}e^{-\Lambda}-2{{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}\right)=\;$ $={{1}\over{2}}{{+2\Lambda^'+\Phi^'-\Lambda+\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}-{{e^{\Lambda}}\over{r^2}}+{{1}\over{r^2}}= {{\Phi^'}\over{r}}-{{e^{\Lambda}}\over{r^2}}+{{1}\over{r^2}}=-{{1}\over{r^2}}e^{\Lambda}\left(1-e^{-\Lambda}\right)+{{\Phi^'}\over{r}}\;$

(8.48)

$G_{\phi\phi}=R_{\phi \phi }-{{1}\over{2}}g_{\phi\phi}R=\;$ $=-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}+\;$ $-{{1}\over{2}}(-r^2)\left[e^{-\Lambda}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{\phi^'-\Lambda^'}\over{r}}e^{-\Lambda}-2{{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}\right]=\;$ $={{r(-\Phi^'+\Lambda^'+\Phi^'-\Lambda^'+\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda} +1-e^{-\Lambda}-1+e^{-\Lambda}+{{1}\over{2}}r^2e^{-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^' \right)=\;$ $={{1}\over{2}}r\left(\Phi^'-\Lambda^'\right)+{{1}\over{2}}r^2e^{-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)=\;$ $={{1}\over{2}}r^2e^{-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2+{{\Phi^'}\over{r}}-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'-{{\Lambda^'}\over{r}}\right)\;$

(8.49)

$G_{\theta \theta }=R_{\theta \theta }-{{1}\over{2}}g_{\theta \theta }R=\;$ $=\sin^2\phi\left(-{{r(\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda}+1-e^{-\Lambda}\right)+\;$ $-{{1}\over{2}}(-r^2\sin^2\phi)\left\{e^{-\Lambda}\left(\Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'+{{\Phi^'-\Lambda^'}\over{r}}\right)+ {{\phi^'-\Lambda^'}\over{r}}e^{-\Lambda}-2{{1-e^{-\Lambda}}\over{r^2}}\right\}=\;$ $=\sin^2\phi\Bigg[ {{r(-\Phi^'+\Lambda^'+\Phi^'-\Lambda^'+\Phi^'-\Lambda^')}\over{2}}e^{-\Lambda} +1-e^{-\Lambda}-1+e^{-\Lambda}+\;$ $+{{1}\over{2}}e^{-\Lambda}r^2\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'\right)\Bigg]= {{1}\over{2}}r^2\sin^2\phi e^{-\Lambda}\left( \Phi^{''}+{{1}\over{2}}(\Phi^')^2+{{\Phi^'}\over{r}}-{{1}\over{2}}\Phi^'\Lambda^'-{{\Lambda^'}\over{r}} \right)=\;$ $=\sin^2\phi G_{\phi \phi }\;$

(8.50)

Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym

Wyznaczmy elementy czterowektorów prędkości dla statycznego sferycznego doskonałego płynu, przy czym pamiętając że elementy przestrzenne tego tensora są zawsze równe zero, a element czasowy jest natomiast różny od zera:

$u_t=u^tg_{tt}={{dx^t}\over{ds}}e^{\Phi}={{cdt}\over{cdt e^{{{1}\over{2}}\Phi}}}=e^{-{{1}\over{2}}\Phi}\;$ (8.51)

$u_r=u_{\phi}=u_{\theta}=u^ig_{ij}={{dx^i}\over{ds}}g_{ij}=0\;$ (8.52)

Wyznaczmy wszystkie diagonalne elementy tensora gęstości energii w płynie doskonałym wedle sposobu:

$T_{tt}=(\rho c^2+p)u_tu_t-pg_{tt}=(\rho c^2+p)e^{-\Phi}-pe^{-\Phi}=\rho c^2 e^{-\Phi}\;$

(8.53)

$T_{rr}=(\rho c^2+p)u_ru_r-pg_{rr}=(\rho c^2+p)0+pe^{-\Lambda}=pe^{-\Lambda}\Rightarrow T_{rr}=g_{rr}g_{rr}T^{rr}=pe^{\Lambda}\;$

(8.54)

$T_{\phi \phi }=(\rho c^2+p)u_{\phi}u_{\phi}-pg_{\phi \phi }=-pg_{\phi \phi }=r^2p\;$

(8.55)

$T_{\theta \theta }=(\rho c^2+p)u_{\theta}u_{\theta}-pg_{\theta \theta }=-pg_{\theta \theta }=r^2p\sin^2\phi=\sin^2\phi T_{\phi \phi }\;$

(8.56)

Elementy niediagonalne podwójnie kowariantnego tensora gęstości energii jak można udowodnić są równe zero ze względu na to, że metryka posiada tylko diagonalne elementy tensora metrycznego i elementy czterowektora prędkości przestrzenne są zawsze równe zero.

Metryka na zewnątrz kulistej masy

Na zewnątrz kulistej masy mamy T_αβ=0, gęstość masy i ciśnienie w rozważanych punktach jest zaniedbywalnie małe, a zatem rozpatrzmy dwa równania wynikającego z równania tensorowego grawitacji Einsteina o dwóch takich samych wskaźnikach dolnych czasowych (tensor Einsteina jest zdefiniowany wedle (8.47) i radialnych (tensor Einsteina jest to wzór (8.48)), zatem nasze równania są w postaci:

$\begin{cases} G_{tt}=0\\ G_{rr}=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} {e^{\Phi-\Lambda}}\left({{\Lambda^'}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}\right)+{{1}\over{r^2}}e^{\Phi}=0\\ {{\Phi^'}\over{r}}-{{e^{\Lambda}}\over{r^2}}+{{1}\over{r^2}}=0 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases}{{\Lambda^'}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}+{{e^{\Lambda}}\over{r^2}}=0\\ {{\Phi^'}\over{r}}-{{e^{\Lambda}}\over{r^2}}+{{1}\over{r^2}}=0 \end{cases}\Rightarrow \Lambda^'+\Phi^'=0\;$

(8.58)

W powyższym równaniu, w którym występują funkcję zależne od r, czyli Λ(r) i Φ(r), która tam występują pochodne pierwszego rzędu i na podstawie tego suma tych funkcji jest wielkością stałą niezależną od jakikolwiek parametru, zatem zachodzi:

$\Lambda+\Phi=\operatorname{const}$

Ponieważ rozpatrujemy początek układu współrzędnych w którym znajduje się nasza gwiazda, zatem ta nasza rozważana stała jest równa zero, zatem powinno mieć miejsce równość:

$\Lambda+\Phi=0\Rightarrow \Lambda=-\Phi\;$

(8.59)

Obierzmy nową funkcję zależną od zmiennej r i zapisanej za pomocą parametru Λ i która ta funkcja jest zapisana wedle wzoru poniżej, i która jest zależna od promienia r od środka rozważanej gwiazdy:

$\gamma(r)={{1}\over{2}}r\left(1-e^{-\Lambda}\right)\;$

(8.60)

Wyprowadźmy z równania (8.60) parametr Λ i wyznaczmy jego pochodną względem parametru współrzędnej radialnej r:

${{2\gamma(r)}\over{r}}=1-e^{-\Lambda}\Rightarrow e^{\Lambda}={{1}\over{1-{{2\gamma(r)}\over{r}}}}\Rightarrow \Lambda=-\ln\left(1-{{2\gamma(r)}\over{r}}\right)\Rightarrow\Lambda^'= {{{{2\gamma^'(r)r-2\gamma(r)}\over{r^2}}}\over{1-{{2\gamma(r)}\over{r}}}}\;$

(8.61)

Z obliczeń (8.61) otrzymujemy pochodną parametru Λ względem jej argumentu czyli promienia sferycznego r, tzn. ona jest zależna od funkcji γ(r) i pochodnej funkcji γ(r) względem zmiennej r, a te funkcje natomiast zależą od promienia radialnego r, zatem ta nasza pochodna funkcji Λ(r) jest zapisana:

$\Lambda^'={{2\gamma^'(r)r-2\gamma(r)}\over{r(r-2\gamma(r))}}$

(8.62)

Rozpatrzmy równanie Einsteina (1.51), w której parametr κ jest zdefiniowany wedle sposobu (5.46), zatem równanie wspomniane w tym zdaniu jako pierwsze jest równaniem zapisywanej w postaci wzoru dla wskaźników dolnych czasowych naszego równania:

$G_{tt}={{8\pi G}\over{c^4}}T_{tt}$

(8.63)

Po podstawieniu za G_tt wedle (8.47) i za T_tt wedle (8.53) w równaniu grawitacyjnym Einsteina dla wskaźników dolnych czasowych do (8.63), wtedy otrzymujemy tożsamość:

${e^{\Phi-\Lambda}}\left({{\Lambda^'}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}\right)+{{1}\over{r^2}}e^{\Phi}={{8\pi G}\over{c^4}}\rho c^2e^{\Phi}\Rightarrow e^{-\Lambda}\left({{\Lambda^'}\over{r}}-{{1}\over{r^2}}\right)+{{1}\over{r^2}}={{8\pi G}\over{c^2}}\rho$

(8.64)

Ostatnie wyjściowe równanie pomnóżmy obustronnie przez wyrażenie r², wtedy dostajemy równość z którego wyznaczymy wyrażenie związane z różniczkę funkcji γ(r) w zależności od różniczki promienia sferycznego r i gęstości gwiazdy panujące w odległości od środka masy przy tym samym promieniu co wcześniej:

$e^{-\Lambda}\left(\Lambda^' r-1\right)+1={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\Rightarrow{{(r-2\gamma(r))}\over{r}}\left({{2\gamma^'(r)r-2\gamma(r)}\over{r(r-2\gamma(r))}}r-1\right)+1={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\;$ ${{r-2\gamma(r)}\over{r}}{{2\gamma^'(r)r-2\gamma(r)-r+2\gamma(r)}\over{r-2\gamma(r)}}+1={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\Rightarrow{{2\gamma^'(r)r-r}\over{r}}+1={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\;$ ${{2\gamma^'(r)r-r+r}\over{r}}={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\Rightarrow 2\gamma^'(r)={{8\pi G}\over{c^2}}\rho r^2\Rightarrow{{d\gamma(r)}\over{dr}}={{4\pi G}\over{c^2}}\rho r^2 \Rightarrow {{d\gamma(r) c^2}\over{dr G}}=4\pi \rho r^2\;$ $d\gamma(r){{c^2}\over{G}}=\rho 4\pi r^2dr$

(8.65)

Przecałkujmy obie strony ostatniego równania wynikowego względem promienia sferycznego r dla r>R i wiedząc, że zachodzi dla tego r (poza gwiazdą), tzn. ρ=0, zatem powinno dla jego całki zachodzić: $_{\int_0^{r} 4\pi r^2 \rho dr=M}\;$, zatem funkcja γ(r), dla naszego rozważanego r>R jest funkcją stałą.

$\gamma(r)={{G}\over{c^2}}M$

(8.66)

Korzystając z wyrażenia (8.61), wtedy do wyrażenia na Λ podstawiamy za funkcję γ(r), który jest wyrażeniem (8.66), wtedy funkcję e^-Λ na podstawie już obliczonego wyrażenia na Λ przyjmuje bardzo prostą postać:

$e^{\Lambda}={{1}\over{1-{{2M G}\over{r c^2}}}}=e^{-\Phi}$

(8.67)

Wiedząc że zachodzi (8.59) (zależność na parametr Φ(r) w zależności od Λ(r)), a także ze wzoru na eksponens (8.67), którego wykładnikiem jest funkcja Λ(r), zatem w takim przypadku nasza metryka Schwarzschilda (8.5) przyjmuje bardzo prostą postać:

$ds^2=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{1}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}dr^2-r^2d\Omega^2$

(8.68)

• gdzie:$_{r_g={{2M G}\over{c^2}}}$ i jest to promień Schwarzschilda, przy której prawa ogólnej teorii względności załamują się i taki obiekt staje się czarną dziurą, którego fotony lecące się z prędkością c, nie mogą pokonać grawitacji takiego obiektu, zatem nasza metryka Schwarzschilda jest zapisana:

$ds^2=\left(1-{{2M G}\over{r c^2}}\right)c^2dt^2-{{1}\over{1-{{2M G}\over{r c^2}}}}dr^2-r^2d\Omega^2$

(8.69)

Dla bardzo dużych odległości, tzn. r>>R, metryka powyższa przechodzi w metrykę słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że:$_{{{1}\over{1-x}}\simeq 1+x}$ oraz z podstaw o teorii grawitacji Newtona, wiemy że (5.58):

$ds^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)dr^2-r^2d\Omega^2$

(8.70)

co jest bardzo podobne do metryki słabego pola grawitacyjnego dla teorii grawitacji dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego. Tylko jest mała różnica w trzecim składniku sumy w metryce (8.70). A wiec metryka Schwarzschilda dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego zachowuje się prawie (z drobną różnicą powiedzianą wcześniej) jak metryka słabego pola grawitacyjnego pola Newtonowskiego.

Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda

Czas własny w polu grawitacyjnym wedle wzoru (8.9) na podstawie już obliczonych tensorów metrycznych, którego parametry g_rr=-e^Λ i g_tt=e^Φ zawarte w macierzy tensora metrycznego (8.6):

$\tau=\int^{t_2}_{t_1} e^{{{1}\over{2}}\Phi(r(t))}dt=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{1-{{r_g}\over{r(t)}}}dt\simeq\sqrt{1-{{r_g}\over{r}}}\Delta t$

(8.71)

Z powyższego rozważania, gdy r_g=r wynika, że czas w polu grawitacyjnym w horyzoncie zdarzeń płynie nieskończenie powoli dla Δt skończonego. Odległość radialna w polu grawitacyjnym wedle wzoru (8.8) wedle już obliczonego parametru (8.67) wyraża się:

$R=\int^{r_2}_{r_1}e^{{{1}\over{2}}\Lambda(r)}dr=\int^{r_2}_{r_1}{{1}\over{\sqrt{1-{{r_g}\over{r}}}}}dr\simeq {{1}\over{\sqrt{1-{{r_g}\over{r}}}}}\Delta r$

(8.72)

Z powyższego wzoru wynika, że dla r→ r_g, ale r>r_g, odległość radialna w polu grawitacyjnym jest nieskończenie duża względem układu lokalnie inercjalnego, którego odległość radialna współrzędnościowo jest skończona i wynosi Δ r. Widzimy, że czas (8.71) i odległość radialna (8.72), która jest mierzona przez obserwatora są równe czasowi i odległości współrzędnościowej dla bardzo dużego promienia współrzędnościowego.

Równania ruchu z płynem doskonałym

Zachowawczość tensora gęstości energii jest spełniona, gdy (1.50) rozpiszemy go z definicji pochodnej kowariantnej tensora energii-napięć:

$0={T^{\alpha\beta}}_{;\beta}={T^{\alpha\beta}}_{,\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\beta}T^{\alpha\mu}+{\Gamma^{\alpha}}_{\beta\mu}T^{\beta\mu}$

(8.73)

Z diagonalizacji tensora gęstości energii, a także dla α≠ r, wynika, że powyższe prawo jest spełnione tożsamościowo, bo dla tych przypadków elementy tensora, który opisuje prawą stronę równania tensorowego (8.73) tożsamościowo są równe zero, ale dla przypadku α=r już tak nie jest, zatem zachodzi na podstawie takiego samego wspomnianego równania dla tego α:

$0={T^{r\beta}}_{;\beta}=(p e^{-\Lambda})_{,r}+\left( {{1}\over{2}}\Phi^'+{{1}\over{2}}\Lambda^'+{{1}\over{r}}+{{1}\over{r}} \right)(pe^{-\Lambda})+{{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\rho c^2 e^{-\Phi}+{{1}\over{2}}\Lambda^'(pe^{-\Lambda})+$ $-re^{-\Lambda}r^2p\left(-{{1}\over{r^2}}\right)\left(-{{1}\over{r^2}}\right)-re^{-\Lambda}\sin^2\phi r^2p\sin^2\phi\left(-{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)\left(-{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}\right)=$ $={{dp}\over{dr}}e^{-\Lambda}-pe^{-\Lambda}\Lambda^'+ {{1}\over{2}}\Phi^'pe^{-\Lambda}+{{1}\over{2}}\Lambda^'pe^{-\Lambda}+{{2}\over{r}}pe^{-\Lambda} +{{1}\over{2}}\rho c^2 e^{-\Lambda}\Phi^'+{{1}\over{2}}pe^{-\Lambda}\Lambda^'-{{2p}\over{r}}e^{-\Lambda}=$ $=e^{-\Lambda}\left({{dp}\over{dr}}+{{1}\over{2}}\left(\rho c^2+p\right){{d\Phi}\over{dr}}\right)$

(8.74)

Po przekształceniach równości (8.74), wtedy dochodzimy do wniosku, że funkcja w nawiasie we wspomnianej równości jest zawsze równa zero, zatem w tak otrzymanym wyrażeniu przenosimy w nim składniki w tym równaniu na przeciwne strony:

$-2{{dp}\over{dr}}=\left(\rho c^2+p\right){{d\Phi}\over{dr}}$

(8.75)

Powyższe równanie opisuje, że jeśli mamy zmianę ciśnienia w zależności od promienia r, to możemy obliczyć funkcję Φ, zakładając jej ciągłość dla granicy r=R, bo rozwiązanie dla r>R dla funkcji Φ jest już znane.

Wnioski wynikające z równania Einsteina

Z równań tensorowych grawitacji Einsteina możemy napisać tylko dla wskaźników dolnych erowych i otrzymać następne inne równanie różniczkowe niż (8.75):

$G_{rr}={{8\pi G}\over{c^4}}T_{rr}\;$

(8.76)

Podstawiamy za G_rr (8.48) i za T_rr (8.54) do naszego równania grawitacji (8.76) dla obu wskaźników radialnych dolnych, które po tej operacji otrzymujemy tożsamość zapisaną:

$-{{1}\over{r^2}}e^{\Lambda}\left(1-e^{-\Lambda}\right)+{{\Phi^'}\over{r}}={{8\pi G}\over{c^4}}pe^{\Lambda}\;$.

(8.77)

Wedle końcowego równania (8.65) możemy przestawić funkcję γ(r), którego jest zależna od promienia gwiazdy R, którą to funkcję γ(r) przestawimy w zależności od masy gwiazdy zawarta w promieniu mniejszym niż r:

$d\gamma(r){{c^2}\over{G}}=\rho 4\pi r^2dr\Rightarrow d\gamma(r){{c^2}\over{G}}=dm(r)\Rightarrow \gamma={{G}\over{c^2}}m(r)\;$

(8.78)

Mając równanie (8.67) na funkcja eksponesu funkcji Λ i podstawiając do niego wzór (8.78), wtedy nas wspomniany eksponens funkcji Λ(r) wygląda wedle:

$e^{\Lambda}={{1}\over{1-{{2Gm(r)}\over{c^2r}}}}={{rc^2}\over{c^2r-2Gm(r)}}\;$

(8.79)

Przekształcamy nasze równanie Einsteina (8.77), tak by mieć w jednym miejscu funkcję Λ, by potem łatwo można by było podstawić eksponens funkcji Λ:

$-{{1}\over{r^2}}e^{\Lambda}+{{1}\over{r^2}}+{{\Phi^'}\over{r}}={{8\pi G}\over{c^4}}pe^{\Lambda}\Rightarrow e^{\Lambda}\left({{8\pi G}\over{c^4}}p+{{1}\over{r^2}}\right)={{1}\over{r^2}}+{{\Phi^'}\over{r}}\;$

(8.80)

Podstawmy do równania (8.80) wyrażenie na e^Λ napisane w punkcie (8.79), którą jest funkcją tylko promienia od środka gwiazdy, które pod to podstawienie przygotowaliśmy nasze wspomniane równanie:

${{c^2r}\over{c^2r-2Gm(r)}}{{8\pi G p r^2+c^4}\over{c^4 r^2}}={{1}\over{r^2}}+{{\Phi^'}\over{r}}\Rightarrow {{c^2r^2}\over{c^2r-2Gm(r)}}{{8\pi G p r^2+c^4}\over{c^4 r^2}}-{{1}\over{r}}=\Phi^'\;$ ${{8\pi G pr^2+c^4}\over{c^2(c^2r-2Gm(r))}}-{{1}\over{r}}=\Phi^'\Rightarrow{{d\Phi}\over{dr}}={{8\pi G p r^3+c^4r-c^4 r+2Gc^2m(r)}\over{c^2 r(c^2r-2Gm(r))}}\;$ ${{d\Phi}\over{dr}}={{8\pi G p r^3+2Gc^2m(r) }\over{c^2r(c^2r-2Gm(r))}}\Rightarrow{{d\Phi}\over{dr}}=2G{{m(r)+{{4\pi }\over{c^2}}pr^3}\over {r(c^2r-2Gm(r))}}\;$

(8.81)

Z końcowych równanań (8.81) i z (8.75) i mając jakieś prawa równowagi danej gwiazdy statycznej możemy wyznaczyć Φ(r), p(r) i m(r), a na samym koniec obliczyć gęstość gwiazdy w zależności od jej promienia.

Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

Będziemy rozważać ruch cząstki próbnej wokół masy o geometrii statycznie sferycznej, czyli według geometrii Schwarzchilda za pomocą równania na line geodezyjne. Tutaj pokażemy podejście ogólne dla rozwiązania równania geodezyjnego dla cząstki próbnej.

Równanie geodezyjne a geometria Schwarzchilda

Ruch cząstki próbnej będziemy rozważać przy pomocy równania (1.74). Poszczególne niezerowe elementy tensora Christofela dla geometrii Schwarzchilda w układzie współrzędnych (ct,r,θ,φ), które zostały napisane w poprzednim rozdziale:

${\Gamma^{t}}_{tr}={{1}\over{2}}\Phi^'\;$ (9.1)	${\Gamma^{r}}_{tt}={{1}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}\Phi^'\;$ (9.2)	${\Gamma^{r}}_{rr}={{1}\over{2}}\Lambda^'\;$ (9.3)
${\Gamma^{r}}_{\theta\theta}=-re^{-\Lambda}\sin^2\phi\;$ (9.4)	${\Gamma^{r}}_{\phi\phi}=-re^{-\Lambda}\;$ (9.5)	${\Gamma^{\theta}}_{r\theta}={\Gamma^{\phi}}_{r\phi}={{1}\over{r}}\;$ (9.6)
${\Gamma^{\theta}}_{\theta\phi}=\operatorname{ctg}\phi\;$ (9.7)	${\Gamma^{\phi}}_{\theta\theta}=-\sin\phi\cos\phi\;$ (9.8)

Przyjmijmy że cząstka porusza się w płaszczyźnie dla $_{\phi={{\pi}\over{2}}}\;$, zatem wtedy na pewno zachodzi $\dot{\phi}=0\;$ i druga pochodna funkcji φ też ma postać zerową, co zapisujemy$\ddot{\phi}=0\;$, czyli cząstka porusza się cały czas w tej samej płaszczyźnie, w której są spełniane powyższe własności.

Rozważmy ruch cząstki próbnej według równania linii geodezyjnej (1.74) dla μ=t, wtedy powiemy:

$0={{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}+{\Gamma^{t}}_{tr}{{d(ct)}\over{d\lambda}}{{dr}\over{d\lambda}}+{\Gamma^{t}}_{rt}{{dr}\over{d\lambda}}{{d(ct)}\over{d\lambda}}\Rightarrow 0={{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}+2{\Gamma^{t}}_{tr}{{d(ct)}\over{d\lambda}}{{dr}\over{d\lambda}}\;$

(9.9)

Zatem jeśli mamy równania (8.80), a także przedostatniego równania (8.82), zatem wtedy ściśle określony element tensora Christoffera (9.1) możemy zapisać:

${\Gamma^{t}}_{tr}={{1}\over{2}}\Phi^'={{1}\over{2}}[\ln(1-{{r_g}\over{r}})]^'={{1}\over{2}}{{1}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}{{r_g}\over{r^2}}={{r_g}\over{2e^{\Phi}r^2}}\;$

(9.10)

A zatem nasze równanie na linie geodezyjne (9.9), przy definicji tensora Christofera Γ^t_tr wyprowadzone w punkcie (9.10), która jest zależna od promienia Schwarzchilda r_g czarnej dziury i funkcji Φ(r) wyprowadzonej w poprzednim module, możemy zapisać:

$0={{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}+2{{r_g}\over{2e^{\Phi}r^2}}{{d(ct)}\over{d\lambda}}{{dr}\over{d\lambda}}\Rightarrow 0={{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}+{{r_g}\over{e^{\Phi}r^2}}{{d(ct)}\over{d\lambda}}{{dr}\over{d\lambda}}\;$

(9.11)

Równanie (9.11) możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną stałego wyrażenia względem parametru λ, które jest równe zero, co piszemy je jako:

${{d}\over{d\lambda}}\left[e^{\Phi}{{d(ct)}\over{d\lambda}}\right]=0\;$

(9.12)

Co można udowodnić równoważność równości (9.12) i (9.11) rozpisując powyższe równanie oraz pochodną Φ^', która zawiera czynnik e^Φ, i dla którego Λ=-Φ, czyli do którego możemy wykorzystać równość (8.67), i w końcowej tożsamości (8.59) możemy udowodnić przejście równości (9.12) do równości (9.11).

$e^{\Phi}\Phi^'{{d(ct)}\over{d\lambda}}+e^{\Phi}{{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}=0\Rightarrow\Phi^'{{d(ct)}\over{d\lambda}}+{{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}=0\Rightarrow{{r_g}\over{e^{\Phi}r^2}}{{dr}\over{d\lambda}}{{d(ct)}\over{d\lambda}}+{{d^2(ct)}\over{d\lambda^2}}=0\;$

(9.13)

Równanie (9.12) można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą K.

$e^{\Phi}{{d(ct)}\over{d\lambda}}=K\Rightarrow {{d(ct)}\over{d\lambda}}=Ke^{-\Phi}$

(9.14)

A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej (1.74) dla parametru przestrzennego μ=φ, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffela, a mianowicie jak wcześniej wyznaczonej definicji (9.6), piszemy:

${{d^2\theta}\over{d\lambda^2}}+2{\Gamma^{\phi}}_{t\phi}{{dr}\over{d\lambda}}{{d\theta}\over{d\lambda}}=0\Rightarrow{{d^2\theta}\over{d\lambda^2}}+{{2}\over{r}}{{dr}\over{d\lambda}}{{d\theta}\over{d\lambda}}=0\;$

(9.15)

Równanie (9.15) możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną współrzędnej radialnej względem parametru λ, które są równa zero (pierwsza i druga pochodna), co rysujemy:

${{d}\over{d\lambda}}\left[r^2{{d\theta}\over{d\lambda}}\right]=0\;$

(9.16)

Co można udowodnić równoważność równości (9.15) i (9.16) rozpisując powyższe równanie do postaci poniżej i przekształcają je w taki sposób, by dokonać przejścia jego do postaci (9.15).

$2r{{dr}\over{d\lambda}}{{d\theta}\over{d\lambda}}+r^2{{d^2\theta}\over{d\lambda^2}}=0\Rightarrow{{2}\over{r}}{{dr}\over{d\lambda}}{{d\theta}\over{d\lambda}}+{{d^2\theta}\over{d\lambda^2}}=0\;$

(9.17)

Równanie (9.16) można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą h.

$r^2{{d\theta}\over{d\lambda}}=h\Rightarrow {{d\theta}\over{d\lambda}}={{h}\over{r^2}}$

(9.18)

A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej (1.74) dla parametru przestrzennego μ=r, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffera, a mianowicie jej wcześniej wyznaczonej definicji Γ^r_tt (9.2), Γ^r_rr (9.3), Γ^r_θθ (9.4) oraz Γ^r_φφ (9.5), co całe równanie przedstawiamy wedle:

${{d^2r}\over{d\lambda^2}}+{\Gamma^{r}}_{tt}\left({{d(ct)}\over{d\lambda}}\right)^2+{\Gamma^{r}}_{rr}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2+{\Gamma^{r}}_{\theta\theta}\left({{d\theta}\over{d\lambda}}\right)^2+{\Gamma^{r}}_{\phi\phi}\left({{d\phi}\over{d\lambda}}\right)^2=0\;$

(9.19)

Podstawiając za odpowiednie Γ^α_βγ, należy pamiętać o ograniczeniu na odpowiednie φ co wspomniano wcześniej w tym rozdziale. Najpierw policzmy odpowiednie elementy tensora Christoffela wedle (9.2) i (9.3) występujące we wzorze na linię geodezyjne (9.19).

${\Gamma^{r}}_{tt}={{\Phi^'}\over{2}}e^{\Phi-\Lambda}= {{\Phi^'}\over{2}}e^{2\Phi}= {{1}\over{2}}\left[\ln\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\right]^'\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)^2= {{1}\over{2}}{{1}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}{{r_g}\over{r^2}}\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)^2={{r_g}\over{2r^2}}e^{\Phi}$ ${\Gamma^{r}}_{rr}={{\Lambda^'}\over{2}}=-{{\Phi^'}\over{2}}= -{{1}\over{2}}\left[\ln\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\right]^'= -{{1}\over{2}}{{1}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}{{r_g}\over{r^2}}=-{{r_g}\over{2r^2e^{\Phi}}}$

(9.20)

Dla Γ^r_φφ w (9.5) nie rozważamy, bo $\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0$, idąc dalej element tensora Christoffera (9.4) zapisujemy przy pomocy funkcji Φ wedle sposobu:

${\Gamma^{r}}_{\theta\theta}=-r\sin{{\pi}\over{2}}e^{-\Lambda}=-re^{\Phi}$

(9.21)

A zatem nasze rozważane równanie (9.19) na linię geodezyjną, do którego to podstawiamy równania na tensory Christoffela (9.3) i na samym końcu równania uzyskane w punkcie, tzn.: (9.20) i (9.21), którego to rozważane równanie na linie geodezyjne możemy przestawić wedle:

${{d^2r}\over{d\lambda^2}}+{{r_g}\over{2r^2}}e^{\Phi}\left({{d(ct)}\over{d\lambda}}\right)^2- {{r_g}\over{2r^2e^{\Phi}}}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-re^{\Phi}\left({{d\theta}\over{d\lambda}}\right)^2=0$

(9.21)

Jest to równanie na linię geodezyjną poruszającej się cząstki wokół kulistosymetrycznej masy podlegającej geometrii Schwarzschilda.

Dowolny ruch cząstki próbnej wokół sferyczno-statycznej masy

Długość stycznego czterowektora do linii geodezyjnej ruchu cząstki próbnej, znając jednocześnie elementy podwójnie kowariantnego tensora metrycznego g_μν, przedstawia się jako:

$C={{dx^{\mu}}\over{d\lambda}}g_{\mu\nu}{{dx^{\nu}}\over{d\lambda}}$

(9.22)

jest wielkością stałą i zależy od masy cząstki próbnej według (9.1), dla cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera to C>0, wtedy parametr λ jest to interwał czasoprzestrzenny, a dla fotonów C=0, wtedy λ jest dowolnym parametrem, ale nie interwałem czasoprzestrzennym, którym jego różniczka w tym przypadku zawsze wynosi zero.

Dla cząstki poruszającej się po naszej płaszczyźnie dla$_{\phi={{\pi}\over{2}}}$, znając elementy tensora metrycznego, które są zawsze diagonalne przy pomocy funkcji Φ równanie (9.22), możemy zapisać:

$C=e^{\Phi}\left({{d(ct)}\over{d\lambda}}\right)^2-e^{-\Phi}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-r^2\left({{d\theta}\over{d\lambda}}\right)^2$

(9.23)

Następnym krokiem jest podstawienie za wielkość pochodnej wielkości współrzędnej czasowej ct względem parametru λ, czyli $_{{{d(ct)}\over{d\lambda}}}$ wedle wyrażenia (9.14) a za pochodną wielkości kątowej θ względem parametru λ, czyli $_{{{d\theta}\over{d\lambda}}}$ podstawiamy wyrażenie (9.18), a zatem równość (9.23) przechodzi w tożsamość:

$C=e^{\Phi }K^2e^{-2\Phi}-e^{-\Phi}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-r^2{{h^2}\over{r^4}}\Rightarrow C=e^{-\Phi}K^2-e^{-\Phi}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-{{h^2}\over{r^2}}\;$ $e^{-\Phi}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2=-C+e^{-\Phi}K^2-{{h^2}\over{r^2}}$

(9.24)

Następnym krokiem jest pomnożenie ostatniego wynikowego równania (9.24) przez eksponens funkcji Φ(r), czyli e^Φ, wtedy otrzymujemy, że kwadrat pochodnej funkcji r względem parametru λ jest zapisywany:

$\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2=-Ce^{\Phi}+K^2-{{h^2}\over{r^2}}e^{\Phi}\Rightarrow\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2=K^2-(C+{{h^2}\over{r^2}})e^{\Phi}$

(9.25)

Równanie (9.25) podzielmy obustronnie przez kwadrat ostatniej równości wynikowej (9.18), tak by wyeliminować zupełnie parametr λ ze wspomnianej równości, wtedy to owe równanie różniczkowe zapisujemy wedle:

$\left({{dr}\over{d\theta}}\right)^2={{K^2-(C+{{h^2}\over{r^2}})e^{\Phi}}\over{{{h^2}\over{r^4}}}}\Rightarrow \left({{dr}\over{d\theta}}\right)^2=r^4\left({{K}\over{h}}\right)^2-{r^4}{{C}\over{h^2}}e^{\Phi}-r^2e^{\Phi}$

(9.26)

Dokonajmy podstawień w równaniu (9.26) w celu uproszczenia końcowego wspomnianego równania, które to stałe i zmienne (tzn. zmienna u) są wyrażone w poniższych wzorach wedle:

$\left({{K}\over{h}}\right)=A\;$ (9.27)

$-{{C}\over{h^2}}=B\;$ (9.28)

$u={{1}\over{r}}\;$ (9.29)

$e^{\Phi}=1-{{r_g}\over{r}}=1-r_gu$ (9.30)

Policzymy pochodną funkcji "r" względem zmiennej kątowej θ i wyznaczmy ją w funkcjach "u" wedle podstawienia (9.29):

${{dr}\over{d\theta}}={{du^{-1}}\over{d\theta}}=-u^{-2}{{du}\over{d\theta}}$

(9.31)

Równanie różnikczkowe (9.26) na podstawie podstawień (9.27) (stała A w zalezności od stałej K i h), (9.28) (stała B w zalezności od stałej C i h), (9.29) (definicja zmiennej u względem zmiennej r, która jest odległoscią radialną od środka gwiazdy) i (9.30) (definicji eksponesu funkcji Φ) i przedstawienia pochodnej promienia radialnego (9.29) względem współrzędnej kątowej, która ta pochodna zapisywana jest wedle (9.31), zatem ostateczny wzór na (9.26) przyjmuje postać:

$u^{-4}\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2=u^{-4}A+(1-r_g u)(u^{-4}B+u^{-2})$

(9.32)

Równanie (9.32) pomnóżmy przez wyrażenie będące czwartą potęgę u, czyli zdefiniowanej w punkcie (9.29), czyli u, wiedząc że jednocześnie ta zmienna nigdy nie przyjmuje wartości zero, zatem oczywiste jest:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2=A+(1-r_g u)(B-u^2)$

(9.33)

Zróżniczkujmy równanie (9.33) względem zmiennej kątowej θ, wtedy oczywiste jest, że z wiadomości o pochodnej z analizy otrzymujemy równość, która jest zależnością od drugiej pochodnej zmiennej u względem parametru θ:

$2{{du}\over{d\theta}}{{d^2u}\over{d\theta^2}}=-r_g{{du}\over{d\theta}}(B-u^2)-(1-r_g u)2u{{du}\over{d\theta}}$

(9.34)

Podzielmy obustronnie tożsamość (9.34) przez wyrażenie będące pochodną wyrażenia u względem parametru θ i zakładając, że to wyrażenie nie jest równe zero, bo w takim przypadku możemy wykonać dzielenie obustronne otrzymując tożsamość fizyczną:

$2{{d^2u}\over{d\theta^2}}=-r_g(B-u^2)-2(1-r_gu)u\;$

(9.35)

Po prawej stronie równania (9.35) wymnażamy wszystkie wyrazy, tak by nie było nawiasu, tylko same składniki w tej sumie, po tej czynności dostajemy równoważny wzór:

$2{{d^2u}\over{d\theta^2}}=-r_gB+r_gu^2-2u+2r_gu^2\Rightarrow 2{{d^2u}\over{d\lambda^2}}=-r_gB-2u+3r_gu^2$

(9.35)

Dzielimy obustronnie tożsamość (9.35) przez liczbę dwa, zatem otrzymujemy równość, która jest równaniem toru ruchu cząstki, tzn. zależności promienia radialnego r względem jej współrzędnej kątowej θ:

${{d^2u}\over{d\theta^2}}=-u-{{1}\over{2}}r_gB+{{3}\over{2}}r_gu^2$

(9.36)

Ostatnie równanie przedstawia obraz ruchu dowolnej cząstki czy to są fotony, czy inne cząstki o niezerowej masie spoczynkowej, czyli w tym przypadku cząstek o dowolnych masach spoczynkowych.

Ruch cząstki po orbicie kołowej

Będziemy mieć tutaj do czynienia z równaniem różniczkowym (9.21), który przedstawia ruch cząstki po pewnej orbicie i jeśli mamy do czynienia z ruchem po okręgu, to oczywiście:

${{d^2r}\over{d\lambda^2}}={{dr}\over{d\lambda}}=0$

(9.37)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie (9.21), gdy cząstka porusza się po okręgu (9.37), w której zmiana współrzędnej radialnej względem parametru λ jest równa zero:

${{r_g}\over{2r^2}}e^{\Phi}\left({{d(ct)}\over{d\lambda}}\right)^2-re^{\Phi}\left({{d\theta}\over{d\lambda}}\right)^2=0\Rightarrow {{r_g}\over{2r^3}}\left({{d(ct)}\over{d\lambda}}\right)^2=\left({{d\theta}\over{d\lambda}}\right)^2$

(9.38)

Równanie napisane w punckie (9.38) mnożymy obustronnie przez wyrażenie napisane w punkcie $_{\left({{d\lambda}\over{dt}}\right)^2}\;$ , wtedy otrzymamy wzór w zależności czasu i współrzędnej kątowej θ względem parametru, którym jest czas t.

${{r_gc^2}\over{2r^3}}=\left({{d\theta}\over{dt}}\right)^2\Rightarrow {{2GM c^2}\over{c^2 2 r^3}}=\left({{d\theta}\over{dt}}\right)^2\Rightarrow {{GM}\over{r^3}}=\left({{d\theta}\over{dt}}\right)^2\Rightarrow {{d\theta}\over{dt}}=\sqrt{{{GM}\over{r^3}}}$

(9.39)

Naszym ostatnim celem jest wyznaczenie czasu obiegu po okręgu cząstki w zależności od innych parametrów, w tym celu równanie (9.39) rozłóżmy by na jednej stronie, by była różniczka czasu, a po drugiej różniczka kąta, przy kątowej w którym znajdowała się cząstka poruszająca się na okręgu, i potem obie jego strony przecałkujmy:

$\int^{2\pi}_0d\theta=\int_0^T\sqrt{{{GM}\over{r^3}}}dt\Rightarrow 2\pi=\sqrt{{{GM}\over{r^3}}}T\Rightarrow 2\pi=\sqrt{{{T^2GM}\over{r^3}}}\Rightarrow {{4\pi^2}\over{GM}}={{T^2}\over{r^3}}$

(9.40)

Powyższe równanie jest bardzo podobne do trzeciego równania Keplera, czyli iloraz okresu obiegu cząstki do kwadratu przez sześcian współrzędnej położeniowej danej cząstki jest wielkością stałą.

Radialny ruch swobodny ciała próbnego wokół kulistosymetrycznej masy według geometrii Schwarzchilda

Różniczka kwadratu interwału Schwarzchilda (8.90) (metryka Schwarzchilda) dla przyjętych zmienności parametrów kątowych dφ=dθ=0, czyli one są równe zero:

$ds^2=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(9.41)

Podzielmy obie strony równania na metrykę Schwarzschilda (9.41), które opisuje ruch cząstki bez zmiany współrzędnych radialnych przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego ds², wtedy otrzymujemy inne równoważne równanie (ale nie dla fotonu):

$1=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left({{d(ct)}\over{ds}}\right)^2- \left({{dr}\over{ds}}\right)^2{{1}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(9.42)

Wykorzystując zależność (9.14) i wykorzystując zależność wedle (8.59) i (8.67), wtedy równanie (9.42) przyjmuje inną równoważną postać zależną od pochodnej współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, którego to postać jest:

$1=e^{\Phi}K^2e^{-2\Phi}-e^{-\Phi}\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\Rightarrow 1=e^{-\Phi}K^2-e^{-\Phi}\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\Rightarrow e^{\Phi}=K^2-\left({{dr}\over{ds}}\right)^2$

(9.43)

Jeśli zaczniemy od takiego r₀, przy którym zachodzi :$\dot{r}=0$, to wtedy równanie (9.43) przyjmuje postać, z której możemy wyznaczyć kwadrat stałej K, który jest zależny od promienia początkowego r₀ i promienia r_g występującej w równaniu na K²:

$e^{\Phi(r_0)}=K^2\Rightarrow K^2=(1-{{r_g}\over{r_0}})$

(9.44)

Czyli nasze końcowe wynikowe równanie (9.43), po uwzględnieniu K² wedle równości (9.44) i uwzględnieniu funkcji eksponencjalnej e^Φ w zależności od położenia radialnego r i promienia Schwarzschilda, przedstawiamy:

$\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)=\left(1-{{r_g}\over{r_0}}\right)-\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\Rightarrow \left({{dr}\over{ds}}\right)^2=\left(1-{{r_g}\over{r_0}}\right)-\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \left({{dr}\over{ds}}\right)^2=r_g\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{r_0}}\right)$

(9.45)

Biorąc definicję r_g z geometrii metryki Schwarzchilda, którego definicja jest $_{r_0={{GM}\over{c^2}}}\;$, zatem dochodzimy więc do wniosku, że równanie (9.45) jest zapisane:

$\left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{2GM}\over{c^2}}\left({{1}\over{r}}-{{1}\over{r_0}}\right)$

(9.46)

Praktycznie można przyjąć, że r₀→∞, czyli r₀>>r_g, a więc mamy tak jak wedle zasady zachowania energii w polu grawitacyjnym, tylko zamiast czasu mamy interwał czasoprzestrzenny dla cząstki masowej podzielonej przez prędkość światła:

${{m_0(\dot{r})^2}\over{2}}-{{GMm_0}\over{r}}=0\Rightarrow\dot{r}^2={{2GM}\over{r}}\Rightarrow \left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{2GM}\over{c^2}}{{1}\over{r}}$

(9.47)

Rozwiązanie oparte na ogólnej teorii względności jest takie same jak w teorii Newtona dla toru hiperbolicznego poruszającego się z nieskończoności.

Rozciąganie w pobliżu czarnej dziury

Możemy wziąć równanie (9.47) i go pierwiastkując obustronnie, i dostajemy równanie na pochodną położenia radialnego współrzędnościowego względem interwału czasoprzestrzennego w zależności od położenia radialnego, w której dana cząstka się znajduje od środka czarnej dziury, w którym siły rozciągające, wtedy nasze rozważane równanie przyjmuje postać:

${{dr}\over{ds}}=-\sqrt{{{2GM}\over{c^2}}}r^{-{{1}\over{2}}}$

(9.48)

W powyższym wyrażeniu pochodna radialna jest ujemna, bo przyjęliśmy, że nasze ciało porusza się do horyzontu zdarzeń (do środka czarnej dziury).

Wyznaczmy pochodną (9.48), korzystając przy okazji z tego samego równania, dochodzimy więc do wniosku, że:

${{d^2r}\over{ds^2}}= -\sqrt{{{2GM}\over{c^2}}}\left(-{{1}\over{2}}\right)r^{-{{3}\over{2}}} {{dr}\over{ds}}=-\sqrt{{{2GM}\over{c^2}}}\left(-{{1}\over{2}}\right)r^{-{{3}\over{2}}}\sqrt{{{2GM}\over{c^2}}}r^{-{{1}\over{2}}}= -{{GM}\over{c^2r^2}}$

(9.49)

Załóżmy, że mamy ciało o długości l, to różnica wielkości (9.48) przyspieszeń radialnych na obu końcach rozważanego ciała, a zarazem sił wpływowych jest przedstawiona jako różnica wielkości (9.49) dla r+l i r:

$\Delta a=a(r)-a(r+l)={{GM}\over{c^2(r+l)^2}}-{{GM}\over{c^2r^2}}= {{GM}\over{c^2}}\left({{1}\over{(r+l)^2}}-{{1}\over{r^2}}\right)= {{GM}\over{c^2}}{{r^2-(r+l)^2}\over{(r+l)^2r^2}}=$ $={{GM}\over{c^2}}{{r^2-r^2-2rl-l^2}\over{(r+l)^2r^2}}\simeq-{{GM}\over{c^2}}{{l^2+2rl}\over{r^4}}= -{{GM}\over{c^2}}{{{{l^2}\over{r^2}}+2{{l}\over{r}}}\over{r^2}}\simeq -{{2lGM}\over{c^2r^3}}$

(9.50)

Załóżmy, że do czarnej dziury spada pewien patyk, którego jego przestrzenna orientacja jest wzdłuż promienia do środka masy M. Nasz patyk porusza się cały czas do środka kulistosymetrycznego źródła pola, co jest powiedziane wartością ujemną w (9.48), dla końca patyka najbardziej oddalanego od środka, ten punkt porusza się z mniejszą wartością przyspieszenia, niż jego koniec najbardziej zbliżony, a więc patyk w kulistosymetrycznym polu statycznie sferycznej próbuje być rozciągnięty, czym mniejsza odległość od środka masy kulistosymetrycznej tym bardziej jest większe rozciąganie wpływowe. Przy wyznaczaniu końcowego wyniku w (9.50) korzystaliśmy, że $_{\left({{l}\over{r}}\right)^2<<{{l}\over{r}}<1}\;$, czyli wyrazy w liczniku naszego wyrażenia pomijamy wedle podanych przybliżeń jakie powiedzieliśmy. W geometrii Schwarzchilda mamy promień nazywamy jego imieniem $_{r=r_g={{2GM}\over{c^2}}}$, to dochodzimy do wniosku, że wyrażenie (9.50) dla promienia Schwarzchilda, tam gdzie prawa fizyki przestają być spełnione, różnica przyspieszeń radialnych rozchodzi się według:

$\Delta a=-{{2lGM}\over{c^2{{8G^3M^3}\over{c^6}}}}=-{{c^4l}\over{4G^2M^2}}$

(9.51)

Dochodzimy, że czym większa jest masa źródła pola grawitacyjnego, to jest czym mniejsze rozciąganie pływowe na jej powierzchni przy promieniu granicznym (horyzoncie zdarzeń).

Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda a czarne dziury

Poniżej przedstawimy w prawie wszystko związane z geometrią Schwarzschilda jako ciąg dalszy z poprzedniego rozdziału, a także wnioski, które będziemy rozpatrywać o czarnych dziurach w tejże geometrii.

Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda

Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda ma tylko wyrazy diagonalne.

Tensor metryczny podwójnie kowariantny oraz podwójnie kontrawariantny, na podstawie (8.6) i (8.7) i przedstawienia funkcji Ψ(r) i Λ(r) na zewnątrz kulistosymetrycznej, jest napisany:

$_{g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix} 1-{{2GM}\over{rc^2}}&0&0&0\\ 0&{{1}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}&0&0\\ 0&0&-r^2\sin^2\phi&0\\ 0&0&0&-r^2 \end{bmatrix}}\;$ (10.1)

$_{g^{\mu\nu}=\begin{bmatrix} {{1}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}&0&0&0\\ 0&1-{{2GM}\over{rc^2}}&0&0\\ 0&0&-{{1}\over{r^2\sin^2\phi}}&0\\ 0&0&0&-{{1}\over{r^2}} \end{bmatrix}}$ (10.2)

Wielkości zachowawcze dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej

Będziemy korzystać z wyrażenia, które wynika z definicji kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego i definicji czteropędu wedle wzoru (1.11), które napiszemy:

$m_0^2c^2=p^{t}g_{tt}p^t+p^rg_{rr}p^r+p^{\theta}g_{\theta\theta}p^{\theta}\Rightarrow m_0^2c^2=p_tg^{tt}p_t+\left(p^r\right)^2g_{rr}+\left(p^{\theta}\right)^2g_{\theta\theta}\;$

(10.3)

Elementy tensora metrycznego prostego jak i odwrotnego (10.1) i (10.2) nie zależą od zmiennej czasowej jak i od zmiennej kątowej θ, wtedy kowariantny pęd czasowy i pęd θ-owy są wielkościami stałymi względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, bo wedle twierdzenia (6.36), te wielkości zapiszemy w postaci zredukowanej względem parametrów względem ich mas spoczynkowych:

$p_tc=E=\tilde{E}m_0\;$ (10.4)

$p_{\theta}=\tilde{L}m_0\;$ (10.5)

Element radialny czterowektora pędu zapisujemy z definicji czterowektora pędu (1.8), zapisanej w zależności od elementu radialnego czterowektora prędkości i masy spoczynkowej rozważanego ciała fizycznego, w postaci:

$p^r=m_0c{{dr}\over{ds}}\;$

(10.6)

A także element trzeci prawej strony wyrażenia (10.3) przy wykorzystaniu definicji stałej L, wiedząc jednocześnie że kowariantny θ-owy pęd ma charakter momentu pędu ruchu danej cząstki, którego to dowód, że tak jest, napisane jest przy punkcie (6.59), oznaczać je będziemy przez L_θ, a kowariantntny ψ-owy element czterowektora pędu jest równy zero, możemy zapisać jako całkowity moment pędu równy L=L_θ. Z własności elementów tensora metrycznego możemy zapisać ostatni wyraz wspomnianej równości (10.3) w postaci:

$\left(p^{\theta}\right)g_{\theta\theta}=\left(p_{\theta}g^{\theta\theta}\right)^2g_{\theta\theta}=\left(p_{\theta}\right)^2\left(g^{\theta\theta}\right)^2g_{\theta\theta}=\left(p_{\theta}\right)^2g^{\theta\theta}=-{{\left(p_{\theta}\right)^2}\over{r^2}}=-{{L^2}\over{r^2}}\;$

(10.7)

Dochodzimy więc do wniosku że równość (10.3) dla cząstki, która ma masę spoczynkową nieznikającą, a także wedle definicji elementów tensora metrycznego (10.1) i (10.2), oraz korzystając ze wzorów (10.4) i (10.7), jest w postaci:

$m^2_0c^2=\left({{E}\over{c}}\right)^2\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}-\left(m_0 c{{dr}\over{ds}}\right)^2\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}-{{L^2}\over{r^2}}\;$

(10.8)

Z korzystajmy z definicji energii i momentu pędu zredukowanego wedle równości (10.4) (który jest zredukowaną energią cząstki) i (10.5) (która jest zredukowanym pędem danej cząstki fizycznej), wtedy wyrażenie (10.8) możemy zapisać jako:

$m^2_0c^2=m_0^2\left({{\tilde{E}}\over{c}}\right)^2\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}-m_0^2c^2\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}-{{m_0^2\tilde{L}^2}\over{r^2}}\;$

(10.9)

Następnym krokiem jest podzielenie obustronne powyższego równania przez niezerową masę spoczynkową cząstki m₀, oczywiście tutaj nie mamy na myśli fotonów, wtedy piszemy:

$c^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2}}\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}-c^2\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^{-1}-{{\tilde{L}^2}\over{r^2}}\;$

(10.10)

Wyznaczmy teraz coś w rodzaju wyrażenia $_{\left({{dr}\over{ds}}\right)^2}\;$ w równości (10.10), przenosząc tego typu wyrazy na lewą stronę omawianego równania, a pozostałe niech będą na prawej stronie naszego wzoru wraz z elementem stałym:

$c^2\left({{dr}\over{ds}}\right)^2\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^{-1}={{\tilde{E}^2}\over{c^2}}\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^{-1}-{{\tilde{L}^2}\over{r^2}}-c^2\;$

(10.11)

Następnym krokiem jest pomnożenie obustronnie równania (10.11) przez wyrażenie: $_{c^{2}\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)}\;$, by pozostał tylko kwadrat pochodnej wyrażenia współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy mamy:

$\left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^4}}- \left({{\tilde{L}^2}\over{r^2c^2}}+1\right)\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\;$

(10.12)

Określmy potencjał efektywny występujący w (10.12) po prawej jego stronie jako odjemnik, który jest zależny od położenia cząstki masowej na orbicie wokół statystyczno-kulistej masy według geometrii Schwarzschilda:

$\tilde{V}\left(r\right)=\left({{\tilde{L}^2}\over{r^2c^2}}+1\right)\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\;$

(10.13)

Wykorzystując definicję potencjału efektywnego zdefiniowanego w punkcie (10.13) dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, wtedy równość (10.12) możemy napisać:

$\left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-\tilde{V}\left(r\right)\;$

(10.14)

Z różniczkujmy równanie (10.14) względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy po prawej stronie tego równania wyraz, który jest odjemną znika, bo jest funkcją stałą, ale odjemnik pozostaje i jest różniczkowany względem powiedzianego parametru:

$2\left({{dr}\over{ds}}\right){{d^2r}\over{ds^2}}=-{{d\tilde{V}\left(r\right)}\over{dr}}{{dr}\over{ds}}\;$

(10.15)

Ponieważ jak zakładamy wyrażenie $_{{{dr}\over{ds}}}\;$ jest różna od zera, jak na ogół mówimy, wtedy wyrażenie (10.15) po podzieleniu przez ten wyraz przyjmuje postać:

${{d^2r}\over{ds^2}}=-{{1}\over{2}}{{d\tilde{V}\left(r\right)}\over{dr}}\;$

(10.16)

Rozpatrzmy orbity stabilne, gdy mamy minimum energii efektywnej lub maksimum, wtedy pochodna wielkości (10.13) względem "r" przyrównanej do zera, z której to równości wyznaczymy wartość promienia współrzędnościowego:

$0={{d\tilde{V}\left(r\right)}\over{dr}}\Rightarrow$ $\Rightarrow 0={{d}\over{dr}}\left[\left({{\tilde{L}^2}\over{r^2c^2}}+1\right)\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\right]\Rightarrow 0=-2{{\tilde{L}^2}\over{c^2r^{3}}}\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)+\left({{\tilde{L}^2}\over{r^2c^2}}+1\right){{2GM}\over{c^2r^2}}$

(10.17)

Następnie opuszczamy wszystkie nawiasy występujące w równości końcowej (10.17), by potem po przegrupowaniu wszystkich wyrazów, które stoją tylko po prawej stronie równości, by otrzymać końcową równość:

$0=-2{{\tilde{L}^2}\over{c^2r^3}}+{{4GM\tilde{L}^2}\over{r^4c^4}}+{{2GM\tilde{L}^2}\over{r^4c^4}}+{{2GM}\over{c^2r^2}}\Rightarrow 0={{6GM\tilde{L}^2}\over{r^4c^4}}+{{2GM}\over{c^2r^2}}-2{{\tilde{L}^2}\over{c^2r^3}}$

(10.18)

Pomnóżmy obustronnie równość napisanej w punkcie (10.18) przez czwartą potęgę współrzędnej radialnej, tzn. r⁴ przy założeniu, że r jest nie równe zero:

$0={{6GM\tilde{L}^2}\over{c^4}}+{{2GM}\over{c^2}}r^2-2{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}r\Rightarrow 0={{2GM}\over{c^2}}r^2-2{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}r+{{6GM\tilde{L}^2}\over{c^4}}$

(10.19)

Pomnóżmy dalej obustronnie równanie (10.19) przez czwartą potęgę prędkości światła, czyli przez c⁴, wtedy można to nasze wyrażenie napisać w postaci równoważnej do poprzedniego tutaj rozważanego równania:

$0=\underbrace{2GM c^2}_ar^2\underbrace{-2\tilde{L}^2 c^2 }_br+\underbrace{6GM\tilde{L}^2}_c$

(10.20)

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym znanej z lekcji matematyki ze szkoły średniej, którego wyróżnik trójmianu jest równy wyrażeniu zapisanej wedle:

$\Delta=4\tilde{L}^4c^4-4\cdot 2GMc^2 6GM\tilde{L}^2=4\left(\tilde{L}^4c^4-12 G^2M^2c^2\tilde{L}^2\right)=4\tilde{L}^4 c^4\left(1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)$

(10.21)

Wtedy rozwiązanie równania kwadratowego (10.20), przy definicji wyróżnika tego samego wielomianu, przedstawiamy wedle:

$r={{2\tilde{L}^2c^2\pm{2\tilde{L}^2c^2}\sqrt{1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}}}\over{2\cdot 2GMc^2}}\Rightarrow r={{\tilde{L}^2}\over{2GM}}\left(1\pm\sqrt{1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}}\right)$

(10.22)

Jeśli mamy orbitę kołową, to musi być na pewno stały promień orbity, wtedy Δ zdefiniowanego wzorem (10.21) musi przyjmować wartość zero, bo (10.20) jako równanie kwadratowe musi mieć jedno podwójne rozwiązanie w postaci pewnego promienia radialnego, tzn.$_{\tilde{L}^2={{12G^2M^2}\over{c^2}}}$, to dla tego przypadku mamy orbitę kołową, ponieważ maksimum oddalenia jest równy minimum odchylenia od ciała o masie M, bo pierwiastek jest równy zero. Wtedy promień dla orbity kołowej jest równy:

$r={{\tilde{L}^2}\over{2GM}}={{12 G^2M^2}\over{c^2 2GM}}={{6GM}\over{c^2}}$

(10.23)

Jeśli ciało porusza się po okręgu, to jego promień orbity jest wyrażony wzorem (10.23).

Wielkości zachowawcze dla cząstek bezmasowych (fotonów)

Następnym naszym wyzwaniem są fotony w przeciwieństwie do masowych cząstek mają masę spoczynkową równą zero m₀=0. Wersję wzoru (1.11) dla rozważanych cząstek piszemy jako:

$p_{\mu}p^{\mu}=0\;$

(10.24)

Pęd radialny jako element czterowektora pędu jest wyrażony w zależności od masy cząstki i pochodnej czasowej wielkości radialnej. Mając już wyprowadzoną jego wersję w punkcie (6.51), co w którym zdefiniujemy nowy parametr λ, dzieki którego możemy wprowadzić odpowiednie przestawienia i wprowadzić z kolei ten nasz wspomniany parametr:

$p^r=m{{dr}\over{dt}}={{dr}\over{{{1}\over{m}}dt}}={{dr}\over{d\lambda}}\;$

(10.25)

• gdzie m to masa relatywistyczna fotonu.

Skorzystajmy ze wzoru (10.25) (na definicję elementu radialnego czterowektora pędu w zależności od parametru λ) oraz także korzystając ze wzoru (10.7), który jest zbudowany przy pomocy całkowitego kowariantnego θ-owego pędu, który spełnia rolę momentu pędu danego badanego fotonu, a także z definicji kowariantnego pędu czasowego, który jest energią fotonu podzielna przez prędkość światła, również z definicji dla elementów tensora metrycznego dla kulistosymetrycznej statystycznej geometrii Schwarzschilda równość (10.24) możemy napisać jako:

$\left(1-{{2MG}\over{cr^2}}\right)^{-1}\left({{E}\over{c}}\right)^2-\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-{{L^2}\over{r^2}}=0\;$

(10.26)

Ze wzoru (10.26) wyznaczmy wyraz z pochodną wielkości radialnej względem parametru $\lambda\;$, otrzymujemy:

$\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right)^{-1}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2= \left(1-{{2MG}\over{cr^2}}\right)^{-1}\left({{E}\over{c}}\right)^2-{{L^2}\over{r^2}}\;$

(10.27)

W celu wyznaczenia wielkości wyrażonej wzorem $_{\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2}\;$ w równości (10.27) pomnóżmy to równanie przez wyrażenie napisane wzorem $_{1-{{2MG}\over{rc^2}}}\;$, co można to zrobić, jeśli nasz promień r kołowej orbity kulistosymetrycznej gwiazdy nie jest równy promieniowi Schwarzschilda, więc wtedy otrzymujemy dalszą równość po opisywanych tutaj operacjach:

$\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2=\left({{E}\over{c}}\right)^2- \left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^2}}\;$

(10.28)

Wprowadźmy wielkość zwaną potencjałem efektywnym występującej we wzorze (10.28) jako odjemnik. Jest ona zależna od momentu pędu L, które to ten parametr charakteryzuje nasze rozważane ciało krążącej wokół naszej masy, jest ono oznaczane przez:

$V\left(r\right)=\left(1-{{2MG}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^2}}\;$

(10.29)

Ostatecznie z uwzględnieniem definicji na potencjał efektywny zdefiniowany w punkcie (10.29) równość (10.28) zapisujemy w ostatecznej postaci jako kwadrat funkcji pochodnej wielkości radialnej charakteryzujących odległość ciała od środka masy M względem parametru λ:

$\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2=\left({{E}\over{c}}\right)^2-V^2\left(r\right)\;$

(10.30)

Zróżniczkujmy obie strony naszego równania (10.30) względem wprowadzonego parametru λ dla cząstek bezmasowych, wiedząc, że w tej rozważanej równości po prawej jego stronie odjemna jest parametrem stałym, która znika przy różniczkowaniu:

$2{{dr}\over{d\lambda}}{{d^2r}\over{d\lambda^2}}=-{{dV\left(r\right)}\over{d\lambda}}{{dr}\over{d\lambda}}\;$

(10.31)

Następnym naszym krokiem jest podzielenie równania (10.31) obustronnie przez wyrażenie $_{2{{dr}\over{d\lambda}}}\;$, który jak zakładamy jest na ogół różna od liczby zero, co jest spełnione w prawie większości przypadków dla orbit niekołowych:

${{d^2r}\over{d\lambda^2}}=-{{1}\over{2}}{{dV\left(r\right)}\over{dr}}\;$

(10.32)

Rozpatrzmy minimum lub maksimum potencjału efektywnego (10.29), czyli:$_{{{dV\left(r\right)}\over{dr}}=0}\;$, a zatem mamy:

$0={{d}\over{dr}}\left[\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^2}}\right]\Rightarrow 0={{2GM}\over{r^2c^2}}{{L^2}\over{r^2}}-2\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^3}}\;$

(10.33)

Pomnóżmy obie strony ostatniego równania (10.33) przez czwartą potęgę promienia sferycznego r⁴ i zakładając przy tym że ten promień jest nie równy zero, i dalej skorzystajmy, że stała podczas ruchu na całej orbicie jako parametr L jest wielkością niezerową:

$0={{2GM}\over{c^2}}L^2-2rL^2+2{{2GM}\over{c^2}}L^2\Rightarrow 3{{2GM}\over{c^2}}L^2=2rL^2\Rightarrow r={{3GM}\over{c^2}}\;$

(10.34)

Dochodzimy do wniosku, że cząstka bezmasowa (foton), ma orbitę kołową o promieniu r bardziej zbliżoną środka statycznej masy niż orbita kołowa cząstki o niezerowej masie spoczynkowej.

Okres obrotu a promień współrzędnościowy

Skorzystajmy ze wzoru (10.22), który przedstawia minimalny i maksymalny promień orbity cząstki masowej, z czego wyznaczymy wyrażenie na kwadrat zredukowanego momentu pędu$_{\tilde{L}^2}\;$ w dalszych obliczeniach, ale najpierw przekształćmy trochę nasz wzór by po prawej stronie był pierwiastek:

$r={{\tilde{L}^2}\over{2M G}}\left(1\pm\sqrt{1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}}\right)\Rightarrow r{{2MG}\over{\tilde{L}^2}}-1=\pm\sqrt{1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}}$

(10.35)

Z równości ostatniej wynikowej (10.35) podnieśmy go do drugiej potęgi, aby zlikwidować pierwiastek występujący po prawej stronie równości:

$\left(r{{2MG}\over{\tilde{L}^2}}-1\right)^2=1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}\Rightarrow r^2{{4M^2G^2}\over{\tilde{L}^4}}+1-2r{{2MG}\over{\tilde{L}^2}}=1-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}$ $r^2{{4M^2G^2}\over{\tilde{L}^4}}-2r{{2MG}\over{\tilde{L}^2}}=-{{12G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}$

(10.36)

Równanie (10.36) podzielmy obustronnie przez wyrażenie zależne od masy żródła pola grawitacyjnego $_{{{4MG}\over{\tilde{L}^2}}}$, by potem otrzymać równość pierwszą poniżej, by zaraz ją pomnożyć przez wyrażenie $_{{{\tilde{L}^2}\over{r-{{3GM}\over{c^2}}}}}$, by dostać następnie wyrażenie na $_{\tilde{L}^2}\;$ (ostatnia równość zaraz poniżej), których schemat tych czynności przedstawiamy tutaj:

$r^2{{MG}\over{\tilde{L}^2}}-r=-{{3GM}\over{c^2}}\Rightarrow r^2{{GM}\over{\tilde{L}^2}}=r-{{3GM}\over{c^2}}\Rightarrow\tilde{L}^2={{r^2GM}\over{r-{{3GM}\over{c^2}}}}={{GM r}\over{1-{{3MG}\over{rc^2}}}}$

(10.37)

Jasne jest, że dla orbity kołowej, które mamy wedle równości (10.14), gdzie zawsze zachodzi :$_{\left({{\tilde{E}}\over{c^2}}\right)^2=\tilde{V}\left(r\right)}$, bo mamy ponadto: $_{{{dr}\over{ds}}=0}$, bo promień orbity nie zmienia się, i dlatego pochodna promienia radialnego względem dowolnego parametru charakteryzującej ten ruch (tutaj mamy interwał czasoprzestrzenny) jest równa zero:

${{\tilde{E}^2}\over{c^4}}=\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\left(1+{{\tilde{L}^2}\over{r^2c^2}}\right)\Rightarrow {{\tilde{E}^2}\over{c^4}}=\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right) \left(1-{{1}\over{r^2c^2}}{{GMr}\over{1-{{3MG}\over{rc^2}}}}\right)$ ${{\tilde{E}^2}\over{c^4}}=\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{1-{{3MG}\over{rc^2}}-{{GM}\over{rc^2}}}\over{1-{{3MG}\over{rc^2}}}}\Rightarrow{{\tilde{E}^2}\over{c^2}}=\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{1-{{2GM}\over{rc^2}}}\over{1-{{3GM}\over{rc^2}}}}$

(10.38)

Co ostatecznie w (10.38) dokonujemy odpowiednie działania w tymże wspomnianym wzorze, co potem możemy otrzymać wyrażenie, które jest wyrażeniem wymiernym licznika przez mianownik, które są z osobna różnymi wyrażeniami:

${{\tilde{E}^2}\over{c^4}}={{\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^2}\over{1-{{3GM}\over{rc^2}}}}$

(10.39)

Gdy cząstka porusza się w jednej płaszczyźnie, co zachodzi gdy obierzemy płaszczyznę, by $\vec{L}$ było prostopadłe do tej płaszczyzny, to prędkość kątowa na podstawie elementów tensora metrycznego (10.2) przedstawiana jest:

${{d\theta}\over{ds}}=u^{\theta}={{p^{\theta}}\over{m_0c}}=g^{\theta\theta}{{p_{\theta}}\over{m_0c}}=g^{\theta\theta}{{L}\over{m_0c}}=g^{\theta\theta}{{\tilde{L}}\over{c}}={{\tilde{L}}\over{cr^2}}$

(10.40)

Następnie policzmy element zerowy czterowektora prędkości, korzystając z elementu podwójnie kontrawariantnego podwójnie zerowego tensora metrycznego (10.2):

${{cdt}\over{ds}}=u^0={{p^0}\over{m_0 c}}=g^{00}{{p_0}\over{m_0 c}}= g^{00}{{E}\over{m_0 c^2}}=g^{00}{{\tilde{E}}\over{c^2}}={{\tilde{E}c^{-2}}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}$

(10.41)

Podzielmy obustronnie wyrażenie (10.41) przez (10.40), by potem dobrze wykorzystać wzór (10.39) (wyrażenie na $_{\tilde{E}}\;$) i (10.37) (wyrażenie na $_{\tilde{L}}\;$), wtedy otrzymamy jako pochodną czasową względem kąta θ, czyli otrzymamy końcowe wyrażenie, która nas interesuje:

${{cdt}\over{d\theta}}={{{{cdt}\over{ds}}}\over{{{d\theta}\over{ds}}}}= {{{{\tilde{E}c^{-2}}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}}\over{{{\tilde{L}}\over{cr^2}}}}= {{\tilde{E}}\over{\tilde{L}}}{{c^{-1}r^2}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}= {{{{c^{-1}}{r^2}}}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}} {{\tilde{E}}\over{\tilde{L}}}= {{{{c^{-1}}{r^2}}}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}} c^2\sqrt{{{{{\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^2}\over{1-{{3GM}\over{rc^2}}}}}\over{{{GM r}\over{1-{{3MG}\over{rc^2}}}}}}}=$ $={{cr^2}\over{1-{{2GM}\over{rc^2}}}}{{1-{{2GM}\over{rc^2}}}\over{\sqrt{GMr}}}={{c\sqrt{r^3}}\over{\sqrt{GM}}}=c\sqrt{{{r^3}\over{GM}}}\Rightarrow {{dt}\over{d\theta}}=\sqrt{{{r^3}\over{GM}}}$

(10.42)

Okres jest to powrót do tego samego punktu w ciągu jednego pełnego obrotu, zatem różniczka czasu względem różniczki kątowej θ jest napisana wzorem poniżej przy pomocy tożsamości końcowej wynikowej (10.42), i która po scałkowaniu jego obustronnie wyraża okres obiegu cząstki w ciągu jego okrążenia wokół kulistosymetrycznej masy o kąt 2π.

$dt=\sqrt{{{r^3}\over{GM}}}d\theta\Rightarrow \int_0^Tdt=\int^{2\pi}_0\sqrt{{{r^3}\over{GM}}}d\theta\Rightarrow T=2\pi\sqrt{{{r^3}\over{GM}}}$

(10.43)

I otrzymaliśmy taki sam wzór co (9.40), tylko innym sposobem, pierwszy z praw ruchu cząstki po prostej w przestrzeni czerowymiarowej (czasoprzestrzeni), wedle ruchu po stycznej do tej prostej, a drugi ze wzoru obrazujący związek czteropędu z jej masą spoczynkową dla cząstki masowej.

Przesunięcie peryferium

Mając wzór na pochodną położenia radialnego względem interwału czasoprzestrzennego $_{\left({{dr}\over{ds}}\right)^2}\;$, czyli wyrażona wzorem (10.12), oraz na pochodną zmiennej kątowej względem interwału czasoprzestrzennego $_{{{d\theta}\over{ds}}}\;$(10.40), ostatni wzór obustronnie podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie pierwszy wzór przez drugi, wtedy znika różniczka interwału czasoprzestrzennego w końcowym równaniu:

$\left({{dr}\over{d\theta}}\right)^2={{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}- \left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\left(1+{{\tilde{L}^2}\over{c^2r^2}}\right)}\over{{{\tilde{L}^2}\over{c^2r^4}}}}\;$

(10.44)

Dokonajmy podstawienia w wyrażeniu (10.44) wielkością zdefiniowaną poniżej, czyli dokonując zamiany zmiennych wedle schematu, tzn. u musi być odwrotnością promienia radialnego:

$u={{1}\over{r}}\;$

(10.45)

Na podstawie wzoru (10.45) mamy również $_{{{1}\over{u}}=r}\;$, wtedy możemy policzyć pochodną położenia radialnego r względem położenia kątowego θ:

${{dr}\over{d\theta}}={{d}\over{d\theta}}u^{-1}=-u^{-2}{{du}\over{d\theta}}\;$

(10.46)

Po podstawieniu za pochodną promienia względem wielkości kątowej $_{{{dr}\over{d\theta}}}\;$ (10.46), a także podstawiając za odwrotność położenia radialnego u (10.45) do równania (10.44), dostajemy:

${{1}\over{u^4}}\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-\left(1-u{{2GM}\over{c^2}}\right)\left(1+{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}u^2\right)}\over{{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}u^4}}\;$

(10.47)

Pomnóżmy obustronnie wzór (10.47) przez niezerowe wyrażenie u⁴, które na podstawie (10.45) nigdy nie przyjmuje wartości równej zero, otrzymujemy:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-\left(1-u{{2GM}\over{c^2}}\right)\left(1+{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}u^2\right)}\over{{{\tilde{L}^2}\over{c^2}}}}\Rightarrow\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{\tilde{L}^2c^2}}-\left(1-u{{2GM}\over{c^2}}\right)\left({{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+u^2\right)$

(10.48)

Zróbmy trochę przekształceń w końcowym wyrażeniu (10.48) w celu usunięcia ostatnich nawiasów, wtedy:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-\left({{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+u^2-u{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}-u^3{{2GM}\over{c^2}}\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}-u^2+u{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}+ u^3{{2GM}\over{c^2}}\;$

(10.49)

Co po uporządkowaniu wyrazów z prawej strony równania (10.49) względem parametru u (10.45):

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+u{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}-u^2+ u^3{{2GM}\over{c^2}}\;$

(10.50)

Równanie (10.50) jest równaniem ruchu dla cząstki posiadającej masę spoczynkową różną od zera, gdy jego promień wodzący jest określony za pomocą u (10.45).

Przesunięcie peryferium według Newtona

We wzorze, który otrzymaliśmy z ogólnej teorii względności (10.50) zaniedbajmy wyrazy występujące ze sześcianem zmiennej u, czyli u³, jest to tzw. przybliżenie Newtona, mamy:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+u{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}-u^2$

(10.51)

Dokonajmy podstawienia we wzorze (10.51), za funkcję zmienną zmiennej u (10.45) wyrażając ją w zmiennych y:

$y=u-{{GM}\over{\tilde{L}^2}}$

(10.52)

Ze wzoru (10.52) wynika, że pochodna wyrażenia y względem zmiennej kątowej, bo ruch masowego ciała odbywa się w jednej płaszczyźnie, można zapisać jako pochodną zmiennej u (10.45) względem zmiennej kątowej:

${{dy}\over{d\theta}}={{d}\over{d\theta}}\left(u-{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right)={{du}\over{d\theta}}$

(10.53)

Dokonajmy teraz podstawień przy pomocy odpowiednich dwóch wyrażeń (10.52) (definicja zmiennej y względem zmiennej u) i (10.53) (pochodna zmiennej y względem położenia kątowego θ) do równania różniczkowego zapisanej w punkcie (10.51), mamy:

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+ \left(y+{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right){{2GM}\over{\tilde{L}^2}}-\left(y+{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right)^2$

(10.54)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń w równaniu (10.54), by potem dokonać odpowiednich grupowań wyrazów względem wzrastającej potęgi zmiennej u (10.45), by dalej otrzymać:

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+ y{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}+{{2G^2M^2}\over{\tilde{L}^4}}-y^2-2y{{GM}\over{\tilde{L}^2}}-{{G^2M^2}\over{\tilde{L}^4}}\;$ $\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-{{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+{{G^2M^2}\over{\tilde{L}^4}}-y^2$

(10.55)

Zdefiniujemy zmienną y zdefiniowanego wedle wzoru poniżej, który na razie podamy jako podstawienie, która jest planowanym rozwiązaniem równania różniczkowego (10.55):

$y=\left({{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\cos\left(\theta+B\right)$

(10.56)

Musimy dokonać odpowiedniego podstawienia przypuszczalnego rozwiązania (10.56) do równania różniczkowego (10.55), wtedy otrzymamy prawdziwą tożsamość obu jego stron wspomnianego równania, co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Widzimy, że według teorii Newtona, nie występują takie zjawiska jak przesunięcie peryferium, jeśli nie uwzględnimy wpływu innych ciał na orbitę rozważanego ciała. Ostateczne rozwiązanie wedle (10.52) (definicja zmiennej y w zależności od zmiennej u) i (10.45) (definicja zmiennej u w zależności od zmiennej r) jest to równanie, po którym porusza się ciało o niezerowej masie spoczynkowej, która jest rozwiązaniem w postaci:

${{1}\over{r}}={{GM}\over{\tilde{L}^2}}+\left({{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\cos\left(\theta+B\right)$

(10.57)

Rozwiązanie (10.57) możemy zapisać troszeczkę w innej postaci biorąc odwrotność obu stron:

$r={{{{\tilde{L}^2}\over{GM}}}\over{1+{{\tilde{L}^2}\over{GM}}\left({{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\cos\left(\theta+B\right) }}$

(10.58)

Rozwiązanie (10.58) jest rozwiązaniem jakie otrzymał Izaak Newton podczas analizowania klasycznej cząstki podczas ruchu danego ciała (planety) wokół gwiazdy według teorii grawitacji, którą stworzył Newton.

Przesunięcie peryferium według ogólnej teorii względności

Dokonajmy dalszych podstawień stosując wzór na zmienną y (10.52), a także wzór na pochodną zmiennej y względem współrzędnej kątowej θ(10.53) do wzoru różniczkowego dla poruszających się cząstek masowych (10.50):

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}- {{c^2}\over{\tilde{L}^2}}+\left(y+{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right){{2GM}\over{\tilde{L}^2}}-\left(y+{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right)^2+ \left(y+{{GM}\over{\tilde{L}^2}}\right)^3{{2GM}\over{c^2}}\;$ $\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+ y{{2GM}\over{\tilde{L}^2}}+{{2G^2M^2}\over{\tilde{L}^4}}-y^2-2y{{GM}\over{\tilde{L}^2}}-{{G^2M^2}\over{\tilde{L}^4}}+ y^3{{2GM}\over{c^2}}+3y^2{{2G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}+\;$ $+3y{{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+{{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}\;$

(10.59)

Następnym krokiem w ostatnim wynikowym równaniu (10.59) jest pominięcie wyrazów z potęgami y³, bo orbita jest prawie kołowa, wtedy przechodzimy do równości:

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2={{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+ {{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}+y{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-1\right)y^2\;$

(10.60)

Zaproponujmy rozwiązanie równania (10.60) zależne od pewnych stałych, które wyznaczymy później:

$y=y_0+A\cos\left(k\theta+B\right)\;$

(10.61)

Podstawmy rozwiązanie (10.61) do równania różniczkowego (10.60), wtedy otrzymamy tożsamość, z którego wyznaczamy stałe y₀, A i k, a B jest dowolną stałą:

$A^2k^2\sin^2\left(k\theta+B\right)={{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+{{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}+ \left[y_0+A\cos\left(k\theta+B\right)\right]{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+\;$ $+\left[y_0+A\cos\left(k\theta+B\right)\right]^2\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2 }}-1\right)\;$ $A^2k^2-A^2k^2\cos^2\left(k\theta+B\right)={{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+{{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}+ y_0{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+\;$ $+A\cos\left(k\theta+B\right){{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+y_0^2\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-1\right)+2y_0A\cos\left(k\theta+B\right)\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-1\right)+\;$ $=A^2\cos^2\left(k\theta+B\right)\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-1\right)\;$

(10.62)

Porównujemy wyrazy zapisane w punkcie (10.62), a właściwie obydwie jej strony, tzn. wyrazy związane z wyrażeniem A²cos²θ, otrzymujemy:

$-k^2=\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}}}-1\right) \Rightarrow k^2=\left(1-{{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}}}\right)\Rightarrow k=\sqrt{1-{{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}}}}\;$

(10.63)

Następnie weźmy wyrazy występujące z czynnikiem cos(kθ+B) w zapisanej tożsamości (10.62), by je potem przyrównać do zera dla dowolności θ, stąd:

${{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}+2y_0\left({{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}-1\right)=0 \Rightarrow{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}=2y_0\left(1-{{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)\Rightarrow y_0={{3G^3M^3}\over{k^2\tilde{L}^4c^2}}\;$

(10.64)

Dalej na ostatku porównajmy wyrazy wolne występujące w rozważanej tożsamości (10.64):

$A^2k^2={{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+ {{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}-y_0^2k^2+y_0{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}\;$ $A={{1}\over{k}}\sqrt{{{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+ {{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}-y_0^2k^2+y_0{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}}\;$

(10.65)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące w tożsamości (10.65) jako dwa składniki razem wzięte, które występują sumie występującej pod jego pierwiastkiem:

$-y_0^2k^2+y_0{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2}}=-y_0^2k^2+y_0^2k^2 {{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2y_0k^2}}=-y_0^2k^2+y_0^2k^2{{6G^3M^3}\over{\tilde{L}^4c^2k^2{{3G^3M^3}\over{k^2\tilde{L}^4c^2}}}}=\;$ $=-y^2_0k^2+2y_0^2k^2=y^2_0k^2\;$

(10.66)

Reasumując nasze rozwiązanie (10.61) jest tak zdefiniowane, by w nim występowały trzy stałe zdefiniowane poniżej, które można zapisać za pomocą stałych charakteryzującego nasze źródło pola grawitacyjnego:

$k=\sqrt{1-{{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}}}}\;$ (10.67)

$y_0={{3G^3M^3}\over{k^2\tilde{L}^4c^2}}\;$ (10.68)

$A={{1}\over{k}}\sqrt{{{\tilde{E}^2+{{G^2M^2c^2}\over{\tilde{L}^2}}-c^4}\over{\tilde{L}^2c^2}}+ {{2G^3M^3}\over{\tilde{L}^6c^2}}+y_0^2k^2}\;$

(10.69)

Ale y jest takie jak we wzorze (10.61), to kθ, może zmieniać się od kΔθ=0 do kΔθ=2π i wtedy ciało może niecałkowicie obiec elipsę, czyli można udowodnić, że ta elipsa się obraca o kąt Δθ, którą opiszemy poniżej:

$k\Delta\theta=2\pi\;$

(10.70)

Wtedy Δθ oznacza przesunięcie peryferium orbity cząstki masowej, co możemy wyznaczyć z równania (10.70), która jest oczywiście zależna tylko od stałej opisującej orbitę prawie Newtonowską k.

$\Delta\theta={{2\pi}\over{k}}$

(10.71)

Wstawiamy definicję stałej k napisanej w punkcie (10.67) do równania (10.71), wtedy wielkość Δθ:

$\Delta\theta=2\pi\left(1-{{6G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\simeq 2\pi\left(1+{{3G^2M^2}\over{c^2\tilde{L}^2}}\right)$

(10.72)

Ze wzoru (10.37) mamy wzór na kwadrat zredukowanego momentu pędu, z którego można dokonać przybliżenia dla dużych r, w tym równaniu mianownik możemy przybliżyć do jedynki, stąd:

$\tilde{L}^2={{GMr}\over{1-{{3GM}\over{rc^2}}}}\simeq GMr$

(10.73)

Wynik uzyskany w punkcie dla dużych r (10.73) podstawiamy do (10.72), i ten sposób otrzymujemy wzór na przesunięcie peryhelium.

$\Delta\theta=2\pi\left(1+{{3G^2M^2}\over{c^2GMr}}\right)= 2\pi\left(1+{{3GM}\over{c^2r}}\right)=2\pi+6\pi{{GM}\over{rc^2}}$

(10.74)

We wzorze (10.74) pierwszy składnik jest równy 2π, co jest tym samym kątem co bez niego wedle praw trygonometrii, więc to samo przesunięcie kątowe peryferium co (10.74) określone jest dla orbit prawie newtonowskich wzorem:

$\Delta\theta=6\pi{{GM}\over{rc^2}}$

(10.75)

Jest to wzór określający przesunięcie peryferium dla orbit prawie Newtonowskich dla orbit, których efekty relatywistyczne odgrywają dużą rolę.

Odchylenie grawitacyjne światła

Dla cząstek bezmasowych rozważmy pęd θ-owy jako element czterowektora pędu, dla którego jego przestawienie jest podobne jak we wzorze dla pędu radialnego (10.25), przy czym parametr λ definiujemy poprzez masę relatywistyczną fotonu (foton nie ma masy spoczynkowej), ale korzystając z definicji kontrawariantnego czterowektora pędu (6.52), a więc wtedy możemy wyrazić nasz pęd względem pochodnej wielkości θ względem parametru λ, co zapisujemy:

$p^{\theta}=m{{d\theta}\over{dt}}={{d\theta}\over{{{1}\over{m}}dt}}= {{d\theta}\over{d\lambda}}\;$

(10.76)

Z drugiej jednak strony elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennej kątowej, a także od zmiennej czasowej, więc wedle twierdzenia (6.36) zmienna p_θ, która jest pędem kowariantnym jest wielkością stałą względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, które spełnia rolę znaną z mechaniki klasycznej momentu pędu, która w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego staje się dokładną wartością momentu pędu znaną z mechaniki Newtona.

$L=p_{\theta}=p^{\theta}g_{\theta\theta}={{d\theta}\over{d\lambda}}r^2\Rightarrow {{d\theta}\over{d\lambda}}={{L}\over{r^2}}\;$

(10.77)

Mamy sobie wzór (10.28), która jest równaniem ruchu cząstki względem parametru λ i końcowy wzór wynikowy (10.77), wtedy weźmy oba te wzory, który ten drugi podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie przez siebie dostając równość:

$\left({{d\theta}\over{dr}}\right)^2=\left({{{{d\theta}\over{d\lambda}}}\over{{{dr}\over{d\lambda}}}}\right)^2= {{{{L^2}\over{r^2}}}\over{\left({{E}\over{c}}\right)^2-\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^2}}}}\Rightarrow\left({{d\theta}\over{dr}}\right)^2={{{{L^2}\over{r^4}}}\over{\left({{E}\over{c}}\right)^2-\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right){{L^2}\over{r^2}}}}\;$ $\left({{d\theta}\over{dr}}\right)^2={{1}\over{r^4\left[ \left({{E}\over{Lc}}\right)^2-{{1}\over{r^2}}\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right) \right]}}\;$

(10.78)

Wprowadźmy nowy parametr b, który jest zależny od wielkości L, która w analogi do mechaniki klasycznej nazwijmy momentem pędu, a także jest zależna ona od energii tegoż fotonu E, a także od prędkości światła w próżni.

$b={{Lc}\over{E}}\;$

(10.79)

Zastosowanie definicji nowego parametru (10.79) do równości (10.78) w rezultacie daje nam:

$\left({{d\theta}\over{dr}}\right)^2={{1}\over{r^4}}{{1}\over{\left[{{1}\over{b^2}}-{{1}\over{r^2}}\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\right]}}\;$

(10.80)

Obierzmy nową zmienną u, to wtedy zmienna radialna w układzie kulistym r jest wyrażona poprzez u w sposób:

$u={{1}\over{r}}\Rightarrow r={{1}\over{u}}\;$

(10.81)

Różniczka położenia radialnego wyrażona względem zmiennej u, która jest zdefiniowana w punkcie (10.81), którą rozpiszemy ją, by otrzymać zależność różniczkową zmiennej u (10.81), wtedy:

$dr=d{{1}\over{u}}=du^{-1}=-{{1}\over{u^2}}du\;$

(10.82)

Po wykorzystaniu definicji na różniczkę wielkości radialnej dr (10.82) i na promień radialny r (10.81), to wtedy podstawiając je do tożsamości (10.80), które podzielimy potem przez zawsze niezerowe wyrażenie u⁴ (bo zachodzi (10.81)), dostajemy:

$\left({{d\theta}\over{du}}\right)^2u^4={{u^4}\over{\left[{{1}\over{b^2}}-u^2\left(1-u{{GM}\over{c^2}}\right)\right]}}\Rightarrow \left({{d\theta}\over{du}}\right)^2={{1}\over{\left[{{1}\over{b^2}}-u^2+u^3{{GM}\over{c^2}}\right]}}\;$

(10.83)

Odwróćmy wzór (10.83) obustronnie na wyrażenie typu 1/coś=1/coś, wtedy dostajemy ostatecznie inne równoważne do poprzedniego wyrażenie:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{1}\over{b^2}}-u^2+u^3{{GM}\over{c^2}}\;$

(10.84)

Powyższy wzór jest wzorem relatywistycznym toru dla bezmasowego fotonu, którego położenie radialne jest określone wedle (10.81).

Ruch światła po zaniedbaniu efektów relatywistycznych związanego z masą

Jeśli pominiemy wyrazy z u³ w równaniu (10.84), bo G jest małe oraz c² jest bardzo duże, to otrzymamy:

$\left({{du}\over{d\theta}}\right)^2={{1}\over{b^2}}-u^2\;$

(10.85)

czyli dokonaliśmy pominięcia ze wszystkich efektów relatywistycznych związanych ze źródłem oddziaływania grawitacyjnego.

Rozwiązanie równania (10.85) jest w postaci:

$u=\sin\left(\theta-\theta_0\right)b^{-1}\;$

(10.86)

Podstawmy rozwiązanie (10.86) do naszego równania (10.85), stąd mamy:

$\cos^2\left(\theta-\theta_0\right)b^{-2}={{1}\over{b^2}}-b^{-2}\sin^2\left(\theta-\theta_0\right) \Rightarrow\cos^2\left(\theta-\theta_0\right)b^{-2}=b^{-2}\cos^2\left(\theta-\theta_0\right)\;$

(10.87)

Otrzymujemy wniosek, że po zaniedbaniu efektów z związanych z masą M światło będzie się poruszało się linii prostej, czyli rozwiązaniem jego przy uwzględnieniu definicji na u, zdefiniowanej w punkcie (10.81), jest wzór:

$r\sin\left(\theta-\theta_0\right)=b\;$

(10.88)

Ruch fotonów po niecałkowitym zaniedbaniu relatywistycznym

Mamy sobie równanie ruchu rządzące ruchem trajektoriami fotonów (10.84) i obierzmy sobie nową zmienną y w zależności od stałej zmiennej (10.81), z którego wyznaczmy zmienną u, zatem zdefiniujmy zmienną y jako:

$y=u\left(1-{{GM}\over{c^2}}u\right)\Rightarrow u={{y}\over{1-{{GM}\over{c^2}}u}}\Rightarrow u\simeq y\left(1+{{GM}\over{c^2}}u\right)\Rightarrow u\simeq y\left(1+{{GM}\over{c^2}}y\right)\;$

(10.89)

co jest z dokładnością do wyrazów pierwszego stopnia. Korzystając z końcowego wyrażenia wynikowego policzmy pochodną zmiennej u (10.81) względem położenia kątowego θ:

${{du}\over{d\theta}}={{dy}\over{d\theta}}{{du}\over{dy}}={{dy}\over{d\theta}}\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)\;$

(10.90)

Podstawmy wyrażenie na pochodną wyrażenia u względem zmiennej kątowej θ (10.90) i zmienną u (10.89) do równości (10.84), mamy:

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)^2= {{1}\over{b^2}}-\left(y\left(1+{{GM}\over{c^2}}y\right)\right)^2+\left(y\left(1+y{{GM}\over{c^2}}\right)\right)^3{{GM}\over{c^2}}\;$ $\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)^2= {{1}\over{b^2}}-\left(y+y^2{{GM}\over{c^2}}\right)^2+\left(y+y^2{{GM}\over{c^2}}\right)^3{{GM}\over{c^2}}\;$ $\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)^2= {{1}\over{b^2}}-\left(y^2+y^4{{G^2M^2}\over{c^4}}+2y^3{{GM}\over{c^2}}\right)+\;$ $+\left(y^3+y^6{{G^3M^3}\over{c^6}}+3y^2y^2{{GM}\over{c^2}}+3yy^2{{G^2M^2}\over{c^4}} \right){{GM}\over{c^2}}\;$

(10.91)

Pomijamy wyrazy rzędu większego niż w przypadku potęg zmiennej y o wykładniku większym niż dwa w równaniu różniczkowym (10.91), wtedy z oczywistych powodów mamy prawo myśleć:

$\left({{dy}\over{d\theta}}\right)^2\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)^2={{1}\over{b^2}}-y^2\;$

(10.92)

Pierwiastkujemy obie strony równania (10.92), w tym celu po dokonaniu tej operacji należy pamiętać, że z lewej strony naszego wspomnianego wyrażenia pojawia się znak plus lub minus, zatem dostajemy dwa poniższe wzory z tymi znakami zapisanej w jednym równaniu ogólnie:

$\pm{{dy}\over{d\theta}}\left(1+2y{{GM}\over{c^2}}\right)=\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}\Rightarrow\pm{{1+2y{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}}}dy=d\theta\;$

(10.93)

Przecałkujmy obie strony równania różniczkowego (10.93), dostajemy:

$\pm\int^{y_2}_{y_1} {{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}}}dt=\theta-\theta_0\;$

(10.94)

Policzmy pomocniczą całkę nieoznaczoną potrzebną do zrobienia dalszych obliczeń, która to całka występuje z lewej strony równania (10.94), stąd:

$\int {{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}}}dt= b\int {{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}= b\int{{1}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}dt+2b{{GM}\over{c^2}}\int{{t}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}dt=\;$ $=\int{{1}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}d\left(bt\right)+2{{1}\over{b}}{{GM}\over{c^2}}\int{{bt}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}d\left(bt\right)=\;$ $=\operatorname{arcsin}\left(bt\right)-{{GM}\over{c^2b}}\int{{\left(1-\left(bt\right)^2\right)^'}\over{\sqrt{1-\left(bt\right)^2}}}d\left(bt\right)= \operatorname{arcsin}\left(bt\right)-{{GM}\over{bc^2}}\int x^{-{{1}\over{2}}}dx=\;$ $=\operatorname{arcsin}\left(bt\right)-2{{GM}\over{bc^2}}\sqrt{1-\left(bt\right)^2}= \operatorname{arcsin}\left(bt\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}+C\;$

(10.95)

Ostatecznie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.95) dostajemy ogólny wzór na naszą całkę nieoznaczoną:

$\int {{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}}}dt=\operatorname{arcsin}\left(bt\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}+C\;$

(10.96)

Wyznaczmy kąt odchylenia fotonu θ w zależności od y, (r→∞⇒ u=0)⇒ y=0, oczywiście korzystając z definicji u i y. Początkowe y jest równe zero. Zakładamy, że cząstka przebywa z nieskończoności i będziemy rozpatrywać ruch tej właśnie cząstki aż do punktu w którym y ma wartość $_{y={{1}\over{b}}}$, czyli wybieramy znak plus (10.94) (bo cząstka zbliża się do kulistosymetrycznej masy). Całka oznaczona wygląda wtedy:

$\int^{y}_0{{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}}}dt=\;$ $= \left[\operatorname{arcsin}\left(bt\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}\right]^y_0= \operatorname{arcsin}\left(by\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{2GM}\over{c^2b}}\;$

(10.97)

Rozwiązanie równania różniczkowego (10.92) przedstawiamy je w zależność od zmiennej y i kąta θ:

$\operatorname{arcsin}\left(by\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{2GM}\over{c^2b}}=\theta-\theta_0\;$

(10.98)

Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego (10.98) dla naszego przypadku jest funkcja kąta θ w zależności od zmiennej y:

$\theta=\theta_0+{{2GM}\over{c^2b}}+\operatorname{arcsin}\left(by\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}\;$

(10.99)

Foton osiąga swe najniższe położenie, gdy $_{y={{1}\over{b}}}\;$, co można policzyć ze wzoru (10.99), a zatem odchylenie fotonu przy ruchu z nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia do masywnej gwiazdy względem położenia w nieskończoności jest określone:

$\theta_1=\theta_0+{{2GM}\over{c^2b}}+{{\pi}\over{2}}\;$

(10.100)

Następny rozpatrzmy ruch fotonu z $_{y={{1}\over{b}}}$ od y=0 do nieskończoności od jej najbliższego zbliżenia, a zatem foton porusza się od odległości, gdy foton znajduje się najbliżej masy M (przy kącie (10.100)), do celu należącym w drodze do nieskończoności, wtedy wybieramy znak minus przed całką po lewej stronie równania (10.94) (bo foton oddala się do nieskończoności), wtedy:

$-\int^{y}_{y={{1}\over{b}}}{{1+2t{{GM}\over{c^2}}}\over{\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}}}dt= -\left[\operatorname{arcsin}\left(bt\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-t^2}\right]^y_{{{1}\over{b}}}=$ $=-\left[\operatorname{arcsin}\left(by\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2} -{{\pi}\over{2}} \right]=-\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{\pi}\over{2}}$

(10.101)

Rozwiązaniem równania (10.92) w postaci drugiego rozwiązania od chwili jej najbliższego zbliżenia jest równanie w postaci wzoru poniżej, którego całka została obliczona w punkcie (10.101):

$-\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{\pi}\over{2}}=\theta-\theta_1\Rightarrow \theta=-\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{\pi}\over{2}}+\theta_1$ $\theta=-\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{\pi}\over{2}}+{{2GM}\over{c^2b}}+{{\pi}\over{2}}+\theta_0$ $\theta=-\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{2GM}\over{c^2b}}+\pi+\theta_0$

(10.102)

Ogólne rozwiązanie przedstawia się wzorami (10.99) i (10.102), którego to odchylenie θ jest zapisywane ogólnym wzorem dla ruchu cząstki od nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia, oraz od jej najbliższego zbliżenia do ruchu do nieskończoności, które oba te równania są zależne od zmiennej y zdefiniowanej wzorem (10.89), a zmienna u jest zdefiniowana wzorem (10.45), wtedy położenie kątowe zmienia się według:

$\theta=\begin{cases} \theta_0+{{2GM}\over{c^2b}}+\operatorname{arcsin}\left(by\right)-2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}&\mbox{ dla }y\in\left(0,{{1}\over{b}}\right)\\ -\operatorname{arcsin}\left(by\right)+2{{GM}\over{c^2}}\sqrt{{{1}\over{b^2}}-y^2}+{{2GM}\over{c^2b}}+\pi+\theta_0&\mbox{ dla }y\in\left({{1}\over{b}},0\right) \end{cases}$

(10.103)

Policzmy odchylenie cząstki, jeśli położenie początkowe w nieskończoności wynosiło θ₀ (gdy cząstka porusza się do kulistosymetrycznej masy), to po odchyleniu też w nieskończoność, gdy y=0 (po odbyciu tej całej podróży od tej masy od nieskończoności do nieskończoności), wynosi:

$\theta={{2GM}\over{c^2b}}+{{2GM}\over{c^2b}}+\pi+\theta_0\Rightarrow \theta={{4GM}\over{c^2b}}+\pi+\theta_0\Rightarrow \Delta\theta={{4GM}\over{c^2b}}+\pi$

(10.104)

Jeśli foton poruszał się początkowo po prostej, to odchylenie względem tej prostej bez uwzględnienia efektów relatywistycznych wynosiło π, to po uwzględnieniu tych efektów poprawka do tego odchylenia jest napisana:

$\Delta\theta_P={{4GM}\over{c^2b}}$

(10.105)

Wpadające cząstki w kierunku radialnym do horyzontu zdarzeń czarnej dziury

Rozpatrzmy spadanie radialne cząstki masowej na powierzchnię o promieniu $_{r=2{{GM}\over{c^2}}}\;$, wtedy zachodzi dθ=0 i wedle definicji czterowektora pędu θ-owego pęd kontrawariantny jest równy zero, a na podstawie tego wedle (10.7) ten pęd kowariantny jest stały (bo elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennych kątowych) i nie zmienia swojej wartości, ta wielkość jest odpowiednikiem momentu pędu znanej z mechaniki klasycznej, a więc nasze równanie ruchu wedle (10.12) jest przedstawione:

$\left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\Rightarrow \left({{dr}\over{ds}}\right)^2={{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-1+{{2GM}\over{rc^2}}$

(10.106)

Różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z równania (10.106) można napisać w postaci wzoru, który zależy od różniczki promienia radialnego cząstki spadającej do czarnej dziury:

$ds=-{{dr}\over{\sqrt{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-1+{{2GM}\over{rc^2}}}}}$

(10.107)

W powyższym wyrażeniu mamy znak minus, bo rozpatrywane ciało porusza się z pewnego punktu o położeniu radialnym R radialnie i ono porusza się do horyzontu zdarzeń o promieniu r_g Schwarzchilda, czyli wedle zmniejszającego się promienia. Jeśli zachodzi $_{{{\tilde{E}}\over{c^2}}=1}$ (wedle tego warunku ciało w nieskończoności spoczywa), to mamy całkę na zmianę interwału czasoprzestrzennego (10.107):

$\Delta s=\int_R^{r_g={{2GM}\over{c^2}}}{{dr}\over{\sqrt{{{2GM}\over{rc^2}}}}}= -\sqrt{{{c^2}\over{2GM}}}\int_R^{{{2GM}\over{c^2}}}r^{{{1}\over{2}}}dr= -\sqrt{{{c^2}\over{2GM}}}{{2}\over{3}}\left[r^{{{3}\over{2}}}\right]_R^{{{2GM}\over{c^2}}}=$ $=\sqrt{{{c^2}\over{2GM}}}{{2}\over{3}}\left[R^{{{3}\over{2}}}-\left({{2GM}\over{c^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\right]= {{2}\over{3}}\sqrt{{{c^2}\over{2GM}}\cdot{{8G^3M^3}\over{c^6}}} \left(\left({{c^2R}\over{2GM}}\right)^{{{3}\over{2}}}-1\right)=$ $={{2}\over{3}}\sqrt{{{4G^2M^2}\over{c^4}}}\left[\left({{c^2R}\over{2GM}}\right)^{{{3}\over{2}}}-1\right]$

(10.108)

Wynik uzyskany ze wzoru (10.108) jest wielkością skończoną natomiast, gdy energia zredukowana spełnia warunek $_{\tilde{E}<c^2}\;$, to cząstka może posiadać maksymalne położenia radialne z warunku (10.106) spełniającego równanie:

$0={{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-1+{{2MG}\over{rc^2}}\Rightarrow 1-{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}={{2GM}\over{rc^2}}\;$

Wykorzystajmy teraz element zerowy czterowektora prędkości, czyli pochodną iloczynu czasu i prędkości światła względem interwału czasoprzestrzennego, co poniżej przestawimy:

${{cdt}\over{ds}}=u^0={{p^0}\over{m_0 c}}=g^{00}{{p_0}\over{m_0c}}=g^{00}{{p_0c}\over{m_0c^2}}=g^{00}{{E}\over{m_0c^2}}=\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)^{-1}{{\tilde{E}}\over{c^2}}$

(10.109)

Z równania (10.109) otrzymujemy wzór na różniczkę czasu współrzędnościowego w zależności od różniczki interwału czasoprezestrzennego:

$cdt={{ds\tilde{E}}\over{c^2\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)}}$

(10.110)

Do równania różniczkowego (10.110) dokonajmy podstawienia za ds opisywanej wzorem (10.107), zatem w takim przypadku to pierwsze równanie na cdt przyjmuje w zależności od różniczki współrzędnej radialnego położenia cząstki w układzie kulistym postać:

$cdt=-{{dr\tilde{E}}\over{c^2\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\sqrt{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-1+{{2GM}\over{rc^2}}}}}\Rightarrow dt=-{{dr\tilde{E}}\over{c^3\left(1-{{2GM}\over{rc^2}}\right)\sqrt{{{\tilde{E}^2}\over{c^4}}-1+{{2GM}\over{rc^2}}}}}$

(10.111)

Rozważmy przypadek, gdy cząstka spoczywa w nieskończoności, to wtedy:$_{{{\tilde{E}}\over{c^2}}=1}$, jeśli dokonamy podstawienia:$_{\gamma=r-2{{GM}\over{c^2}}}$, to ostatecznie ze wzoru (10.111) można dojść do wzoru wynikowego:

$dt=-{{dr r^{{3}\over{2}}}\over{c\left({{r-{{2GM}\over{c^2}}}}\right)\left({{2GM}\over{c^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}}} \Rightarrow dt=-{{\left(\gamma+{{2GM}\over{c^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}d\gamma}\over{c\gamma\left({{2GM}\over{c^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}}} \xrightarrow[\gamma\rightarrow 0]{}-{{2GM}\over{c^3}}{{1}\over{\gamma}}d\gamma\;$

(10.112)

Z powyższego wzoru na dt, wynika, że gdy γ→ +0, z stąd wynika, że funkcja ma granicę prawostronną w postaci $_{{{1}\over{\gamma}}\rightarrow\infty}$, jeśli przecałkować obustronnie wyrażenie (10.112), to prawa strona zawiera całkę rozbieżną do nieskończoności (dla cząstki, która podróżuje do horyzontu zdarzeń), zatem na podstawie wspomnianego wyrażenia cząstka osiągnie powierzchnie o promieniu Schwarzchilda dopiero po nieskończonym długim czasie współrzędnościowym mimo skończonego czasu własnego.

Gdy cząstka znajduje się nieskończenie bliskiego promienia Schwarzschilda, w którym cząstka znajdowała się początkowo, a przebyła z odległości o promieniu wodzącym R, wtedy w takim przypadku czas współrzędnościowy jest nieskończony mimo skończonego czasu własnego, co ta wielkość musi zachowywać się źle, co świadczy o załamaniu się Ogólnej Teorii Względności.

Współrzędne Kruskala-Szekeresa

Będziemy rozpatrywać metrykę Kruskera-Szekeresa, i udowodnimy, że nasza metryka przechodzi w metrykę Schwarzchilda, i na podstawie tego wyznaczymy równoważność współrzędnych w metryce Schwarzschilda i współrzędnych Kruskala-Szekeresa.

Metryka Kruskala-Szekeresa

W prowadźmy nowy rodzaj współrzędnych w postaci (U,V,θ,φ), tak by interwał czasoprzestrzenny przyjął postać:

$ds^2=-f(r)\left(dU^2-dV^2\right)-r^2d\Omega^2\;$

(11.1)

Jest on zależny od zmiennej U, V, a także od położenia radialnego r i na końcu od dΩ², która jest różniczką zupełną zdefiniowana w (9.4), co jest równoważne po opuszczeniu nawiasów w metryce (11.1):

$ds^2=-f(r)dU^2+f(r)dV^2-r^2d\Omega^2\;$

(11.2)

Należy zauważyć, że funkcja U=U(r,t), a także V=V(r,t) są funkcjami położenia radialnego r i czasu współrzędności-owego. Również "r" i "t" można przedstawić jako funkcję U i V.

Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Mając już zdefiniowaną metrykę (1.2), wtedy można napisać współrzędne Kruskala-Szekeresa, dla dwóch współrzędnych U(r,t) i V(r,t) podaną dla dwóch przedziałów zmienności położenia radialnego ograniczonej promieniem Schwarzchilda :

Dla z przedziału zmiennej radialnej r∈(rg,∞):	Dla przedziału zmiennej radialnej r∈(0,rg)
$\begin{cases} U=\pm\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\\ V=\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\\ \end{cases}\;$ (11.3)	$\begin{cases} U=\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\\ V=\pm\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\\ \end{cases}$ (11.4)

Widzimy, że w punkcie dążącym do r=r_g, funkcje U i V wedle (11.3) i (11.4) są ciągłe i równe zero. Dla naszego f(r) wprowadzonego w metryce (11.2) zdefiniujmy jako funkcję zależną od promienia radialnego r:

$f(r)={{4r_g^3}\over{r}}e^{-{{r}\over{r_g}}}$

(11.5)

Następnie sprawdźmy, czy nasza metryką jest zgodna z naszymi obranymi współrzędnymi, czyli czy przechodzi w metrykę Schwarzchilda we współrzędnych kulistych, dla r>r_g policzmy kolejne pochodne. Pierwsze pochodna cząstkowa zmiennej U względem czasu współrzędnościowego piszemy:

${{\partial U}\over{\partial t}}=\pm\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)$

(11.6)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem czasu t współrzędnościowego wyrażamy:

${{\partial V}\over{\partial t}}=\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)$

(11.7)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem promienia r współrzędnościowego:

${{\partial U}\over{\partial r}}=\pm\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left( {{1}\over{2r_g}}({{r}\over{r_g}}-1)^{-{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}+{{1}\over{2r_g}}\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{1}\over{2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\right)=$ $=\pm{{1}\over{2r_g}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right) {{1+{{r}\over{r_g}}-1}\over{\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}}}= {{1}\over{2r_g}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right) {{{{r}\over{r_g}}}\over{\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}}}=$ $=\pm{{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}$

(11.8)

Podobnie liczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego, czyli $_{{{\partial V}\over{\partial r}}}$, stąd:

${{\partial V}\over{\partial r}}={{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}$

(11.9)

Wyznaczmy różniczkę zupełną dU z twierdzenia o różniczce zupełnej korzystając z już policzonych pochodnych cząstkowych zmiennej U względem czasu (11.6) i położenia radialnego (11.9):

$dU={{\partial U}\over{\partial t}}dt+{{\partial U}\over{\partial r}}dr= \pm({{r}\over{r_g}}-1)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)dt\pm{{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}dr$

(11.10)

A następnie policzmy różniczkę zupełną dV pdobnie jak w punkcie (11.10), ale tym razem korzystając z pochodnej zmiennej V względem czasu (11.8) i położenia radialnego (11.9):

$dV={{\partial V}\over{\partial t}}dt+{{\partial V}\over{dr}}dr= ({{r}\over{r_g}}-1)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)dt+{{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}dr$

(11.11)

A na samym końcu policzmy różnice kwadratów różniczek zupełnych policzonych, tzn.: (11.10), (11.11):

$dU^2-dV^2=\left(\pm({{r}\over{r_g}}-1)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)dt\pm{{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}dr\right)^2+$ $-\left( ({{r}\over{r_g}}-1)^{{{1}\over{2}}}e^{{{r}\over{2r_g}}}{{c}\over{2r_g}}\cosh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)dt+{{r}\over{2r_g^2}}e^{{{r}\over{2r_g}}}\sinh\left({{ct}\over{2r_g}}\right)\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-{{1}\over{2}}}dr\right)^2=$ $=-\left({{r}\over{r_g}}-1\right)e^{{{r}\over{r_g}}}{{c^2}\over{4r_g^2}}dt^2+ {{r^2}\over{4r_g^4}}e^{{{r}\over{r_g}}}\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}dr^2$

(11.12)

Policzmy wyrażenie w naszej metryce znając definicję funkcji f(r) (11.5) i policzoną przed chwilą różnicę kwadratów różniczek zupełnych (11.12), czyli:

$-f(r)(dU^2-dV^2)=-{{4r_g^3}\over{r}}e^{-{{r}\over{r_g}}}\left[-\left({{r}\over{r_g}}-1\right)e^{{{r}\over{r_g}}}{{c^2}\over{4r_g^2}}dt^2+ {{r^2}\over{4r_g^4}}e^{{{r}\over{r_g}}}\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}dr^2\right]=$ $=(1-{{r_g}\over{r}})c^2dt^2-{{dr^2}\over{{{r_g}\over{r}}\left({{r}\over{r_g}}-1\right)}}= \left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{dr^2}\over{1-{{r}\over{r_g}}}}$

(11.13)

Naszą rozważaną metryką w zmiennych (t,r ,θ,φ) jest metryka Schwarzchilda, co dowodzi że metryka Kruskala-Szekeresa jest uogólnieniem metryki Schwarzchilda dla którego punktem osobliwym funkcji f(r) jest dla r=0, ale same funkcje U(r) i V(r) nie posiadają w sobie punktów osobliwych, a w metryce Schwarzchilda jest punkt:$_{r=r_g={{2GM}\over{c^2}}}\;$, czyli doszliśmy do wniosku ostatnio, że metryka nasza tutaj rozważana przechodzi w metrykę Schwarzschilda zdefiniowanej w punkcie (9.68). Przypadek drugi (11.3) dla przypadku r<r_g, dowodzimy podobnie.

Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

W czasoprzestrzeni we współrzędnych Kruskala-Szekersa jest podzielona na cztery obszary, górny i dolny, lewy i prawy. Na płaszczyźnie (U,V), każda linia odpowiada $t=\operatorname{const}$, Bowiem zachodzi po podzieleniu równań na U, V dla zmiennych (11.3) i zapisując je w postaci przekształconej:

$U=\pm\operatorname{ctgh}{{ct}\over{2r_g}}V$, dla r > rg

(11.14)

A także dla tego samego zestawu zmiennej, ale dla innego przedziału zmienności zmiennej radialnej, czyli zachodzi po podzieleniu równań na U, V układu zmiennych (11.4) zapisując je w postaci przekształconej:

$U=\pm\operatorname{tgh}{{ct}\over{2r_g}}V$, dla r < rg

(11.15)

A więc mamy prostą dla $t\;$ stałego, tzn.:$U=\operatorname{const}\cdot V$ na płaszczyźnie:(U,V).

Gdy $ct\rightarrow \infty$, to mamy:$\operatorname{tgh}{{ct}\over{2r_g}}\rightarrow 1$, wtedy mamy:$U=\pm V$, zaś gdy ct = 0, to mamy:$\operatorname{tgh}{{ct}\over{2r_g}}=0$, a zatem otrzymujemy U=0. Ale mamy dwie proste przechodzące przez początek układu współrzędnych wedle równania, która przedstawia zależność zmiennej U od V, czyli według (11.14) lub (11.15), bo wtedy ma sens proporcjonalność zmiennej U od zmiennej V tylko dla czasów współrzędnościowych niezerowych w tej geometrii.

W naszej metryce obszar po lewej jest jakoby świat 1, z prawej świat 2, a obszar górny i dolny dotyczą wnętrza czarnej dziury.

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Wiemy jednak, że w metryce Schwarzchilda występuje nieciągłość dla $_{r=r_g={{2GM}\over{c^2}}}$, można go usunąć obierając pewien rodzaj współrzędnych. Tym razem rozważmy współrzędne Eddingtona-Finkelsteina.

Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina

Rozważmy promień świetlny biegnący radialnie, jeśli zachodzi dθ=dφ=0. Gdy spełniona jest tożsamość dla kwadratu interwału czasoprzestrzennego ds²=0, czyli interwał czasoprzestrzenny jest zerowy.

$0=ds^2=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(12.1)

co można zapisać na podstawie (12.1), że kwadrat różniczki współrzędnościowego czasu jest wyrażony za pomocą kwadratu współrzędnościowego promienia:

$c^2dt^2={{dr^2}\over{\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)^2}}$

(12.2)

Co po z pierwiastkowaniu obustronnie równości na różniczkach (na infinitezymalnych zmianach) (12.2), ale gdy r≠ r_g, otrzymujemy:

$cdt=\pm{{dr}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(12.3)

Całkujemy obustronnie tożsamość (12.3) lewostronnie względem czasu, a prawostronnie względem promienia kulistego r.

$ct=\pm\int {{dr}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}\Rightarrow ct=\pm\int{{ r dr}\over{r-r_g}}\Rightarrow ct=\pm\int {{rdr}\over{r_g\left({{r}\over{r_g}}-1\right)}}$

(12.4)

Ze wzoru (12.4) dostajemy zależność łącząca współrzędną czasu ze współrzędną położenia radialnego:

$ct=\pm\int r_g\left\{1+{{1}\over{{{r}\over{r_g}}-1}}\right\}d{{r}\over{r_g}}\Rightarrow ct=\pm r\pm\ln\left|{{r}\over{r_g}}-1\right|+\operatorname{const}$

(12.5)

Pozostawiając stałą po prawej stronie równości (12.5) a pozostałe wielkości przenosimy na jej lewą stronę i ostatecznie odwracając stronami omawianą równość:

$\operatorname{const}=ct\mp r\mp\ln\left|{{r}\over{r_g}}-1\right|$

(12.6)

Zastępując naszą stałą zmienną U i wybierając znaki minus gdy r>r_g, a także stałą V ze znakiem plus gdy r<r_g, zatem ze względu na dowolność stałej całkowania mamy:

$U=ct-r-r_g\ln\left({{r}\over{r_g}}-1\right)\;$ (12.6)

$V=ct+r+r_g\ln\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)\;$ (12.7)

Powyższe zmienne są to nowe zmienne, które obowiązują w rozważanej metryce.

Metryka Eddigtona-Finkelsteina

W zależności od zdefiniowanych współrzędnych U i V, można zdefiniować metrykę wedle zmiennej (12.6) lub (12.7) wedle:

$ds^2=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)dU^2+2dUdr-r^2d\Omega^2$ (12.8)

$ds^2=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)dV^2-2dVdr-r^2d\Omega^2$ (12.9)

Za pomocą poprzednio zdefiniowanych w zmiennych otrzymaliśmy dwa rodzaje metryk w zależności od zmiennej czy od U lub czy to V będziemy za pomocą ich pisali naszą metrykę, tzn. czy (12.8) lub (12.9).

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (12.6) przy metryce (12.8). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

${{\partial U}\over{\partial t}}=c$

(12.10)

A także też wyznaczmy pochodną funkcji U względem położenia radialnego r:

${{\partial U}\over{\partial r}}=-1-r_g{{1}\over{{{r}\over{r_g}}-1}}{{1}\over{r_g}}=-1-({{r}\over{r_g}}-1)^{-1}$

(12.11)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej można napisać różniczkę zmiennej U, korzystając z policzonych pochodnych cząstkowych przestawionych w punkcie (12.10) oraz w punkcie (12.11):

$dU={{\partial U}\over{\partial t}}dt+{{\partial U}\over{\partial r}}dr= cdt+\left(-1-\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)dr$

(12.12)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę (12.8) tzn.: przy zmiennej U, wyznaczając wyrażenie:

$\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)dU^2+2dUdr=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left[cdt+\left(-1-\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)dr\right]^2+2dr\left[cdt+\left(-1-\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)dr\right]=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left[c^2dt^2+\left(1+\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)^2dr^2-2cdtdr\left(1+\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)\right]+$ $+2drcdt-2dr^2\left(1+\left({{r}\over{r_g}}-1\right)^{-1}\right)= \left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+$ $+dr^2\left[ {{r-r_g}\over{r}}\left(1+{{r_g}\over{r-r_g}}\right)^2-2\left(1+{{r_g}\over{r-r_g}}\right) \right]+2cdtdr\left[ -{{r-r_g}\over{r}}\left(1+{{r_g}\over{r-r_g}}\right)+1 \right]=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+dr^2\left({{r-r_g}\over{r}}{{r^2}\over{(r-r_g)^2}}-2{{r}\over{r-r_g}}\right)+2cdtdr\left(-{{r-r_g}\over{r}}{{r}\over{r-r_g}}+1\right)=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+dr^2\left({{r}\over{r-r_g}}-2{{r}\over{r-r_g}}\right)=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-dr^2{{r}\over{r-r_g}}=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(12.13)

Na podstawie (12.13) i definicji metryki Eddigtona-Finkelsteina ze zmienną U (12.8) metryka ta przechodzi w metrykę Schwarzchilda (8.68), a więc nasza metryka jest poprawna dla pola sferycznie symetrycznego.

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (12.7) przy metryce (12.9). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

${{\partial V}\over{\partial t}}=c$

(12.14)

a teraz wyznaczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego współrzędnościowego:

${{\partial V}\over{\partial r}}=1+r_g{{1}\over{1-{{r}\over{r_g}}}}(-1){{1}\over{r_g}}=1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}$

(12.15)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej znanej z analizy można napisać różniczkę zmiennej V korzystając z (12.14) i (12.15) w postaci:

$dV={{\partial V}\over{\partial t}}dt+{{\partial V}\over{\partial r}}dr= cdt+(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1})dr$

(12.16)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę tzn.: przy zmiennej V, wyznaczając wyrażenie:

$\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)dV^2-2drdV=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left[cdt+\left(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}\right)dr\right]^2-2dr\left[cdt+\left(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}\right)dr\right]=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left[c^2dt^2+\left(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}\right)^{2}dr^2+2cdtdr\left(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}\right)\right]+$ $-2drcdt-2dr^2\left(1-\left(1-{{r}\over{r_g}}\right)^{-1}\right)= \left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+$ $+dr^2\left[\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left(1-{{r_g}\over{r_g-r}}\right)^2-2\left(1-{{r_g}\over{r_g-r}}\right)\right] +2cdtdr\left[\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)\left(1-{{r_g}\over{r_g-r}}\right)-1\right]=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+dr^2\left[{{r-r_g}\over{r}}{{r^2}\over{(r_g-r)^2}}+2{{r}\over{r_g-r}}\right]+2cdtdr\left[{{r-r_g}\over{r}}{{-r}\over{r_g-r}}-1\right]=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+dr^2\left[-{{r}\over{r_g-r}}+2{{r}\over{r_g-r}}\right]=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2+dr^2{{r}\over{r_g-r}}=$ $=\left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-dr^2{{r}\over{r-r_g}}= \left(1-{{r_g}\over{r}}\right)c^2dt^2-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}$

(12.17)

Czyli doszliśmy, że metryka Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V (12.9) przechodzi w metrykę Schwarzchilda (8.68), czyli otrzymaliśmy wniosek, że ta nasza metryka dla pola sferycznie symetrycznego jest poprawnie zdefiniowana.

Współrzędne cylindryczne a tunel Einsteina-Rossena

Za pomocą współrzędnych Einsteina-Rossena dowiemy, że istnieją dwa światy, które złączają się przy r=r_g, tzn. świat 1 ze światem 2.

Współrzędne Einsteina-Rossena

Obierzmy metrykę Szchwarzchilda i zakładajmy, że dt=0, a także $_{\phi={{\pi}\over{2}}}\;$, wtedy interwał czasoprzestrzenny przy tych założeniach przyjmując współrzędne cylindryczne przyjmuje postać:

$ds^2=-dl^2=-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}-r^2d\theta^2\;$

(13.1)

Naszym celem przy odpowiednio dobranych współrzędnych dojść do geometrii Schwarzchilda we współrzędnych cylindrycznych. We współrzędnych cylindrycznych dl², różniczka długości między dwoma infinitezymalnie bliskimi punktami jest napisana wedle:

$dl^2=d\rho^2+\rho^2 d\alpha^2+dz^2\;$

(13.2)

A teraz weźmy nowe zmienne przy pomocy których można zapisać odległość pomiędzy punktami odległymi od siebie nieskończenie blisko (13.2) zdefiniowanej przy pomocy promienia radialnego r i kąta θ i z, a także przy pomocy promienia Schwarzschilda r_g:

$\rho=r\;$ (13.3)

$\alpha=\theta\;$ (13.4)

$z=\pm 2\sqrt{r_g(r-r_g)}\;$ (13.5)

Następnym krokiem jest policzenie różniczki zupełnej z wielkości "z" zdefiniowanej w punkcie (13.5), którą wyrazimy przy pomocy różniczki promienia radialnego r:

$dz=\pm 2{{r_g}\over{2\sqrt{r_g(r-r_g)}}}dr=\pm {{r_g}\over{\sqrt{r_g(r-r_g)}}}dr\;$

(13.6)

Po podniesieniu do kwadratu różniczki współrzędnej zetowej zdefiniowanej według (13.6) przy pomocy promienia radialnego r mamy:

$dz^2={{r_g^2}\over{r_g(r-r_g)}}dr^2\Rightarrow dz^2={{r_g}\over{r-r_g}}dr^2\;$

(13.7)

Następnie policzmy różniczkę długości dl² zdefiniowanej w punkcie (13.2) przy pomocy kwadratu różniczki współrzędnej zetowej (13.7):

$dl^2=d\rho^2+\rho^2 d\alpha^2+dz^2= dr^2+r^2 d\theta^2+{{r_g}\over{r-r_g}}dr^2=r^2d\theta^2+dr^2\left[ 1+{{r_g}\over{r-r_g}} \right]=\;$ $=r^2d\theta^2+dr^2\left[ {{r-r_g+r_g}\over{r-r_g}} \right]=r^2d\theta^2+dr^2{{r}\over{r-r_g}}={{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}+r^2d\theta^2\;$

(13.8)

Na podstawie definicji kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego (13.1) i z definicji kwadratu infitezymalnej długości między dwoma zdarzeniami:

$ds^2=-dl^2=-{{dr^2}\over{1-{{r_g}\over{r}}}}-r^2d\theta^2\;$

(13.9)

czyli otrzymujemy geometrię statystyczno cylindryczną Schwarzchilda dla dt=0 na podstawie definicji kwadratu infinitezymalnej zmiany interwału czasoprzestrzennego.

Interpretacja współrzędnych Einsteina-Rossena

Tunel Einsteina-Rossena

W geometrii Einsteina-Rossena otrzymujemy dwa rozwiązania jedno dla z<0, a drugie dla z>0. Te oba światy są złączone dla r=r_g. W każdym bądź razie przez czarną dziurę przechodzi specyficzna gardziel zwaną tunelem Einsteina-Rossena. Można udowodnić, że analiza w geometrii Schwarzchilda nie pozwala na podróż, ze świata 1 do świata 2 w statyczno-sferycznej rozważanej geometrii.