Statystyka matematyczna

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Statystyka matematyczna to dział matematyki zajmująca się statystycznym opisem różnych układów statystycznej, którymi rządzą podlegają pewne rozkłady statystyczne np. rozkład normalny.

Zobacz pełny rozdział

Spis treści

Średnie w matematyce statystycznej

1. Średnia arytmetyczna
2. Średnia ważona
3. Średnia geometryczna
4. Średnia harmoniczna
5. Średnia kwadratowa
6. Średnia potęgowa

Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych

1. Rozkłady statystyczne
2. Prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa
3. Rozkłady losowe jednej zmiennej
   1. Dystrybuanta i prawdopodobieństwo uzyskania jednej zmiennej losowej
      1. Zmienna losowa dyskretna
      2. Zmienna losowa ciągła
   2. Normowanie, wartość oczekiwana, wariacja
      1. Zmienna losowa dyskretna
      2. Zmienna losowa ciągła
   3. Wartość modalna
   4. Mediana, kwantyle i kwartyle
   5. Rozkład jednostajny
   6. Rozkład Cauchy'ego
   7. Rozkład Lorentza (Breita-Wignera)
4. Rozkłady losowe dwóch zmiennych
   1. Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
   2. Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja
5. Rozkłady losowe n-zmiennych
   1. Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa
   2. Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja

Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne

1. Moment statystyczny λ rzędu l
2. Momenty statystyczne μ względem wartości średniej
3. Momenty statystyczne ciągłe μ dla dwóch zmiennych
4. Momenty statystyczne ciągłe dla n-zmiennych
5. Związek pomiędzy drugim a pierwszym momentem statystycznym

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

1. Momenty statystyczne dla funkcji złożonej jednej zmiennej
   1. Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x dyskretnego
   2. Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x ciągłego
   3. Uogólnienie momentu statystycznego na przypadek dowolnej jednej zmiennej
2. Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem dwuwymiarowym
   1. Moment statystyczny dla dwóch zmiennych
   2. Momenty statystyczne względem pewnych punktów dla dwóch zmiennych
   3. Definicja wariancji przez moment statystyczny μ
   4. Definicja kowariancji przez moment statystyczny μ
3. Momenty statystyczne gdy H(x) =x

Momenty statystyczne w działaniu

1. Działania na wartościach oczekiwanych
   1. Suma wartości oczekiwanych
   2. Iloczyn wartości oczekiwanych
2. Wariancja, współczynnik korelacji, transformacje liniowe
   1. Kowariancja dwóch zmiennych
   2. Kowariancja dwóch niezależnych wyników w doświadczeniu
   3. Wariancja kombinacji liniowej dwóch zmiennych
   4. Współczynnik korelacji
      1. Obliczenia z użyciem współczynnika korelacji
   5. Transformacje liniowe i ortogonalne

Pobieranie próby

1. Estymatory, wyznaczenie parametru λ w wyniku doświadczenia
2. Związki pomiędzy wariancjami pojedyńczego pomiaru a średnią arytmetyczną
3. Pobieranie próby z rozkładów cząstkowych-definicja
4. Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku n próbach
5. Dystrybuanta w rozkładzie cząstkowym i w próbach
6. Średnia arytmetyczna przy n próbach
7. Wariancja i kwadrat z odchylenia standardowego dla n prób

Metoda największej wiarygodności

1. Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności
2. Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ
3. Estymacja dla jednego estymowanego parametru
4. Estymacja dla kilku estymowanych parametrów

Funkcje charakterystyczne

1. Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej
2. Funkcja charakterystyczna rozkładu
3. Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu
4. Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu
5. Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych
6. Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna

Ważniejsze rozkłady statystyczne

1. Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego
   1. Rozkład statystyczny
   2. Wartość oczekiwana
   3. Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego
   4. Zestaw momentów statystycznych
2. Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym
3. Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym
   1. Wielomianowa kombinacja trafień w układ doświadczalny
   2. Wyznaczanie wzoru przybliżonego na n!
   3. Logarytm kombinacji trafień w układ doświadczalny
   4. Całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń w rozkładzie normalnym
      1. Rozszerzenie przedziałów uzyskania wyników na R lub przedział w R
      2. Gęstość prawdpodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego lub quasiciągłego
   5. Zerowy moment statystyczny, czyli normowanie funkcji
   6. Wyznaczamy stałe B i F we wzorze na rozkład normalny
   7. Związki w rozkładzie normalnym
   8. Rozkład normalny
   9. Obliczanie poszczególnych momentów statystycznych, wartość oczekiwana
   10. Punkt przegięcia w rozkładzie normalnym
4. Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym
   1. Wyprowadzenie twierdzenia o rozkładzie normalnym wielowymiarowym
   2. Wyznaczenie elementów macierzy B, wartość dokładna a wartość oczekiwana
      1. Dowód równości wartości oczekiwanej i dokładnej
      2. Definicja macierzy B poprzez macierz kowariancji
5. Centralne twierdzenie graniczne
   1. Dowód twierdzenia "Centralne twierdzenie graniczne"
   2. Rozkład statystyczny sumy wyników pomiarów
   3. Funkcja charakterystyczna a "Centralne twierdzenie graniczne"
6. Twierdzenie o rozkładzie χ²
   1. Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden
   2. Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki
7. Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym
   1. Wzór na rozkład hipergeometryczny
   2. Wartość oczekiwana rozkładu hipergeometrycznego
   3. Wariancja rozkładu hipergeometrycznego
   4. Rozkład Bernoulliego jako szczególny przypadek rozkładu hipergeometrycznego
8. Twierdzenie o rozkładzie Poissona
   1. Rozkład Poissona
   2. Wyprowadzenie rozkładu Poissona
   3. Normowanie rozkładu Poissona
   4. Wartość oczekiwana rozkładu Poissona
   5. Wariancja w rozkładzie Poissona
   6. Moment trzeci rozkładu Poissona i jego skośność

Błędy pomiarowe w fizyce

1. Średnie odchylenie kwadratowe
2. Określanie błędów pomiarowych metodą różniczki zupełnej
3. Błąd przeciętny
4. Średni błąd kwadratowy pomiaru
5. Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej

Metoda najmniejszych kwadratów

1. Matematyczny opis metody najmniejszych kwadratów
2. Aproksymacja wielomianami W_n(x)

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki

Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Dotyczy: tej strony i jej podstron powiązanych ze sobą.

Użytkownika tej strony i jej podstron nie zwalnia, że nie przeczytał warunków licencjonowania.

Licencja: Creative Commons: uznanie autorstwa