Wstęp do fizyki jądra atomowego/Wstęp do fizyki jądra atomowego

Wstęp do fizyki jądra atomowego

Wstęp do fizyki jądra atomowego

Nukleony a budowa jądra atomowego

Etap współczesny

Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: jądra atomowego, cząstek elementarnych i kosmosu. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów, 150 obiektów początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się zapachem i kolorem, w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych) charakteryzujących się ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnich (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/2)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark).

Model standardowy materii

Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy.

Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych
Cząstka	Nazwa cząstki	Masa (GeV/c2)	Ładunek
$\nu_3\;$	Neutrino elektronowe	$_{<7\cdot 10^{-9}}\;$	0
e	Elektron	0,0005111	-1
$\nu_{\mu}\;$	Neutrino mionowe	<0,0003	0
$\mu^{-}\;$	Mion	0,106	-1
$\nu_{\tau}\;$	Neutrino taunowe	<0.3	0
$\tau^{-}\;$	Taon	1.7771	1

W powyższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informację o kwarkach, których jest sześć, których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez +2/3 i przez -1/3.

Kwarki w modelu standardowym
Cząstka	Nazwa cząstki	Masa (GeV/c2)	Ładunek
μ	górny	0,005	+2/3
d	dolny	0,01	-1/3
c	powabny	1.5	+2/3
s	dziwny	1.5	-1/3
t	szczytowy	180	+2/3
b	piękny	4.7	-1/3

Jądra atomowe

Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z, liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z:

$A=N+Z\;$

(1.1)

Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej:

${}^A_Z\hbox{X}_N\;$

(1.2)

Przykładem jąder atomowych są:

• ${}^1_1H\;$, ${}^2_1H$, ${}^3_1H\;$, ${}^4_2He\;$, ${}^{208}_{82}Pb\;$, ${}^{238}_{92}U\;$.

Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N.

• Izotopy, których liczba atomowa Z jest wielkością stałą.
• Izotony, których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą.
• Izobary, których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą.

Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na:

• Jądra parzyste, w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi.
• Jądra nieparzyste, w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą.

Ze względu na stabilność dzielimy je na:

• jądra stabilne, których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste).
• jądra niestabilne, są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad α,β, sf i emisję nukleonów.

Nuklid

Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru ${}_1H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;$.

Siły jądrowe

Charakter sił jądrowych

Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg $_{(\leq 2\cdot 10^{-15}m)}\;$. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi $_{\alpha_s\simeq 1}\;$. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są:

• pole grawitacyjne $_{\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}}\;$,
• oddziaływanie słabe $_{\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}}\;$,
• oddziaływanie elektromagnetyczne $_{\alpha={{1}\over{137}}}\;$.

Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów

Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla ${}^{12}_6C\;$, co schematycznie możemy przedstawić:

$1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;$

(1.3)

Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą):

• $m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;$
• $m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;$
• $m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;$

Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T_1/2=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle:

$n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;$

(1.4)

Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania

Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji:

$Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;$

(1.5)

Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii:

$E_W=\Delta Mc^2\;$

(1.6)

Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą (1.6), którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z).

Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa:

$\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;$

(1.7)

Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór (1.5) zapisujemy:

$\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;$

(1.8)

• gdzie M_a jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego.

Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV:

$E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;$

(1.9)

Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla.

Znając energię wiązania B(A,Z) (1.9) możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona:

$\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;$

(1.10)

Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki.

Masa jądra atomowego

Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru (1.8):

$M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;$

(1.11)

Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru-1 ${}^1_1\hbox{H}\;$, co schematycznie piszemy:

$M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;$

(1.12)

Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady β, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad α, sf.

Odchylenie masy (mass excess)

Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego (1.11) w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity:

$ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;$

(1.13)

Co wzór (1.13) możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika (1.9). W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady β, te jądra te mogą być również niestabilne ze względu na rozpad α, sf.

Średnia energia wiązania nukleonów

Średnia energia wiązania

Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych $\mathcal{E}\;$ (1.4) rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,....

• W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E^max=8.8MeV.
• Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E^ciężkie=7.6MeV
• Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub N=2,8,20,(28),50,(64),82,126, które to nazywamy liczbami magicznymi.

Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako:

• ${}^4_2He_2\;$, ${}^{16}_8 O_8\;$, ${}^{40}_{20}Ca_{20}\;$, ${}^{132}_{50}Sn_{82}\;$,  ${}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;$, ${}^{208}_{82}Pb_{126}\;$.

Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadem B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych.

Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej)

Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce α i wynosi B_α=28MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z (1.10) wynika $V\sim A\;$ i można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same.

Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów.

Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych.

Energię separacji (wiązania) nukleonu

Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego ${}^A_ZX\;$ oraz masę jądra ${}^{A-1}_ZX\;$ lub ${}^{A-1}_{Z-1}X\;$ otrzymanego z ${}^A_ZX\;$ przez odłączenie jednego protonu lun protonu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez:

$S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;$

(1.14)

$S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_H-M(A,Z)\;$

(1.15)

Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do (1.14) i (1·15) energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego:

$S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;$

(1.16)

Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu możemy wyrazić przy pomocy wzoru:

$S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;$

(1.17)

Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii:

• $S_n({}^2_1(\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;$
• $S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;$
• $S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;$
• $S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;$

Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli $S_n\leq 0\;$. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli $S_p\leq 0\;$.

Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji neutronu i protonu, które to piszemy następująco dla N i Z parzystego:

$\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;$

(1.18)

Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero.

Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym)

Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P_pp≈P_nn, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy:

$P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;$

(1.19)

Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako:

$B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;$

(1.20)

Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest:

$B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;$

(1.21)

Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu (1.16), ten wzór wykorzystamy do (1.20), stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów:

$P_{nn}(Z,N)=S_n(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;$

(1.22)

Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu (1.17) do podobnego wzoru do (1.20) (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów:

$P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;$

(1.23)

Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się:

$\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;$

(1.24)

nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej Δ_n i protonowej Δ_p, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe.

Modele jąder atomowych

Model kroplowy

Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi:

• gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia $_{r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm}\;$ jest wyrażony:

$R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;$

(1.25)

Gęstość nukleonów możemy przestawić jako ρ=0,17 nukl/fm³, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez $_{\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm}\;$.

• zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy,
• oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy:

$B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;$

(1.26)

Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona:

$B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jadrowe}}\;$

(1.27)

Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o $A\geq30\;$. Dla jąder stabilnych $A\geq 40\;$ obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%.

Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go

Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy:

$B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;$

(1.28)

• człon $a_{\nu}A\;$ jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a_ν=15,85 MeV.

• człon $a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;$ jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a_s=18,34 MeV.

• człon $-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;$ jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a_c=0,71 MeV.

• człon $-a_{as}(Z-{{A}\over{2}})^2A^{-1}\;$ jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a_as=92,86 MeV.

• człon δ człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony:
      δ=+Δ dla jąder parzysto-parzystych
      δ=0 dla jądrem A nieparzystych
      δ=-Δ dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).
  W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że $\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;$.

Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego

Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem:

$B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}})+\;$ $-28,1(N-Z)^2A^{-1}(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}})\pm\delta\;\mbox { gdzie }\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}$

(1.29)

Model kroplowy- dalsze rozważania

Ja widzimy patrząc na wzór (1.28) lub na wzór (1.29), które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c:

$B(Z)=aZ^2+bZ+c\;$

(2.30)

Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych $A\geq 30\;$, a dla jąder $A\geq 40\;$ opisuje je z dokładnością do 2%.

Model gazu Fermiego

Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r₀A^1/2 (patrz: (1.25)), co mówi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony i zajmują stan najniższy jak tylko możliwie ze względu na zakaz Fermiego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się conaj wyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E_k=30 MeV, co jemu odpowiada średni pęd <p>=240 MeV/c, co on jest zwany pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany.

Model powłokowy

Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi.

Energia wiązania jąder atomowych, a jego stabilność

Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N

Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad β ale mogą być niestabilne ze względu rozpad α, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad β^-, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad β⁺. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad α i samoistnie rozszczepienie:

Nuklid	Czas połowicznego rozpadu	Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.
${}^{232}_{90}\hbox{Th}$	$1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;$	100%
${}^{234}_{92}\hbox{U}\;$	$2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;$	0,005%
${}^{235}_{92}\hbox{U}\;$	$7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;$	0,72%
${}^{238}_{92}\hbox{U}\;$	$4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;$	99,27%

Jadra ${}^{235}_{92}\hbox{U}\;$ i ${}^{238}_{92}\hbox{U}\;$ są używane w energetyce jądrowej. Najcięszym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest ${}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;$, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także ${}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;$, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi.

Nuklidy stabilne i niestabilne

Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od $_{4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}}\;$:

	Jadra o nieparzystej liczbie neutronów	Jądra o parzystej liczbie neutronów	Razem
Jądra o nieparzystej liczbie protonów	4	50	54
Jądra o parzystej liczbie protonów	55	165	220
Razem	59	215	274

Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:${}^2_{1}D_{1}\;$,  ${}^6_3Li_3\;$,  ${}^{10}_8B$,  ${}^{14}_7N\;$.

Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder.

Rok odkrycia	Nuklid	Czas połowicznego życia	Reakcja uzyskania danego nuklidu
1996 rok	${}^{269}110\;$	170μ s
	${}^{271}110\;$	1,1 ms
	${}^{272}110\;$	1,5μs
1998/99 rok	${}^{277}{112}\;$	0,24ms
	${}^{283}112\;$	81s
	${}^{289}114\;$	30s	${}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;$
1999rok	${}^{289}116\;$	1,2s
	${}^{293}118\;$	250μ s	${}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;$

Reguła Mattaucha (z doświadczenia)

Jeśli energie wiązania jądra atomowego (2.4) przestawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych (2.6), ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarą p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady β^-, β⁺ i EC.

Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A=102

Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A=135

Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z₀ dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z:

$\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;$

(1.23)

i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem (1.20), to minimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej:

$Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;$

(1.31)

Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A.

Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym

Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia θ będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze ρ_e(r).

Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze ρ_m(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów.

Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra.

Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)

Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem:

$\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;$

(1.32)

Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta:

$\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;$

(1.33)

Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według:

${{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;$

(1.34)

Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach $\hbar\;$) w wyniku zderzeń:

$F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;$

(1.35)

Najważniejsze parametry jądra atomowego

Multipolowe momenty elektryczne jąder

Multipolowe momenty elektryczne jąder atomowych dzielimy na:

• wewnętrzne $Q_{\lambda}\;$ określonych w układzie współrzędnych związanych z jądrem atomowym.
• spektroskopowe $Q^s_{\lambda}\;$ określone w układzie laboratoryjnym, których wartości mogą być wyznaczone bezpośrednio w pomiarach dla każdego stanu dyskretnego jądra.

Momenty wewnętrzne

Momenty wewnętrzne określamy zgodnie z klasyfikacją dla dyskretnych ładunków dyskretnych o współrzędnych (x_I,y_i,z_i).

Moment monopolowy

Moment monopolowy elektryczny jest to całkowity ładunek jądra atomowego oznaczonej poniżej, czyli jest to sumowanie po ładunkach należący do jądra atomowego:

$Q_0=\sum_{i=1}^Ze_i=Ze\;$

(2.1)

Moment elektryczny dipolowy

Moment elektryczny dipolowy, którego współrzędne są sumami iloczynów i-tej współrzędnej położenia x_i i i-tego ładunku dyskretnego znajdujący się w jądrze atomowym, jest wyrażony:

$\vec{Q}_1=(Q_x,Q_y,Q_z)\mbox{ gdzie: }Q_x=\sum_{i=1}^Zx_ie_i,\mbox{, }Q_y=\sum_{i=1}^Zy_ie_i\mbox{ itd.}\;$

(2.2)

Moment kwadrupolowy

Momentem elektrycznym kwadrupolowym nazywamy obiekt w postaci macierzy, którego poszczególne elementy są sumami iloczynów po ładunku dyskretnym e_i przez położenie iloczynu dwóch współrzędnej dla i-tej cząstki (mogą być dwa te same współrzędne charakteryzujące daną cząstkę).

$\hat{Q}_2=\begin{pmatrix} Q_{xx}&Q_{xy}&Q_{xz}\\ Q_{yx}&Q_{yy}&Q_{yz}\\ Q_{zx}&Q_{zy}&Q_{zz}\end{pmatrix}\mbox{, gdzie: }Q_{xx}=\sum_{i=1}^Ze_ix_i^2\mbox{, }Q_{xy}=\sum_{i=1}^Ze_ix_iy_i\;$

(2.3)

Układy o symetrii osiowej

Dla układów o symetrii osiowej (sferycznej) mamy $|\vec{Q}_1|=Q_z\;$, gdyż Q_x=Q_y=0. Upraszcza sie również moment elektryczny kwadrupolowy, bo $Q_2\rightarrow Q_{20}\;$, gdyż jego elementy Q_xy=Q_yz=Q_zx=0, a także zachodzi Q_xx=Q_yy. Policzmy moment elektryczny Q₂₀:

$Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum_{i=1}^Ze_i(2z_i^2-2x_i^2)=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-(x_i^2+y_i^2+z_i^2))=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-r_i^2)\;$

(2.4)

Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy:

$Q_0=\int_V\rho_e(\vec{r})dV=Ze\;$ (2.4)

$Q_{10}=\int_Vx\rho_e(\vec{r})dV=0\;$ (2.5)

Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego (2.4), czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e_i przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy:

$Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\;$ $=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;$

(2.6)

Gęstość ładunku elektronowego zawarta w równaniach (2.4), (2.5) i (2.6) przestawiamy mając funkcję ψ_i(r), której kwadrat modułu jest prawdopodobieństwem znalezienia protonu i neutronu w danym punkcie:

$\rho_e(r)=e\sum_{i=1}^Z\psi_i(r)\cdot\psi_i^*(r)\;$

(2.7)

Człon dipolowy przy definicji gęstości elektrycznej ładunku (2.7) dla przypadku osiowosymetrycznego przedstawiamy:

$Q_1=e\int z\sum_{i=1}^Z|\psi_i(r)|^2dV=0\;$

(2.8)

Momenty elektryczne o wymiarze nieparzystym λ w symetrii osiowosymetrycznym są tożsamościowo równe zero, co wynika że całka z funkcji nieparzystej jest równa zero:

$Q_{\lambda\mbox{=nieparzyste}}\equiv 0\;$

(2.9)

Jesli wprowadzimy funkcje kuliste przy definicji momentu elektrycznego rzędu λ, która jest operatorem wewnętrznego momentu elektrycznego dla dowolnego rozkładu:

$\hat{Q}^0_{\lambda\mu}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\theta,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda\mu}(\theta,\phi)dV$

(2.10)

Dla rozkładu osiowosymetrycznych definicja operatora momentu elektrycznego (2.10) dla μ=0, piszemy schematem:

$\hat{Q}_{\lambda 0}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda 0}(\phi)dV\;$

(2.11)

Widzimy, że moment elektryczny kwadrupolowy Q₂₀ (2.6) również wynika z definicji (2.11). Jeśli zechcemy policzyć Q_λ0 musimy znać rozkład gęstości ładunku w jądrze ρ_e(r,θ), a także znać kształt jądra R(θ) przy zdefiniowanych parametrach deformacji β₂, β₄, tzn.:

$R(\theta)=R_0(1+\beta_2Y_{20}(\phi)+\beta_4Y_{40}(\phi)+...)\;$

(2.12)

Współczynnik β_α nazywamy współczynnikami deformacji, a R₀ nazywamy promień jądra w przypadku braku deformacji. Mając odwrotnie policzone momenty elektryczne Q₂₀,Q₄₀,(Q₆₀) można coś wywnioskować o parametrach deformacji β₂, β₄, (β₆).

Elipsoida obrotowa

Mając parametr deformacji β₂ oraz R₀ obliczmy moment kwadrupolowy Q₂₀ jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego ρ(r)=ρ₀:

$\beta_2=4\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{a+2b}}={{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\;$ (2.13)

$R_0={{a+2b}\over{3}}\;$ (2.14)

Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od β₂, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej:

$Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)=\;$ $= {{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\right)=\;$ $= {{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{6R_0+a-b}\over{6R_0}}=\;$ $={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{2a+4b+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{3(a+b)}\over{6R_0}}={{2}\over{5}}Ze(a^2-b^2)\;$

(2.15)

Jądra o dowolnym kształcie

Dla jąder o dowolnym kształcie deformację R(θφ) wyrazimy w bazie funkcji kulistych Y_lm(θ,φ) względem jego współczynników:

$R(\theta\phi)=R_0\left(1+\sum_{\alpha\beta}\alpha_{\alpha\beta}Y_{\alpha\beta}(\theta,\phi)\right)\;$

(2.16)

Jądra odpowiednio zdeformowane

Jeśli funkcje α_αβ są to współczynniki dynamiczne, to one zależą od czasu, jeśli natomiast są niezależne od czasu są to współczynniki statystyczne. W przypadku deformacji osiosymetrycznej wzór (2.16) przechodzi w (2.12). Dla tej deformacji, gdy jeśli β_λ>0, to nazywamy deformacją dodatnią, a jeśli β_α <0, to jest to deformacja ujemna. Jako dolny wskaźnik występuje przy parametrze β pewien parametr naturalny z zerem λ, co ten parametr dla:

• λ=0 nazywamy deformacja monopolową
• λ=1 deformacją dipolową
• λ=2 deformacją kwadrupolową
• λ=3 deformacją oktupolowa
• λ=4 deformacją heksakwadrupolowa.

Elektryczne momenty spektroskopowe

Elektryczne momenty spektroskopowe są określane w doświadczeniu, więc są określone w laboratoryjnym układzie współrzędnych. Transformacje operatorów $\hat{Q}_{\lambda\mu}\;$ zdefiniowanego w układzie związanym z jądrem do układu laboratoryjnego o dowolnej orientacji można rozłożyć na trzy kąty dookoła odpowiednich osi współrzędnych, któremu odpowiadają trzy kąty Eulera. Elementy macierzowe obrotu z układu związanego z jądrem do układu laboratoryjnego możemy napisać, jeśli zdefiniujemy uogólnione funkcje kuliste $D^I_{nn^'}(\omega)\;$. Jeśli układ laboratoryjny i wewnętrzny mają ten sam początek, to transformacja momentu elektrycznego wewnętrznego $\hat{Q}^0_{\lambda\mu}\;$ z układu związanego z jądrem na układ laboratoryjny jest:

$\hat{Q}_{\lambda0}^s=\sum_nD_{0n}^I(\omega)\hat{Q}_{\lambda\mu}^0\;$

(2.17)

Obracające się jądro atomowe

• Jądro pokazane według rysunku obok obraca się wokół osi k, a oś k obraca się wokoło osi I, a ono wokół osi M.
  • gdzie I oznacza całkowity moment pędu układu jako jądra atomowego, a M oznacza jego całkowitą magnetyczną liczbę kwantową.

Określmy stany, które są opisane funkcjami stanu |I,M=I,k>, wtedy spektroskopowy moment elektryczny jest rzędu λ, tzn. we wzorze na deformacje jądra atomowego (2.12) największy parametr deformacji jest β_λ, tzn. gdy jest o największym wskaźniku λ, określamy go przy pomocy (2.11) pisząc go jako:

$Q_{\lambda}^s(M=I,k)=\langle Ik|\hat{Q}_{\lambda\mu}|Ik\rangle\;$

(2.18)

Najważniejsze są elementy spektroskopowe wewnętrzne kwadrupolowe z definiowane na podstawie (2.18) są zdefiniowane przy pomocy momentu wewnętrznego Q₂₀:

$Q_2^s(Ik)=\langle Ik|\hat{Q}_{20}|Ik\rangle={{3k^2-I(I+1)}\over{(3+2I)(1+I)}}Q_{20}\;$

(2.19)

Gdy parametr I=k, wtedy moment elektryczny spektroskopowy określamy przy pomocy momentu wewnętrznego Q₂₀:

$Q_2^s(I=k)={{3I^2-I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{2I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}=\;$ $={{I(2I-1)}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}\;$

(2.20)

a) Jądra prolate, b) jądra oblate.

Widzimy, że moment elektryczny spektroskopowy $Q_2^s\;$ (2.20) jest równy zero, gdy I=0, lub I=1/2, który zachodzi nawet, gdy Q₂₀ jest nie równe zero.

• Jądra sferyczne mają moment wewnętrzny Q_λ=0, a dla jąder zdeformowanych ten sam moment Q₂₀ jest nie równy zero.

Gdy moment elektryczny wewnętrznym spełnia warunek Q₂₀>0 dla jąder dla których zachodzi β₂>0, nazywamy jądrami z deformacją dodatnią (przykład a) ("PROLATE"), a jądra o momencie elektrycznym wewnętrznym Q₂₀<0 (przykład b), dla których parametr deformacji jest β₂<0, nazywamy jądra z deformacją ujemną ("OBLATE").

Jądra zdeformowane a liczby magiczne.

Granice obszarów jąder zdeformowanych określają liczby magiczne. Znaczna część jąder atomowych ma kształt "PROLOLATE", tj.β₂>0, a jądra o β₂ ("OBLATE") można znaleźć je obszarze dla A≈130 i dla A≈200. W stanie podstawowym jądra zdeformowane mają parametr deformacji, które są równe |β₂|≤0,3, dla którego momenty elektryczne kwadrupolowe są równe: |Q₂₀|≤5eb oraz Q₄₀≤0,7eb². Deformacja zwana superdeformacją nazywamy takie stany jąder wzbudzonych jąder, które są o wysokich energiach i spinie, który pierwszy jego parametr deformacji jest równy β₂≈0,6, a można je spotkać w jądrach o N≈82 i o Z≈64.

Moment magnetyczny jąder atomowych

Moment dipolowy krążącego protonu

Procesja nukleonu

Ruchem nukleonów można powiązać pewien prąd elektryczny, które są opisywane przez momenty magnetyczne różnych rzędów. Istotny tutaj jest moment magnetyczny rzędu najniższego zwanego momentem dipolowym. Moment elektryczny dla elektronów został już wyprowadzony w punkcie (MK-18.1), ale my ten wynik przepiszemy zamieniając masę elektronu na masę protonu, wtedy moment magnetyczny w zależności od momentu pędu neutronu przestawiamy:

$\vec{\mu}={{e}\over{2m_p}}\vec{l}\;$

(2.21)

Jeśli wprowadzimy współczynnik giromagnetyczny g do wzoru (2.21), bo moment dipolowy może być w przybliżeniu opisany przy pomocy powyższej formuły w postaci:

$\vec{\mu}=g{{e}\over{2m_p}}\vec{I}=g{{\mu_N}\over{\hbar}}\vec{I}\;$

(2.22)

Jeśli wprowadzimy liczby kwantowe całkowitego momentu pędu, to długość momentu dipolowego (2.22) jest:

$|\vec{\mu}|=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)} \;$

(2.23)

Składową zetową momentu dipolowego możemy napisać z jej definicji przy pomocy długości całkowitego momentu pędu:

$\mu_z=|\vec{\mu}|\cos\beta=|\vec{\mu}|{{m\hbar}\over{|\vec{I}|}}=\;$ $=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)}{{m\hbar}\over{\hbar\sqrt{I(I+1)}}}=g{{e\hbar m}\over{2m_p}}=g\mu_N m\;$

(2.24)

Całkowity moment pędu nukleonu jest sumą jej pędu orbitalnego i spinowego i wyraża się on:

$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;$

(2.25)

Podobnie zachodzi dla momentu magnetycznego, że jest ona sumą momentu dipolowego pochodzący od jej ruchu orbitalnego i spinowego:

$\vec{\mu}_j=\vec{\mu}_l+\vec{\mu}_s\;$

(2.30)

Podamy w tabelce wartości współczynników giromagnetycznych dla ruchu orbitalnego i spinowego:

Współczynniki giromagnetyczne dla protonu, neutronu i elektronu spinowy i orbitalny
g	p	n	e
gs	+5,5858	-3,8261	2
gl	1	0	1

Rozpatrzmy teraz jądro o wielu nukleonach, które posiadają moment magnetyczny, które sprzęgają się ze sobą w całkowity moment magnetyczny jądra $\vec{I}\;$:

$\vec{\mu}_I=\sum_{i=1}^Z\vec{\mu}_i^p+\sum_{i=1}^N\vec{\mu}_i^n\mbox{ gdzie:}\vec{\mu}_{i}=(\vec{\mu}_{orb}+\vec{\mu}_{spin})_i\;$

(2.31)

Widzimy, że całkowity moment magnetyczny dipolowy jest zależny od momentów magnetycznych protonów i neutronów, czyli od nukleonów wchodzących w skład jądra atomowego. A poszczególne momenty magnetyczne dla pojedynczego nukleonu są sumą jej momentu magnetycznego orbitalnego i spinowego. W mechanice kwantowej całkowity moment dipolowy definiuje się jako:

$\vec{\mu}=\langle I,M=I|\hat{\vec{\mu}}|I,M=I\rangle\;$

(2.32)

Całkowity moment dipolowy (2.32) jest napisany dla stanu M=M_max=I. Dla pojedynczego nukleonu jego całkowity moment pędu jest określany przez$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;$, wykorzystując przy tym wzór (2.22), wtedy całkowity moment magnetyczny nukleonu określamy przez:

$\hat{\vec{\mu}}=\hat{\vec{\mu}}_j=\hat{\vec{\mu}}_l+\hat{\vec{\mu}}_s={{\mu_N}\over{\hbar}}(g_l\hat{\vec{l}}+g_s\hat{\vec{s}})\;$

(2.33)

Wartość momentu magnetycznego, wiedząc, że $\langle j,j|\mu_x|j,j\rangle=\langle j,j|\mu_y|j,j\rangle=0\;$, określamy przez:

$\mu=\langle j,m=j|\hat{\vec{\mu}}_j|j,m=j\rangle=\langle j,j|\hat{\mu}_z|j,j|\rangle\;$

(2.35)

Model jednocząstkowy sferyczny

Całkowity moment pędu i moment magnetyczny

Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. $\vec{I}_{sp}=\vec{j}\;$, co i także zachodzi $\vec{\mu}_{sp}=\vec{\mu}_j\;$. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór (2.33) można powiedzieć, że kierunki $\vec{j}\;$ i $\vec{\mu}_j\;$ nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora $\hat{\vec{A}}\;$ w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa $|j,m\rangle\;$, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest $\hat{j}_z\;$ określana jest przez $j_z=m\hbar\;$, określamy przez:

$\langle j,m|\hat{\vec{A}}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{j}_z|j,m\rangle{{\langle j,m|\hat{\vec{A}}\hat{\vec{j}}|j,m\rangle }\over{\langle j,m|\hat{j}^2|j,m\rangle}}\;$

(2.36)

Będziemy korzystać ze wzorów określonych na operatorach momentu spinowego, orbitalnego i całkowitego momentu pędu:

$\hat{\vec{s}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{l}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-\hat{\vec{s}}^2\right)\;$

(2.37)

$\hat{\vec{l}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{s}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-\hat{\vec{l}}^2\right)\;$

(2.38)

Wyznaczmy moment dipolowy dla m=j dla jednego nukleonu walencyjnego wykorzystując przy tym (2.36) na średnią wartość operatora $\hat{\vec{A}}\;$, a także z udowodnionych tożsamości (2.37) i (2.38):

$\mu_{sp}=\langle jj|\hat{j}_z|jj\rangle{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{\langle jj|\hat{j}^2|jj\rangle}}=j\hbar{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{j(j+1)\hbar}}={{1}\over{(j+1)\hbar}}\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle=\;$ ${{\mu_N}\over{(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l\hat{\vec{l}}\cdot\hat{\vec{j}}+g_s\hat{\vec{l}}\cdot\hat{\vec{j}}|jj\rangle ={{\mu_N}\over{2(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l(\hat{j}^2+\hat{l}^2-\hat{s}^2)+g_s(\hat{j}^2+\hat{s}^2-\hat{l}^2)|jj\rangle=\;$ $= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left\{g_l\left[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)\right]+g_s\left[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)\right]\right\}$

(2.39)

Rozpatrzmy teraz dwa przypadki, tzn. dla j=l+1/2 i j=l-1/2, wtedy końcowy wzór (2.39) dla tego pierwszego rozpisujemy:

$\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j-{{1}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+$ $+g_s\left[j(j+1)-\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{4}}\right]\Bigg\}=\;$ $={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(j^2+j+j^2-{{1}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2+{{1}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\right]=\;$ $= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+j-1\right)+g_s\left(j+1\right)\right]=\;$ $={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l[2j(j+1)-1]+g_s(j+1)\right]=\mu_N\left[g_l\left(j-{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{2}}g_s\right]$

(2.40)

I dalej rozpatrzmy drugi przypadek, tzn. j=l-1/2:

$\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+\;$ $+g_s\left[j(j+1)-\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)+{{3}\over{4}}\right]\Bigg\}\;$ $= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg[g_l\left(j^2+j+j^2+{{3}\over{2}}j+{{1}\over{2}}j+{{3}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2-{{3}\over{2}}j-{{1}\over{2}}j-{{3}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\Bigg]=\;$ $= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+3j\right)-jg_s\right]={{j}\over{j+1}}\mu_N\left[\left(j+{{3}\over{2}}\right)g_l-{{1}\over{2}}g_s\right]$

(2.41)

Biorąc koleno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla I=l+1/2 i I=l-1/2, ale w jednostkach μ_N:

$\mu_{sp}=I+2,293\;$ (2.42)

$\mu_{sp}={{I^2}\over{I+1}}-1,293{{I}\over{I+1}}\;,$ (2.43)

A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno:

$\mu_{sp}=1,913\;$ (2.44)

$\mu_{sp}=-{{I}\over{I+1}}1,913\;$ (2.45)

Funkcja gęstości materii jądrowej

Funkcje rozkładu gęstości masy i ładunku w jądrach atomowych są bardzo do siebie podobne. Protony p i neutrony n są bardzo wymieszane ze sobą dokładnie ρ_e(r)=ρ_m(r)=ρ(r). Dobrym przybliżeniem rzeczywistego rozkładu ρ(r) jest rozkład Fermiego:

Gęstość jąder w zależności od promienia

$\rho(r)={{\rho(r)}\over{1+e^{{r-R_{1/2} }\over{a}} } }\;$

(2.46)

• gdzie ρ(0) i R_1/2 i " a"są to parametry dobierane w wyniku doświadczenia.

Odkryto doświadczalnie, że ta stała ρ(0) ma wartość ρ(0)=0,17 nukleonów/fm³. Gęstość jądra słabo zależy od A≥20 i może nieco malec w środku jądra. Obszar stałej gęstości ρ(r) znika dla jąder lekkich Z<6. Wartość promienia połówkowego zależy od liczby masowej A i jest wyrażona przez R_1/2=(1,18A^1/3-0,48)fm, a grubość warstwy połówkowej piszemy przez t=4,39a, które wolno zmienia się (rośnie) wraz ze wzrostem A, i dla A>20, to t=2,4fm, a gdy A<20, to t=2,0fm. Warstwa powierzchniowa nie znika nawet dla jąder bardzo lekkich. Przyjmuje, że parametr rozkładu jest a≈0,55fm.

Wyznaczmy parametr t i udowodnijmy, że t=4a ln 3, jako różnicy pomiędzy promieniami od środka jądra dla gęstości jadra 0,1ρ(0) i 0,9ρ(0), wtedy ze wzoru (2.46) wynika:

$1+e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}\Rightarrow e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\Rightarrow r-R_{1/2}=a\ln\left({{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow t=a\ln{{{{\rho(0)}\over{0,1\rho(0)}}-1}\over{{{\rho(0)}\over{0,9\rho(0)}}-1}}=a\ln{{0,9}\over{0,1}}{{0,9}\over{0,1}}= a\ln 9^2=a\ln 3^4=4a\ln 3\Rightarrow t=4a\ln 3$

(2.47)

W niektórych jądrach silnie neutrononadmiarowych występuje tzw. aureola (hallo), którą jest grupą słabo związanych neutronów oddalonych od innych.

• Rozpatrzmy jądro litu ${}^{11}_3Li_8\;$, który ma promień $R({}^{11}Li)=5fm\;$, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień R(⁹Li) = 3fm, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. ${}^{11}_{3}Li_8\xrightarrow{9ms}{}^{11}_4 Be_7\;$. Energia wiązania dwóch neutronów jest S_2n=250 keV.
• Samo jądro${}^{11}Be\;$ z jednym neutronem aureoli ma promień $R({}^{11}Be)=7fm\;$, energia wiązania tego neutronu jest S_n=500 keV.

Poziomy energetyczne jąder atomowych

Jądra atomowe są to układy związane przy pomocy sił jądrowych, taki układ może znajdować się w stanach przyjmujących zarówno wartości dyskretne jak i ciągłe.

• Stany dyskretne odpowiadają ruchom, nukleonów w ograniczonej przestrzeni, tj. w studni jądrowego potencjału V(r).
• Stany o widmie ciągłym odpowiadają ruchom w nieograniczonej przestrzeni, gdy przynajmniej jeden nukleon opuszcza jądro, co wtedy zachodzi, gdy energia wzbudzenia E_wz jest większa od energii separacji.

Własności każdego stanu opisuje funkcja falowa ψ_E(q,t), który spełnia równanie falowe Schrödingera:

$i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\hat{H}\psi\;$

(2.48)

Dla stanów dyskretnych energie E_n odpowiadają równaniu falowemu:

$\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n\;$

(2.49)

Mając tak przestawione równanie falowe o stanie E_n, to rozwiązaniem równania falowego zależnego od czasu (3.3) są funkcje falowe:

$\psi_n(E_n,q,t)=e^{-{{iE_n t}\over{\hbar}}}\varphi_n(q)\;$

(2.50)

Funkcje φ(q) są to funkcje niezależne od czasu "t", ale zależne od zmiennych q opisujących stan nukleonów w danym stanie energetycznym E_n. Dla takich stanów gęstość prawdopodobieństwa rozkładu nukleonu w jądrze nie zależy od czasu patrząc na (2.50), tzn.:

$|\psi_n(t,q)|^2=|\varphi_n(q)|^2\;$

(2.51)

Stany spełniające warunek (2.51) nazywamy stanem stacjonarnym, a stany o najniższej energii to są stany podstawowe, a pozostałe stany są stanami wzbudzonymi. Ogólnie można powiedzieć, że nukleon może się znajdować się w stanie dyskretnym z energią E_n, jak i w stanach ciągłych, co opisuje taki stan nukleonu w jądrze funkcja falowa:

$\psi=\sum_na_n\psi_n+\int a_E\psi_EdE\;$

(2.52)

• Funkcje ψ_n i ψ_E są to funkcje falowe stanów stacjonarnych o widmie dyskretnym i ciągłym, których |a_n|² i |a_E|² jest to prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jądra o stanie energii E_n lub o energii (E,E+dE).

Stany jądra atomowego odzwierciadlająca własności jąder obserwowanego w doświadczeniu mówimy, że określa strukturę jądra atomowego. Stany wzbudzone, a także jądra niestabilne, które nie spełniają warunków stacjonarności ulegają spontanicznym przemianom z emisją kwantu γ lub też innych cząstek, przy czym zmienia się stan ruchu poszczególnych nukleonów znajdujących się w jądrze atomowym. Tym stanom formalnie nie można przyporządkować ścisłe określonej energii E_n, lecz średnią energię $_{\langle E\rangle=E_0}\;$, której odpowiada funkcja falowa $_{\psi_{E_{0}}(q,t)=\int_E\psi_EdE}\;$.

Rozkład Lorentza z dokładnością do stałej

Znając średni czas życia τ związanym z nietrwałym poziomem o średniej energii E₀, a także o szerokości połówkowej poziomu Γ, to nieoznaczoność czasu i energii powiążemy równaniem:

$\Gamma\cdot\tau=\hbar\;$

(2.53)

Stany układów kwantowych o energii E₀>>Γ nazywamy quasistacjonarnymi. To prawdopodobieństwo znalezienia stanu o energii E określa rozkład Lorentza:

$|a_E|^2\sim{{{{1}\over{4}}\Gamma^2}\over{(E-E_0)^2+\left({{\Gamma}\over{2}}\right)^2}}\;$

(2.54)

Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych

Z doświadczenia wiadomo, że stany wzbudzone o energiach E_wzb<S nukleonu (nukleonów) charakteryzują się czasem życia $\tau>>\hbar/E_0$, czyli dla czasu życia τ≥ 10^-14 wynika, że Γ≤0,1eV. Stany o wyjątkowo dużym czasie życia maja małą szerokość połówkową Γ≤10^-15eV, te stany nazywamy stanami meta-stałymi. W praktyce stany o bardzo małej szerokości połówkowej traktuje się je jak stany dyskretne. Układ stanów dyskretnych jądra liczone względem stanu podstawowego E'_s=E_s-E_qs nazywamy schematem stanów wzbudzonych jądra atomowego. W widmie ciągłym występują poziomy dla E_wzb≥S_N, które mogą być traktowane jako poziomy o charakterze dyskretnym. Przy E_wzb>>S_N gęstość stanów jest na tyle duża, że widmo dyskretne staje się prawie nierozróżnialne od widma ciągłego, dlatego te stany są traktowane jako stany o charakterze ciągłym, bo te stany pokrywają się się swoimi szerokościami. Nie możemy obliczyć stanów energetycznych jąder atomowych teoretycznie, ponieważ nie znamy potencjału V(r) oddziaływania na siebie nukleonów, ponieważ jest to problem wielu mas, który dla nas jest problem nierozwiązywalnym jak dotychczas.

Spin stanów jąder atomowych

Spin jąder atomowych określa całkowity moment pędu jądra, jest to wielkość fizyczna, która jest na równi z energią. Nukleony są w ciągłym ruchu, którym całkowity moment pędu danego nukleonu jest określony na podstawie (2.25), co dla i-tego nukleonu mamy:

$\hat{j}_i=\vec{l}_i+\hat{s}_i\;$

(2.55)

Całkowity moment pędu jądra atomowego, przy wykorzystaniu definicji całkowitego momentu pędu dla danego nukleonu (3.10), jest:

$\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i\;$

(2.56)

W mechanice kwantowej operator momentu pędu: $\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;$ definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych:

$\hat{I}_x=-i\hbar\left(y{{\partial }\over{\partial z}}-z{{\partial }\over{\partial y}}\right)\;$ (2.57)

$\hat{I}_y=-i\hbar\left(z{{\partial }\over{\partial x}}-x{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;$ (2.58)

$\hat{I}_x=-i\hbar\left(x{{\partial }\over{\partial y}}-y{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;$ (2.59)

Funkcje $\hat{I}^2\;$, $\hat{I}_z\;$ i $\hat{H}\;$ mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne:

$|\hat{\vec{I}}|^2=I(I+1)\hbar^2\;$ (2.60)

$I_z=M\hbar;\;$ (2.61)

• Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M^max nazywamy spinem jądra.

Operatory hamiltonianu$\hat{H}\;$ i $\hat{I}_z\;$ zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu. Z definicji spinu jądra mamy maksymalny rzut całkowitego momentu pędu na oś zetową i ją określamy przez $I_z^{max}=M^{max}\hbar=I\hbar\;$. W mechanice kwantowej często $I\hbar\;$ nazywamy spinem o długości wektora $\vec{I}$ dla maksymalnego rzutu wektora momentu pędu na oś zetową określamy przez:

$I\hbar=\langle I,M=I|\hat{I}_z|I,M=I\rangle\;$

(2.62)

Określenie spinów stanów podstawowych jąder atomowych

Jądra parzyste

Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w (2.67)) określamy przez $I^{\pi}_{gs}=0^+\;$, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest$|\vec{I}_{pary}|=0\;$. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I^π=2⁺.

Jądra nieparzyste

Dla jąder nieparzystych całkowity moment pędu jądra jest sumą całkowitego momentu pędu dla ściśle określonego nukleonu, która z kolei jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu:

$\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i=\sum_{i=1}^A\left(\vec{l}_i+\vec{s}_i\right)\;$

(2.63)

Można powiedzieć, że dla jądra nieparzystego jądro składa się z sferycznego rdzenia i jednego elektronu walencyjnego, według teorii modelu jednocząstkowego, którego moment pędu jest $\hat{I}_{rdzenia}\;$, a moment nukleonu walencyjnego jest $\vec{j}_{wal}\;$, zatem całkowity moment jądra atomowego:

$\vec{I}=\vec{I}_{rdzenia}+\vec{j}_{wal}\;$

(2.64)

W modelu jednocząstkowym będziemy rozpatrywać jądro jako układ złożony z sferycznego rdzenia p-p i jednego nukleonu walencyjnego, to w stanie podstawowym moment pędu rdzenia $\vec{I}_{rdzenia}\;$ jest równy zero, wtedy całkowity moment pędu (3.18) określamy przez:

$\vec{I}=\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;$

(2.65)

Operując zamiast na wektorach będziemy operować na liczbach kwantowego całkowitego momentu pędu oraz jej orbitalnego i spinowego momentu pędu, mamy:

$I=j=l\pm s\;$

(2.66)

We wzorze (2.66) mamy orbitalną liczbę kwantową określoną przez l=0,1,2,3,..., które są równoważne poziomom według nazw zamiast liczb, tzn. s,p,d,f,g., a także mamy spinowy moment pędu określanej przez s=1/2. W stanach wzbudzonych kwantowa ogólnie liczba całkowitego momentu pędu może mieć dużą wartość nawet dochodzącej do I=50 i większe. Obserwowany w doświadczeniu całkowity moment pędu stanu podstawowego dla jądra atomowego z nukleonami walencyjnymi jak wykazano w doświadczeniu, że jest on równy w zakresie$I_{gs}^{\pi}=1/2\mbox{ do }11/2\;$. Zdefiniujmy teraz parzystość, którą określamy poprzez orbitalną liczbę kwantową:

$\pi=(-1)^l\;$

(2.67)

Widzimy, że ona jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej l.

Momenty elektryczne i magnetyczne

Jądro atomowe jest to układ ładunków elektrycznych będącego w ciągłym ruchu określonych nukleonów, które składnikami są "p" i "n". Rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego można z dobrym przybliżeniem opisać przy pomocy funkcji Fermiego podobnym do wzoru (3.1):

$\rho(r,\theta,\phi)={{\rho_0}\over{1+e^{{{r-R(\theta,\phi)}\over{a}} }}}\;$

(2.68)

Z bardzo dobrym przybliżeniem rozkład gęstości jądra atomowego spełnia dobrze rozkład jednorodny:

$\rho(r)=\begin{cases}\rho_0&\mbox{ gdy }r\leq R\\0&\mbox{ gdy }r>R\end{cases}\;$

(2.69)

Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy $\sim 1/R^n\;$, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu λ = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu λ=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem λ, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku ρ(r,θ,φ) (2.46).

Rozpady (przejścia, przemiany) jądrowe

Ogólny schemat rozpadów

Procesy zachodzące spontanicznie z powodów określonych oddziaływań pomiędzy nukleonami, w wyniku której jądro znajduje się w stanie quasistacjonarnym, to jądro przechodzi do stanu niższego energetycznie emitując cząstkę unoszącą energię rozpadu. W końcowym etapie w wyniku czego jądro przechodzi w stan stacjonarny, które jest jądrem stabilnym w stanie podstawowym. Rozpad

$X\rightarrow Y+\sum_i m_{a_i}\;$

(3.1)

jest dozwolony, jeśli spełnione są warunki opisane poniżej:

Warunek energetyczny

Wynika on z praw zachowania energii, dla jąder X i Y i cząstki a_ai będących w stanach podstawowych, to z tej zasady dla problemu mas wynika wniosek, że suma mas substratów w przemianie jądrowej powinna być większa niż suma mas produktów:

$M_j(x)\geq M_j(Y)+\sum_i m_{a_i}\;$

(3.2)

lub gdy jądra są w stanie wzbudzonym, wtedy dla problemu mas zachodzi suma masy substratów (jądra X) i jej energii wzbudzenia powinna być większa niż suma mas produktów Y, a_i i energii wzbudzenia jądra Y:

$M_j(X)+E_{wzb}(X)\geq M_j(Y)+E_{wzb}(Y)+\sum_i m_{a_i}\;$

(3.3)

Powyżej wyraziliśmy masę i energię w tych samych jednostkach, tzn. przy definicji prędkości światła równej jeden c=1. Energią rozpadu nazywamy wyrażenie, która jest różnicą masy jądra X przed rozpadem, i sumą masy jądra Y po rozpadzie i masy cząstek wyemitowanych:

$M(X)-\left[M(Y)+\sum_im_{a_i}\right]=Q\;$

(3.4)

• gdzie: M(X), M((Y) są masami odpowiednich nuklidów, które unoszą energię w postaci energii kinetycznej, tzn. energia rozpadu jest sumą energii kinetycznej jądra Y i cząstek a_i:

$Q=\sum_i E_{a_i}^{(k)}+E^{(k)}_{odrzutu}(Y)\;$

(3.5)

Jeśli emitowana jest jedna cząstka, to ma określoną energię (widmo energii jest liniowe), a energia odrzutu jest w przybliżeniu zerowa, bo m_a<<M(Y).

Reguły wyboru

Prawa zachowania momentów pędów przestawiamy jako sumę momentów pędu substratów, która jest równa sumie momentów pędu produktów w rozpadzie jądrowej, tzn. moment pędu jądra X przed rozpadem jest równy sumie momentów pędów cząstek a_i i jądra Y:

$\vec{I}_i(X)=\vec{I}_f(Y)+\sum_i \vec{j}_{a_i}\;$

(3.6)

Zasadę zachowania parzystości w naszej rozpadzie, oraz wartość momentu pędu cząstek a_i możemy napisać, gdy suma momentów pędu naszych cząstek jest większa niż wartość bezwzględna różnicy momentów pędu jąder X i Y oraz mniejsza niż wartość sumy momentów pędów, a parzystość cząstki X przed rozpadem jest równa iloczynowi parzystości jądra Y i cząstek a_i dla wszystkich "i":

$|I_i-I_f|\leq \sum_i j_{a_i}\leq I_i+I_f\;$ (3.7)

$\pi_i(X)=\pi_f(Y)\cdot\pi(\sum_ia_i)\;$ (3.8)

Prawo zachowania ładunku elektrycznego, ładunku barionowego i innych liczb kwantowych

Prawo zachowania ładunku elektrycznego i barionowego, taki że ładunek elektryczny lub barionowy przed i po rozpadzie zachowuje swoją wartość licząc względem wszystkich cząstek przed i po reakcji, przedstawiamy:

$Z_i=Z_f+\sum_i Z_{a_i}\;$ (3.9)

$A_i=A_f+\sum_iA_{a_i}\;$ (3·10)

Klasyfikacja rozpadów

Ze względu na emitowane cząstki:

• rozpad α:

${}_Z^AX\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2\alpha\;$

(3.11)

• rozpady β

w tym rozpad β^- w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zwiększonej o jeden, a także elektron (cząstka β^-) wraz antyneutrinem elektronowym:

${}^A_ZX\rightarrow {}^A_{Z+1}Y+{}_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;$

(3.12)

w tym rozpad β⁺ w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zmniejszonej o jeden, a także pozyton (cząstka β⁺, elektron o ładunku dodatnim) wraz antyneutrinem elektronowym:

${}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}_1\beta^++\nu_e\;$

(3.13)

• rozpady nukleonowe p i n:
• rozszczepienie spontaniczne sf w wyniku czego powstają dwa jądra atomowe wraz z pewną liczbą neutronów:

$X\rightarrow Y_1+Y_2+kn\;$

(3.14)

• przejścia γ:

Rozpad, w którym jądro wzbudzone przechodzi do stanu podstawowego ze stanu wzbudzonego z emisją kwantu γ:

${}^A_ZX^*\rightarrow {}^A_ZX+\gamma\;$

(3.15)

• konwersja wewnętrzna (KW)

Ze względu na oddziaływania prowadzące do rozpadu:

• przejścia elektromagnetyczne (EM): γ, KW, KP (deekscytacja jądra, jest to przejście jądra, ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, przy czym jest zachowana liczba masowa A i atomowa Z jądra atomowego)
• przejścia (rozpady) słabe: β^-, β⁺, EC
• przejścia (rozpady) z udziałem oddziaływania silnego (jądrowego): α, p, n, sf.

Prawdopodobieństwo rozpadu (przejścia) ze stanu początkowego |i>

(3.1) Przejścia (rozpady) jądrowe

Wedle przypadku ogólnego stan quasisstacjonarny może przejść w wyniku różnych procesów (rozpady jąder na końcowe jądra korzystne energetycznie). Stała rozpadu całego procesu jest sumą poszczególnych rozpadów, dla oddziaływań elektromagnetycznych λ_em, słabego λ_sl, i silnego λ_s:

$\lambda_i=\lambda_{em}+\lambda_{sl}+\lambda_s\;$

(3.16)

Poszczególne stałe rozpadu definiujemy wedle schematów poniżej przy pomocy stałej zaniku przejścia elektromagnetycznego, która jest sumą rozpadów γ, konwersji wewnętrznej KW i dekscytacji jądra, ta stała jest w postaci:

$\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}\;$

(3.17)

Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań słabych jest sumą rozpadów β^-, β⁺ i EC:

$\lambda_{sl}=\lambda_{\beta^-}+\lambda_{\beta^{+}}+\lambda_{EC}+...\;$

(3.18)

Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań silnych jest sumą stałych zaniku rozpadu α, rozczepienia spontanicznego sf i przejść nukleonowych p i n.

$\lambda_{s}=\lambda_{\alpha}+\lambda_{sf}+\lambda_p+\lambda_n+...\;$

(3.19)

Średni czas życia danego rozpadu, lub wszystkich rozpadów (3.16) definiujemy jako odwrotność stałej zaniku danego rozpadu lub wszystkich rozpadów:

${{1}\over{\lambda_j}}=\tau_i\;$

(3.20)

Czas życia, danego rozpadu, że względu na dany typ rozpadu, w którym cząstka ze stanu |i> przechodzi w stan |f>, jest określany:

${{1}\over{\lambda_{if}}}=\tau_{if}\;$

(3.21)

Stała rozpadu, nie zależy od warunków zewnętrznych, historii rozpadu, jest to wielkość stała charakteryzujący dany proces. W kwantowej teorii zaburzeń stała rozpadu przejścia ze stanu "i" do "f", znając gęstość stanów ρ_f(E), w której zawarta jest zależność stałej rozpadu od energii emitowanych cząstek E, a także hamiltonian H_if, który jest odpowiedzialny za przejście od stanu "i" do stanu "f", które jest traktowane jest jako zaburzenie, jest zapisana:

$\lambda_{if}={{2\pi}\over{\hbar}}\left|\left\langle f|H_{if}|i\right\rangle\right|^2\rho_f(E)\;$

(3.22)

Prawo rozpadu

(3.2) Wykres ilustrujący prawo rozpadu

Prawdopodobieństwo rozpadu, czyli iloraz liczby cząstek rozpadających się dN i liczby cząstek nierozpadniętych N, jest wprost proporcjonalne do czasu w którym ten rozpad jest dokonywany, tzn.:

${{-dN}\over{N}}=\lambda dt\rightarrow N(t)=N(0)e^{-\lambda t}\;$

(3.23)

Wyznaczmy teraz czas, w którym liczba cząstek zmniejsza się "e" razy względem jej liczby w czasie równym zero (N(0)), czyli:

${{1}\over{e}}N(0)=N(0)e^{-\lambda \tau}\Rightarrow -\ln e=-\lambda\tau\Rightarrow\tau={{1}\over{\lambda}}\;$

(3.24)

Wyznaczmy średni czas rozpadu z definicji wartości średniej względem czasu:

$\overline{t}={{\int_0^{\infty}te^{-\lambda t}dt}\over{\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}}={{-{{1}\over{\lambda}}te^{-\lambda t }\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{\lambda}}\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}\over{-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}}}=\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt=-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}={{1}\over{\lambda}}=\tau\;$

(3.25)

Udowodniliśmy, że średni czas zaniku jest odwrotnością stałej zaniku λ, czyli jest równy czasowi τ, po którym liczba cząstek maleje e razy. Wyznaczmy teraz czas połowicznego zaniku, w którym liczba cząstek zmniejsza się o połowę względem czasu podstawowego N(0), patrząc na wynik (3.24) i (3.25), otrzymujemy, że czas połowicznego zaniku jest równy czasowi, której liczba cząstek zmniejsza się e razy względem N(0) pomnożonej przez logarytm naturalny liczby dwa:

${{1}\over{2}}N(0)=N(0)e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow -\ln 2=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow T_{1/2}={{1}\over{\lambda}}\ln 2\Rightarrow T_{12}=\tau\ln 2\;$

(3.26)

Mechanizm rozpadu (przemiany) α

(3.3) Rozpad α

Wyniku rozpadu jądra X o liczbie masowej A i atomowej Z z jądra wylatuje w wyniku zjawiska tunelowania cząstka ${}^4_2\alpha_2\;$, zmniejszając jego liczbę masową o cztery, a liczbę atomową o dwa:

${}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}+{}^4_2\alpha_2\;$

(3.27)

Energia pomiędzy stanami podstawowymi jąder ${}^A_ZX_N\;$ i ${}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}\;$ i cząstką α przedstawiamy:

$Q_{\alpha}=M(A,Z)-\left[M(A-4,Z-2)+M(\alpha)\right]\;$

(3.28)

Warunkiem koniecznym zaistnienia rozpadu (3.27) jest warunek konieczny Q_α>0. Warunek (3.28) jest spełniony dla jąder, dla której stosunek B/A=f(A) leży w opadającej części wykresu, tzn. dla jąder ciężkich o A≥150, które znajdują się w stanach podstawowych. Energia rozpadu Q_α jest unoszona w postaci energii kinetycznej jądra Y i energii kinetycznej cząstki α. Widmo energetyczne cząstki α jest liniowe i jego energia mieści się w zakresie 4MeV≤E_α≤9MeV. Wartość momentu pędu cząstki α jest większa od wartości bezwzględnej różnicy jądra X i Y i jest mniejsza niż suma wartości momentów pędu cząstki X i Y:

$|I_X-I_Y|\leq I_{\alpha}\leq I_X+I_Y\;$

(3.29)

Parzystość czastki α, jest iloczynem parzystości jądra X i jądra Y, jest wyrażona:

$\pi_X\pi_Y=(-1)^{l_{\alpha}}\;$

(3.30)

(3.4) Przejście tunelowe cząstki alpha

Rozpad α jest uwarunkowany oddziaływaniem silnym, i cząstka α by pokonać barierę potencjału dla którego zachodzi E_α<E_{bariery potencjału} ulega zjawisko tunelowania, co jest zgodne z mechaniką kwantową, w wyniku czego jądra helu wydostaje się z jądra X z pewną energią E_α. Potencjał V(r) jądra atomowego wyrażamy przez sumę energii związanych z energią kulombowską i energią związaną z momentem pędu, jest ona równa ich sumie:

$V(r)=V_C(r)+V_l(r)\underbrace{=}_{r\geq R_j}{{Z_{\alpha}Z_je^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}+{{l(l+1)\hbar}\over{2m_{\alpha} r^2}}\;$

(3.31)

Współczynnik przenikalności bariery potencjału jądra X

Współczynnik przenikalności bariery wyrażamy przy pomocy potencjału oddziaływania kulombowskiego V_C i potencjału związanego z momentem pędu V_l i piszemy go:

$D=e^{-{{2}\over{\hbar}}\int_{R_j}^{r_{\alpha}}\sqrt{2m\left(V_C+V_l-E_{\alpha}\right)}dr}\;$

(3.32)

Prawdopodobieństwo rozpadu α

Stała rozpadu jest iloczynem prawdopodobieństwa utworzenia cząstki α w stanie quasistacjonarnym P_α, który aby obliczyć należy znać strukturę jądra atomowego, ono nie zmienia się silnie od jądra do jądra, przez częstość ν:

$\nu={{1}\over{t}}={{v_x}\over{2R_j}}\;$

(3.33)

• gdzie "t" czas, w którym cząstka α przebiega jądro.

i przez współczynnik przenikalności bariery D (3.32), stała rozpadu rozpadu α, czyli λ_α jest napisana:

$\lambda_{\alpha}=P_{\alpha}\cdot\nu\cdot D\;$

(3.34)

Zwykle przyjmuje się k=P_αν≈10²⁰, to stała rozpadu (3.34) ma wzór λ_α=k⋅D.

Prawo Geigera-Nutalla

Jest to zależność pomiędzy czasem T_1/2 połowicznego rozpadu jądra X, co wyniku tego ono emituje cząstkę α, a energią cząstek α E_α, która jest wyrażona przy pomocy stałych C(Z) i D(Z) zależnej od liczby atomowej Z:

$\operatorname{log}_{10}T_{1/2}=C(Z)+{{D(Z)}\over{\sqrt{E_{\alpha}}}}\;$

(3.35)

Zależność stałej C i D od liczby atomowej przedstawia tabela:

Z	C	D	Z	C	D
84	-50,15	128,8	92	-52,55	143,1
86	-50,94	132,7	94	-53,35	147,4
88	-51,51	136,2	96	-53,97	151,3
90	-51,94	139,4	98	-54,40	154,7

Prawidłowość (3.35) ustalili doświadczalnie w latach 1911-1912 uczeni H. Geiger i J. Nutall, a następnie w 1928 uzyskał ją opierając się na kwantowym opisie procesu rozpadu α. Ten wzór opisuje proces rozpadu α. Wzór najdokładniej opisuje rozpady jąder dla jąder parzysto-parzystych. Stałe C i D zależą nieznacznie od liczby atomowej, co ilustruje powyższa tabelka.

Rozpady nukleonowe

• Rozpad neutronowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden neutron, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową o jeden przy takiej samej liczbie atomowej:

${}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_ZY_{N-1}+n\;$

(3.36)

• Rozpad protonowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden proton, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową A i atomową Z o jeden:

${}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_{Z-1}Y_N+p\;$

(3.37)

Warunek energetyczny (energia rozpadu)(N od n lub p)

(3.5) Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych

• Jeśli oba jądra X i Y w (3.36) i (3.37) są w stanie podstawowym, wtedy energia rozpadu jądra unoszona przez neutrony jest równa:

$Q_N=M_j(X)-[M_j(Y)+m_N]\geq 0\;$

(3.38)

(3.6) Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego

• Gdy jądro X rozpada się ze stanu wzbudzonego na jądro Y, to energia rozpadu, która jest zawsze większa niż zero, przedstawia się:

$Q_N=M_j(X)+E_{wzb}-[M_j(Y)+m_N]\;$

(3.39)

• Gdy jądro X ze stanu wzbudzonego rozpada się na jądro w stanie wzbudzonym Y, dla której energia rozpadu jest zawsze większa niż zero, to ciepło rozpadu jest:

$Q_N=M_j(X)+E_{wzb}(X)-[M_j(Y)+m_N+E_{wzb}(Y)]\;$

(3.40)

Przy rozpadzie ze stanów wysokoenergetycznych składa się on z bardzo wielu linii (wierzchołków), zauważmy jednak, że zachodzi:

• rozpadu nukleonowe są wynikiem oddziaływań silnych.
• jeśli jest spełniony warunek energetyczny (3.40), to jądro jest wzbudzone ze względu na jego spin i parzystość, i rozpad jego następuje z czasem połowicznego zaniku równej τ≈10^-22s.
• rozpad protonowy może być zahamowany przez barierę kulombowską.
• jeśli energią protonu jest mniejsza niż wysokość bariery, to protony z takiego jądra wychodzą na zewnątrz niego poprzez proces tunelowania, tak jak w rozpadzie α.
• rozpady protonowe konkurują z rozpadami β⁺, EC,α, a rozpady neutronowe zachodzą z konkurencją β^-. Pierwszy i drugi rozkład konkuruje z rozpadem elektromagnetycznym EM dla jąder X wzbudzonych.

Rozpady nukleonowe obserwuje się w jądrach neutrononadmiarowych (rozpad n) i w jądrach neutronodeficydowych (rozpad p). Rozpady nukleonowe obserwuje się jako rozczepienia w ciężkich jądrach wysoko-wzbudzonych neutrononadmiarowych oraz w wyniku rozpadu jąder dalekich od ścieżki jąder stabilnych. Rozpady nukleonowe konkurują z rozpadami elektromagnetycznymi, γ, i KP (deeskcytacją jądra atomowego).

Przemiana (rozpad) β

(3.7) Rozpad β^-

Neutron w jądrze rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe, a proton w jądrze rozpada się na neutron pozyton i neutrino elektronowe, te dwie przemiany piszemy:

${}^1_0n^+\rightarrow {}^1_1p^++{}^0_{-1}e^-+\tilde{\nu}_e\;$ (3.41)

${}^1_1p^+\rightarrow {}^1_0n^0+{}^0_1e^++\nu_e\;$ (3.42)

Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana (3.41), to liczba masowa jądra się nie zmienia, a liczba atomowa Z zwiększa się o jeden, tą przemianę piszemy:

${}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z+1}Y+{}^0_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;$

(3.43)

Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana (3.42), to liczba masowa jądra się nie zmienia, ale za to liczba atomowa zmniejsza się o jeden, tę przemianę piszemy:

${}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}^0_1\beta^++\nu_e\;$

(3.44)

• Warunki energetyczne rozpadu β^-

Patrząc na rozpad (3.43) warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, i jest wyrażona jako różnicę masy jądra ${}^A_ZX\;$ i sumy mas jadro po rozpadzie ${}^A_{Z+1}Y\;$ i masy elektronu ujemnego (czastki β^-) i energii antyneutrina elektronowego

$Q_{\beta^-}=M(A,Z)-[M(A,Z+1)+m_e+m_{\tilde{\nu}_e}]\;$

(3.45)

• Warunki energetyczne rozpadu β⁺

Patrząc na rozpad (3.44) warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, jest wyrażona jako różnicę masy jądra ${}^A_ZX\;$ i sumy mas jądra po rozpadzie ${}^A_{Z-1}Y\;$ i masy pozytonu oraz energii neutrina elektronowego.

$Q_{\beta^-}=M(A,Z)-[M(A,Z-1)+m_e+m_{\nu_e}]\;$

(3.46)

• Przemiana EC

Te przemiany powstaje po wychwycie elektronu lub pozytonu przez jądro i odpowiednio liczba masowa A nie zmienia się, a liczba atomowa Z maleje o jeden po wychwycie elektronu:

${}^A_ZX+e^-\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+\nu_e\;$

(3.47)

Energia rozpadu jest różnicą sumy masy jądra ${}^A_ZX\;$ i masy elektronu, oraz sumy masy jądra ${}^A_{Z-1}Y\;$ i energii neutrina elektronowego:

$Q_{EC}=M(A,Z)+m_e-[M(A,Z-1)+m_{\nu_e}]\;$

(3.48)

Rozpad β^- i EC z wychwytem elektronu to są procesy konkurencyjne. Najbardziej prawdopodobny jest wychwyt elektronu z powłoki elektronowej K. Stała zaniku tejże przemiany jest sumą stałej zaniku powstałej z wychwytem elektronu z powłoki elektronowej K, który dominuje i z dalszych powłok elektronowych, nazwijmy je L_I i L_II, itd.

$\lambda_{EC}=\lambda_{EC}(K)+\lambda_{EC}(L_{I})+\lambda_{EC}(L_{II})+...\;$

(3.49)

W Jądrach lekkich stała zaniku przemiany EC λ_EC z wychwytem elektronu jest mniejsza lub równa stałej rozpadu przemiany β+ (λ_EC≤λ_β⁺), w jądrach ciężkich stała zaniku λ_EC jest większa niż stała zaniku przemiany β⁺, (λ_EC>λ_β⁺). Iloraz stałej zaniku przemiany EC przez stałą zaniku β⁺ jest wyrażony w zależności od energii przemiany Q_EC (3.54) i liczby atomowej Z:

${{\lambda_{EC}}\over{\lambda_{\beta^+}}}\sim\left({{Z}\over{Q_{EC}/m_ec^2}}\right)^3\;$

(3.50)

• Anihilacja elektronu i pozytonu

Wyniku zderzenia elektronu i pozytonu obie te cząstki znikają i pojawiają sią dwa kwanty γ pędzące w przeciwnych kierunkach, którego energia pojedynczego kwantu jest E_γ=511keV.

$e^++e^-\rightarrow 2\gamma$

(3.53)

Rozpadowi β⁺ towarzyszy emisja promieniowania anihilacyjnego γ. Procesowi EC z wychwytem elektronu towarzyszy emisja antyneutrinów elektronowych $\tilde{\nu}_e\;$ oraz promieniowanie γ lub elektronów Augera (czyli elektronów, które w wyniku przejścia elektromagnetycznego elektron jest wybijany z powłoki elektronowej, najsilniejsze zjawisko to się obserwuje, gdy elektron wybijamy jest najniższych powłok, to zachodzi gdy funkcje falowe elektronów na powłokach elektronowych pokrywają się z funkcjami falowymi nukleonów w jądrze atomowym).

(3.8) Widmo energetyczne w rozpadzie beta

(3.9) Wizualizacja rozpadu β^-

Energia wydzielana w rozpadzie β jest to energia wyrażona wzorem (3.45) (rozpad β^-) lub (3.46) (rozpad β⁺), energia ta może być pomniejszona, gdy powstałe jądro po przemianie przeszedł w stan wzbudzony, wtedy $E_{\beta}^{max}\;$ jest równe:

$E_{\beta}^{max}=Q_{\beta}-E_{wzb}(Y)\;$

(3.52)

Rysunek (Rys.3.8) przedstawia widmo w rozpadzie beta, gdy nie uwzględnimy bariery potencjału. Widmo energetyczne rozpadających cząstek jest ciągłe (powstają dwie cząstki). W rozkładzie β⁺ rzecywiście nie ma cząstek o zerowej energii, ponieważ w tym rozpadzie powstający elektron musi przebyć barierę energetyczną, w wyniku cząstka β⁺ zostaje rozpędzona do pewnej prędkości, co jest wynikiem odpychania kulombowskiego, widmo energii (Rys.3.8) jest przesunięty w lewo, a w przpadku rozpadu β^- widmo jest przesuniete w prawo, a więc w tym ostatnim nie ma cząstek o energii zerowej ponieważ cząstka zostaje zwolniona przez barierę potencjału. Pomiary energii maksymalnej cząstki beta, czyli $E_{\beta}^{max}\;$ dają informację o różnicy mas między jądrem przed i po rozpadzie. Badania prowadzone nad rozpadem β, doprowadziły że czastki ν_e bardzo słabo oddziaływają z materią, jego przekrój czynny jest σ=11⋅10^-44m, jeśli już ta cząstka odziaływuje z materią to z protonem daje w wyniku tego produkty neutron i pozyton:

$p+\tilde{\nu}_e\rightarrow n+e^+\;$

(3.53)

• Prawdopodobieństwo przejść

Zgodnie z elektrodynamiką kwantową prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu pomiędzy stanami <i| a <f| z emisją cząstki o energii (E,E+dE), który tutaj używając E₀=E_e+E_ν=Q_β, czyli ρ_f(E₀) oznacza gęstość stanów końcowych e i ν, napiszemy:

$P_e(E_e)dE_e={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{oddz}|i\rangle|^2\rho_f(E_0)dE_e\;$

(3.54)

• gdzie $\hat{H}_{oddz}=\hat{h}_{\beta}\;$ jest to hamiltonian opisujący mechanizm oddziaływań słabych.

Wygodnie jest liczyć prawdopodobieństwo przemiany β w przedziale (p,p+dp) i mając na uwadzie (3.54), to z niego otrzymujemy:

$P_e(p)dp={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2f_f(E_0)dp\;$

(3.55)

wtedy wzór na gestość stanu końcowych jest równa $_{\rho_f(E_0)={{dN_f}\over{V^2dE_0}}}\;$, gdzie dN_f=dN_edN_ν. Mając na uwadze dN jako liczba stanów końcowych dostępnym w przedziale pędów (p,p+dp) w objętości przestrzennej V, która jest to objętość pudła w prowadzona do celu normalizacyjnych, zatem wzór na dN jest:

$dN={{d^3\vec{p}V}\over{h^3}}={{4\pi p^2dpV}\over{(2\pi \hbar)^3}}\;$

(3.56)

Wiedząc, że $_{dp_{\nu}={{dE_{\nu}}\over{c}}}\;$, wtedy gęstość stanów końcowych ρ_f(E₀), wiedząc, że dla m_ν, to wtedy zachodzi $E_0=E^{max}\;$, przedstawiamy przez:

$\rho_f(E_0)={{4\pi p_e^2dp_e V\cdot 4\pi p_{\nu}^2dp_{\nu}V}\over{V^2(2\pi\hbar)^6dE_0}}={{1}\over{4\pi^4\hbar^7c^3}}p_e^2(E_0-E_e)^2dp_e\;$

(3.57)

Mając wzór na przelicznik pędu cząstki na jej energię całkowitą $E_c^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\;$, który zrózniczkujemy obustronnie i podzielimy przez dwa otrzymując $E_edE_e=c^2p_edp_e\;$, także mając na uwadze (3.55) jako prawdopodobieństwo zajścia przemiany β, że układ będzie miał energię z przedziału (E_e,E_e+dE_e), co do niego podstawiamy wzór (3.57), który przedstawia gęstość stanów końcowych, to w końcowych w perypetiach otrzymujemy:

$P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)^2dE_e\;$

(3.58)

Jeśli dodatkowo będziemy pamietać, że masa neutrina może być nierówna zero, tzn. m_ν≠0, wtedy energia prawdopodobieństwo stanów przejścia, przeliczając znów gęstość prawdopodobieństwa stanów końcowych ρ_f(E₀) dla tego przypadku, przedstawia się:

$P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)\sqrt{(E_0-E_e)^2-m_{\nu}^2c^4}dE_e\;$

(3.59)

We wzorze (3.59) zauważmy, że zachodzi $_{E_0=E^{max}+m_{\nu}c^2}\;$.

• Wpły masy spoczynkowej lub jej brak dla (anty)neutrina na widmo elektronów w rozpadzie β

(3.10) Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina

Należy porównać wzory na λ(E)dE z uwzględnieniem masy spoczynkowej neutrina i przy zerowej jego masie. W widmie elektronów istnieją różnice występujące na jego samym końcu, przy masie spoczynkowej neutrina różnej od zera koniec widma jest prostopadły do osi E_e, a gdy masa neutrina jest równa zero, to koniec widma dąży stycznie do tej osi. Na podstawie widma można wyznaczyć masę spoczynkową neutrina m_ν.Wynik rozpadu β^- na jądrze ³He, którego energia rozpadu jest Q_β=18,6keV i o czasie połowicznego rozpadu T_1/2=12,3 lat wykazały, że masa spoczynkowa neutrina jest mniejsza niż 35eV (m_ν≤35eV).

• Wpływ pola elektrycznego jądra na stałą zaniku rozpadu β λ_β i na widmo β

Pole elektryczne wpływa na wynik stałej zaniku w rozpadzie β, dlatego wprowadza się czynnik korekcyjny Fermiego, który jest ilorazem kwadratów modułów funkcji falowej fali płaskiej pod wpływem pola elektrycznego i cząstki swobodnej:

$F(E,Z)={{|\psi_e(0)_{culomb}|^2}\over{|\psi_e(0)_{swob}|^2}}\;$

(3.60)

W przybliżeniu nieratywistycznym czynnik korekcyjny Fermiego ma postać:

$F(E,Z)={{X}\over{1-e^{-X}}}\mbox{ gdzie:}X=\pm{{Ze^2c}\over{2\epsilon_0\hbar v_er}}\mbox{ dla }r>>R_0\;$

(3.61)

• gdzie we wzorze na X (3.61) wybieramy znak plus dla rozpadu β^-, a dla rozpadu β⁺ znak minus. Jeżeli m_ν=0, to prawdopodobieństwo (3.58) przy uwzględnieniu czynnika korekcyjnego Fermiego:

$\lambda_{\beta}(E)dE={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE(E_0-E)^2F(E_0,Z)dE\;$

(3.61)

Często E_e wyraża się jednostkach m_ec², czyli przy podstawieniu $_{\mathcal{E}={{E}\over{m_ec^2}}}\;$, zatem:

$\lambda_{\beta}(\mathcal{E})d\mathcal{E}={{(m_ec^2)^5}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2\mathcal{E}\sqrt{\mathcal{E}^2-1}(\mathcal{E}_0-\mathcal{E})^2F(\mathcal{E},Z)d\mathcal{E}\;$

(3.62)

Ale F(E,Z) można obliczyć jeszcze dokładniej uwzględniając efekty relatywistyczne, a także uwzględniając pole elektryczne powłok elektronowych. F(E,Z) posiada wartości z tablicowane w tablicach fizycznych.

• Całkowite prawdopodobieństwo przejścia

Wzory λ_β(E) opisywały prawdopodobieństwo przejścia β między stanami $|i\rangle\;$ i $|f\rangle\;$ z emisją elektronu o energii (E,E+dE). Biorąc całkę po prawdopodobieństwa przejścia od energii zerowej do E₀, tzn.:

$\int_0^{E_0}\lambda_{\beta}(E,Z)_{i\rightarrow f}dE=\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\;$

(3.63)

które jest prawdopodobieństwem całkowitego przejścia i→f. Dla przejść dozwolonych zakładając przy tym, że $\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\;$ słabo zależy od E_e, który można napisać dla masy spoczynkowej neutrina równej zero (m_ν=0).

$\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\equiv\operatorname{const}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2\underbrace{\int_0^{E_0}F(E,Z)p_eE(E_0-E)^2dE}_{f(E_0,Z)}\;$

(3.64)

Z drugiej jednak strony według (3.25) stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu rozpadu i odwrotnością czasu połowicznego rozpadu pomnożonej przez logarytm naturalny z dwójki:

$\lambda_{\beta}(i\rightarrow f)={{1}\over{\tau_{(if)}}}={{\ln 2}\over{T_{1/2(if)}}}\;$

(3.65)

Wzory (3.65) (na stałą zaniku w zależności od czasu połowicznego rozpadu) możemy połączyć ze wzorem (3.64) (na definicję stałej zaniku z teorii rozpadu β), w ten sposób otrzymując:

$f(E_0,Z)_{(if)}\cdot T_{1/2(if)}={{\operatorname{const}}\over{|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2}}\equiv ft_{(f)}\;$

(3.76)

Wartości ft są bardzo dużej więc przyjęto się podawać jego logarytm log ft, praktycznie ono mieści się w przedziale 3≤log ft≤22, co odpowiada czasom połowicznego zaniku ∼10^-3s≤T_1/2≤∼10¹⁴lat

Elementy macierzowe hamiltonianu w rozpadzie β względem stanu krańcowych (elementy teorii rozpadu β)

Teorię rozpadu opracował E. Fermi w roku 1934, w których ten rozpad jest wynikiem oddziaływań słabych nukleonu z polem elektronowo-neutrinowym w jądrze atomowym.

W tym modelu wprowadzono, że oddziaływanie słabe jest superpozycją pięciu oddziaływań cząstkowych, w tym: oddziaływania skalarnego (S), wektorowego (V), tensorowego (T), pseudowektorowego (A) i pola psełdoskalarnego (P). Każdej postaci oddziaływania odpowiada określona postać hamiltonianu $\hat{H}_k\;$, inna dla oddziaływania zachowującego parzystość ($\hat{H}_k^{'}\;$), dla oddziaływania niezachowującego parzystości ($\hat{H}_k^{''}\;$). Jeśli wprowadzimy stałe $C_k\;$ i $C_k^{'}$, które są w ogólności liczbami zespolonymi, to dla każdego oddziaływania mamy w sumie 20 parametrów, tzn. dla oddziaływań k=S,V,T,A,P, a hamiltonian oddziaływania słabego jest w postaci:

$\hat{H}_{\beta}=\sum_k(C_k\hat{H}_k^{'}+C_k^{'}\hat{H}_k^{''})\;$

(3.67)

Funkcje falowe $|i\rangle\;$ i $|f\rangle\;$ mają w ogólności postać czterowskaźnikową, które są niezbędne do obliczeń elementów macierzowych $\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\rightarrow\hat{H}_{if}\;$.

• W uproszonym modelu przyjmuje się, że te funkcje są jednoskładnikowe i dla e i ν funkcje falowe opisujące je są funkcjami typu fali płaskiej:

$\Psi(r)=ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r})}\;$

(3.68)

• Parzystość jest zachowywana, gdy $C_k^'\;$, jest równe zero.
• operator zaburzenia dla wszystkich oddziaływań jest wielkością stałą $\hat{H}^'_k=g\hat{\Omega}\;$, gdzie g charakteryzuje natężenie (ładunek) oddziaływania słabego.

Na podstawie powyższych uproszczeń mamy kwadrat elementu macierzowego operatora (3.67):

$H_{if}^2=g^2|\Psi_e\Psi_{\nu}|^2=|\langle f|\hat{\Omega}|i\rangle|^2=\operatorname{const}\cdot g^2|M_{if}|^2\;$

(3.69)

• Element macierzowy M_if nazywamy jądrowym elementem macierzowym. Wzór (3.73) określa prawdopodobieństwo kreacji pary (e,ν) w jądrze. Funkcja (3.68) słabo zależy od r dla r≤R_j, więc możemy przyjąć:

$|\psi_{e(\nu)}(r)|^2\simeq|\Psi_{e(\nu)}(r=0)|^2=a^2=\operatorname{const}\;$

(3.70)

Wartość M_if zależy od stopnia pokrycia się fal stanów końcowych $i\rangle\;$ i $|f\rangle\;$stanów przekształcających się nukleonów. Jeśli te stany są bardzo podobne lub identyczne, to zachodzi:

$|M_{if}|^2=\Omega^2\;$

(3.71)

Taką sytuację mamy w jądrach lekkich (Z=N) i w jądrach zwierciadłowych. W jądrach tychże prawdopodobieństwo przejścia β zachodzi z dużym prawdopodobieństwem (logft∼ od 3 do 3,5, co je nazywamy przejściami ponaddozwolonymi) i |H_if|² nie zależy od energii cząstek β E_β.

• Ogólnie |H_if|², a więc i λ_i→f, a zarazem log ft zależą od $|\sum_kg_k^2|M_k|^2_{if}\;$ (plus człony mieszane), a więc od rodzaju oddziaływania (k) i od struktury stanów jądrowych $i\rangle\;$, $|f\rangle\;$.

Z porównania wyników doświadczalnych (wykresów Fermiego-Kurie,lopgft, itp.) z obliczeniami teoretycznymi (wg. Fermiego) wynika, że:

• Odziaływania S i V jest to oddziaływaniem kreujacych parę leptonów (elektronu i neutrino) w stanie singletowym (o przeciwnych spinach), stąd wynika, że zachowana jest orientacja spinu nukleonu biorącego udział w przemianie β, stąd regułami wyboru są:

$|I_i-I_f|=0\;$ (3.72)

$\pi_i\pi_f=1\;$ (3.73)

Przejścia opisane wzorami (3.72) i (3.73) nazywamy przejściami Fermiego.

• Oddziaływania T (tensorowe) i A (pseudowektorowe), czyli inaczej zwane oddziaływaniem Gamowa-Tellera, kreują parę e i ν w stanie tripletowym (spiny e i ν są ze sobą zgodne), wtedy zmienia się orientacja spinu nukleonu na przeciwny. Regułami wyboru w tym przypadku są przedstawione poniżej za wyjątkiem przejścia 0⇒0, który jest niedozwolony:

$|I_i-I_f|=0\mbox{ lub }1\;$ (3.74)

$\pi_i\pi_f=1\;$ (3.75)

Przejścia opisane wzorami (3.72) i (3.73) są to przejścia GT.

• Za rozpady β są odpowiedzialne oddziaływania typu V i A, tzn. kwadrat elementy macierzowego jest równy:

$|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2=|H_{\beta}|^2_{if}=g_V^2|M_F|^2_{if}+g_A^2|M_{GT}|^2_{if}+\mbox{wyrazy mieszane}\;$

(3.76)

Stosunek stałej g_A przez stałą g_v i stała g_V jest równy: $_{{{g_A}\over{g_V}}\simeq-1,253(7)}\;$, a także g_V≈0,88⋅10^-4MeV⋅fm³. Jeśli wprowadzimy stałe oddziaływania g_k, to hamiltonian przejścia rozpadu β jest:

$\hat{H}_{\beta}=\sum_{k}g_k\hat{H}_k\mbox{ gdzie: }k=S,V,T,A,(P)\;$

(3.77)

Stałą g_k można wyznaczyć znając wartość logft ze wzoru (3.66), a stąd wyznaczamy $|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|\;$.

Niezachowywanie parzystości w rozpadzie β

Funkcję nazywamy parzystą, gdy po zamianie w nim wektora położenia na minus, to otrzymamy ten sam wektor, to wartość funkcji nie zmienia się, a funkcję nazywamy nieparzystą gdy wartość funkcji zmienia się na przeciwną, całą teorię funkcji parzystych i nieparzystych podano w książce Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości. Dotychczas uważano, że zasada zachowania parzystości jest spełniona zawsze i jest na równi z zasadą zachowania energii, ale T.D Lee i L.N. Yang (1956r) wykazali, że można zbudować teorię rozpadu β, w której nie jest spełniona zasada zachowania parzystości. Sugerowali, że ewentualne wykrycie niezachowania parzystości można wykryć badając jądra spolaryzowane w rozpadzie β, która jest domeną oddziaływań słabych.

• Doświadczenie C.B. Wu ze współpracownikami

W tym doświadczeniu badano emisję cząstek β ze spolaryzowanych jąder ⁶⁰Co,w celu wyznaczenie wartości średniej pseudoskalara $\vec{I}\cdot\vec{p}\;$, gdzie $\vec{I}\;$ jest momentem pędu jądra ⁶⁰Co, a $\vec{p}\;$ jest momentem pędu elektronów β^-. Aby stwierdzić, czy jest spełniona zasada zachowania parzystości należy sprawdzić natężenie N_β dla kątów pomiędzy wektorami momentu pędu i pędu, tzn. dla 0^o i 180^o. Aby potwierdzić zachowanie parzystości należy stwierdzić, że w doświadczeniu zajdzie N_β(0^O)=N_β(180^O), a gdy parzystość nie jest zachowana należy stwierdzić _β(0^O)≠N_β(180^O). W doświadczeniu pani Wu kierunek $\vec{I}\;$ określał kierunek pola magnetycznego polaryzującego jądra ⁶⁰Co, co zachodzi w wyniku polaryzacji tego jądra z jego momentem magnetycznym. Kierunek $\vec{p}\;$ określała oś licznika, który rejestrował rozpad ⁶⁰Co. Aby uzyskać polaryzację jądra i aby było można pomnąc ruchy termiczne, to musi zachodzić μB>k_BT, gdzie μ to moment magnetyczny jądra ⁶⁰Co, co wymaga B≥10T i T≤10^-2K.

(3.11) Rozpad β^- dla ⁶⁰Co w doświadczeniu C.B. Wu

W tym doświadczeniu temperaturę T≈10^-3 uzyskano metoda adiabatycznego rozmagnesowania paramagnetyka, uprzednio ochłodzonego do temperatury 1K, tzn. do temperatury ciekłego He pod zmniejszonym ciśnieniem. Pole B=10T uzyskano dzięki wykorzystaniu wewnętrznych pól magnetycznych paramagnetyków (azotanu cezowo-magnezowego), które polaryzowano małym polem zewnętrznym. Moment magnetyczny ⁶⁰Co jest μ≈3,6μ_N. W doświadczeniu uzyskano więcej emitowanych elektronów β^- w kierunku przeciwnym do orientacji spinu ⁶⁰Co, stąd wynika, że parzystość nie jest zachowana. Funkcja kątowa rozkładu β^- jest:

$f(\theta)=A(1+a\cos\theta)\;$

(3.78)

Wzór (3.78) wyjaśnia anizotropowy rozkład kątowy cząstek β^-.

Skrętność leptonów

(3.12) Skrętność dodatnia a) i ujemna b) leptonów

Następną grupą pomiarów dotyczyła pomiary polaryzacji elektronów i neutrin w celu określenia polaryzacji pędu $\vec{p}\;$ i jego momentów pędu spinowego $\vec{s}\;$. Wykazano, że leptony ze skrętnością dodatnią mają wektor spinu i pędu zwrócone w tą samą stronę (H=+1), a w polaryzacji ujemnej moment pędu spinowy jest zwrócony w stronę przeciwną niż pęd (H=-1). Skrętność leptonów określamy ze wzoru:

$H={{\vec{p}\cdot\vec{s}}\over{|\vec{p}||\vec{s}|}}\;$

(3.79)

Elektrony z rozpadu β są spolaryzowane podłużnie. Skrętność ν_e wyznaczono w doświadczeniu Goldhabera, ustalono, że skrętność elektronu jest H_e^-=-1, dla pozytonu H_e⁺=+1, dla neutrina elektronowego H_νe=-1 i antyneutrina elektronowego $_{H_{\tilde{\nu}_e}=+1}\;$ przy polaryzacji stuprocentowej P_ν=1. To doświadczenie potwierdziło niezachowanie parzystości, wektorowo-pseudowektorowy (V-A) charakter oddziaływań β, znikomą masę ν_e.

Przejścia elektromagnetyczne (emisyjne)

Przejścia elektromagnetyczne dzielimy na:

(3.13) Przejścia elektromagnetyczne

• przejścia γ, emitowany jest kwant γ, jego stała zaniku jest λ_γ.
• przejścia konwersyjne (KW) emitowany jest elektron e^-, jego stała zaniku jest λ_KW.
• przejścia konwersyjne z zachowaniem pary e⁺e^- (KP), jego stała zaniku jest λ_KP.

Całkowita stała zaniku przejść elektromagnetycznych jest sumą stałych zaniku wcześniej wymienionych trzech przejść, tzn.:

$\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}=\lambda_{\gamma}\left(1+{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}+{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\right)\;$

(3.80)

Wprowadźmy nowe oznaczenia, tzn.

• ${{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_t\;$ jako całkowity współczynnik konwersji wewnętrznego danego przejścia.
• ${{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_{KP}\;$ jako współczynnik konwersji z utworzeniem pary e⁺e^-

Wzór (3.86) na podstawie wcześniejszych oznaczeń przyjmuje postać:

$\lambda_{EM}(i\rightarrow f)=\lambda_{\gamma}(i\rightarrow f)\left[1+\alpha_t(i\rightarrow f)+\alpha_{KP}(i\rightarrow f)\right]\;$

(3.81)

Promieniowanie towarzyszące poszczególnym przejściom unosi energię E_i-E_f, moment pędu $_{\vec{I}_i-\vec{I}_f}\;$ i parzystość π_i⋅π_f.

Przejścia γ

(3.14) Przejścia gamma

Dzieki energii przejścia emitowany jest kwant γ o energii E_γ i częstości ν, czyli E_γ=hν=E_i-E_f-E_od, gdzie energia odrzutu $_{E_{od}={{(h\nu)^2}\over{2M_jc^2}}}\;$, jest ona mała i liczona jest elektronowoltach. W doświadczeniu przejmuje się, że energia przejścia jest opisana wzorem E_γ=E_i-E_f. Widmo promieniowania γ jest dyskretne, ale liniowe. Według elektrodynamiki Maxwella źródłem fal elektromagnetycznych są zmienne pola elektromagnetyczne pochodzące od drgających multipoli elektrycznych i magnetycznych, które są rzędu l=1(dipol),2(kwadrupol), 3(oktupol),itd. Rozwiązania równań w bazie funkcji własnych operatora momentu pędu, możemy rozłożyć na funkcje falowe, które są rozłożone w bazie funkcji kulistych Y_lm(θ,φ). l odpowiada polu promieniowania, a 2^l jest to rząd pola klasycznego elektrycznego lub magnetycznego. Współczynniki rozwinięcia odpowiadają amplitudą rozpatrywanego promieniowania elektromagnetycznego. Możemy dokonać kwantyzacji pola według elektrodynamiki kwantowej i stwierdzamy, że kwant γ o multipolowości rzędu l dla promieniowania elektrycznego lub magnetycznego unosi ze sobą:

• moment pędu $\vec{L}\;$ o wartości jego kwadratu momentu pędu $|\vec{L}|^2=l(l+1)\hbar^2\;$.
• parzystość π_E=(-1)^l w przypadku pola elektrycznego, lub π_M=(-1)^l+1 w przypadku pola magnetycznego.

Rodzaj pola (σ≡E lub M) i rząd polowości (l) promieniowania określa się wspólnym mianem multipolowością (σl), co bardziej ogólniej można powiedzieć multipolowość jest parametrem każdego przejścia EM wynikający z reguł wyboru i własności pola EM jądra.

• Reguły wyboru przejścia elektromagnetycznego

Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie), dalej ona jest natomiast mniejsza od sumy krańcowych momentów pędu jąder:

$|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;$

(3.82)

Parzystość unoszona przez kwant γ jest:

$\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla EL}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\end{cases}\;$

(3.83)

Ponieważ niema promieniowania monopolowego l=0 przejścia typu I_i=0→I_f=0 są wzbronione.

• Szereg multipolowy

Szereg multipolowy promieniowania γ jest zawsze szybkobieżny ze względu na l, bo stosunek stałej zaniku dla ściśle określonego promieniowania dla l i l+1 jest równy 10⁵, a także stosunek stałej zaniku promieniowania elektrycznego i stałej zaniku w promieniowaniu magnetycznemu jest równy od 10 do 100, czyli liczbie masowej podniesionej do kwadratu i spierwiastkowanej o stopniu trzy, te dwa wzory przedstawiamy:

${{\lambda(\sigma,l)}\over{\lambda(\sigma,l+1)}}=10^5\;$ (3.84)

${{\lambda(EL)}\over{\lambda(ML)}}=A^{2/3}= \mbox{od 10 do 100}\;$ (3.85)

Promieniowanie Ml może być zmieszane z promieniowaniem z El+1 i procentowemu udziałowi wyższej polowości promieniowania elektrycznego lub magnetycznego określa współczynnik określony w procentach:

$Q_{\gamma}={{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)+\lambda(\sigma^',l+1)}}\cdot 100%\;$

(3.86)

Na przykład promieniowanie M1 może być zmieszane z 10% promieniowania E2 lub inny przykład E1+0,01%M2, to stopień zmieszania określa się przez współczynnik zmieszania danego przejścia jako:

$\delta^2_{\gamma}\equiv{{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)}}={{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\;$

(3.87)

• Prawdopodobieństwo przejścia

Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu końcowego o stałej zaniku λ(σl,i→f) określamy znając energię przejścia E_γ:

$\lambda(\sigma l,i\rightarrow f)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}B(\sigma l,i\rightarrow f)\;$

(3.88)

• gdzie zredukowane prawdopodobieństwo przejścia $B(\sigma l,i\rightarrow f)\;$ dla ściśle określonego danego rodzaju promieniowania elektromagnetycznego jest zapisane:

$B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{2I_i+1}}\sum_{l,m}|\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i\rangle|^2\;$

(3.89)

• gdzie $\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i \rangle\;$ jest to zredukowany element macierzowy multipolowego operatora $\hat{M}^{\sigma}_{lm}\;$ przejścia o multipolowości σl.

Konwersja wewnętrzna (KW)

Przejście elektromagnetyczne, w którym energia przejścia E_i-E_f zostaje przekazana elektronowi z powłoki n o energii wwiązania B_e<E_i-E_f, W wyniku czego elektron wylatuje z energią kinetyczną równą:

$E_{EKW}(n)=(E_i-E_f)-B_e(n)\;$

(3.90)

Konwersja wewnętrzna jest możliwa, gdy funkcje falowe powłoki elektronowe o numerze "n" i funkcje falowe jądra pokrywają się częściowo. Przykrycie maleje to ze wzrostem liczby powłoki "n", a stąd powinno zachodzić:

$\lambda_{KW}(K)>\lambda_{KW}(L)>\lambda_{KW}(M)>...\;$

(3.91)

Prawdopodobieństwo danej całkowitej konwersji wewnętrznej podczas przejścia i→f przy wybiciu odpowiednich elektronów z powłok elektronowych (K,L,M,..) jest równe:

$\lambda_{KW}^{tot}=\lambda_{KW}(K)+\lambda_{KW}(L)+\lambda_{KW}(M)+....\;$

(3.92)

KW towarzyszy emisja EKW oraz promieniowania X lub elektronów Augera. Widmo energii wybijanych elektronów jest dyskretne.

• Reguły wybory

Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większa od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy momentów pędu jąder krańcowych, dalej przedstawiamy tą zależność jako:

$|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;$

(3.93)

Cząstki unoszą parzystość równą iloczynowi parzystości poziomów krańcowych "i" i "f" równą:

$\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla przejść El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla przejść Ml}\\ \end{cases}\;$

(3.94)

Dozwolone są przejścia $0^+\xrightarrow{E0}0^+\;$ z l=0. Współczynnik WKW przejść EM o multipolowości σl pomiędzy stanami $|i\rangle\;$ i $|f\rangle\;$ jest przedstawiany jako:

$\alpha_n(\sigma l)_{if}={{\lambda_{KW}(n,\sigma l)_{if}}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)_{if}}}\;$

(3.95)

Współczynnik kowersji wewnętrznej jest równy:

$\alpha_{KW}^{tot}(\sigma l)_{if}=\alpha_{KW}(K)+\alpha_{KW}(L)+\alpha_{KW}(M)+...\;$

(3.96)

Wartości poszczególnych konwersji wewnętrznych dla powłoki elektronowej n przedstawiamy ogólnym wzorem α_n(σl)_if=f(n,Z,E_γ,σl). Dla przypadków przejść mieszanych σl+σ^'l+1 dla dowolnej powłoki elektronowej, z której elektron jest wybijany, stałą zaniku określamy:

$\lambda_{KW}(n\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{KW}(n,\sigma l)+\lambda_{KW}(n,\sigma^'l+1)\;$

(3.97)

Współczynnik konwersji wewnętrznej WKW na podstawie stałej zaniku (3.96) przedstawiamy:

$\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\lambda_{KW}(\sigma l)+\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}}={{ {{\lambda_{KW}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{ {{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda(\sigma l)}} }}=\;$ $={{ \alpha(\sigma l)+\alpha(\sigma'l+1){{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{1+\delta_{\gamma}^2}}={{\alpha(\sigma l)+\delta^2_{\gamma}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+\delta_{\gamma}^2}}\;$

(3.98)

Jesli wykorzystamy definicję współczynnika zmieszania $\delta^2_{\gamma}\;$(3.87), wtedy jak łatwo pokazać, że (3.98) możemy zapisać jako:

$\alpha(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\alpha(\sigma l)+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}} }}=(1-Q_{\gamma})\alpha(\sigma l)+Q_{\gamma}\alpha(\sigma^' l+1)\;$

(3.99)

Widać, że współczynniki WKW, że względu na powłokę, której zostaje przekazana energia elektronowi tam się znajdującej spełnia następującą relację:

$\alpha_K(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_I}(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_{II}}(\sigma l+\sigma^'l+1):...=\;$ $= [\alpha_K(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_K(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_I}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_I}(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_{II}}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_{II}}(\sigma^'+1)]:...\;$

(3.100)

Ogólne zasady pomiarów parametrów przejść elektromagnetycznych jąder atomowych

Energia przejścia E_if, współczynnik WKW przejść elektromagnetycznych, promieniowanie elektromagnetyczne zmieszane σl+σ'l', parametr zmieszania przejść γ δ², a także zredukowany element macierzowy przejścia B(σl), wtedy zając te parametry można poznać strukturę jąder atomowych.

Energie przejść γ

Badania przejśc elektromagnetycznych polega na badaniu:

• pomiaru widm promieniowania γ, tzn.: E_if, E_γ(-E_odrzutu)
• pomiaru widm EKW (konwersji wewnętrznej, tzn.:E=E_EKW(n)+B_e(n).

Aparaturę widm γ dzielimy na spektrometry γ(licznikowe i krystaliczne), spektrometry EKW(licznikowe i magnetyczne).

Multipolowość (σl+σ'l',δ²)

Multipolowość dla przejść γ(σl+σ'l',δ²) określa się na w sposób:

• na podstawie reguł wyboru, gdy określone są spiny i parzystość jąder $I_i^{\pi},I^{\pi}_f\;$, gdy są określone warunki zmieszania promieniowania elektromagmnetycznego σl+σl+1.
• a także z pomiarów bezwzględnych wartości WKW (3.95) i porównanie jej z doświadczeniem, ten współczynnik jest funkcją multipolowości i parametru zmieszania (3.87), wartość bezwzględna tego współczynnika jest stosunkiem ilości jąder ulegająca przemianie, tzn. konwersji wewnętrznej przez liczbę kwantów γ wydzielanych na przejściu z danego poziomu w jądrze na niższy:

$\alpha^{exp}(n)={{N_{EKW}(n)}\over{N_{\gamma}}}\;$

(3.101)

• z pomiarów stosunków liczby cząstek ulegające konwersji wewnętrznej, które są według definicji przechwycenia przez jądro elektronu z powłoki L_I, L_II,L_III, tzn. N_EKW(L_I)/N_EKW(L_II)/N_EKW(L_III), które są silną funkcją σ i δ² dla przejść elektromagnetycznych. Określmy parametr zmieszania, który określa się przy pomocy współczynników konwersji wewnętrznej dla przejść pomiędzy L_I i L_II, czyli dla M1+E2 w sposób:

$\delta^2={{\alpha_{L_{I}}^{teor}(M1)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (M1)}\over{\alpha_{L_{I}}^{teor}(E2)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (E2)}}\;$

(3.102)

Podobne wzory otrzymujemy dla przejść L_II i L_I. Stosunki N(n)/N(n') określa się na podstawie widm EKW. Stosunki λ_LI/λ_LII,λ_LI/λ_LIII,λ_LII/λ_LIII silnie zależą od multipolowości σl i energii E przejścia. Pomiary tychże stosunków EKW na podpowłokach L_I, L_II, L_III, itd. pozwala wyznaczyć współczynniki Q_γ i δ².

Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia

Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia możemy określić przy pomocy wzoru (3.88). B(σl) możemy wyznaczyć z pomiarów λ_γ(σl). Dla rozważań nad zjawiskiem KP i przejściami γ, to całkowita stała zaniku określamy jako sumą stałej zaniku przejścia γ i przejścia konwersji wewnętrznej, czyli przejścia KP.

$\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}=\lambda_{\gamma}\left(1+\alpha_{KW}\right)\;$

(3.103)

Wiedząc, że stała zaniku dla przejścia elektromagnetycznego λ'_EM jest odwrotnością średniego czasu życia rozpadu elektromagnetyczynego, to stałą zaniku przejścia γ piszemy przez:

$\lambda_{\gamma}={{\lambda_{EM}}\over{1+\alpha_{KW}}}={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})}}\;$

(3.104)

Skorzystajmy ze wzoru (3.88), który przepiszemy dla przejrzystości wykładu:

$B(\sigma l,i\rightarrow f)=f(E_{\gamma},l)B(\sigma l,i\rightarrow f)\mbox{ gdzie: }f(E_{\gamma},l)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}\;,$

(3.105)

Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia według wzoru (3.105) określamy poprzez:

$B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})f(E_{\gamma},l)}}\;$

(3.106)

Ale dla przypadku przejść zmieszanych σl+σ'l+1 stałą zaniku promieniowania elektromagnetycznego dla multipolowości zmieszanych σl+σ'l+1 określamy jako sumę stałej zaniku promieniowania γ o tej multipolowości i stałej zaniku konwersji wewnętrznej też o tych samych zmieszanych multipolowościach, tutaj będziemy korzystać ze wzoru (3.105) i definicji stałej konwersji wewnętrznej α_KW:

$\lambda_{EM}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)+\lambda_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\;$ $=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\;$ $= \left(\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)\right)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\lambda_{\gamma}(\sigma l)[1+\delta^2_{\gamma}][1+\alpha_{KW}]={{1}\over{\tau}}\;$

(3.107)

Jeśli wykorzystamy definicję średniego czasu rozpadu promieniowania elektromagnetycznego jako odwrotność jego stałej rozpadu, wtedy dla multipolowości σl mamy:

$\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{1}\over{\tau(1+\delta^2)(1+\alpha_{KW})}}\;$

(3.108)

Stała zaniku dla promieniowania o multipolowości σl+1 określamy przy pomocy wzoru (3.87) wiedząc, że mamy stałą zaniku dla multipolowości σl (3.108).

$\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)=\delta^2_{\gamma}\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{\delta^2_{\gamma}}\over{\tau(1+\delta^2_{\gamma})(1+\alpha_{KW})}}\;$

(3.109)

Biorąc zredukowane prawdopodobieństwo rozpadu według wzoru (3.105), to wtedy możemy obliczyć B(σl) i B(σl+1) dla składowych o multipolowościach σl i σ'l+1, które noszą nazwę zredukowanych parcjalnych prawdopodobieństw przejść γ dla składowych σl i σ'l+1.

Konwersja wewnętrzna par e^-e⁺(KWP)

Poznaliśmy już przejścia elektromagnetyczne i konwersję wewnętrzną EKW i WKW, które maleją wraz ze wzrostem energii przejścia i rosną ze wzrostem Z jądra, one zachodzą dla energii przejścia ok. 1MeV, współczynnik WKW jest <10^-3. Gdy E_i-E_f≥2m_ec²=1,022MeV przejście dodatkowo może zachodzić z utworzeniem pary e⁺e^-. Para elektron-pozyton unosi energię równą:

$(E_i-E_f)-2m_ec^2=E^{(k)}_{e^+}+E^{(k)}_{e^-}+E_{odrzutu j.}\;$

(3.110)

Moment pędu pary e⁺e^- jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy jąder momentów pędu jąder krańcowych, tą zależność piszemy:

$|I_i-I_f|\leq l_{pary}\leq I_i+I_f\;$

(3.111)

Parzystość unoszoną przez parę jest natomiast równa:

$\pi_i\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\\\end{cases}\;$

(3.112)

Widmo energii e⁺ i e^- jest ciągłe, tzn. energia pary jest od E=0 do E^max=(E_i-E_f)∼ 1,022MeV. Pozytony utworzone w wyniku tego rozpadu anihilują z elektronami ośrodka naczęściej według przemiany poniżej w wyniku czego powstaje kwant γ o energii E_γ=511keV:

$e^++e^-\rightarrow 2\gamma\;$

(3.113)

Proces KWP nie jest powiązany żadną powłoka elektronową, więc prawdopodobieństwo słabo zależy od liczby atomowej jądra Z (maleje ze wzrostem Z). Zdefiniujmy współczynnik KWP, który jest stosunkiem stałej zaniku z utworzeniem pary i stałej zaniku promieniowania γ:

(3.15) Współczynnik KWP od energii przejścia

$\alpha_p={{\lambda_{KWP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\;$

(3.114)

• rośnie ze wzrostem E przejścia dla E równą od 1,5 do 5MeV α_p jest od 10^-4 do 10⋅10^-4.
• jest funkcją przejścia, tzn. σ_P(σl)>α_P(σl+1) i σ_P(El)>α_P(Ml).
• prawdopodobieństwo KWP silnie zależy od kąta θ między kierunkami wylotu e⁺ i e^-.

Pomiary α_p i korelacja kierunków wylotu e⁺ i e^- wykorzystuje się do określenia σl o E_γ≥5MeV. Obliczenie teoretyczne α_l są trudne do wykonania, ponieważ to wymaga znajomości funkcji falowej jądra i pary e⁺ i e^-.

Roszczepienie spontaniczne (spontanic fission(sf))

W tym rozkładzie ciężkie jądro dzieli się spontanicznie na dwa fragmenty z emisją kilku neutronów:

${}^A_ZX\xrightarrow{sf}{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2+\nu n\mbox{, }\nu=\mbox{1,5 do 3}\;$

(3.115)

(3.16) Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową

Energia rozszczepienia jest różnica masy jądra przed rozszczepieniem i sumy mas jąder po rozszczepieniu i masy ν neutronów:

$Q_{sf}(A,Z)=[M_j(A,Z)-(M_j(A,Z_1)+M_j(A_2,Z_2)+\nu m_n)]\;$

(3.117)

Aby rozszczepienie nastąpiło, to energia Q_sf powinna być większe niż zero, co jest spełnione tylko dla jąder ciężkich na opadającej części wykresu B/A. Jeśli dodatkowo założymy, że B_j=E(A,Z)⋅A, to otrzymamy inny ale równoważny do (3.108) używając tylko energii wiązań przypadającej na jeden nukleon.

$Q_{Sf}(A,Z)=A\left(\overline{E}_{12}-E(A,Z)\right)\mbox{ gdzie:}\overline{E}_{12}={{E_1A_1+E_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;$

(3.118)

Patrząc na wzór (3.118), aby zachodził warunek Q_sf(A,Z)>0, to musi być spełniony $\overline{E}_{12}\geq E\;$.

(3.17) Roszczepienie jądra atomowego na dwa jego fragmenty

Energię rozszczepienia Q_sf unoszą produkty unoszenia, którą możemy rozpisać do:

$Q_{sf}=E_k(F_1)+E_k(F_2)+E_{wzb}(F_1)+E_{wzb}(F_2)+E_k(\nu n)\;$

(3.119)

Fragmemty rozszczepienia, czyli jądra wzbudzone z nadmiarem n ulegają

• rozpadowi β^-
• deeskcytacji stanów F^* w wyniku przejść EM(γ) lub emisję neutronów przez jądro.

Widmo fragmentów jądra rozszczepiającego się w wyniku rozpadu (3.115) jest dwugarbne, jeśli jądro rozpada się bez emisji neutronów, tzn. spełnione są warunki:

${{A_1}\over{A_2}}\simeq{{2}\over{3}}\;$ (3.120)

$A_1+A_2=A\;$ (3.121)

Mechanizm sf

Rozpatrzmy mechanizm rzoszczepienie sf bez emisji neutronów na dwa fragmenty, dla którego zachodzą warunki (3.120) i (3.121), wtedy rozszczepienie wygląda:

${}^A_ZX\rightarrow{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2\mbox{ gdzie:}A_1={{2}\over{5}}A,A_2={{3}\over{5}}A\;$

(3.122)

Energię jądra będziemy określać według modelu kroplowego (1.28). Załóżmy, że podział jądra zachodzi przez podział jądra na dwa sferyczne fragmenty, wtedy energia wydzielająca się w wyniku roszczepienia jest:

$Q_{sf}(X)=[E_s(X)+E_C(x)]-[\underbrace{E_s(F_1)+E_s(F_2)}_{1,25E_S(X)}+\underbrace{E_C(F_1(F_1)+F_C(F_2)}_{0,64E_C(X)}]\;$

(3.123)

(3.18) Energia jądra w zależności od deformacji

(3.19) Energia jądra bez bariery energetycznej

We wzorze (3.112) energię oznaczoną przez wskaźnik S oznacza efekty powierzchniowe, które pozwalają utrzymać kształt sferyczny jądra, a przez wskaźnik C będziemy oznaczać jako oddziaływanie kulombowskie, które starają się rozerwać jądro. W mechanizmie sf istotną rolę odgrywają energie E_C i E_S. stąd energię jądra (3.112) możemy przepisać:

$Q_{sf}(X)=0,36E_C(X)-0,25E_S(X)\;$

(3.124)

Można pokazać wykorzystując relację na energię wiązania w modelu kroplowym, że dla Q_sf(X)>0, gdy Z²/A>17. Jądra spełniające ten warunek mogą ulec natychmiastowego rozszczepieniu z czasem połowicznego zaniku T_1/2≈10^-22s. Dla A=2Z otrzymamy natychmiast Z>34, czyli dla tych jąder następuje rozszczepienie. Doświadczalnie stwierdzono, że sf występuje tylko w jądrach ciężkich dla Z≥90 i zachodzi z bardzo małym prawdopodobieństwem, bo np. czas połowicznego rozpadu dla tego jądra uranu 238 jest $T_{1/2}({}^{238}_{92}U)=6\cdot 10^{15}lat\;$. Lepszą zgodność z doświadczeniem występuje z założenia, że lepszą drogę do rozszczepienia jest poprzez deformację jądra. Deformację określa się przez parametr deformacji β₂. Warunek na rozszczepienie również będzie wyglądał poprzez wzajemną relację parametrów E_s(A,Z,β₂) i E_C(A,Z,β₂). Dla małych jąder E_s (β₂) jest funkcją rosnącą, a E_C(β₂) jest funkcją malejącą. Tak więc całkowita energia jądra zapisujemy przez:

$E_{LD}(Z,A,\beta)=E_S(Z,A,\beta_2)+E_C(Z,A,\beta_2)\;$

(3.125)

Funkcja (3.118) rośnie przy wzroście β₂, więc to pełni rolę bariery energetycznej ΔE_sf przy podziale jądra. Dla małych jąder przy energii jądra niezdeformowanego E_LD(Z,A,0) energię jądra zdeformowanego piszemy poprzez:

$E_{LD}(Z,A,\beta_2)\simeq E_{LD}(Z,A,0)+{{\beta_2^2}\over{5}}\left(2E_S(A,Z,0)-E_C(Z,A,0)\right)\;$

(3.126)

(3.20) Przejście tunelowe z barierą energetyczną

(3.21) Dwa maksima a roszczepienie jądra

Jeśli (2E_s-E_C<0, to E_LD(β₂) jest funkcją malejącą, wtedy nie ma bariery na roszczepienie. Warunek ten jest spełniony dla Z²/A≥49, gdy Z≥120, wtedy rozpad sf jądra jest natychmiastowy, wtedy czas połowicznego zaniku jest rzędu 10^-22s. Jeżeli (2E_s-E_C)>0 bariera występuje, a jej wysokość maleje w miarę zmniejszania się parametru Z²/A≤49, wtedy sf zachodzi tylko w wyniku przejść tunelowych, i czas połowicznego zaniku silnie zależy od Z²/A. Przy wiekszej deformacji prowadzącej do rozszczepienia jądra atomowego poprawki zakładające gładką zależność bariery na roszczepienie mogą prowadzić do pojawienia się drugiego minimum. Tłumaczy to zjawisko izometrii roszczepieniowej. Ze względu na roszczepienie bariery połowiczny czas życia stanu podstawowego jest większy lub równy czasowi stanu izomerycznego, tzn.T_1/2(sf)_{st. podst.}≥T_1/2(sf)_{st. izomer.}, dla jądra ²³⁸U mamy czas zycia poziomu podstawowego T_1/2≈6⋅10¹⁵lat, a czas życia poziomu izomerycznego jest T_1/2≈195⋅10^-2s. Uwzględnienie δE_shell+δE_paring, czyli energię uwzględniające strukturę powłokową jądra i energię parowania, pozwalają dokładnie opisać wysokość bariery na rozszczepienie w poszczególnych jądrach oraz obserwowaną doświadczalnie silną zależność sf od struktury jądra atomowego, i pozwalają zrozumieć dwugarbny charakterystyczny rozkład mas w wyniku roszczepienia jądra atomowego w roszczepieniu asymetrycznym.

Promieniowanie i szeregi promieniotwórcze

Aktywność źródła promieniotwórczego

Aktywność promieniowania

Aktywność źródła promieniotwórczego jest to iloraz ilości rozpadów w pewnym ściśle określonym czasie wyraża się:

$A_i=\left|{{dN_i}\over{dt}}\right|=\lambda N_i\;$

(4.27)

Jeden Bekerel jest to jeden rozpad na sekundę $_{1Bq={{1rozpad}\over{1sek}}}\;$. Jeden Kiur jest równy $_{1 Ci=3,7\cdot 10^{10}{{rozpad}\over{sek}}}\;$, wtedy $_{1Bq=0,27\cdot 10^{-10}Ci}\;$

Dawka promieniowania (DOZA) D pochłonięta

Dawkę promieniowania nazywamy ilość energii pochłonietej przez daną masę wyrażoną przez:

• 1 GREJ $_{1Gy={{1J}\over{1kg}}}\;$,
• 1 RAD $_{1Ra=10^{-2}Gy}\;$,
• 1 RENTGEN $_{1R=2,58\cdot 10^{-4}{{C}\over{kg}}}\;$- jest to dawka promieniowania, w którym 1 cm³ suchego powietrza wytwarza się się ładunek elektryczny równej $_{3,3\cdot 10^{-10}C}\;$, wiadomo jednak:
• $_{1R=8,69\cdot 10^{-3}Gy}\;$.

Dawka równoważna i skuteczna (dawki biologiczne)

Dawki równoważne skuteczne zależą od nastepujących czynników:

• wielkości dawki pochłonietej
• typu promieniowania w_R
• rodzajów narządów lub tkanek

a) Dawkę równoważną H_R dla ścisle określonego promieniowania nazywamy iloczyn współczynnika skuteczności promieniowania w_R i dawki promiemniowania R pochłonietego przez dany narząd (tkankę).

Rodzaj promieiowania R	wR
kwanty γ	1
elektrony β	1
neutronu <10keV	5
neutrony od 10 do 100keV	10
neutrony od 100 do 200okeV	20
cząstki α, ciężkie jony	20

Jednostką H_R jest 1 SIWERT=1Sv≡(w_R=1)⋅1Gy. dla promieniowania γ D=1Gy, H_γ=1Sv, a dla promieniowania α przy tym samym dozie D, tzn. H_α=20Sv.

b) Dawkę skuteczną E_T dla określonego narządu (tkanki) nazywamy iloczyn dawki równoważnej H_R i współczynnika określajacego rodzaj narządu:

$E_T=w_TH_R=w_T\cdot w_R\cdot D\mbox{ }[\mbox{Sv}]\;$

(4.27)

• gdzie w_T wspóółczynnik wagowy poszczególnych tkanek.

Narząd lub tkanka	wT
gruczoły płciowe	0,20
szpik kostny	0,12
płuca	0,12
żąłodek	0,12
wątroba	0,05
skóra	0,01
kości	0,01

Dla całego człowieka mamy normowanie dawki skutecznej równej w_T^całk≡1.

c) Skuteczna dawka obiążająca E jest to dawka sumartyczna otrzymawana przez człowieka w ciagu pewnego czasu (maksymalnie 50 lat dla osób dorosłych i 70 lat dla dzieci)

Oddziaływanie procesów jądrowych z materią (e,α,γ)

a) skutki stochastyczne

W wyniku oddziaływania promieniowania z pojedynczymi komórkami z promieniowaniem jonizacyjnym lub przez wzbudzenie molekuł i atomów, w wyniku czego może to spowodować uszkodzenie DNA, które mogą doprowadzić do śmierci komórki, lub nawet jej mutacje, które mogą prowadzić do nowotworów złośliwych lub do zmian dziedzicznych. Pod pływem promieniowania jonizacyjnego 14Sv w populacji mieszkańców 10000 ocenia się, że jest 500 przypadków są to nowotwory, a na 50 przypadków zmiany genetyczne. Rozwój nowotworów rozwija sie znacznie później niż napromieniowanie ciała. Najszybciej rozwija się białaczka ok. 2-5 lat. Skuteczna dawka obciążająca powstała w wyniku katastrofy Czarnobylu na 50 lat wynosi 0,9 mSv. Liczba zgonów jest równa ok. 1800. Rocznie na nowotwory umiera ok. 70000 osób, a więc w ciągu 50 lat ok. 3,5 mln. osób.

b)skutki deterministyczne

Polega na przejściowym lub trwałym uszkodzeniu tkanek (śmierci organu), które następuje po przekroczeniu dawki progowej. Nieobserwuje się poważnych uszkodzeń organów poniżej 0,5 Sv.

Jądra	twała niepłodność	od 3,5 do 6,0 Sv
Jajniki	trwała niepłodność	od 2,5 do 6,0Sv
Oko	Zmętnienie	od 0,5 do 6,0 Sv
Szpik kostny	zachwianie funkcji krwinek	0,5 Sv

Przestawimy teraz schemat $LD^{X}_Y$ dla przykładu $LD^{30}_{50}\;$, który oznacza śmierć 50% osób w ciągu 30 dni. Wysokie dawki promieniowania oznaczają śmierć danego osobnika lub w nim zmiany nowotworowe.

Śmiertelne dawki
wirusy	5000Sv
Osa	1000
wąż	800
ryba	8,5
nietoperz	150
kard (roślina)	10
szczur	8
pies	3
małpa	5
człowiek	od 2,5 do 3

Szeregi promieniotwórcze

Ciężkie nuklidy mogą być powiązane ze sobą genetycznie w tzw. szeregi lub rodziny promieniotwórcze. Warunkiem koniecznym, aby pierwiastek występował w szeregu jest, aby jego czas połowicznego zaniku T_1/2 lub czas połowicznego zaniku nuklidów poprzedzających go był większy lub równy wiekowi Ziemi T_1/2≥5⋅10⁹lat. Ciężkie nuklidy mogą być powiązane ze sobą genetycznie w tzw. szeregi lub rodziny. Kolejno nuklidy występujące w danej rodzinie mają liczby masowe o różnicy cztery lub zero (w rozpadzie β liczba masowa A się nie zmienia, w rozpadzie α liczba masowa A zmienia się o cztery), jest ona wyrażona wzorem A=4n+s, gdzie s=1,2,3 jest to liczba charakteryzująca daną rodzinę.

Rodzina torowa s=0

Szareg rozpoczyna się izotopem toru ²³²Th o okresie połowincznego zaniku 14 miliardów lat, a konczy sie izotopem stabilnym ²⁰⁸Pb. Szereg jest opisany 4n+0 i należy do niego czternaście izotopów nuklidów.

${}^{232}_{90}Th(T_{1/2}=1,4\cdot 10^{10} \mbox{lat})\rightarrow ....\rightarrow{}^{208}_{82}Pb\;$

(4.1)

nuklid	typ rozpadu	czas połowicznego rozpadu	uwolniona energia, MeV	produkt rozpadu
Th 232	α	1,405•1010 lat	4,081	Ra 228
Ra 228	β-	5,75 lat	0,046	Ac 228
Ac 228	β-	6,13 h	2,124	Th 228
Th 228	α	1,913 lat	5,520	Ra 224
Ra 224	α	3,64 d	5,789	Rn 220
Rn 220	α	54,5 s	6,404	Po 216
Po 216	α	0,158 s	6,906	Pb 212
Pb 212	β-	10,64 h	0,570	Bi 212
Bi 212	β- 64,06% α 35,94%	60,55 min	2,252 6,208	Po 212 Tl 208
Po 212	α	3∙10-7 s	8,955	Pb 208
Tl 208	β-	3,0 min	4,999	Pb 208
Pb 208	.	trwały	.	.

Rodzina neptunowa s=1

Szereg rozpoczyna się ²³⁷Np o czasie połowicznego zaniku 2,1 miliarda lat, a kończy sie na stabilnym izotopie ²⁰⁹Bi. Szereg jest opisywany przez 4n+1 i należy do niego 13 nuklidów.

${}^{237}_{93}Np(2,1\cdot 10^6\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow{}^{209}_{83}Bi\;$(ten szereg nie istnieje w naturze)

(4.2)

nuklid	typ rozpadu	czas połowicznego rozpadu	uwolniona energia, MeV	produkt rozpadu
Np 237	α	2,14•106 lat	4,959	Pa 233
Pa 233	β-	27,0 d	0,571	U 233
U 233	α	1,59•105 lat	4,909	Th 229
Th 229	α	7340 lat	5,168	Ra 225
Ra 225	α	14,8 d	0,36	Ac 225
Ac 225	α	10 d	5,935	Fr 221
Fr 221	α	4,8 min	6,3	At 217
At 217	α	32,3 ms	7,0	Bi 213
Bi 213	β- α	46 min	. 5,87	Po 213 Tl 209
Po 213	α	4,2∙10-6 s	.	Pb 209
Tl 209	β-	2,2 min	3,99	Pb 209
Pb 209	β-	3,25 h	0,644	Bi 209
Bi 209	.	trwały	.	.

Rodzina uranowo-radarowa s=2

Szereg rozxpoczyna się nuklidem niestabilnym ²³⁸U o czasie połowicznego zaniku 4,5 miliadra lat, a kończy się na stabilnym ołowiu ²⁰⁶Pb. Szereg jest opisywany 4n+2 i należy do niego 16 nuklidów.

${}^{238}_{92}U(4,5\cdot 10^9\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow{}^{206}_{82}Pb\;$

(4.3)

nuklid	typ rozpadu	czas połowicznego rozpadu	uwolniona energia, MeV	produkt rozpadu
U 238	α	4,51•109 lat	4,270	Th 234
Th 234	β-	24.10 d	0,273	Pa 234
Pa 234	β-	1,18 min	2,197	U 234
U 234	α	2,44∙105 lat	4.859	Th 230
Th 230	α	7,50∙104 lat	4,770	Ra 226
Ra 226	α	1622 lat	4,871	Rn 222
Rn 222	α	3,823 d	5,590	Po 218
Po 218	α	3,05 min	6,88	Pb 214
Pb 214	β-	26,8 min	1,024	Bi 214
Bi 214	β- 99,98% α 0,02%	19,7 min	3,272 5,617	Po 214 Tl 210
Po 214	α	0,162 ms	7,883	Pb 210
Tl 210	β-	1,32 min	5,484	Pb 210
Pb 210	β-	22,3 lat	0,064	Bi 210
Bi 210	β- 99,99987% α 0,00013%	5,0 d	1,426 5,982	Po 210 Tl 206
Po 210	α	138,375 d	5,407	Pb 206
Pb 206	.	trwały	.	.

Rodzina uranowo-aktynowa s=3

Szereg rozpoczyna się na neistabilnym ²³⁵U o czasie połowicznego zaniku o czasie połowicznego zaniku 700 milionów lat, a kończy się na stabilnym ²⁰⁷Pb. Szereg jest opisywany przez 4n+3 i należy do niego 14 nuklidów.

${}^{235}_{92}U(6,96\cdot 10^8\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow {}^{207}_{82}Pb\;$

(4.4)

nuklid	typ rozpadu	czas połowicznego rozpadu	uwolniona energia, MeV	produkt rozpadu
U 235	α	6,96•108 lat	4,678	Th 231
Th 231	β-	25,64 h	0,391	Pa 231
Pa 231	α	32760 lat	5,150	Ac 227
Ac 227	β- 98,62% α 1,38%	21,772 lat	0,045 5.042	Th 227 Fr 223
Th 227	α	18,72 d	6,147	Ra 223
Fr 223	β-	21,8 min	1,149	Ra 223
Ra 223	α	11,434 d	5,979	Rn 219
Rn 219	α	3,920 s	6,946	Po 215
Po 215	α 99,99977% β- 0,00023%	1,78 ms	7,527 0,715	Pb 211 At 215
Pb 211	β-	36,1 min	1,367	Bi 211
Bi 211	α 99,724% β- 0,276%	2,15 min	6,751 0,575	Tl 207 Po 211
Po 211	α	510 ms	7,595	Pb 207
Tl 207	β-	4,79 min	1,418	Pb 207
Pb 207	.	trwały	.	.

Rozpraszanie cząstek na jądrze atomowym

Zapoznamy się z definicją przekroju całkowego i różniczkowego, także będziemy się zajmować się tu z rozpraszaniem jądra X z cząstką "a", a także zjawiskiem Zjawisko Mössbauera, które to doświadczenie jest przeprowadzone dla małych temperatur, wtedy zjawisko odrzutu w nim nie zachodzi, jak dowiemy się później, co tam szczegółowo to zjawisko opiszemy.

Przekroje czynne

Wielkością charakteryzującą zajście rozpraszania (reakcji) jest całkowy i różniczkowy przekrój czynny. Zapoznamy się z definicją całkowego przekroju czynnego, a powiemy coś o różniczkowym przekroju czynnym, w tym o kątowym i energetyczny różniczkowym przekroju czynnym.

Całkowy przekrój czynny

Całkowy przekrój czynny jest to iloraz prawdopodobieństwa zajścia reakcji oznaczonej przez λ przez jednostkę gęstości (stężenia cząstek Φ) i przez liczbę cząstek tarczy N.

$\sigma={{\lambda}\over{\Phi N}}\mbox{ gdzie :}\Phi={{dN_X}\over{dtS}}\;$

(5.1)

Definicją 1 barn(b) jest 10^-24cm².

Różniczkowy przekrój czynny

• kątowy różniczkowy przekrój czynny

Różniczkowy przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo reakcji, w której cząstka produkt jest wysyłana w określonym kierunku (θφ) w elemencie kąta bryłowego dΩ, a jego definicja jest:

$\sigma(\theta,\phi)={{d\sigma(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}\;$

(5.2)

Definicja (5.11) nazywamy kątowym przekrojem czynnym. Jeśli wykorzystamy definicję całkowego przekroju czynnego (5.1), to podstawiając to do wzoru (5.2), otrzymujemy:

${{d\sigma(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}={{d\lambda(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}{{1}\over{\Phi N}}\;$

(5.3)

Jednostką kątowego różniczkowego przekroju czynnego jest bsr^-1.

• Całkowy przekrój czynny

Zależność różniczkowego przekroju czynnego od energii cząstek wylatujących nazywamy energetyczny różniczkowym przekrojem czynnym, a jego definicja:

${{d\sigma(E)}\over{dE}}={{d\lambda(E)}\over{dE}}{{1}\over{\Phi N}}\;$

(5.4)

Jednostką energetycznego różniczkowego przekroju czynnego jest beV^-1.

Wzbudzenie kulombowskie jądra

Cząstka a zderza się z jądrem X i wyniku tego jądra X wzbudzają się:

$a+X\rightarrow X^*+a\;$

(5.5)

W jądrze występuje bariera kulombowska, w której energia cząstki "a" jest ma tyle mała od tej bariery kulombowskiej, więc cząstka nie może wniknąć do jądra, gdy by wnikła, to by była reakcja, a nie rozpraszanie. W wyniku rozpraszania (5.5) uzyskujemy jądro wzbudzone kosztem energii kinetycznej jakoby jądro X by miało, gdy by jądro nie zostało wzbudzone. Przekrój czynny na rozpraszanie pochodzi od promieniowania elektrycznego i magnetycznego, który to przekrój jest ich sumą przekrojów czynnych tychże promieniowań.

$\sigma_{if}=\sigma_{if}(E l)+\sigma_{if}(M l)\;$

(5.6)

(5.1) Odwrotne przejście elektromagnetyczne

Przekrój czynny pochodzący od promieniowania elektrycznego jest o wiele większy niż pochodzący od promieniowania magnetycznego, tzn. σ_if>>σ_if(Ml), wtedy człon pochodzący od pola magnetycznego możemy pominąć i σ_if nosi nazwę wzbudzenia kulombowskiego, a nie wzbudzenia elektromagnetycznego. Przekrój czynny (5.6) wyrażamy wzorem w zależności od zredukowanego prawdopodobieństwa przejścia ze stanu niższego $|i\rangle\;$ do wyższego $|f\rangle\;$:

$\sigma_{if}(El)=f(E_a, Z_a,E_0)\cdot B(i\rightarrow f,\sigma l)\;$

(5.7)

Do równania (5.7) należy skorzystać ze wzoru na przekrój czynny (5.1), a ona zależy od prawdopodobieństwa zajścia rozproszenia (reakcji) λ, a λ jest opisywane przez (3.88), która zależy od prawdopodobieństwa zredukowanego B(σl,i→f), co kończy dowód ostatniej równości. Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia, ze stanu wyższego do niższego i odwrotnie są sobie równe, je przedstawiamy:

$B_{if}(2I_i+1)=B_{fi}(2I_f+1)\;$

(5.8)

σ_if są szczególnie duże w pomiarach nad jądrem parzysto-parzystych. Na podstawie zredukowanych prawdopodobieństw przejścia możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy.

Rozpraszanie rezonansowe kwantów γ przez jądra atomowe. Efekt Mössbauera

Rozpraszanie rezonansowe rozpraszania kwantów γ można zrealizować w sposób:

$\gamma_{abs}+X\rightarrow X^*\rightarrow X+\gamma_{em}^'\mbox{ gdzie }\gamma_{abs}=\gamma_{em}^'\;$

(5.9)

Widzimy, że kwant γ zderza się z jądrem X i wyniku czego powstaje wzbudzone jądro X^*, później to jądro wysyła kwant γ przechodząc do stanu podstawowego o takiej samej energii jak przed zderzeniem z nim. Aby nastąpiła absorpcja kwantu γ, to energia kwantu musi być równa sumie energii pomiędzy dwoma kwantowymi poziomami w jądrze X i energii odrzutu samego jądra:

$E_{\gamma}=E_0+E_{od}\;$

(5.10)

Z zasady zachowania energii (5.10), to równanie możemy uzupełnić, korzystając z definicji energii kinetycznej jądra X:

$E_{\gamma}=E_{0}+{{p_{od}^2}\over{2M_x}}\;$

(5.11)

Jeśli dodatkowo uwzględnimy, że pęd kwantu γ jest przekazywany jadru X, który jest równy energii kwantu γ podzielonej przez prędkość światła, czyli p_γ=E_γ/c, co wynika z zasady zachowania pędu, to:

$E_{\gamma}-E_{0}=\Delta E={{p_{od}^2}\over{2M_x}}={{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}\;$

(5.12)

Patrząc na wzór (5.12) możemy powiedzieć, że energia odrzutu jądra X, w wyniku zderzenia jego z fotonem jest równa ilorazowi kwadratu energii kwantu γ zderzającego się z jądrem przez podwojoną energię spoczynkową jądra X, jest napisana:

$E_{od}={{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}\;$

(5.13)

Dla jąder atomowych rozpraszanie rezonansowe jest trudno zrealizować z powodu małej szerokości energetycznej poziomów jądrowych i znacznej energii odrzutu (5.13) jądra przy emisji kwantu γ. Naturalna szerokość, wynika z nieoznaczności czasu i energii, jest pisana poprzez wzór:

$\Gamma\tau=\hbar\Rightarrow\Gamma={{\hbar}\over{\tau}}\;$

(5.14)

Dla przejść jądrowych szerokość połówkowa energii dla nieokreśloności czasu zwykle 10^-15s≤τ≤10^-8s jest równa 5⋅10^-9eV≤Γ≤5⋅10^-3eV. Energia odrzutu (5.8) jądra X osiąga wtedy wartość od 0,1 do 10eV. Np. dla ⁵⁷Fe szerokość naturalna linii γ jest o energii 14,4keV, szerokość połówkowa jest Γ=4,7⋅10^-9eV, przy emisji kwantu γ o energii 14,4keV energia odrzutu jądra ⁵⁷Fe jest:$_{E_{od}={{E^2_{\gamma}}\over{2Mc^2}}\simeq 2\cdot 10^{-3}eV}\;$. Linie emisyjne nie pokrywają się z liniami absorpcyjnymi, tzn. energia pochłoniętego fotonu, której częstość nie pokrywa się z częstotliwością emisji kwantów γ. Przejścia optyczne występują dla szerokości połówkowej Γ≈10^-8eV, dla której energia odrzutu jest E_od≈10^-10eV, co wtedy energia odrzutu jest o wiele mniejsza niż szerokość połówkowa energii stanu wzbudzonego jądra X, który pochłonął kwant γ, tzn. Γ>>E_od.

Ruchy termiczne jąder atomowych, a emisja kwantu γ

Naturalna szerokość linii γ jest powiększona o efekt Dopplera związanego z ruchem termicznym jądra, jeśli będziemy rozpatrywać składową p_t w kierunku emisji kwantu γ, to z zasady zachowania możemy powiedzieć:

$E_0+{{p_t^2}\over{2M_x}}=E_{\gamma}+{{(p_t-p_{od})^2}\over{2M_x}}\;$

(5.15)

Jeśli wykorzystamy, że pęd kwantu γ jest równa ilorazowi energii kwantu γ i prędkości światła, czyli p_γ=E_γ/c, wtedy równość (5.10) możemy przepisać do postaci:

$E_0-E_{\gamma}=\Delta E={{p_{od}^2}\over{2M_x}}-p_{od}v_t=\underbrace{{{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}}_{E_{od}}-\underbrace{E_{\gamma}{{v_t}\over{c}}}_{\Delta E_{\gamma}}\;$

(5.16)

Jeśli ΔE_γ=E_od, to energia kwantu γ w zjawisko, w którym nie ma odrzutu jądra, wtedy zachodzi E_γ=E₀ i ΔE_γ ma rozkład Boltzmanowski i następuje poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej (absorpcyjnej), a więc w tym przypadku linie emisyjne i absorpcyjne pokrywają się częściowo, wtedy proces rezonansowy staje się możliwy. To pokrycie jest zwykle bardzo małe.

Poszerzenie linii emisyjnej i absorpcyjnej przy obracającym się źródle

(5.2) Poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej przez układu doświadczalny

Obszar linii emisyjnej i absorpcyjnej można istotnie zwiększyć w wyniku przesunięcia dopplerowskiego przez umieszczenie źródła kwantów γ źródła na ruchomej tarczy, nadanie określonej prędkości jąder X w kierunku emisji kwantów γ, wtedy poszerzenie linii jest równe iloczynowi energii emitowanego kwantu γ przez iloraz prędkości źródła i prędkości światła:

$\Delta E_{\gamma}=E_{\gamma}{{v}\over{c}}\;$

(5.17)

Wzór (5.17) podobnie możemy wyprowadzić jak dla termicznego poszerzenia linii (5.16). Można tak dobrać prędkość v(ω), by uzyskać znaczne poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej. W doświadczeniu ze źródłem ¹⁸⁹Hg, które przeprowadzano dla energii stanu wzbudzonego E₀=411keV i średniego czasu życia tego poziomu τ=2⋅10^-11s i dla prędkości v=700m/s, wtedy uzyskano częściowe poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej.

Zjawisko Mössbauera

Zjawisko Mössbauera jest to bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu γ. W 1958 niemiecki fizyk R. Mössbauer zauważył, że bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu γ istnieje w bardzo w niskich temperaturach, co jest związane z siecią krystaliczną. Przy tym faktach obserwowana linia γ nie wykazuje poszerzenia dopplerowskiego, co za tym idzie:

$E_{\gamma}=E_0=E_i-E_f\mbox{ i }E_{od}=0\;$

(5.18)

(5.3) Czynnik Debey'a-Wallera dla dwóch pierwiastków dla typowych ich przejść

Co wynika, że jądro w niskich temperaturach nie może przyjąć dowolnej energii, tylko te skwantowane. Jeżeli $_{E_{od}<\hbar\omega_f}\;$ drgania nie mogą zostać wzbudzone, i energia nie może zostać przyjęta przez jądro w sieci krystalicznej, tylko może zostać przyjęta na wzbudzenie jądra i energię odrzutu przyjęta przez cała sieć, bo energia odrzutu napisana poprzez wzór (5.8) jest o wiele mniejsza niż poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej, co w konsekwencji E_od<<Γ. Stosunek liczby kwantów γ wyemitowanych bezodrzutowo do całkowitej liczby kwantów wyemitowanych nazywamy czynnikiem Debey'a-Wallera f, który może być obliczony na gruncie dopplerowskiego modelu sieci krystalicznej przy temperaturze Debye'a $_{\hbar\Theta_D=\hbar\omega_f^{max}}\;$, gdzie ω^max jest to maksymalna częstość fononów. Czynnik f jest tym większy czym mniejsza jest energia odrzutu E_od, im wyższe jest temperatura Debye'a Θ_D, im mniejsza jest temperatura kryształu. Dla ⁵⁷Fe w 300K aż 70% przejść γ o energii 14,4keV ma charakter bezodrzutowy.

Nierelatywistyczne rozpraszanie elastyczne

(5.4) Rozproszenie cząstki dodatniej na jądrze

Rozpraszaniem Rutheforda nazywamy rozpraszanie elastyczne cząstki "a" w polu kulomboskim jądra atomowego X(a,a)X na potencjale elektrycznym (dla κ>0), wtedy potencjał odpychający wyrażamy:

$V(r)={{Z_aZ_Xe^2}\over{r^2}}={{\kappa}\over{r}}\;$

(5.19)

Będziemy się tutaj ograniczali do małych energii jądra atomowego, tak by przybliżenie nierelatywistyczne miało sens, cząstka "a" ma na tyle małą energię, by cząstka "a" nie mogła wejść do jadra by zaszła reakcja. Pomijamy tutaj krótkozasięgowe siły jądrowe. Przyjmijmy natomiast, że masa jądra M_X jest o wiele większa niż masa cząstki o masie "m" oddziaływając z jądrem, wtedy mamy w przybliżeniu układ środka masy. Równanie toru cząstki "m" w układzie biegunowym jest:

$r={{L^2/m_c\kappa}\over{1-\epsilon\cos\phi}}={{k}\over{1-\epsilon\cos\phi}}\;$

(5.20)

Napiszmy teraz całkowitą energię mechaniczną cząstki "a" zderzającego się elastycznie z jądrem, którą przedstawiamy wedle wzoru (MT-1.141), z którego wyprowadzimy wzór na kwadrat mimośródu elipsy:

$E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)\Rightarrow 1-\epsilon^2=-{{2EL^2}\over{\kappa^2m}}\Rightarrow\epsilon^2=1+{{2EL^2}\over{\kappa^2m}}\;$

(5.21)

W prowadźmy teraz definicję parametru b=l/m przy definicji energii kinetycznej znajdującej się w nieskończoności, czyli $p=\sqrt{3m_aE_a}\;$, wtedy wzór (5.21) przyjmuje postać:

$\epsilon^2=1+{{4E_a^2b^2}\over{\kappa^2}}\;$

(5.22)

Zamiast kąta biegunowego będziemy wprowadzali kąt rozproszenia θ, tzn. dla r→∞ wprowadzając przy okazji Φ=ψ/2, wtedy, jeśli przyjmować będziemy dodatkowo, że ψ=π-φ, wtedy mamy:

$1-\epsilon\cos{{\psi}\over{2}}=0\Rightarrow 1-\epsilon\cos\left({{\pi}\over{2}}-{{\varphi}\over{2}}\right)\Rightarrow \epsilon={{1}\over{\sin{{\varphi}\over{2}} }}\;$

(5.23)

Wzór na kwadrat wielkości mimośrodu elipsy (5.22) możemy przyrównać z kwadratem wielkości (5.23), z tak otrzymanej równości możemy wyznaczyć parametr "b" jako funkcję kąta rozproszenia φ, energii cząstki E_a, otrzymujemy:

$\epsilon^2=1+{{4E_a^2b^2}\over{\kappa^2}}={{1}\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}={{\sin^2{{\varphi}\over{2}} +\cos^2{{\varphi}\over{2}} }\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}=1+\operatorname{ctg}^2{{\varphi}\over{2}}\Rightarrow b={{\kappa}\over{2E_a}}\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} \;$

(5.24)

(5.5) Rozpraszanie naładowanych cząstek na jądrze

Widzimy, że według (5.24), że φ jest funkcją b i E_a, ale nie jest funkcją kąta azymutalnego θ. Opiszmy teraz przekrój czynny dla katów (φ,φ+dφ), wtedy mamy:

$\left({{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}\right)d\varphi=\int_0^{2\pi}{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}d\Omega=\;$ $={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}\int_0^{2\pi}\sin\varphi d\varphi d\theta={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow\;$ $\Rightarrow {{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi$

(5.25)

Liczba cząstek w pierścieniu (b,b+db), które dochodzą z nieskończoności do układu z jądrem jest taka sama jak liczba cząstek po rozproszeniu na jądrze w pierścieniu (φ,φ+dφ), zatem możemy przyrównać te dwie ilości cząstek, otrzymujemy:

$j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}d\varphi\Rightarrow j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow {{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{b}\over{\sin\varphi}}\left|{{db}\over{d\varphi}}\right|\;$

(5.26)

(5.6) Przekrój różniczkowy a rozpraszanie Rutheforda

Mając wzór (5.24), który możemy podstawić do wzoru (5.26) za b, w ten sposób można otrzymać wzór:

${{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{\kappa\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} }\over{2E_a2\sin{{\varphi}\over{2}}\cos{{\varphi}\over{2}} }}{{\kappa}\over{4E_a\sin^2{{\varphi}\over{2}}}}=\left({{\kappa}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}=\;$ $=\left({{Z_aZ_xe^2}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}\;$

(5.27)

Otrzymaliśmy taki sam wzór (5.27) jak w punkcie (MT-5.29) wyprowadzony dwoma różnymi sposobami. Jeśli będziemy przyjmować, ze centrum ma skończoną masę M_x, to energię kinetyczną cząstki w nieskończoności, w której to wielkości w jego definicji występuje masa, to należy tą masę zastąpić jej odpowiednikiem $_{m_{SM}={{m_aM_X}\over{m_a+M_X}}}\;$.

W przypadków nieznanych potencjałów oddziaływania o jej charakterze możemy uzyskać informacje obserwując w doświadczeniu rozkład kątowy rozpraszania obliczonych dla rozmaitych próbnych potencjałów w sposób teoretyczny.

Formalizm kwantowego opisu rozpraszania

Rozpraszanie elastyczne nie zmienia struktury wewnętrznej cząstek, ich oddziaływanie prowadzi do względnego ruchu przy zachowaniu całkowitej energii kinetycznej. Potencjałem rozpraszania nazywamy sumę potencjału kulombowskiego i jądrowego.

$V_{rozpr}(\vec{r},t)=V_{kul}(\vec{r})+V_{jadr}(\vec{r},t)\;$

(5.28)

Załóżmy, że rozpraszamy cząstki obojętne np. mezony, w tym przypadku potencjał kulombowski nie gra roli, wtedy całkowity potencjał rozpraszania piszemy:

$V_{rozpr}(\vec{r},t)=V_{jadr}(\vec{r},t)\;$

(5.29)

Problem opisu cząstki polega na przyporządkowaniu jej funkcji falowej zależnej od czasu $_{\psi(\vec{r},t)}\;$ spełniające równanie Schrödigera z potencjałem $_{V(\vec{r},t)}\;$. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objetości dV wokół punktu $\vec{r}\;$ w przestrzeni nazywamy wyrażenie:

$dP(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)dV=\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)\;$

(5.30)

Załóżmy, że problem rozpraszania nie zależy od czasu (opis stacjonarny), wtedy funkcję falową cząstki piszemy $\psi_{czastki}=\psi(\vec{r})\;$, i cząstka biegnie wzdłuż osi zetowej. Zgodnie z mechaniką kwantową możemy jej przyporządkować określoną funkcję falową według wzoru wyprowadzonego w punkcie (MK-7.118):

$\psi_{pad}(\vec{r})=Ae^{i(\vec{k}\vec{r})}\;$

(5.31)

Centrum rozpraszania jest źródłem kulistej fali rozproszonej, która nakłada się na falę płaską (5.31), który przepisujemy z książki o mechanice kwantowej z punktu (MK-29.8):

$\psi_{rozpr}(\vec{r})=Af(\phi){{e^{i(\vec{k}\vec{r})}}\over{r}}\;$

(5.32)

W dużej odległości od centrum rozpraszającego dla r»r_jądra funkcja falowa opisująca cząstkę rozpraszaną na centrum rozpraszania pisanej przy pomocy czynnika normalizacyjnego jest sumą funkcji falowej fali płaskiej (5.31) i funkcji fali rozproszonej (5.32):

$\psi(\vec{r})=A\left[e^{i(\vec{k}\vec{r})}+f(\phi){{e^{i(\vec{k}\vec{r})}}\over{r}}\right]\;$

(5.33)

Model optyczny oddziaływania cząstka-jądro

Aby obejść problem opisu wielu ciał w mechanice kwantowej opisujących jadro i nieznajomość potencjału oddziaływania cząstek nukleon-nukleon przy opisie reakcji na jądrze atomowym, a także opisu skomplikowanych oddziaływań między cząstką inicjującą reakcję jądrową (rozpraszanie lub reakcja właściwa), a oddziaływaniem z poszczególnymi nukleonami jądra tarczy, to całkowity potencjał oddziaływania cząstki inicjującej a poszczególnymi nukleonami w jądrze piszemy przy pomocy zespołu liczb kwantowych oznaczonych ogólnie α, które zapisujemy przez uśredniony potencjał fenomenologiczny:

$V(\vec{r},\alpha)=\sum_{i=1}^Av(\vec{r}_a,\vec{r}_i,\alpha)\;$

(5.34)

Oddziaływanie cząstka-jądro w modelu optycznym traktujemy w analogii do oddziaływania fali świetlnej padającej na półprzezroczystą (mętną) kulę (tutaj jądro), stąd jest nazwa tego tutaj rozważanego modelu. Liczbą zespoloną tutaj jest współczynnik załamania, w której jej część rzeczywistą odpowiada rozpraszaniu cząstki na jądrze, a jej część urojona odpowiada zmianie długości fali, amplitudy lub absorpcji promieniowania na jądrze, co odpowiada definicji reakcji właściwej opisywanej w następnym module. Ten współczynnik załamania definiujemy:

$n=n_s+in_a\;$

(5.35)

Potencjał oddziaływanie cząstka i jądro opisuje się przy pomocy części rzeczywistej i urojonej w podobny sposób jak opisywaliśmy te części poprzez współczynnika załamania przy pomocy części rzeczywistej i urojonej, co temu pierwszemu odpowiada rozpraszaniu elastycznemu, a temu drugiemu reakcji właściwej, wtedy potencjał zespolony zapisujemy w postaci ogólnej:

$V(\vec{r})=U(\vec{r})+iW(\vec{r})\;$

(5.36)

Operator całkowitej energii oddziaływania nukleon-nukleon oddziaływania cząstek inicjującej reakcję, a oddziaływaniem nukleon-nukleon zapisujemy przy pomocy operatora opisujących strukturę wewnętrzna jądra traczy $\hat{H}_0\;$, a także przy pomocy operatora oddziaływania jądra atomowego z cząstką $\hat{V}\;$ i przy pomocy operatora energii kinetycznej ruchu względnego pomiędzy jądrem a cząstką, co w rezultacie możemy napisać całkowity hamiltonian opisujący rozpraszanie lub reakcję jądrową:

$\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{T}+\hat{V}\;$

(5.37)

Hamiltonian $\hat{H}_0\;$ zapisujemy we współrzędnych ξ, którego równanie własne jest pisane:

$\hat{H}_0\chi(\xi)=E\chi(\xi)\;$

(5.38)

O wyborze funkcji $U(\vec{r})\;$ i $W(\vec{r})\;$ decydują kryteria, które muszą być jako funkcje niezbyt skomplikowane oraz potrzebna jest do tego wiedza mówiąca coś o rozkładzie nukleonów w jądrze atomowym i o właściwościach oddziaływania nukleon-nukleon. Dla reakcji rozpraszania elastycznego nukleonu na nukleonie opisujemy potencjał oddziaływania przez równość:

$U(r)=U_{c}(r)+U_{\tau}(r)+U_{sl}(r)+U_{kul}(r)\;$

(5.39)

Jeśli wprowadzimy funkcje kształtu zwane też formfaktorami, które opisują zależność potencjału tylko od odległości oddziaływających nukleonów, wtedy funkcję (5.39) możemy zmodyfikować na w sposób:

$U(r)=U_{c}f_c(r)(r)+U_{\tau}f_{\tau}(r)+U_{sl}f_{sl}(r)\hat{s}\hat{l}+U_{kul}(r)\;$

(5.40)

Zwykle się przyjmuje, że f_c(r)=f_τ=f(r). Najlepszym przybliżeniem dla funkcji f(r) okazuje się przybliżenie Saxona-Woodsa opisujących rozkład nukleonów w jądrze dla promienia jądra zdefiniowany wzorem (1.25) przy zdefiniowanym parametrze równej "a", dla której parametr rozmycia t (2.47) jest pomiędzy wartościami funkcji f(r) 0,1 a 0,9:

$f(r)=\left[1+\exp\left({{r-R_0}\over{a}}\right)\right]^{-1}\;$

(5.41)

Oddziaływanie spin-orbita, w której funkcja kształtu opisujemy przy pomocy funkcji Thomsona w sposób:

$f_{sl}(r)=\left(\underbrace{{{\hbar}\over{m_{\Pi} c}}}_{\lambda_{\Pi}}\right)^2{{1}\over{r}}{{df(r)}\over{dr}}\;$

(5.41)

• gdzie λ_Π jest to komptonowska długość fali mezonu Π.

W przypadku potencjału lokalnego niezależnego od energii cząstki bombardującej zakłada się:

• U_C=u_0c, która jest głębokością potencjału części centralnej. Dalej chcą uzależnić się od energii cząstki E zakładamy, że U_C=U_OC+μ E, gdzie μ jest innym parametrem dla protonu i neutronu.
• U_sl=U_0sl co jest to głębokość części spin-orbita.
• $_{U_{\tau}=U_{0t}{{t-\tau}\over{A}}=\pm{{N-Z}\over{A}}}\;$.

Wielkości U_OC, U_sl i U_τ sa to parametry występujące przy funktorach, które dobiera się eksperymentalnie do wyników przeprowadzonych doświadczeń. O kształcie formfaktorów w części zespolonej potencjału (5.36) wiemy znacznie mniej. Z doświadczenia wiadomo, że absorpcja cząstek zachodzi w części jego powierzchniowej i dlatego możemy podać formfaktor:

$f_w(r)=sf_v(r)+(1-s)f_s(r)\;$

(5.42)

gdzie f_v(r) jest to formfaktror opisujące część objętościowa absorpcji cząstki, a f_S jest to udział absorpcji jakieś cząstki przez część powierzchniową jądra atomowego. Przyjmuje się, że f_v(r)=f(r) i $_{f_s(r)=\exp\left(-{{r-R_{0G}}\over{a_G}}\right)}\;$, która jest funkcją Gaussa, gdzie R_0G jest to wielkość określona podobnie do (1.25), a a_G jest to parametr funkcji f_s(r) lub $_{f_s(r)\sim{{df(r)}\over{dr}}}\;$ z parametrami wcześniej omówionymi, tzn. R_0G i a_0G. Mając formafaktor (5.42) możemy napisać cześć urojoną potencjału (5.36), którą zapisujemy w formie:

$W(r)=W_0f_w(r)\;$

(5.43)

Wyznaczmy potencjał oddziaływania cząstki w polum jądra atomowego dla różnych odległości od środka jądra. Potencjał kulombowski dla jednorodnie naładowanej kuli wewnątrz jądra wyprowadzimy korzystając z twierdzenia Ostrogradsiego-Gaussa w elektrostatyce, zatem do dzieła. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jądra atomowego zapisujemy:

$E={{\rho{{4}\over{3}}\pi r^3}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}={{\rho}\over{3\epsilon_0}}r={{Ze}\over{3{{4}\over{3}}\pi R^3\epsilon_0}}r={{Ze}\over{4\pi \epsilon_0R^3}}r\;$

(5.44)

Policzmy teraz potencjał pola elektrycznego zakładając, ze potencjał pola elektrycznego na powierzchni kuli φ(R) jest to potencjał elektryczny tak jak cały ładunek był umieszczony w środku kuli o promieniu R, zatem wewnątrz jądra atomowego, z ciągłości potencjału elektrycznego, potencjał elektryczny zapisujemy:

${{d\varphi(r)}\over{dr}}=-E\Rightarrow d\varphi(r)=-{{Ze}\over{4\pi \epsilon_0R^3}}rdr\Rightarrow \varphi(R)-\varphi(r)=-{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \varphi(r)=\varphi(R)+{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)\Rightarrow \varphi(r)={{Ze}\over{4\pi \epsilon_0 R}}+{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)={{Ze}\over{8\pi\epsilon_0R}}\left(3-{{r^2}\over{R^2}}\right)\;$

(5.45)

Wzór (5.45) opisuje potencjał pola elektrostatycznego wewnątrz jądra atomowego, która jest kulą dla naszych przeprowadzonych rozważań. Potencjał elektryczny dla zewnątrz kuli zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa zapisujemy:

$\varphi(r)={{Ze}\over{4\pi\epsilon_0r}}\;$

(5.46)

Wzory (5.45) i (5.46) opisują potencjał jadra atomowego dla całej gamy r, którego opisują potencjał pola elektrycznego. By otrzymać energię potencjalną, czyli potencjał oddziaływania cząstki, to dla cząstki o ładunku Z_ae należy wspomniane wzory pomnożyć przez Z_ae.

Reakcje jądrowe

Reakcje jądrowe są to procesy zachodzące w wyniku oddziaływania jądrowego przy zderzeniu cząstki szybkiej "a" z jądrem tarczy X prowadzącej do zmiany kierunku ruchu lub energii stanu cząstki i jądra tarczy, lub też utworzenia nowego jądra i cząstki (cząstek b). Reakcją rozpraszania nazywamy taką reakcję, którego szybka cząstka zderza się z jądrem tarczy X, w ten sposób jądro zostaje wzbudzone, a cząstka "a" zmienia swój kierunek z inną energią kinetyczną niż poprzednio:

$A+X\rightarrow X^*+a^'\;$

(6.1)

Reakcją właściwą nazywamy taką reakcję, w której szybka cząstka w wyniku zderzenia z jądrem X powstaje jadro Y i cząstka b:

$a+X\rightarrow Y+b\;$

(6.2)

Jądra a i X nazywamy kanałem wejściowym, a końcowe produkty reakcji nazywamy kanałem wyjściowym, przykładem reakcji właściwej (6.2) jest:

${}^4_2He+{}^{14}_7N\rightarrow {}^{17}_8O+{}^1_1p\;$

(6.3)

Reakcję (6.1) i (6.2) nazywamy reakcję, którą możemy zapisać krótkim zapisem X(a,b)Y lub (a,b), czy też (a,a'), co dla reakcji (6.3) możemy powiedzieć ${}^{14}_7N({}^4_2He,p){}^{17}_8O\;$. Proces oddziaływania cząstki "a" z jądrem zwykle nie jest jednoznaczny, tzn. jednemu kanałowi wejściowemu może odpowiadać wiele kanałów wyjściowych. Każdej takiej reakcji jako możliwości zajścia przepisujemy przekrój czynny σ_f. Reakcją rozpraszania elastycznym nazywamy reakcję (a,a), w której jądro X w kanale wyjściowym nie jest wcale zbudzone, a w przypadku rozpraszania nieelastycznego, czyli (a,a'), stąd jądro X zaczyna być jądrem wzbudzonym. Reakcja dwuciałowa (a,b) jest gdy produktami reakcji są dwa produkty reakcji, reakcjami wielociałowymi, gdy produktami reakcji są więcej niż dwa produkty reakcji.

Klasyfikacja reakcji jądrowych

Według energii parającej cząstki

• reakcje niskiej energii E_a≤1MeV.
• Reakcje średniej energii E_a od 1 do 100MeV.
• Reakcje wysokiej energii E_a≥100MeV.

W literaturze można spotkać inny poddział reakcji, tzn. poniżej i powyżej progu mezonowego, które w wyniku reakcji z jądrem mogą się tworzyć mezony π. Masa spoczynkowa mezonów jest 273m_e=130MeV.

Według rodzaju cząstki lub cząstek inicjujących daną reakcję lub cząstki stanowiącej jej produkty

• reakcje neutronowe,np. (n,n'),(n,p),(n,α), (n,f), itp.
• reakcje protonowe, np. (p,p'),(p,n),(p,α),(p,γ), itp.
• reakcje fotojądrowe, np. (γ,n),γ,p),(γ,f), itp.
• reakcje z ciężkimi jonami(HI), np. (¹¹B,¹⁰B), (¹²C,¹³N),(HI,n), itp;

Według rodzaju reakcji

• reakcje rozszczepieniowe: (a,f)
• reakcje syntezy: X₁+X₂→Y+b.
• reakcje wychwytu radiacyjnego: (a,γ)
• reakcje kruszenia(spalacji):A+X→Y₁+Y₂+Y₃+...+b₁+b₂+...

Reakcje według schematu wewnętrznego, tzn. według mechanizmu reakcji

• reakcja wprost (direct), są to reakcje dwuciałowe zachodzące w czasie średnim τ≈10^-22
• reakcje złożone (compound), są to reakcje powolne z utworzeniem jądra pośredniego a+X→C^*→Y+b+.... Jest to reakcja dwustopniowa dwuetapowa, z czasem średnim: τ=10^-16, w tej reakcji można wyróżnić dwa etapy, w którym powstaje jadro pośrednie, najczęściej wzbudzone, wtedy to jądro rozpada się na dalsze produkty reakcji.
• reakcje o mechanizmie pośrednim, wtedy kiedy nie można określić jaka to reakcja.

Zasady zachowania w reakcjach jądrowych (reguły wyboru)

Są to prawa zachowania opisującego substraty i produktu reakcji, ogólne reguły wyboru są:

• ładunku elektrycznego, czyli ładunek reakcji przed i po reakcji zostaje zachowany $_{\sum_iZ_i=\sum_fZ_f}\;$.
• liczby nukleonów lub ogólniej w reakcjach, w której zostaje zachowana liczba nukleonów $_{\sum_iA_i=\sum_fA_f}\;$.
• liczby barionowej, która jest zachowana podczas reakcji.
• energii i pędu, tzn. pęd (energia) przed reakcją jest równa pędowi (energii) po reakcji. Prawo zachowania pędu jest $_{\sum_i\vec{p}_i=\sum_f\vec{p}_f}\;$, a energii $_{\sum_iE_i=\sum_f E_f}\;$.
• liczby leptonów, która jest zachowana podczas reakcji.

Jeśli będziemy rozpatrywać bilans energetyczny energii substratów i produktów, wtedy energia substratów jest równa energii produktów:

$\sum_im_{0i}c^2+\sum_iT_i=\sum_im_{0f}c^2+\sum_fT_f\;$

(6.4)

Oznaczenie T w bilansie energetycznym (6.4) jest to energia kinetyczna cząstek, wtedy energia wydzielana w wyniku reakcji Q (co wynika z ostatniego wzoru) piszemy:

$Q=\left(\sum_im_{0i}-\sum_{f}m_{0f}\right)c^2=\sum_fT_f-\sum_iT_i\;$

(6.5)

Gdy Q>0, to taką reakcję nazywamy egzoenergetyczną, tzn. część energii spoczynkowej przechodzi w energię kinetyczną produktów. Reakcja nie ma progu, gdy zachodzi Q<0, to jest to reakcja endoenergetyczna, zachodzi kosztem energii kinetycznej substratów, ta reakcja zachodzi, gdy $_{\sum_iT_i\geq;T_f}\;$. Gdy Q=0 jest to reakcja rozpraszania elastycznego, dla której zachodzi $_{\sum_iT_i=\sum_fT_f}\;$. Dokładniejsze związki możemy określić, gdy zdefiniujemy układ odniesienia, tzn. układ laboratoryjny i układ związany z układem laboratoryjnym (CM). Załóżmy, że mamy reakcję a+X→Y+b.

(6.1) Zderzenie cząstek w układzie laboratoryjnym

W układzie laboratoryjnym w odróżnieniu od układu środka masy suma pędów w cale nie musi być równa zero, wtedy zachodzi:

$\vec{p}_a=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;$

(6.6)

bo suma pędów substratów przed reakcją jest równa sumie pędów po reakcji. Energia progu reakcji, który musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja, wykorzystując definicję energii wydzielanej z reakcji, jest równa:

$E_{prog}={{m_a+M_X}\over{M_X}}|Q|\;$

(6.7)

(6.2) Zderzenie cząstek w układzie środka masy

W układzie środka masy (CM) suma pędów substratów i produktów jest równa zero, tzn zachodzi:

$\vec{p}_{a}+\vec{p}_X=0=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;$

(6.8)

Energia progowa jaką musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja jest równa wartości bezwzględnej energii wydzielanej (pochłanianej) w wyniku reakcji:

$E_{prog}=|Q|\;$

(6.9)

W obu układach, gdy Q>0 reakcja jest egzoenergetyczna, Q<0 reakcja endoenergetyczna, Q=0 reakcja rozpraszania sprężystego.

Reakcje bez pośredniego rozpraszania (reakcje wprost)

(6.3) Rozkład kątowy w reakcji wprost (d,p)

Reakcje wprost dzielimy na reakcje:

Rozpraszanie elastyczne

Rozpraszania nieelastyczne

• Są to reakcje, które przebiegają według schematu X(a,a^')X^* kosztem energii cząstki bombardującej występuje wzbudzenie jądra tarczy w wyniku oddziaływania jądrowego.
• Deekscytacji jąder tarczy towarzyszy emisja γ lub EKW, pomiar widm γ lub EKW pozwala wyznaczyć energię stanów wzbudzonych w tych jądrach.

Zderzenie "a" z X jest procesem szybkim i jednostopniowym z udziałem jednego lub kilku nuklidów.

• Pomiary rozkładów kątowych dają informacje o kształcie jądra tarczy (potencjału rozpraszającego), a także informacje o spinie cząstki I.
• Jeżeli energia cząstki naładowanej dodatnio E_α jest mniejsza od bariery kulombowskiej jądra, to wzbudzenie jądra atomowego następuje w wyniku oddziaływania kulombowskiego. Taki proces nazywamy wzbudzeniem kulombowskim jądra.

Reakcje transferu Jest to przekaz jednego lub więcej nukleonów do jądra tarczy z cząstki bombardującej.

• Strippingu (zdarcia) jest to przekaz nukleonu(ów) z cząstki bombardującej do jądra tarczy, np.:

(d,n),(d,p),(³He,d) -stripping jednego nukleonu

(³H,d),(³H,n),(¹⁶O,¹⁴N)- stripping dwóch nukleonów.

Pick-up (przechwytu) jest to przekaz nukleonów z jądra tarczy do cząstki bombardującej, np. (n,d),(p,d),(d,³He), itp..

kuac-out (wymiany) dołączenie do jądra tarczy cząstki bombardującej i wyrwanie z niej innej cząstki:

$a+X\rightarrow Y+b\;$

(6.10)

Cechy charakterystyczne reakcji wprost

• uprzywilejowanie małych kątów wylotu cząstki w reakcji, brak symetrii względem kąta 90^o (charakterystycznej dla reakcji przez jądro złożone). Dla większych kątów występuje struktura dyfrakcyjna.
• rozkłady kątowe zależą od momentu pędu przekazanej jądru.
• stosunkowo słaba zależność przekroju czynnego od energii cząstki bombardującej (zwykle jest funkcją rosnącą).
• brak ostrych rezonansów na krzywej wzbudzenia
• występowanie korelacji kątowej pomiędzy cząstką bombardującą, a fotonem γ, który wylatuje ze wzbudzonego jądra tarczy.
• Reakcja zachodzi w czasie t≤10^-22s jako proces jednostopniowy.
• w reakcji jest zaangażowana mała liczba nukleonów dla jądra tarczy.
• całkowy przekrój czynny jest zależny od kąta θ, która jest kątem pomiędzy cząstką bombardującą a cząstką wychodzącą z jądra tarczy, jest ona napisana:

$\sigma(\theta)=S_{lj}\cdot\sigma_{lj}(\theta)\;$

(6.11)

gdzie σ_lj jest to czynnik kinematyczny, a S_lj czynnik spektroskopowy zależnej od funkcji falowej charakteryzującej jądro atomowe. a "l" i "j" jest to orbitalny i całkowity moment pędu przekazywanej jądru. Czynnik kinematyczny oznacza przekrój czynny na otrzymanie przez jądro tarczy orbitalnego momentu pędu "l" i całkowitego momentu pędu "j".

Reakcje przez jądro złożone

• W tej reakcji mamy dwie cząstki jądra pocisk, który zderza się z jądrem tarczą, wyniku czego powstaje jądro złożone, które jest wzbudzone do pewnego stanu:

$a+X\rightarrow C^*\;$

(6.12)

Jądro C^* rozpada się na wiele sposobów. Energia wzbudzenia odpowiada stanom widma ciągłego.

• energia wzbudzenia jądra rozkłada się statystycznie na wszystkie cząstki, lub na większość z nich należącej do wspomnianego jądra, co jest inaczej zwane wzbudzeniem kolektywnym
• istnieje wiele kanałów wyjściowych rozpadu jadra złożonego, tzn.

$a+X\rightarrow C^*\rightarrow \begin{cases} C+\gamma\\ Y+b_f\\ F_1+F_2+\nu n \end{cases}\;$

(6.13)

Pierwsza reakcja w (6.13) jest to wychwyt radioaktywny. W przypadku drugiej reakcji cząstka b_f oznacza (n,p,α), a ostatnia reakcja to reakcja rozpraszania.

• przekrój czynny jest iloczynem prawdopodobieństwa na utworzenie jądra wzbudzonego C^* i prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra z emisją według ściśle określonych produktów, tzn. Y_f+b_f.

$\sigma(a,b_f)=\sigma(C)\cdot\lambda(b_f)\;$

(6.14)

• Prawdopodobieństwo utworzenia jądra złożonego, a prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra na ściśle określone produkty są niezależne od siebie. Jądra złożone zapomina jak powstało i z jakiego kierunku nadleciał pocisk, zatem emisja cząstek b_f jest izotropowa.

(6.4) Różniczkowy przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania

• rozkłady kątowe cząstek "b" wykazują symetrię według kata θ=90^o, a także zależą od wartości spinu C^*, a odstępstwo od tej zasady jest posiadanie przez jądro złożone wzbudzone wysokiej wartości momentu pędu powstałej w wyniku zderzenia z cząstką "a". Siła odśrodkowa rotacji jądra atomowego ułatwia emisję w kierunku do osi rotacji i posiada minimum przy kącie θ=90^o, takie jądro wykazuje symetrię wobec tego kąta.
• krzywe wzbudzenia reakcji wykazują ostre maksima, które świadczą o wychwycie przez jądro cząstki bombardującej przez jądro tarczy, gdy energia cząstki "a" E_a zbliża się do energii rezonansowej określonej jako poziom wzbudzenia. Kształt krzywej rezonansowej dla przekroju czynnego σ(E_a,E_wzb,Γ) opisujemy rozkładem Brieta-Wignera (Lorentza) (2.54)

Prawdopodobieństwo wychwytu jądra poza rezonansem maleje ze wzrostem (maleniem) energii cząstki bombardującej E_a. Szerokość rezonansu określa poziom wzbudzenia jądra złożonego C^*. Jego czas życia jest określony przez równanie $_{\Gamma\cdot\tau=\hbar}\;$.

• przejścia C^*→Y_f do stanów wzbudzonych jądra Y, odpowiadają szerokością energetycznym, które nawzajem się nakładają. Emisja niskoenergetycznych cząstek maleje wraz energią cząstek emitowanych, ponieważ ich zdolność przenikania przez barierę sił jądrowych maleje.
• Widmo energetyczne cząstek emitowanych zależy od energii cząstek emitowanych, a także od energii jądra wzbudzonego C^*, rodzaju cząstki emitowanej b, od schematu pomiarów w jądrze atomowym. Najszybsze cząstki odpowiadają przejście jądra ze stanu wzbudzonego C^* do stanu podstawowego z widmem dyskretnym, wolniejsze do dyskretnych stanów podstawowych (liniowa część widma), bo w części nisko energetycznej widmo jest ciągłe. Można tak powiedzieć, bo przy małych energiach poziomy w widmie dyskretne są tak gęsto poukładane, więc je można uważać za ciągłe.
• czas trwania reakcji jest stosunkowo długi i wynosi 10^-16s.
• W reakcjach nad ciężkimi jądrami uzyskuje się stany wzbudzone jądra C^* o najwyższych spinach I=100. Jeśli bombardujemy jadro ciężkimi jonami, to moment pędu unoszony do jądra jest bardzo duży (obszar wysokich energii wzbudzenia jądra), czyli poprzez cząstkę bombardującą uzyskuje się duży moment pędu C^* jądra złożonego i przez to uzyskujemy duży jego spin.

Reakcje rozszczepieniowe (Fission)

Jest to reakcja przez jądro złożone, których cząstka a i jądro X łączą się ze sobą i w wyniku czego powstaje jądro wzbudzone złożone C^*, który rozszczepia się na kilka jąder z emisją kilku neutronów:

$a+X\rightarrow C^*\rightarrow F_1+F_2+\nu n\mbox{ gdzie: }\nu=\mbox{od 1 do 3}\;$

(6.15)

Przykładem reakcji rozszczepieniowej jest:

${}^1_0n+{}^{235}_{82}U\rightarrow {}^{236}_{92}U^*\rightarrow {}^{92}_{36}Kr+{}^{142}_{56}Ba+2{}^1_0n\;$

(6.16)

Całkowita energia wzbudzenia jądra wzbudzonego C, czyli E_wzb jest sumą energii wydzielanej podczas bombardowania cząstką "a" S_a(C) i energii kinetyczna kinetycznej cząstki "a" minus energia bariery kulombowskiej E_{bar. kul.} jaką cząstka "a" musi pokonać by zaszła reakcja:

$E_{wzb}(C)=S_a(C)+\Delta E_a^{kin}-E_{par. kul.}(X,a)\;$

(6.17)

Pociskiem może być dowolna cząstka o odpowiedniej energii, takiej by energia wzbudzenia jądra C była większa niż bariera na rozszczepienie. Ciepło reakcji możemy przedstawić jako różnicę energii cząstek przed i po rozczepieniu:

$Q_{fc}=[M_j(C)+E_{wzb}]-\left\{[M_j(F_1)+E_{wzb}(F_1)]+[M_j(F_2)+E_{wzb}(F_2)]+\nu m_n\right\}\;$

(6.18)

Masa jądra wzbudzonego jest sumą mas tarczy X i pocisku "a", oraz aby zaszła reakcja to energia wzbudzenia jądra C powinna być większa niż bariera potencjału jak powiedzieliśmy wcześniej, tzn. według drugiego wzoru poniżej, bo wtedy ma prawo zajść reakcja rozszczepieniowa wiedząc, że ΔW_f(C) jest barierą na rozszczepienie, które muszą pokonać produkty reakcji, aby wyjść na zewnątrz, czyli aby udała się reakcja:

$M_j(C)=M_j(X)+m_a\;$ (6.19)

$E^'_{wzb}(C)=E_{wzb}(C)-\Delta W_f(C)\geq 0\;$ (6.20)

Reakcje (n,f), w których pociskami są neutronu, są zawsze egzoenergetyczne dla jader X ciężkich. Energia reakcji jest unoszona przez produkty reakcji, tzn.:

$Q_f=\sum_lE^{(k)}(F_l)+\sum_{\nu}E^{(k)}_{\nu}(n)+\sum_kE_{\gamma_k}+\mbox{promieniowanie}\;$

(6.22)

Promieniowanie wydzielane podczas reakcji (6.15) może być to promieniowanie β^- i $\tilde{\nu}\;$, która jest wydzielana w procesie rozpadu neutronu (która jest jednych z produktów rozważanej reakcji) zachodzącej według (3.41) i promieniowania γ, która jest wydzielana w procesie deekscytacji jądra F_i. Wiemy, że jeśli energia neutronów jako substratów reakcji jest E_n=0,025eV, a energia wzbudzenia jądra złożonego jest ${}^{236}U\;$ w wyniku reakcji (6.20) jest 6,5MeV, to w tym przypadku ciepło reakcji jest 200MeV, to jądra F_i unoszą energię 165MeV, neutrony 5MeV, a fotony γ energię 7MeV, a pozostałe produkty reakcji w wyniku promieniowania energię 23MeV, czyli ponad 80% energii przejmują fragmenty rozczepienia.

Mechanizm reakcji rozszczepienia

Cząstka bombardująca jądro wnika do jądra, i wyniku oddziaływań jądrowych tworzy się jadro złożone a+X→C o stanie energetycznym (6.17). W obszarze widm ciągłych powoduje to oscylacje kształtu (deformacje) jądra C, co przy energii wzbudzeni mniejszych niż bariera potencjału powoduje deeskcytacje jądra z emisją kwantu γ lub innej cząstki "b" różnej od cząstki bombardującej, a przy energii większej od bariery potencjału po czasie 10^-14 od utworzenia jądra złożonego po podziale jądra na fragmenty, które są zwykle silnie wzbudzone, następuje silna emisja kwantów γ w czasie 10^-12. Przy rozczepieniu fragmenty naszego jądra mogą mieć nadmiar neutronów, więc ulegają rozpadowi β^- do kolejnych jąder wzbudzonych lub jest emisja neutronów, co następuje w czasie 10^-10.

Energia neutronów pierwotnych

(6.5) Widmo neutronów emitowanych przez Cf-252

Widmo energii neutronów pierwotnych natychmiastowych (neutronów wychodzących z reakcji jako substraty reakcji, dzięki którego ma się prawo utworzyć jądro złożone C) jest zawsze ciągłe i średnia ich energia jest równa $\overline{E}_n=2\mbox{MeV}\;$.

Deformacja kropli jądrowej w procesie rozczepienia

Załóżmy, że jądro przyjmuje kształt kropli jądrowej, który jest elipsoidą obrotową wyrysowaną przy odpowiednich półosiach "a" i "b" wyrażonej przy pomocy mimośrodu elipsy i przy pomocy promienia jądra po deformacji R równych:

$a=R(1+\epsilon)\;$ (6.23)

$b=R(1+\epsilon)^{-{{1}\over{2}}}\;$ (6.24)

Zakładamy, że przy deformacji jadra nie zmienia się jego objętość, tzn. gdy początkowo, gdy jądro przyjmowało kształŧ kuli, to jego objętość jest taka sama po deformacji, która przyjmuje wtedy wygląd elipsoidy obrotowej:

$V_{kuli}(Z,A)\equiv V_{elipsoidy}(Z,A)\Rightarrow{{4\pi R^3}\over{3}}\equiv 4\pi ab^2/3\;$

(6.25)

Pole powierzchni elipsoidy obrotowej można wyznaczyć przy pomocy powierzchni kuli o promieniu R i mimośrodu elipsoidy obrotowej:

$S_{el.obrot}(\epsilon)=4\pi R^2\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;$

(6.26)

Energia powierzchniowa kuli możemy napisać przy pomocy powierzchni (6.26) dla energii powierzchniowej elipsoidy obrotowej w zależności od energii powierzchniowej kuli:

$W_{pow}(A,Z,\epsilon)=W_{pow}(A,Z)_{kuli}\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;$

(6.26)

Objętość zdeformowanego jądra możemy przedstawić podobnie jak powierzchnia zdeformowanego jądra, zatem energia kulombowska elipsoidy obrotowej (ta energia jest energia objętościową) możemy napisać w zależności od energii kulombowskiej kuli, przy pomocy mimośrodu elipsoidy obrotowej jądra zdeformowanego:

$W_{cul}(A,Z,\epsilon)=\underbrace{W_{cul}(A,Z)_{kuli}}_{a_C{{Z^2}\over{A^{{{1}\over{3}}}}}}\left(1-{{1}\over{5}}\epsilon^2+..\right)\;$

(6.27)

Całkowita energia jądra zdeformowaną jest sumą jej energii powierzchniowej W_swob(A,Z,ε) i energii objętościowej W_cul(A,Z,ε):

$W(A,Z,\epsilon)=W_{cul}(A,Z,\epsilon)+W_{pow}(A,Z,\epsilon)=\;$ $=\left(W_{pow}(A,Z)+W_{cul}\right)_{kuli}+\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;$

(6.28)

(6.6) Energia jądra w zależności od mimośródu jądra atomowego jako elipsoidy obrotowej

Jeśli przedstawimy całą energię jądra zdeformowanego przy pomocy energii stanu wzbudzonego przy przejściu jądra od kształtu kuli do kształtu elipsoidy obrotowej, którą przedstawiamy:

$W(A,Z,\epsilon)=W(A,Z,\epsilon=0)+\Delta W_f(A,Z,\epsilon)\;$

(6.29)

• gdzie bariera potencjału jądra zdeformowanego przedstawiamy w zależności od jego energii powierzchniowej i objętościowej, gdy by była kulą i od mimośrodu elipsoidy obrotowej przedstawiamy:

$\Delta W_f(A,Z,\epsilon)=\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;$

(6.30)

Bariera energetyczna równa wartości ΔW_f większej od zera

(6.7) Przejście tunelowe z barierą energetyczną

Rozważmy teraz przypadek ΔW_f>0 (Rys.6.6), wtedy jądro jest stabilne ze względu na oscylacje kształtu. Dla zrealizowania rozczepienia należy dostarczyć z zewnątrz energie E_wzb>ΔW_f. Roszczepienie spontaniczne może być zrealizowane w wyniku przejść tunelowych i jego prawdopodobieństwo silnie zależy od Z²/A. Podamy teraz tabelkę dla poszczególnych jąder złożonych C^* stosunek Z²/A i jego wysokość bariery ΔW_f[MeV], a także energie separacji (wiązania) neutronu dla tych jąder:

Jądro C*	Z2/A	ΔWf[MeV]	Sn[MeV]
${}^{233}_{90}Th\;$	34,8	6,5	5,0
${}^{236}_{92}U\;$	35,9	5,8	6,5
${}^{239}_{92}U\;$	35,5	6,3	4,8
${}^{237}_{93}Np\;$	36,5	5,6	6,7
${}^{240}_{94}Pu\;$	36,8	4,8	6,5
${}^{208}_{92}Pb\;$	32,3	35
${}^{197}_{79}Au\;$	31,7	55

Te jądra po przechwyceniu neutronu dla którego zachodzi S_n>ΔW_f następuje potem rozszczepienie. Energie wzbudzenia jadra atomowego dla przypadku Z²/A≤49; nazywamy sumę energii separacji neutronu jądra złożonego "C" i energii kinetycznej neutronu przez zderzeniem z jądrem tarczą.

$E_{wzb}(C)=S_n(C)+\Delta E_n^{kin}\;$

(6.31)

Bariera energetyczna równa wartości ΔW_f nie większej niż zero

(6.8) Energia jądra bez bariery energetycznej

Układ jest niestabilny ze względu na deformacje, ulega natychmiastowej fragmentacji, wtedy W_cul(ε=0)≥2W_pow(ε=0).

Masy fragmentów rozczepienia jądra C*

Widmo mas fragmentów reakcji rozczepienia zależy od energii wzbudzenia jądra złożonego oraz od jego struktury powłokowej. Dla jąder ciężkich, tzn. dla liczb masowych mieszczących się w przedziale [230,240] przy małej energii wzbudzenia rozszczepienie jest asymetryczne. Wyraźne dwa maksima występują przy A≈95 i A≈140;, wtedy stosunek liczb masowych tych dwóch maksimów występuje, gdy spełniony jest stosunek A₁/A₂≈2/3. Asymetria ta maleje przy rosnącej energii wzbudzenia i rozczepienia, wtedy fragmentacja jąder przechodzi w widmo symetryczne, tzn. dla której zachodzi warunek A₁≈A₂≈A/2. Dla tych liczb masowych logarytm przekroju całkowego na rozszczepienie jest napisany w zależności od liczby masowej dla różnych energii wzbudzenia E_wzb jądra złożonego C:

(6.9) Rozszczepienie na fragmenty jądra atomowego (rozszczepienie symetryczne i asymetryczne)

Łańcuchowe reakcje rozszczepienia. Reaktory jądrowe. Bomba jądrowa

Zapoznamy się tutaj z reakcją łańcuchową, warunkami na rozszczepienie łańcuchowe, reakcjami syntezy i termosyntezy, bombą rozszczepieniową, bombą termojądrową.

Łańcuchowe reakcje rozszczepienia

Proces zapoczątkowany przez neutrony pierwotne jest źródłem neutronów wtórnych, tzn. natychmiastowych (wysyłanych od razu po fragmentacji jądra C i wtórnych powstałych przez wysyłanie neutronów przez produkty reakcji, te neutrony mogą wywoływać reakcje rozszczepienia dalszych jąder prowadzących do reakcji łańcuchowych. Warunkiem aby zaszła reakcja łańcuchowa w (5.15) jest by ν>1, co jest spełnione dla jąder ciężkich, dla energii neutronów termicznych tzn. dla ²³³U, to ν=2,58(6), dla ²³⁵U, to ν=2,47(3), dla ²³⁹Pu, to ν=3,05(8), które zachodzą przy energii progowej E_prog<S_N. ν rośnie ze wzrostem E_n neutronów pierwotnych, tzn. dla ²³⁹Pu, gdy E_n=14MeV, to ν=5.

Oddziaływanie neutronu z jądrem atomowym może prowadzić do:

• rozpraszania elastycznego prowadzi do obniżenia energii kinetycznej i zmiany kierunku rozpraszania n, która jest bardziej efektywna dla jąder lekkich H,D,¹²C, itp., zapisz tego zjawiska jest:

$n+X\rightarrow X+n\;$

(7.1)

• rozpraszanie nieelastyczne prowadzi do obniżenia energii neutronu i wzbudzenia jądra X^*, co zapisujemy:

$n+X\rightarrow X^*+n^'\;$

(7.2)

(7.1) Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na pochłanianie neutronów

• wychwyt radiacyjny prowadzi do straty neutronu, w którym jądro atomowe X zamienia się wzbudzone jądro C, który w wyniku deekscytacji jądra wysyła kwant γ:

$n+{}^AX\rightarrow {}^{A+1}C^*\rightarrow C+\gamma\;$

(7.3)

Wychwyt neutronu przez jądro ma charakter rezonansowy, tzn. to jest najbardziej prawdopodobne dla energii neutronu, taki że spełnia związek:

$E_n^{rez}+S_n(C)=E_{wzb}(C)\;$

(7.4)

Dla energii neutronu $E_n<E_n^{rez}\;$ przekrój czynny na wychwyt neutronu jest:

$\sigma_{wych}\sim{{1}\over{\sqrt{E}}}\;$

(7.5)

Energie rezonansowe zwykle mieszczą się w przedziale 0,1eV do 10keV, co jest spełnione dla neutronów pierwotnych. Dla jąder ¹¹³Cd 12,3 % reakcji zachodzi przy wychwycie rezonansowym przy rezonansowej energii neutronów E_rez≈0,176eV, wtedy przekrój czynny na wychwyt neutronu według rysunku (Rys.5.9) jest σ_wych=6⋅10²b, a przy energii neutronów E_n<E_rez przekrój czynny na wychwyt neutronu jest σ_wych=3⋅10³b. Jądra ¹¹³Cd mają bardzo wysoką barierę na rozszczepienie. Wychwyt neutronów termicznych (jądra o energii 0,025MeV w warunkach temperatury pokojowej) przez te jądra prowadzi do (n,n^'), i do (n,γ), ale nie ma reakcji na rozszczepienie (n,f). Bardzo dużą wartość przekroju czynnego σ_wych mają jądra ¹³⁵Xe wynoszącą na neutronów termicznych σ_wych=3,5⋅10⁶b. Jądra ¹³⁵Xe powstają w wyniku reakcji (n,f) na jądrach ²³⁵U. Powstawanie tych jąder wyniku reakcji rozszczepienia powoduje tzw. zatrucie rezonansowe reakcji. Dla jąder uranu (99,3%²³⁸U+0,7%²³⁵U) zachodzące reakcje (n,γ) i (n,f) mają układ rezonansów bardzo skomplikowany. Dla jądra ²³⁵U przechwyt neutronu jest możliwy, bo energia separacji neutronu w jądrze ²³⁶U jest większa niż jego bariera potencjału, dlatego może w nim zachodzić rozszczepienie na lżejsze jądra. Przekrój czynny na rozszczepienie na tym jądrze bardzo szybko rośnie wraz ze zmniejszaniem się energii neutronów, dla E_n≥1 keV, omawiany przekrój czynny jest mniejszy niż 10b, a natomiast dla energii E_n=0,025eV jest równy 580b. By zwiększyć przekrój czynny reakcji na rozszczepienie stosuje się moderator, który nie może być on np. w stanie gazowym, by miał dostateczną dużą gęstość, a jego przekrój czynny na pochłanianie neutronów był możliwie mały. Zadaniem modelatora jest zmniejszanie prędkości neutronów szybkich, najlepiej, by modelator składał się z atomów możliwie lekkich, wtedy straty energii neutronów na modelatorze były możliwie duże. W reaktorach jądrowych stosuje się D₂0 i grafit. Reakcje (n,f) na jądrze ²³⁸U zachodzą, gdy energia neutronów jest E_n≥1,5MeV, czyli w tym przypadku mamy do czynienia z neutronami szybkimi. W przedziale energii neutronów wynoszącej od 1,5 do 20MeV przekrój czynny na rozszczepienie jest σ_f<1,5b. A przy tych energiach procentowo ilość reakcji na rozszczepienie względem rozpraszania nieelastycznego neutronu jest równa stosunkowi:

${{\sigma_f}\over{\sigma_{\gamma}+\sigma_f}}\simeq 0,25\;$

(7.6)

W wyniku rozpraszania elastycznego i elastycznego neutron bardzo szybko traci energię przechodząc poniżej progu 1,5MeV, zatem nie możliwe jest zrealizowanie łańcuchowej reakcji w wyniku rozszczepienia na jądrze ²³⁸U.

Warunki na zajście reakcji łańcuchowej

Nie każdy neutron wyprodukowanej w wyniku reakcji rozszczepienia prowadzi do reakcji rozszczepienia, więc warunek ν>0 nie jest wystarczający. Stosunek liczby neutronów dla dowolnej generacji do liczby neutronów aby następował ich wychwyt do reakcji rozszczepienia jest zwany stosunkiem mnożenia neutronów lub stosunkiem powielania neutronów:

$k={{N_f}\over{N_{wychw}}}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;$

(7.7)

Przekrój czynny na wychwyt neutronów jest sumą na przekroje czynne na rozszczepienie i produkcji promieniowania γ poprzez wychwyt neutronów (5.34):

$\sigma_{wychw}=\sigma_f+\sigma_{\gamma}\;$

(7.8)

Jeśli czas średni życia dla jednej generacji wynosi τ, to przyrost neutronów w jednostce czasu dt w zależności od liczby neutronów i w zależności od zmiennej k przedstawiamy:

${{dN}\over{dt}}={{N(k-1)}\over{\tau}}\Rightarrow N(t)=N_0e^{{{k-1}\over{\tau}}t}\;$

(7.9)

Liczba neutronów reakcji łańcuchowych w kolejnych generacjach jest uzależniona od liczby k, który może przyjmować następujące wartości:

• k<1 - reakcja łańcuchowa nie rozwija się, jest to stan podkrytyczny.
• k=1 - reakcja łańcuchowa przebiega ze stałą mocą, jest to stan krytyczny.
• k>1 - reakcja łańcuchową rozwija się, następuje wybuch, jest to stan nadkrytyczny.

Na przykład dla k=1,05, gdy τ≈10^-3s po jednej sekundzie liczba neutronów wzrasta o 10²² razy. Sytuacja k>1 ma miejsce w bombie atomowej. Jeśli mamy masę krytyczną, wtedy jest to stan krytyczny k=1. Napiszmy stałą k (7.7) zależną od neutronów powstających N_powst i uciekających N_uc, bo neutrony mogą uciekać z objętości zajmowanej przez reakcję łańcuchową, wtedy:

$k=k_{\infty}{{N_{powst}-N_{uc}}\over{N_{powst}}}=k_{\infty}\left(1-{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\right)\;$

(7.10)

Stała k_∞ jest zależna od definicji stałej k (7.7) i stosunek liczby neutronów uciekających do powstających są równe:

$k_{\infty}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;$ (7.11)

${{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\sim{{S}\over{V}}\;$ (7.12)

Widzimy, że k_∞ jest zależna od stosunku przekroju czynnego na rozszczepienie σ_f i przekroju czynnego na wychwyt neutronów i jest zależna od liczby neutronów ν powstających w wyniku reakcji łańcuchowej. Czym większy jest stosunek liczby neutronów uciekających do neutronów powstających, to im większy jest stosunek powierzchni czynnej masy (podkrytycznej, krytycznej lub nadkrytycznej) do objętości tejże masy, to czym mniejsza jest liczba "k". W przypadku czystego ²³⁸U mamy k_∞<1, bo gdyż $_{{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq 0,25}\;$ oraz ν≈2,5, więc dla tego przypadku nie można zrealizować masy krytycznej. Dla ²³⁵U dla neutronów termicznych mamy $_{{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq{{580b}\over{690b}}\simeq 0,854}\;$ i ν≈2,5, więc (7.11) k_∞>1. Podobnie można uzyskać k_∞≥2 dla ²³³U i dla ²³⁹Pu. Masa krytyczna zależy od $_{{{S}\over{V}}}\;$ i od reflektora neutronów (jest to warstwa materiału o właściwościach odbijających uciekających neutronów z powrotem do rdzenia reaktora). Stan krytyczny można uzyskać na uranie naturalnym stosując moderator D₂0 w reaktorach jądrowych. W reaktorach jądrowych stosuje się paliwo wzbogaczone w ²³⁵U (²³³U lub ²³⁹Pu). w bombach jądrowych najczęściej stosuje się czysty ²³⁵U lub ²³⁹Pu dla zmniejszenia jego rozmiarów.

Reaktory jądrowe

(7.2) Schemat rosyjskiego reaktora typu WWER-1000. 1 - pręty sterujące; 2 - osłona reaktora; 3 - obudowa reaktora; 4 - wlot i wylot wody; 5 - powłoka; 6 - obszar aktywny reaktora; 7 - pręty paliwowe

(7.3) Schemat elektrowni z reaktorem wodnym ciśnieniowym. 1. Blok reaktora 2. Komin chłodzący 3. Reaktor 4. Pręty kontrolne 5. Zbiornik wyrównawczy ciśnienia 6. Generator pary 7. Zbiornik paliwa 8. Turbina 9. Prądnica 10. Transformator 11. Skraplacz 12. Stan gazowy 13. Stan ciekły 14. Powietrze 15. Wilgotne powietrze 16. Rzeka 17. Układ chłodzenia 18. I obieg 19. II obieg 20. Para wodna 21. Pompa

(7.4)

(7.5) Rdzeń reaktora jądrowego

Urządzenia, w których przeprowadza się ze stałą prędkością reakcje rozszczepienia jądrowego. Reakcje rozszczepienia mają zwykle przebieg lawinowy, tzn. jedna reakcja może zapoczątkować kilka następnych reakcji. W celu kontroli ile reakcji zapoczątkować ma reakcja łańcuchowa wprowadza się substancje pochłaniające neutrony, są to przede wszystkim bar i kadm. Substancje te są umieszczone w prętach regulacyjnych. Modelator wprowadza się w celu zmniejszania prędkości neutronów w wynika zderzenia neutronów z cząstkami modelatora.

Reaktory dzieli się ze względu na szybkość neutronów

• neutrony termiczne, których modelatorem jest H₂, D₂O i grafit.
• neutrony szybkie a reaktory o nie oparte są reaktorami powielającymi, paliwem jest ²³⁸U lub ²³²Th wzbogacony o ²³⁵U, ²³³U lub²³⁹Pu, reaktory o nie oparte są bez modelatora. Reakcje oparte na uranie ²³⁸U są:

${}^{238}U(n,\gamma)\rightarrow {}^{239}U\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Np\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Pu(f,n)\;$

(7.13)

Reakcje oparte na torze ²³²Th są:

${}^{232}Th(n,\gamma)\rightarrow{}^{233}Th\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}Pa\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}U(f,n)\;$

(7.14)

Energia uzyskana z 1g ²³⁹U jest równa energii uzyskanej z 2,7 t ¹²C.

Podział według rodzaju reakcji jądrowej, które dzielimy na:

• rozszczepienie jądra atomowego-wszystkie reaktory w tym wszystkie komercyjne są oparte na roszczepieniu reakcji jądrowych, której paliwem jest uran, ale trwają prace nad wykorzystaniem toru.
• Kontrolowana synteza termojądrowa jest wykorzystana w reaktorach wykorzystujących termosyntezę jądrową, którego paliwem jest najczęściej wodór. Jak dotąd ilość energii włożonej jest większa niż energia uzyskana z termosyntezy.
• Rozpad promieniotwórczy

Podział według chłodziwa

• reaktory wodne i ciśnieniowe tzw. PWR i WWER, której chłodziwem i modelatorem jest zwykła woda. która jest pod wysokim ciśnieniem tak by woda nieodparowywana podczas normalnej pracy reaktora.
• reaktory wodne, wrzące (BWR), której chłodziwem i modelatorem jest zwykła wrząca woda
  • wyjątkowymi reaktorami wodnymi, wrzącymi są reaktory RBMK (między innymi w Czarnobylu tegom typu reaktory zostały użyte w Czarnobylu oraz na terenie byłego ZSRR w innych reaktorach), wodą wrzącą w kanałach paliwowych są chłodzone, a moderowanie reaktorów grafitem. Jest uznawany za jeden z najniebezpieczniejszych ten rodzaj reaktora (elektrownia w Czarnobylu posiadała cztery reaktory typu RBMK).
• reaktory wodne i basenowe, gdzie pręty paliwowe są zanurzone w wodzie, która jest modelatorem, a zarazem chłodziwem. Warstwa wody znajdująca się na reaktorem powinna mieć odpowiednią grubość by ekranować promieniowanie radiacyjne, by personel mógł pracować nad reaktorem.
• reaktory gazowe (GCR, AGR, HTGR), której chłodziwem jest zwykły gaz, tzn. dwutlenek węgla lub hel.
• reaktory prędkie (LMFR na szybkich neutronach) chłodziwem są stopione metale, tzn. sód lub ołów, pozbawionej modelatora.
• reaktory solne (MSR), której chłodziwem są sole w stanie ciekłym, często fluoru.

Podział według generacji

• Pierwszej generacji - prototypowe pierwsze reaktory jądrowe
• Drugiej generacji - pierwsze reaktory w celach przemysłowych
• Trzeciej generacji - reaktory nowszych konstrukcji reaktorów przemysłowych
• Czwartej generacji - najnowsze, ale w fazie projektów

Podział według przeznaczenia energetyczne,

• napędowe (głównie użyte do okrętów podwodnych i innych dużych okrętów nawodnych),
• militarne (do broni jądrowej wytwarzanej do tego celu materiał rozszczepialny),
• badawcze.

Podstawowe typy reaktorów energetycznych

Grupa	Typ reaktora	Chłodziwo	rodzaj	Moderator	Paliwo jądrowe
Grafitowo - gazowe GCR	AGR	CO2, gaz	-	grafit	UO2 wzbogacony
	Magnox	gaz, CO2	-		U Naturalny
	HTR	He	-		UO2, UC2, ThO2, ... (235U, 233U, Pu)
Ciężkowodne	PHWR	ciężka woda	ciśnieniowy	ciężka woda	UO2 naturalny lub wzbogacony
Lekkowodne LWR	BWR	lekka woda	wrzący	lekka woda	UO2 wzbogacony lub UO2 wzbogacony i MOX
	PWR		ciśnieniowy
	WWER		ciśnieniowy
Wodno - grafitowe	RBMK	lekka woda	wrzący	grafit	UO2 wzbogacony
	GLWR		ciśnieniowy		U naturalny lub wzbogacony
Lekko - ciężkowodne	HWLWR	lekka woda	wrzący	ciężka woda	UO2 wzbogacony - PuO2
Prędkie	FBR	sód	-	-	UO2 wzbogacony - PuO2
GCR - Gas Cooled Reactor LWR - Light Water Reactor AGR - Advanced Gas-cooled Reactor Magnox - nazwa pochodzi od stopu magnezowego koszulek paliwowych HTR - High Temperature (Gas-cooled) Reactor VHTR - Very High Temperature Reactor PHWR - Pressurized Heavy Water Reactor BWR - Boiling Water Reactor (ABWR - Advanced Boiling Water Reactor) PWR - Pressurized Water Reactor WWER - Wodno Wodianoj Energeticzeskij Reaktor RBMK - Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj GLWR - Graphite Light Water Reactor HWLWR - Heavy Water - Light Water Reactor FBR - Fast Breeder Reactor

(7.6) Reaktor badawczy PULSAR, o mocy 1MW

Wodny reaktor ciśnieniowy

Reaktor wodny ciśnieniowy (Rys.7.2) jest inaczej zwany PWR od ang. Pressurized Water Reactor. Jest to reaktor jądrowy w którym modelatorem (zmniejszającej prędkość neutronów) jest zwykła lekka woda pod zastosowanym ciśnieniem 15MPa. Woda spełnia też rolę czynnika chłodzącego reaktor, który jest chłodziwem rdzenia reaktora. Produkowana wodę gorącą jest przez reaktor PWR , która później idzie do wytwornicy pary (WP), która oddaje wodzie ciepło pod niższym ciśnieniem, która zamienia się w parę wodną o temperaturę 275^oC i o ciśnieniu 6MPa. Dwa czynniki robocze stosuje się w tym reaktorze, która zmniejsza ryzyko wycieku do otoczenia substancji radioaktywnych. Regulowana jest moc reaktora poprzez zmianę stężenia boru w postaci kwasu borowego w wodzie w obiegu pierwotnym. Stosowane podczas rozruchu reaktora i jego wyłączania są pręty grafitowe regulacyjne. Bardzo bezpiecznymi konstrukcjami są reaktory PWR, odnotowano tylko jeden przypadek jego awarii na sztucznej wyspie Three Mile Island. Zmniejszyła wyciek do otoczenia substancji radioaktywnych zastosowana obudowa, której reaktor był firmy Babcock & Wilcox.

Реактор Большой Мощности Канальный (Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj, Reaktor Kanałowy Wielkiej Mocy) (RBMK)

(7.7) Schemat reaktora RBMK

(7.8) Porównanie klasycznego reaktora zbiornikowego LWR i kanałowego RBMK: 1. Moderatorem LWR jest woda pod ciśnieniem, podczas gdy rdzeń RBMK moderuje palny grafit 2. W RBMK dodatnia reaktywność przestrzeni parowych mogła spowodować skok mocy i eksplozję 3. Mechanizm opuszczania prętów w RBMK był o wiele wolniejszy niż w LWR 4. Na dodatek, RBMK nie posiadał budowli ochronnej

(7.9) Powiększenie struktur reaktora

(7.10) Powierzchnia reaktora w Ignalinie pozbawiona głowic elementów paliwowych

Reaktor z posiadanym modelatorem z grafitu, z chłodziwem, który jest lekko wrzący reaktor jądrowy. Zastosowano w nim chłodzenie czystą wodą i użycie modelatora grafitowego umożliwia użycie naturalnego uranu. Jest to jedna z najbardziej ekonomicznych reaktorów, ale bardziej podatny na róznego typu awarie, co było główną przyczyną awarii reaktora w Czarnobylu.

Parametry pracujących i projektowanych reaktorów typu RBMK

Parametr	RBMK-1000	RBMK-1500	RBMK-2000
Moc cieplna	3200 MW	4800 MW	5400 MW
Moc elektryczna	1000 MW	1500 MW	2000 MW
Sprawność bloku	31,3%	31,3%	37%
Temperatura pary przed turbiną	280 °C	280 °C	450 °C
Masa uranu w rdzeniu	192 t	189 t	226 t
Kanałów odparowujących	1693	1661	1744
Kanałów przegrzewających	—	—	872
Wzbogacenie uranu	1,8%	1,8%	1,8-2,2%

Nie posiada żadnej obudowy rdzeń reaktora bezpieczeństwa względem standardów zastosowanej na Zachodzie.W betonowej studni jest umieszczony reaktor o wymiarach na 21,6 na 25,5 m. To 1661 bloków grafitowych stanowi rdzeń reaktora o przekroju o boku kwadratu równej 250 mm, gdzie kanałach występują pionowe otwory paliwowe. Została wzmocniona przewodność cieplna wprowadzanych w przestrzeń pomiędzy kanałami paliwowymi przez mieszaninę helu i azotu. Warstwą grafitu jest otoczony rdzeń reaktora o wymiarach 500-800 mm, które spełniają rolę pierwszej bariery ochronnej i reflektora neutronów. Reaktor jest otoczony lekką wodą o grubości 1,2 metrów i następnie dwumetrową ściana betonową. Z góry i z dołu reaktora jest on otoczony płytami stalowymi o grubości 200-250mm. Wykonane z stali nierdzewnej stanowią kanały paliwowe stanowiące rury o średnicy 88mm. Przechodzącą przez grafit część główna jest wykonaną ze stopu niobu i cyrkonu. Chłodzący indywidualnie wrzącą wodą jest każdy kanał o temperaturze wody lekkiej równej 290^oC. Zestawy paliwowe o wysokości 3650 mm po 18 prętów każdy jest wewnątrz zestawu kanału paliwowego. Rurki (koszulki) cyrkonowo-niobowa o średnicy 13,6 mm i grubości 0,9 mm stanowią pojedyncze pręty paliwowe, pastylkami paliwowymi zapełniona o grubości 15 mm z dwutlenku uranu, minimalnie wzbogaconego do 1,8% uranem-235. Całkowita masa paliwa całego paliwa w reaktorze wynosi 190 t. Czas używania jednego pręta w reaktorze wynosi około 3 lata, a ich zmiana na inne nowsze pręty może przebiegać podczas normalnej pracy reaktora. Z jednym obiegiem technologicznym cały blok pracuje, ale w dwóch pojedynczych systemach chłodzenia. Woda pod ciśnieniem w kanałach paliwowych odbiera większość ciepła wydzielonego wygenerowanego w trakcie reakcji rozszczepienia. Jej część odparowuje, a dalej następuje oddzielenie wody z mieszaniny parowo-wodnej z separatorach wychodzącej z reaktora. O temperaturze 284 °C i ciśnieniu 6,5 MPa jest uzyskana para wodna w ilości tego płynu średnio 5780 t wody na godzinę. która jest doprowadzana do dwóch turbogeneratorów o mocy 500 MW każdy z tych urządzeń. Skroplona para wodna w kondensatorze kierowana jest z następnie znowu do reaktora. Sprawność elektrowni jądrowej wynosi 31%. Q układ awaryjnego chłodzenia reaktora ejst wyposażony rdzeń, uruchamiany jeśli zostaje poważnie zaburzony obieg chłodziwa. W wieloblokowych elektrowniach, po 2-6 bloków pracują sobie reaktory. Zbudowano także udoskonalony reaktor jądrowy RBMK-1500, o mocy zwiększonej do 1500 MW, który pracuje w Ignalinie. Przygotowano także projekty udoskonalonego reaktora jądrowego RBMK-2000, w którym użyto jądrowy przegrzanie pary wodnej do temperatury 450 °C i wzbogacenie uranu-235 zwiększono do 2,2%.

Bomba jądrowa

(7.11) Schemat dwóch metod detonowania ładunku jądrowego

Bomba jądrowa ciepie swoje reakcje z reakcji ciężkich jader atomowych (uranu lub plutonu) na lżejsze w wyniku reakcji ozszczepienia pod wpływem bombardowania neutronami. Rozpadające jądra emitują neutrony zapoczątkowując inne rozszczepienia wywołując reakcje łańcuchową. Zasadą działania bomby jądrowej jest przekroczenie w naj najkrótszym masy krytycznej ładunku jądrowego. Uzyskanie tego jest ba dwie sposoby poprzez przekroczeniem kilku porcji materiału rozszczepialnego lub zapadnięcie materiału uformowanego w powłokę. To musi odbyć się taka szybko by reakcja łańcuchowa nie została przerwana i dla tego używa się do tego celu ładunku konwencjonalnego, wtedy reakcja łańcuchowa dostaje ogromną ilość energii. Wtedy reakcja jądrowa używa ogromnej ilości energii. Wysoka temperatura powodują i wysoka energia powodują szybko rozproszenie się materiału rozszczepialnego i przerwanie reakcji jądrowej. Jako ładunku nuklearnego używa się używa się materiału rozszczepialnego uran-235 a przy metodzie implozyjne plutonu-239. Z jednego kilograma U-235 można uzyskać do 82TJ energii. A typowy czas trwania reakcji łańcuchowej jest 1μs, stąd moc wynosi 82 EW/kg.

Reakcje syntezy i termosyntezy

Przedstawiamy ogólny schematatyczny opis reakcji syntezy wraz z omówieniem rodziny reakcji p-p i CNO, a także przedstawimy wybrane reakcje syntezy wraz z energią wydzieloną w wyniku ich reakcji.

Ogólny opis reakcji syntezy

Są to reakcje jądrowe łączenia się dwóch jąder w jedno jądro ciężkie i wyniku emitowania jednej lub kilku cząstek takich jak: n,p,γ,α:

${}^{A_1}X_1+{}^{A_2}X_2\rightarrow {}^AY+b\;$

(7.15)

W reakcjach przeprowadzonych w laboratoriach energią cząstki zderzającej musi być taka by przekroczyła energię bariery kulombowskiej by taka reakcja zaszła:

$E_{X_1}^{kin}>E_{b. kul}\;$

(7.16)

Wielkość bariery kulombowskiej dla jądra ${}^A_ZX\;$ można oszacować dla protonu wykorzystując wzór na promień jądra atomowego (1.25) według modelu kroplowego:

$E^{kin}_{b.kul}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0R}}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0r_0\sqrt[3]{A}}}={{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_0}}{{Z}\over{\sqrt[3]{A}}}\;$

(7.17)

W przypadku modeli lżejszych wartość energii protonu wynosi około 1MeV. A więc aby zrealizować reakcję syntezy należy zrealizować tak by energia nie przekraczała kilku MeV na jeden nukleon.

(7.12) Synteza jąder lekkich i rozszczepienie ciężkich jąder atomowych

Przy syntezie ciężkich jąder zawsze powstaje jądro atomowe zawsze bardziej stabilne niż jądra zderzające. Reakcje syntezy są zawsze egzoenergetyczne i wydziela się w nim ciepło reakcji:

$Q_S=[M_j(X_1)+M_j(X_2)]-[M_j(Y)+m_b]\;$

(7.18)

Do wzoru (7.18) wykorzystujemy wzór M_j(A,Z)=Zm_p+Nm_n-B(A,Z) i wykorzystując B(A,Z)=AE_A, dostajemy natychmiast:

$Q_S=A(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{1,2})\mbox{ gdzie: } \mathcal{E}_{12}={{\mathcal{E}_1A_1+\mathcal{E}_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;$

(7.19)

Które przy syntezie jąder lekkich przy wznoszącej się krzywej E(A) zawsze ciepło reakcji Q_S jest większe niż zero. Syntezy jąder lekkich nie zachodzą w przyrodzie z powodu barier potencjału. Energia ciepła jąder lekkich jest w przedziale od 1,5 do 2,2 MeV, co po przeliczeniu na jeden nukleon produktu reakcji daje nam od 0,8 do 3,5 MeV. Dla jądra uranu daje nam 0,8MeV/nukleon (Q_f=195MeV, co daje nam Q_f/A=0,8MeV/nukleon, czyli mniej niż dla jąder lekkich.

• Metodą syntezy ciężkich jąder (jądro HI jest o energii kilku MeV na nukleon) uzyskuje się jądra superciężkie, które zachodzą według schematu:

$HI+HN\rightarrow SHN+\nu n\;$

(7.20)

gdzie HI -to jest superciężki jon wielokrotnie zjonizowany, HN -to ciężkie jądro, SHN -to superciężkie jądro, w wyniku reakcji wydziela się ν nukleonów równej od 1 do 3. Jądro pocisku i tarczy są tak dobrane by powstałe jadro nie ulegało natychmiastowemu rozszczepieniu z czasem średnim τ=10^-22s. Przekrój czynny na reakcje syntezy jest rzędu nanobarnów, a więc jest niezwykle bardzo mały, np. dla reakcji:

${}^{48}Ca+{}^{238}U\rightarrow{}^{283}112+3n\;$

(7.21)

dla której przekrój czynny na reakcje syntezy jest σ=5 nb. Pamiętajmy, że jądra superciężkie są niestabilne ze względu na rozpad α i spontaniczne rozszczepienie.

Wybrane reakcje syntezy

Przedstawiamy poniżej wybraną reakcje syntezy wraz z ilością wydzielanej energii w nim wraz energią na jednostkę masy atomowej.

Reakcja	Wydzielana energia całkowita
	w MeV	w MeV/j.m.at.
${}^1_1H+{}^1_1H\rightarrow{}^2_1H+{}^0_{+1}e^++\nu_e\;$	1,44	0,72
${}^1_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+\gamma\;$	5,49	1,82
${}^1_1H+{}^7_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;$	17,35	2.16
${}^2_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+{}^1_0n\;$	3,27	0,81
${}^2_1H+{}^2H_1\rightarrow{}^3_2He+{}^1_1H\;$	4,03	1,00
${}^2_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n\;$	17,59	3,50
${}^2_1H+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H\;$	18,35	3,75
${}^2_1H+{}^6_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;$	22,37	2,78
${}^3_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n+{}^1_0n\;$	11,33	2,13
${}^3_2He+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H+{}^1_1H\;$	12,86	2,13

Reakcje termosyntezy

Są to reakcje syntezy zachodzące samoczynnie w układzie o bardzo dużej gęstości złożony z lekkich jąder ogrzanej do bardzo wysokiej temperatury. Zderzenie jąder jest wynikiem jej ruchu termicznego. Średnia temperatura w ruchu we wnętrzu gwiazd jest około T≈10⁸K (k_bmt≈8keV). Na przekroczenie bariery kulombowskiej w atomie wodoru wymagana jest średnia energia równa 700keV. W reakcji przekroczenie bariery kulombowskiej może zachodzić przy mniejszej energii niż ostatnio podaną w wyniku przejść tunelowych. Prawdopodobieństwo takich przejść jest bardzo małe i silnie zależy od energii cząstki bombardującej i wysokości bariery potencjału, a więc od iloczynu Z_a⋅Z_X. Natężenie reakcji termosyntezy zależy i silnie wzrasta od temperatury i gęstości materii jądrowej. Po przekroczeniu określonej temperatury, wtedy staje się reakcją syntezy samopodtrzymującą i stale się wydziela energia o określonej mocy lub lawinowy jego wzrost, w którym następuje wybuch (bomba termojądrowa). Pierwsza sytuacja jest powiedziana jest w gwiazdach, gdzie spala się wodór w temperaturze od 15 do 18 pomnożone przez 10⁶K i gęstości 100g/cm³ w cyklu p-n i CNO. Każda z tych cykli ma gałąź główną i dwa poboczne. Końcowym produktem tej reakcji jest ⁴He w cyklu p-n i ⁴He+¹²C w cyklu CNO. Przedstawmy cykl p-p, który daje 95% energii na Słońcu.

$\begin{matrix}{}^1H+{}^1H\rightarrow {}^2H+e^++\nu_e\\{}^2H+{}^1H\rightarrow {}^3He+\gamma\\{}^3He+{}^3He\rightarrow {}^4He+2{}^1H\end{matrix}\;$ co w sumie daje nam $4{}^1H\rightarrow{}^4He+2e^++2\nu_e+2\gamma\;$

(7.22)

A także podamy gałąź główną CNO, który daje nam kilka procent energii na słońcu. W gwiazdach masywnych w cyklu CNO wytwarza się więcej energii niż w cyklu p-p, bo tam jest wyższa temperatura i gęstość:

$\begin{matrix}{}^{12}C+{}^1H\rightarrow {13}N+\gamma\\{}^{13}N\rightarrow{}^{13}C+e^++\nu_e\\{}^{13}C+{}^1H\rightarrow{}^{14}N+\gamma\\{}^{14}N+{}^1H\rightarrow{}^{15}O+\gamma\\{}^{15}O\rightarrow{}^{15}N+e^++\nu_e\\{}^{15}N+{}^1H\rightarrow{}^{12}C+{}^4He\end{matrix}\;$

(7.23)

Po wypaleniu się wodoru w gwieździe maleje jego ciśnienie w jego wnętrzu. Wtedy to powoduje kontrakcja Słońca w wyniku zapadania się grawitacyjnego, co powoduje wzrost jego temperatury w jego wnętrzu do ok. 10⁸K i gęstości 10⁵g/cm³. W tych warunkach następuje termosynteza jąder ⁴He, a następnie ¹²,¹⁶ i Si. Trwają prace nad stworzenia reaktora termojądrowego, który by wykorzystywał by reakcje syntezy w lekkich jądrach. Najbardziej są obiecujące są reakcje deuteru lub trytu w jądra helu-3 lub helu-4, ona posiada najniższą z możliwych barier kulombowskiej i stosunkowo mały przekrój czynny na reakcje syntezy, tzn.

$\begin{matrix} {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3He+n&Q_S=3,3\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3H+p&Q_S=4,4\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^3H\rightarrow{}^4He+n&Q_S=17,6\mbox{MeV}\end{matrix}\;$

(7.24)

Powyższe trzy charakteryzujące się reakcje jądrowe mają duże wartości Q_S/A, a szczególnie trzecia z nich w (7.24). Zapasy ziemskie deuteronu są praktycznie niewyczerpalne jest ich w wodzie morskiej ok. 0,015%. Warunkach ziemskich reakcje termosyntezy mogą przebiegać w znacznie mniejszej objętości i mniejszej gęstości niż na słońcu i dlatego straty energii w wyniku przewodnictwa cieplnego, promieniowania, liczby neutronów w warunkach będą zawsze duże. Oznacza to, że aby otrzymać samopodtrzymującą się reakcje termosyntezy należy podgrzać plazmę do bardzo wysokiej temperatury niż temperatura na Słońcu. Określa się, że minimalna temperatura i gęstość plazmy deuterowo-trytowej może być nτ=10¹⁴cząstek⋅s/cm³ i o określonej temperaturze 10⁸K, gdzie τ jest to czas utrzymywania określonych wartości koncentracji "n" i temperatury "T" plazmy.

Ten problem próbuje się rozwiązać dwoma metodami:

• Ogrzewanie całej objętości do temperatury 10⁸K plazmy o gęstości n≥10¹⁴cząstek/cm³ w czasie stosunkowo długim τ≥0,1s. W celu niedostania się plazmy do ścianek obudowy stosuje się bardzo silne pole magnetyczne efektywne, które to pole magnetyczne jest wytwarzane przez powłoki w kształcie toroidu. W tym polu elektrony i jony poruszają się po spiralach nawiniętych na linie pola magnetycznego. Przy odpowiedniej konfiguracji toroidu poruszającą się plazmę można zagęścić w środku toroidu i ograniczyć jego kontakt ze ściankami komory. W procesie zagęszczania powstaje duża temperatura. Toroidy oparte na tej zasadzie nazywamy tokamakami. W roku 1963 w objętości kilkudziesięciu litrów uzyskano nτ=3⋅10¹¹s⋅cząstek/cm³ i temperaturę T=3⋅10⁶K. W reakcji termosyntezy po raz pierwszy uzyskano neutrony pochodzące z reakcji termosyntezy deuterony i trytu, ale ogólny bilans energii był ujemny. Trudności praktyczne z uzyskaniem praktycznego tokamaka wynika głównie z niestabilności plazmy.
• Nagrzewanie bardzo szybkie τ=10^-9s poprzez impulsowe nagrzewanie małych objętości ze wszystkich stron do bardzo wysokiej temperatury, w taki sposób aby plazma nie mogła przeniknąć do ścianek, przy pomocy laserów lub wiązek elektronowych o bardzo dużej mocy. Mieszanina deuteronu i trytu w takich wiązkach może być stanie stałym o bardzo dużej gęstości bez zagęszczania.

Bomba termojądrowa

(7.13) Schemat budowy ładunku termojądrowego A - Faza rozszczepienia (ładunek główny) B - Faza fuzji (ładunek dodatkowy) 1 - Chemiczny materiał wybuchowy 2 - Osłona uranu-238 3 - Próżnia 4 - Pluton lub uran zawierający tryt w stanie gazowym 5 - Forma z polistyrenu 6 - Osłona uranu-238 7 - Deuterek litu-6 (paliwo fuzji) 8 - Pluton 9 - Osłona odbijająca promieniowanie X w kierunku ładunku dodatkowego

W bombie termojądrowej występują reakcje syntezy lekkich atomów pierwiastków w wyniku czemu powstają ciężkie atomy pierwiastków o większej energii wiązania. Warunkiem koniecznym uzyskania syntezy jader jest wysoka temperatura i wysoka gęstość cząstek reagujących. Mając na uwadze, że wybuch rozrzuca materiały reagujące powinno stosować się materiały reagujące w jak najniższej temperaturze. Pierwsze bomby termojądrowe były zbudowane w oparciu o deuter i tryt, w której on nie jest zbyt trwały, a czas jego połowicznego zaniku jest 12,26 lat, więc tak powstałej bomby nie należy zbytnio przechowywać. Rozwiązaniem tego problemu jest wytwarzanie trytu podczas wybuchu. Tryt jest otrzymywany z litu podczas bombardowania jego jąder neutronami powstałych z rozszczepienia ładunku inicjującego, której jest uranowo-plutonowa bomba jądrowa o stosunkowo niewielkiej mocy. Zastosowanie deuteru i trytu w postaci związków w stanie stałym bez udziału chłodzenia znacznie upraszcza konstrukcję. Reakcje zachodzące podczas wybuchu bomby jądrowej są:

$\begin{matrix} {}^6Li+n\rightarrow {}^4He+T+\mbox{4,18MeV}\\ T+D\rightarrow {}^4He+n+\mbox{17,6MeV}\\ D+D\rightarrow T+p+\mbox{4MeV}\\ D+D\rightarrow {}^3He+n+\mbox{3,3MeV}\\ \end{matrix}$

(17.25)

Zasadniczo mają najważniejszy wpływ dwie pierwsze reakcje (17.25), które tworzą samopodtrzymujący się cykl. Pierwsza dostarcza tryt do drugiej reakcji, a druga reakcja neutronów do pierwszej.

Oddziaływanie promieniowania z materią

Będziemy się tutaj zajmować oddziaływaniami różnego rodzaju promieniowania z materią, w tym cząstek ciężkich (w porównaniu z elektronami), elektronów, czy też promieniowania γ. Także zajmować się będziemy promieniowaniem Czerenkowa, metodami detekcji cząstek naładowanych i promieniowania γ, detektorami przejścia, które dzielimy na gazowe, scyntylacyjne i półprzewodnikowe. Zajmować się będziemy także spektrometrami promieniowania jądrowego, a także parametrami spektrometrów licznikowych i magnetycznych.

Oddziaływanie różnego rodzaju promieniowania z materią

Będziemy rozpatrywać metody oddziaływania promieniowania jądrowego z materią, w tym promieniowania, które są to zbiorem cząstek ciężki, także przedstawimy metody oddziaływania elektronów, a także promieniowania γ z materią.

Metody oddziaływania cząstek ciężkich z materią

Cząstki ciężki będziemy rozumieć cząstki cięższe od elektronów, te cząstki przechodząc przez ciała materialne oddziaływuje przez swoje pole elektryczne z elektronami odczepiając je od danych elektronów tracąc przy tym energię. Jeśli cząstka poruszająca się w ośrodku ma pewną energię, oddziaływuje z elektronami i jądrami atomów ośrodka, w którym się porusza, dla energii kinetycznych cząstek poruszających się w ośrodku, która jest mniejsza niż energia pokonania bariery kulombowskiej jądra dla cząstek poruszających się w ośrodku, czyli E_cz<E_{bariera kul}, dla przypadku cząstki naładowanej lub gdy mamy doczynienia z promieniowaniem elektromagnetycznym bariera kulombowska nie gra roli, zatem oddziaływanie cząstek z materią prowadzi do:

• wzbudzenia i jonizacji atomów, straty energii cząstek jonizacyjnych przy jonizacji atomów ośrodka przez które przechodzi, można opisać przy pomocy wzoru Bethego-Blocha dla małych prędkości takich, że energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż wielkość (m²/2m_e)c² przy którym "m" jest masą cząstki oddziałującej z ośrodkiem m_e masą elektronów, c prędkość światła, zatem straty energii na jednostkę długości określamy według wzoru:

(8.1) Siła hamowania w aluminium dla protonu pędzących z pewną energią, a wzór Bethego-Blocha

$-\frac{dE}{dx}=z^2n_e\varphi(v,I)={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}Z\ln{{2m_ev^2}\over{I}}$

(8.1)

gdzie v jest to prędkość cząstek jonizacyjnych, a I jest to średnia energia jonizacji ośrodka, i dalej n_e jest to gęstość elektronów w ośrodku.

Wielkość I jest wprost proporcjonalne do liczby atomowej Z ośrodka, przez którą przelatuje dana cząstka. Wzór empiryczny na tą wielkość określamy poprzez:

$I=9,1Z\left(1+{{1,9}\over{Z^{{2}\over{3}}}}\right)eV\;$

(8.2)

Gdy uwzględnimy cząstki o dużych energiach uwzględniające kontrakcję pola kulombowskiego, wtedy wzór (8.1) przyjmuje postać:

$-{{dE}\over{dx}}={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}\left(\ln{{2m_ev^2}\over{I\left(1-\beta^2\right)}}-\beta^2\right)\;$

(8.3)

• gdzie współczynnik β jest to stosunek prędkości cząstki do prędkości światła. Dla bardzo małych energii cząstek wzór (8.1) przestaje być słuszny bo nieuwzględniania procesów przechwytywania przez cząstkę elektronów i dalszego jego oddawania.

Ale ponieważ dla małych prędkości cząstek dominującym czynnikiem w (8.1) jest 1/v², zatem czym mniejsza prędkość, to straty energii cząstki jonizującej ośrodek mogą być naprawdę wysokie.

• rozproszenia sprężystego na jądrach według Rutherforda dla mas cząstek jonizacyjnych m_a mniejszych od masy jądra (m_cz<M_j), lub według Motta, gdy masa cząstki jonizującej m_cz jest porównywalna z masą jądra atomowego.
• promieniowanie hamowania, który powstaje podczas hamowania cząstki w polu jadra atomowego.
• promieniowanie Czerenkowa, która powstaje, gdy prędkość cząstki jest większa niż prędkość światła w danym ośrodku materialnym.
• wybijania elektronów w procesie jonizacji z powłok elektronowych z k-tej powłoki, gdy mamy do czynienia z energią cząstek promieniowania jonizacyjnego większą niż energia wiązania elektronu na k-tej powłoce.

Wiedząc jakie są straty energii (patrz (8.1) lub (8.2)), wtedy możemy obliczyć zasięg cząstki w danym ośrodku, w którym znajduje się dana cząstka, i wiedząc, że zachodzi dE=mvdv, wtedy zasięg jego wyznaczamy ze wzoru:

$R=\int_0^{E_0}\left(-{{dE}\over{dx}}\right)^{-1}dE=z^{-2}\int_0^{E_0}f(v)dE=mz^{-2}\int_0^{v_0}f(v)vdv=mz^{-2}F(v_0)\;$

(8.4)

Jeśli znamy zasięg liczony na protonów możemy policzyć zasięgi dla innych cząstek mając wzór:

$R_i(E_i)={{1}\over{z_i^2}}\left({{m_i}\over{m_p}}\right)R_p(E_p)T_i\;$

(8.5)

Przy czym R_i(E_i) oznacza się zasięg cząstki o liczbie masowej z_i i masie m_i i energii E_i, a T_i jest to czynnik nieznacznie odbiegający od jedynki, a zasięg protonów R_p(E_p) jest dla energii E_p=m_pE_i/m_i. Przy procesach w których mamy ciężkie jądra takie jak fragmenty rozszczepienia zaczynają brać pod uwagę zderzenia z jądrami niż zderzenia z elektronami. Możemy stosować formułę Bragga-Kleemanna, w których mamy doczynienia stosując je dla różnych ośrodków przez które przechodzi dana przelatująca cząstka, przy tym oznaczając ρ jako gęstość ośrodka, a A liczba masowa ośrodka:

${{R\rho}\over{\sqrt{A}}}=\operatorname{const}\;$

(8.6)

Jeśli zachodzi $\sqrt{A_{pow}}=3,81\;$, a ρ_pow=1,226mg/cm³, wtedy zasięg danej cząstki w danym ośrodku o liczbie masowej A względem zasięgu w powietrzu, co wtedy otrzymujemy:

$R_A=3,2\cdot 10^{-4}{{\sqrt{A}}\over{\rho_A}}R_{pow}\;$

(8.7)

Jeśli mamy doczynienia z mieszaniną różnych pierwiastków lub jest związkiem w absorbencie o liczbach atomowych A₁,A₂,A₃,..., które są z częstościami δ₁,δ₂,δ₃,... wtedy we wzorze (8.6) za pierwiastek wielkości A należy podstawić:

$\sqrt{A}=\delta_1\sqrt{A_1}+\delta_2\sqrt{A_2}+\delta_3\sqrt{A_3}+\cdots\;$

(8.8)

Metody oddziaływania elektronów z materią

Kwestia oddziaływania elektronów z materią jest zagadnieniem bardziej skomplikowanym niż oddziaływanie elektronów z materią, czyli należy w liczyć w ten proces liczenia większą liczbę procesów oddziaływania, w to wliczamy jonizację, elastyczne zderzenia z jądrami i elektronami, w którym elektron może zmieniać energię i kierunek ruchu, nieelastyczne zdzerzenia, w której elektron traci część energii na promieniowanie hamowanie. Prawdopodobieństwo zajścia takiego procesu opisywany jest przez przekrój czynny i ma wymiar cm², wtedy zmiana koncentracji elektronów dn w ośrodku liczymy według wzoru:

$dn=-\sigma nNdx\;$

(6.9)

Przekrój czynny na promieniowanie definiujemy jako pochodna energii względem osi prostopadłej do absorbenta podzielonej przez iloczyn koncentracji elektronów i jego energię:

$\sigma={{1}\over{nE}}{{dE}\over{dx}}\;$

(6.10)

Gdy możliwa jest organizqacja wielu procesów o przekrojach czynnych cząstkowych σ₁,σ₂,..., wtedy całkowity przekrój czynny badanego procesu rozpraszania promieniowania γ jest równa:

$\sigma=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\cdots\;$

(6.11)

Różniczkowy przekrój czynny określa prawdopodobieństwo, że w danym koncie bryłowym dΩ lub gdy cząstka będzie miała energię (E,E+dE), to wtedy zachodzi:

$d\sigma=\sigma(\theta,\phi)d\Omega\;$ (6.12)

$d\sigma=\sigma(E)dE\;$ (6.13)

Przekroje czynne spotykane w fizyce mają bardzo małe wartości i dlatego wprowadzono jednostkę 1 barn, którego definicja 1b(barn)=10^-24cm². Rozpatrzmy teraz przekroje czynne na jonizacje ośrodka w wyniku przechodzącego promieniowania elektronowego przedstawiamy:

$\sigma_f=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right){{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=2\cdot \underbrace{4\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)}_{1b}{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=\;$ $=2{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{b/atom}\;$

(6.14)

Przekrój czynny na rozproszanie sprężyste na jądra, które to występuje pod przeróżnymi kątami, podamy teraz przekrój czynny na rozpraszanie czynne dla θ≥90^o:

$\sigma_{res}=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}\simeq 2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{b/atom}\;$

(6.15)

A na przekrój czynny na emisję promieniowania podamy poniżej, w którym promieniowanie hamowania występuje gdy następuje zmiana pędu danej cząstki, czyli zmiana kierunku lub prędkości danej cząstki. Energia danej cząstki zmienia się wtedy w przedziale (hν,hν+d(hν)) przy zmianie kierunku toru pod wpływem pola magnetycznego.

$d\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2Z^2{{E+m_0c^2}\over{E}}{{d(\not{h}\omega)}\over{\not{h}\omega}}=\sigma(\not{h}\omega)d(\not{h}\omega)\;$

(6.16)

Straty energii elektronów podczas oddziaływania z materią jest równe:

$\left({{dE}\over{dx}}\right)_p=n\int_0^E\not{h}\omega\sigma(E,\not{h}\omega)d(\not{\omega}\omega)\;$

(6.17)

Wykorzystując wzór na straty energii (6.17) i wzór na przekrój czynny (6.10), wtedy wzór na przekrój czynny na emisję promieniowania hamowania jest:

$\sigma_f={{1}\over{n}}{{1}\over{E}}{{dE}\over{dx}}={{16}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z^2}\over{137}}{{E+m_0c^2}\over{E}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{8}\over{3\pi}}{{1}\over{137}}{{Z^2}\over{\beta^2}}\operatorname{b}/\operatorname{atom}\;$

(6.18)

Metody oddziaływanie promieniowania γ z materią

Kwanty γ w ośrodkach oddziaływają z materią siłami elektromagnetycznymi

• z elektronami atomów lub cząsteczek,
• z nukleonami jądra,
• a także z polami elektromagnetycznymi jąder i elektronów na powłokach elektronowych.

Następstwem tychże oddziaływań jest

• absorpcja kwantu γ.
• rozproszenie koherentne (sprężyste), tzn. energia kwantu γ nie zmienia się.
• rozproszenie niekoherentne (niesprężyste).

Powyższe procesy są procesami, których prawdopodobieństwo jest funkcją γ i liczby atomowej ośrodka Z.

---

• Rozpatrzmy teraz trzy przypadki, zatem najpierw pierwszy mówiący coś o oddziaływaniu z elektronami związanymi na powłokach elektronowych omawiany poniżej.

Zjawisko absorpcji zachodzi wyniku fotoefektu, co zachodzi w wyniku zderzenie kwantu γ z atomem i wyniku czego elektron zostaje uwolniony z atomu, co schemat tego zdarzenia opisujemy:

$\gamma+e_n+X\rightarrow X^*+e_{sw}\;$

(8.19)

To zjawisko następuje, gdy energia fotonu jest większa niż energia wiązania elektronu na danej powłoce elektronowej, czyli zachodzi $_{h\nu\geq B_e(n)}\;$. Energia wybitego elektronu jest równa:$_{E_{fe}=h\nu-B_e(n)}\;$. Jeśli energia fotonu spełnia warunek hν»B_e(k), wtedy atom może być obdarty z elektronu, który znajduje się na n-tej powłoce elektronowej, który zostaje wydarty, jeśli energia fotonu jest odpowiednia. Przekrój czynny na zajście tego zdarzenia dla małych energii fotonu dla obu tych przypadków piszemy:

$\sigma_f\sim{{Z}\over{h\nu}}\mbox{ dla }h\nu\ll B_e(K)\;$ (8.20)

${\sigma\sim{{Z^5}\over{(h\nu)^{7/2}}}}\mbox{ dla }h\nu\geq B_e(K)\;$ (8.21)

Zjawisko zderzenia koherentnego w rozpraszanie Rayleigh'a, zachodzi gdy kąt między rozproszeniem kwantu γ przed i po zderzeniu jest mniejsze niż 20^o dla glinu (Al) i 4^o dla ołowiu (Pb). Przekrój czynny na to rozpraszanie rośnie wraz z liczbą atomową jądra Z i maleje wraz z energią kwantu γ hν. Jego przekrój jest bardzo mały, obserwuje się to dla przypadku energii kwantu hν≤1MeV.

Dla zderzenia niekoherentnego dzielimy rozpraszanie na Comptona, i Thomsona, z których to pierwsze jest oddziaływaniem z elektronami swobodnymi słabo związanymi z jądrem atomowym, tzn. dla którego zachodzi hν>>B_e(n). Energia kwantu rozproszonego jest mniejsza niż przed zdarzeniem. Przekrój czynny na rozpraszanie Comptona dla małych energii fotonu, ale na tyle dużych by zachodził wcześniej podany efekt, jest:

$\sigma_C\sim{{Z}\over{h\nu}}\;$

(8.22)

Rozpatrzmy rozpraszanie, dla której energia kwantu γ jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa elektronu. Jest to rozproszenie zachodzące według schematu:

${\gamma+e_n\rightarrow X^*+\gamma^'}\;$

(8.23)

Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały i maleje wraz z energią kwantu, a nie zależy od energii przejścia E_γ.

• rozważmy teraz przypadek oddziaływania z jądrami lub nukleonami jadra atomowego.

Absorpcja zachodzi wyniku fotoreakcji, gdy w wyniku zderzenia z jądrem kwantu γ i wyniku czego wybijana jest cząstka "a" lub jądro rozszczepia się na mniejsze fragmenty. W przypadku pierwszym zachodzi gdy energia kwantu jest większa niż energia wiązania cząstki "a" w jądrze, a przypadku drugim, gdy energia kwantu jest większa niż energia bariery potencjału, tzn. zachodzi gdy hν≥10MeV..

A przypadku rozpraszania koherentnego rezonansowego, które zachodzi, gdy wyniku pochłonięcia kwantu γ jądro przechodzi w stan wzbudzony i później emituje inny foton o tej energii co przed pochłonięciem jego przed zderzeniem z jądrem, co zachodzi w zjawisku Mösbauera. Zjawisko to zachodzi według schematu:

$\gamma+{}^AX\rightarrow {}^AX^*_j\rightarrow {}^AX^*+\gamma\;$

(8.24)

Dla zjawiska Tomsona które zachodzi, gdy rozpraszanie jest o kącie bardzo małym, zaledwie kilku stopni. Przekrój czynny na to rozpraszanie jest wtedy bardzo mały.

A w przypadku zderzenia niekoherentnego Wzbudzenie jądra zachodzi według schematu:

$\gamma+X_j\rightarrow X^*_j+\gamma^'\;$

(8.25)

Energia kwantu powinna być taka by była większa niż pierwszy stan wzbudzony jądra atomowego. Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały.

• Rozważmy jako ostatni przypadek zderzenia z polem kulombowskim jądra lub z polem elektronów,

wtedy dla zjawiska absorpcji tworzy się para (e⁺e^-), dla zjawiska zachodzącego w polu jądra atomowego może to zachodzić, gdy energia fotonu jest większa od podwojonej energii spoczynkowej elektronu, jego przekrój czynny dla dużych energii fotonów jest pisany:

$\sigma_{pj}\sim Z^2\left(3\ln {{2h\nu}\over{m_ec^2}}-8\right)\sim Z^2\ln 2h\nu\;$

(8.26)

lub w polu elektronu, wtedy energia fotonu jest taka by była większa niż czterokrotna wartość energii spoczynkowej elektronu. Udowodniono, że przekrój czynny na zajście tego zjawiska w polu elektronu jest o wiele mniejsze niż przekrój czynny na zajście tego zjawisko w polu jądra atomowego (σ_pe<<σ_pj).

Dla zjawiska Delbruka zderzenia koherentnego w polu jądra atomowego tworzy się para (e⁺e^-) i ta para w wyniku anihilacji tworzy znów jeden foton, przy czym w tym zjawisku energia fotonu przed zajściem tworzenia pary i po anihilacji tej pary jest taka sama, to zjawisko zachodzi wedle schematu:

${h\nu\rightarrow e^+e^-\rightarrow h\nu}\;$

(8.27)

dalej oczywiste jest, że energia fotonu jest większa lub równa podwojonej energii spoczynkowa elektronu hν≥2m_ec².

(8.3) Zależność przekroju czynnego absorpcji kwantu gamma od energii kwantu gamma

Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie kwantu γ na atomie jest równa sumie przekroju czynnemu na fotoefekt, zjawisko Comptona i zjawiska na utworzenie pary elektron-pozyton, tj. e⁺e^-), co matematycznie piszemy:

$\sigma^{tot}=\sigma_f+\sigma_c+\sigma_p\;$

(8.28)

Rozpraszanie cząstek obojętnych z ośrodku materialnym może prowadzić do:

• rozpraszania sprężystego i niesprężyste na jądrach atomowych
• reakcji jądrowych właściwych:
  • wychwytu radiacyjnego cząstki "a", co daje w wyniku jądro złożone, które to jądro wyniku przejściu na niższy poziom energetyczny wysyła kwant γ.
  • rozszczepienia jądra
  • z utworzeniem nowego jadra Y z jądra X i wysłanie na zewnątrz tego jądra cząstki "b", co zachodzi według schematu a+X→Y+b, którą cząstka "b" jest cząstką naładowaną, i wtedy część energii, która wydziela się w wyniku reakcji przyjmuje cząstka "b".

Zjawisko fotoelektryczne

Kwant energii dawany jest elektronowi w materii, a ta energia dodatkowa elektronu jest potrzebna do pokonania bariery potencjału w niej i stworzenia energii kinetycznej elektronu w elektronie, co możemy przedstawić wzorem:

$\not{h}\omega=E+E_B\;$

(8.29)

Przekrój czynny w tym zjawisku jest określany w zależności od częstotliwości padającego na elektron fotonu:

$\sigma_f\sim{{Z^h}\over{(\not{h}\omega)^k}}\;$

(8.30)

przy którym wykładniki h i k zależą od energii kwantu γ i zmieniają się od wartości h=4,0 i k=3,5 dla niskich energii w porównaniu z energią spoczynkową elektronu do wartości h=4,6 i k=1 dla energii bardzo wysokich w porównaniu z masa spoczynkową elektronu.

Zjawisko Comptona

Przedstawmy sobie foton o częstotliwości ω, który zderza się ze spoczywającym elektronem, w wyniku której ten foton zostaje rozproszony pod pewnym kątem względem pierwotnego biegu kierunku fotonu przez zderzeniem pod kątem θ, a elektron też zostaje rozproszony pod kątem φ względem pierwotnego kierunku biegu naszego fotonu. Energia fotonów γ przedstawiamy wzorem $E_{\gamma}=\not{h}\omega\;$, a także jego pęd $p_f={{\not{h}\omega}\over{c}}\;$, wtedy z prawa zachowania energii i pędu otrzymujemy:

$\not{h}\omega=\not{h}\omega^'+E\;$ (8.31)

${{\not{h}\omega}\over{c}}={{\not{h}\omega^'}\over{c}}\cos\theta+p\cos\phi\;$ (8.32)

$0={{\not{h}\omega^'}\over{c}}\sin\theta-p\sin\phi\;$ (8.33)

Wtedy wzory na energię rozproszonego fotonu i energię odrzutu elektronu przedstawiamy w zależności od kąta θ lub φ:

$\not{h}\omega^'={{\not{h}\omega}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;$ (8.34)

$E=\not{h}\omega{{2\alpha\cos^2\phi}\over{(1+\alpha)^2-\alpha^2\cos^2\phi}}=\not{h}\omega{{\alpha(1-\cos\theta)}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;$ (8.35)

Jeżeli obierzemy zjawisko Comptona dla którego wektor natężenia pola elektrycznego E_o promieniowania γ, wtedy możemy powiedzieć, że różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie pod kątem dΩ w kierunku kąta θ i φ dla spolaryzowanego kwantu γ określamy przy pomocy kątów układu kulistego przez wzór:

$d\sigma_C={{1}\over{4}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2+4\cos^2\theta\right)d\Omega=\;$ $={{1}\over{4}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2\sin^2\theta\cos^2\phi\right)d\Omega\;$

(8.36)

Wzór (8.36) wykazuje maksimum przy kącie φ=90^o, tzn. rozproszenie w kierunku polaryzacji wektora falowego, wtedy ono przyjmuje kształt po całym kącie bryłowym:

$\sigma_C={{1}\over{2}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-\sin^2\theta\right)d\Omega=\;$ $=\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left\{\left[1-{{2(\alpha+1)}\over{\alpha^2}}\right]\ln(2\alpha+1)+{{1}\over{2}}+{{4}\over{\alpha}}-{{1}\over{2(2\alpha+1)^2}}\right\}\;$

(8.37)

Dla przypadków α o wiele mniejszych niż jeden, wtedy (8.37) przedstawia się przez wyrażenie:

$\sigma_C\simeq {{8\pi}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left(1-2\alpha\right)\operatorname{cm}^2/\operatorname{elektron}\simeq{{2}\over{3}}(1-2\alpha)\operatorname{b/elektron}\;$

(8.38)

Natomiast dla przypadków α bardzo dużych, wtedy (8.37) rysujemy:

$\sigma_C\simeq\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{cm}^2\operatorname{/elektron}\simeq{{1}\over{4\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{b}/\operatorname{elektron}\;$

(8.39)

Zjawisko tworzenia par elektronów

Kwant może być zamieniony w w parę elektron-pozyton, wtedy, gdy jego energia jest większa niż podwojona energia spoczynkowa energia spoczynkowa e1lektronu, czyli $\not{h}\omega>2m_ec^2=2\cdot 0,51=1,02 MeV\;$. Ponieważ do tworzenia pary elektron pozyton z jednego fotonu γ potrzebne jest spełnienie zasady zachowania energii i pędu, to w tym pierwszym zachowanie tejże wielkości jest spełnione natychmiastowe, a w tym drugim spełnienie zasady zachowania pędu jk1est spełnienie przy obecności innego jądra lub elektronu, w tym drugim energia fotonu musi być olbrzymia by była spełniona zasada zachowania pędu. Elektrony po stworzeniu pary elektron-pozyton mają energię:

$E=\not{h}\omega-2m_ec^2\;$

(8.40)

Podobnie anihilacja pozytonu o energii E z negatonem energia wytworzonych kwantów γ wynosi poniżej, czyli przy tym dla E=0 energia kwantu γ po anihilacji jest m_oc²=0,51 MeV:

$\not{h}\omega=E+2m_ec^2\;$

(8.41)

Aby wytworzyć parę elektron-pozyton, to przekrój czynny na przetworzenie tego procesu, który zachodzi w pobliżu jądra Z przedstawiamy:

$\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)Z^2f(\not{h}\omega)\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{Z^2}\over{1720}}f(\not{h}\omega)\operatorname{b/atom}\;$

(8.42)

Funkcja $f(\not{h}\omega)\;$ jest funkcją zależną od energii kwantu γ, której zależność jest logarytmiczna na samym początku, a potem dąży do energii, którego wartość jest wielkością stałą niezależną od energii, i jest ona zależna od liczby atomowej jądra w pobliżu której zachodzi tworzenie pary pozyton-negaton.

$f={{28}\over{9}}\ln {{183}\over{Z^{{{1}\over{3}}}}}-{{2}\over{27}}\;$

(8.43)

Całkowity przekrój czynny z użyciem promieniowania γ jest określany przez (8.28).

Współczynnik absorpcji promieniowania jądrowego

Róźniczka natężenia promieniowania jądrowego przy przejściu przez ośrodek przez grubość dx jest określana przez wzór poniżej, przy którym μ jest to współczynnik absorpcji:

$-dI=\mu Idx\mu\rightarrow I=I_0e^{-\mu x}\;$

(8.44)

Można napisać, że współczynnik absorpcji jest równy iloczynowi współczynnika koncentracji atomów ośrodka i przekroju czynnego na zajście danego zjawiska i zgodnie ze wzorem (6.9), że:

$\mu=n\sigma\;$

(8.45)

Cały współczynnik absorpcji jest sumą współczynnika absorpcji na zjawisko fotoelektryczne μ_f, na efekt Comptona μ_C, tworzenia pary elektron-pozyton μ_p:

$\mu=\mu_f+\mu_C+\mu_p\;$

(8.46)

Można wprowadzić współczynnik absorpcji μ/ρ, gdzie ρ oznacza gęstość ośrodka przez który przechodzi dane promieniowanie, ale nie ma w niej zależności od stanu danego ośrodka, wiedząc, że masa ośrodka jest w przybliżeniu równa jeden unit, wtedy współczynnik masowy μ/ρ określamy wzorem:

$n=N_A{{\rho}\over{A}}\Rightarrow {{\mu}\over{\rho}}=\sigma{{N_A}\over{A}}\;$

(8.47)

Jeśli rozpatrzymy σ_e jako przekrój czynny na zjawisko Comptona na jeden elektron, wtedy przekrój na Z elektronów w atomie wyrażamy poprzez wzór σ_C=Zσ_e, wtedy wzór (8.47) na zjawisko Comptona przyjmuje sposobność:

${{\mu_C}\over{\rho}}=\sigma_eN_A{{Z}\over{A}}\;$

(8.48)

Promieniowanie Czerenkowa

Jeśli w ośrodku przezroczystym n>1 porusza się naładowana cząstka, z prędkością większą niż prędkość światła w tym ośrodku, to jemu ruchowi towarzyszy promieniowanie elektromagnetyczne korelowane z kierunkiem ruchu cząstki. Promieniowanie to odkrył w 1934 Czerenkow, stąd jego nazwa.

(8.2) Schemat składania prędkości dla promieniowania Czerenkowa

Przez cząstkę emitowana jest fala kulista, w każdej jego punkcie toru, co w wyniku czego tworzy się czoło fali o kącie rozwarcia względem prędkości cząstki v równej θ, która ta cząstka tą falę emituje. Jeśli cząstka przebyła od pewnego punktu początkowego odległość vt=βct, a fala emitowana, z opisywanej cząstki, z tego punktu początkowego wskazanego wcześniej przebyła dotąd odległość r=ct/n, wtedy kąt jaki tworzy czoło fali z kierunkiem ruchu cząstki pędzącej z prędkością v jest zatem wyrażona poprzez wzór:

$\cos\theta={{c/nt}\over{\beta ct}}={{c/n}\over{\beta c}}={{1}\over{n\beta}}\;$

(8.49)

Promieniowanie Czerenkowa jest emitowane dookoła ruchu cząstki w stożku 2θ, która jest zależna od prędkości cząstki umieszczonej w ośrodku, której prędkość jest większa niż prędkość światła. Jeśli cosθ≤1, co stąd wynika nβ≥1, tzn. musi zachodzić v≥c/n, czyli prędkość fazowa cząstki wywołująca efekt Cerenkowa jest większa od prędkości fazowej światła w danym ośrodku. Kąt graniczny jaki tworzy czoło fali z prędkością cząstki wyrażamy według wzoru (8.4) dla v=c i przedstawiamy ten kąt w postaci formuły:

$\cos\theta={{1}\over{n}}\;$

(8.50)

Oczywiste jest, gdy v_cz<c/n cząstka nie ma prawa emitować promieniowania.

• Wyjaśnienie efektu działania promieniowania Czerenkowa

(8.2) Układ dipoli dla prędkości cząstki mniejszej niż prędkość światła lub większych q danym ośrodku, a promieniowanie Czerenkowa

Cząstka naładowana powoduje polaryzację ośrodka wzdłuż toru, a powrót ośrodka do stanu równowagi powoduje emisję promieniowania koherentnego. Dla prędkości pędzących cząstek naładowanych mniejszych od prędkości światła w ośrodku, w tym przypadku dipole w nim są rozmieszczone symetrycznie wzdłuż naładowanej pędzącej cząstki. Gdy prędkość cząstki jest większa od prędkości światła, to w wyniku czego układ dipoli spolaryzowane ośrodka ma wyraźny wyróżniony kierunek w stronę pędzącej naszej cząstki. W tym przypadku powoduje to wzmacnianie promieniowania cząstki w kierunku określonym przez (8.51). Najmniejszą energię progową jaką dana cząstka może posiadać w ośrodku aby pojawiło się promieniowanie Czerenkowa jest nazywana energią progową cząstki w danym ośrodku. Dla radiatora ze szkła organicznego przy współczynniku załamania równą 1,5, gdy cząstką wywołującej promieniowanie jest elektron, to jego energia progowa jest 0,173MeV, a gdy proton to 322MeV. Liczba fotonów emitowanych przez radiator o długości l w jednostce czasu, gdy liczbę atomową cząstki oznaczymy przez Z, jest przedstawiana:

$N(\nu)d\nu\sim Z^2l\sin^2\theta d\nu\;$

(8.51)

Energia progowa dla której powyżej następuje promieniowanie Czerenkowa w szkle organicznym dla którego współczynnik załamania jest n=1,5 dla elektronów jest 0,173 MeV, dla mezonów 49 MeV i dla protonów 322 MeV.

Metody detekcji cząstek naładowanych i cząstek γ

Detektorami cząstek nazywamy układy pozwalające z identyfikować cząstki i określić ich energię, lokalizację, tor, moment pędu.

Detektory cząstek dzielimy na:

• detektory przejścia (licznikowe)
• detektory śladowe.
• magnetyczne spektroskopy

Parametrami detektorów jest:

• wydajność liczoną jako iloraz liczby cząstek zarejestrowanych i liczby cząstek padających na detektor, zwykle liczy się go w procentach:

$w={{N_{zareje}}\over{N_{padaj}}}\cdot 100%\;$

(8.52)

• energetyczna zdolność rozdzielcza, która jest ilorazem szerokości energetycznej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do całkowitej energii tej linii.

$R_E={{\Delta E}\over{E}}\;$

(8.53)

• pędowa zdolność rozdzielczą, która jest ilorazem szerokości pędowej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do do całkowitej pędu tej lini:

$R_p={{\Delta p}\over{p}}\;$

(8.54)

• czasowa zdolność rozdzielcza [s], jest czasem istnienia piku, od punktu w której jej wartość była połowie maksymalnej wartości sygnału reprezentowanego przez pik, do drugiej wartości połówkowej istnienia tego naszego pojedynczego piku.
• dokładność lokalizacji toru.
• przeznaczenie (γ, cząstki naładowane, cząstki nienaładowane)

Jeślio skorzystamy z zależności pomiędzy energią kinetyczną a pędem $E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}-m_0c^2\;$ możemy napisać zdolność rozdzielczość energetyczną w zależności od pędowej w sposób:

$R_E={{\Delta E}\over{E}}={{2pc^2\Delta p}\over{2E\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}}}={{\Delta p}\over{p}}{{p^2c^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=\;$ $=R_p{{(E+m_0c^2)^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=R_p{{E^2+(m_0c^2)^2+2Em_0c^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=\;$ $=R_p{{E(E+2m_0c^2)}\over{E(E+m_0c^2)}}={{E+2m_0c^2}\over{E+m_0c^2}}R_p\;$

(8.55)

Podział ze względu na konstrukcję i zasadę działania:

• gazowe-komory jonizacyjne, licznik proporcjonalny, licznik Geigera-Mullera
• scyntylacyjne- dzieli się ze względu na rodzaj scyntylatora, tzn. jako nieorganiczny związek, organiczny związek. plastykowe. Ogólnie można je podzielić na stałe, ciekłe, rzadko gazowe.
• półprzewodnikowe- powierzchniowe (rejestracja cząstki, których zasięg jest mały), objętościowe (koaksjalne). Ze względu na rodzaj półprzewodnika dzielimy je detektory na germanowe (Ge) i krzemowe (Si).

Detektory przejścia

(8.3) Schemat licznika gazowego

Jonizacja

Rozpatrzmy najpierw co to jest jonizacja gazu by przejść do następnych problemów. Ono może się odbywać na kilka sposobów, które może się odbywać na poziomie atomowym, które tutaj omówimy:

• zderzeniem cząstki cząstki o wysokiej energii z protonem, elektronem lub cząstką α
• wzajemnych zderzeniach cząstek o wysokiej energii, czyli atomy te ulegają jonizacji wzajemnej
• przez wybicie elektronu z powłoki atomu
• po wychwycie elektronu przez atom.

Liczniki gazowe (jonizacyjne)

(8.4) Zależność amplitudy sygnału od napięcia anodowego, B obszar pracy komory jonizacyjnej, C-obszar pracy licznika proporcjonalnego, D-obszar pracy licznika-Geigera-Müllera, za obszarem Geigera-Müllera znajduje się obszar wyładowań nie zaznaczonej na rysunku

(8.5) Wykres przedstawiający obszary pracy licznika jonizacyjnego.

Całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie (Rys.8.3) w jakim pracuje licznik gazowy jest równe sumie natężeń ładunków ujemnych i dodatnich:

$I=I^++I^-\;$

(8.54)

Detektory jonizacyjne jest to pomiar uwolnionego ładunku wywołanej procesem jonizacji ośrodka przez przejście naładowanej cząstki. Aby liczba zarejestrowanych zarejestrowanych cząstek były wprost proporcjonalna do ilości energii straconej przez cząstkę i zdeponowanej w detektorze, w materiale detektora nie powinna zachodzić wzajemna rekombinacja cząstek, ani też napięcie na elektrodach nie powinno być duże by nie występowało lawinowe powielanie ładunku. Aby cząstki ze sobą nie rekombinowały stosuje się pole elektryczne o odpowiednio dużym natężeniu, która zapewnia ruch ładunku do odpowiednich elektrod, w ten sposób zmniejsza się prawdopodobieństwo rekombinacji. Przy niewielkiej energii jonizacja gazu, zanim elektrony dojdą do anody nastąpi rekombinacja elektronów z jonami, i nie wszystkie wtedy elektrody dojdą do elektrody. Przy większym napięciu pomiędzy elektrodami, już nie występuje niemal rekombinacja jonów z elektronami i prawie wszystkie elektrony i jony dojdą do odpowiednich elektrod, a sygnał odpowiada wytworzonej jonizacji, jest to obszar jonizacji. Przy dalszym wzroście może dojść do wtórnej jonizacji powodującej zwiększenie liczby jonów dotartych do elektrod, a więc zwiększenie prądu płynącego prądu od komory jonizacyjnej. Ten obszar nazywamy obszarem proporcjonalności komory jonizacyjnej. W tym obszarze elektrony pierwotne uzyskują dostateczną energię by wywołać dalszą jonizację na swej drodze, dzięki tej jonizacji zwiększa się wytworzony ładunek. Uzyskuje się wzmocnienie sygnału sięgającego 10² do 10⁴. Przy niezbyt wysokich napięciach wzmocnienie jest stałe i jego natężenie zależy od liczby wytworzonych jonów , a zatem od energii. Wytworzone napięcie sygnału zależy silnie od przyłożonego napięcia do elektrod i dlatego napięcie należy stabilizować. Dla uzyskania wtórnej jonizacji elektron musi być przyspieszony do dużych prędkości na stosunkowo małej drodze , to istnieje pewne graniczne pola elektrycznego poniżej, której wtórna jonizacja nie następuje. Np. dla argonu krytyczne napięcie jest 10kV/cm. Gdy natężenie pola elektrycznego przekracza wartość krytyczną elektrony są zdolne do wytworzenia wtórnej jonizacji. Impuls powstaje w obszarze dużego spadku napięcia w pobliżu anody. Ponieważ impuls zależy od ruchu jonów w pobliżu anody, więc natężenie nie zależy od anody, a więc wysokość jego nie zależy od miejsca w którym powstała jonizacja pierwotna. W obszarze ograniczonej proporcjonalności występującym w liczniku wzmocnienie gazowe nie jest stałe i zależy od energii cząstek. Dla obszaru Geigera-Müllera, stosuje się detektory dla pomiaru cząstek naładowanych jak i promieniowania γ lub promieniowania rentgenowskiego. W obszarze wyładowania ciągłego zachodzącym przy bardzo dużym napięciu licznik przestaje działać i może ulec zniszczeniu, wtedy w tym obszarze stosuje się liczniki iskrowe, dla tych liczników traci się informacje o energii cząstki. Ogólnie, gdy mamy dwa sygnały powstające w komorze blisko siebie w przedziale czasowym, to nie potrafimy odróżnić ich od siebie.

Komora jonizacyjna

(8.6) Schemat obwodu z komorą jonizacyjną

Liczba liczby jonów docierających do anody elektronów wyrażamy poprzez stosunek szerokości połówkowej piku energii sygnału, w której energie cząstek są w pewnym zakresie przez energię jednej jonizacji wyrażonych przez:

$\Delta n_{jon}={{\Delta E}\over{E_0}}\;$

(8.56)

Całkowita zmiana natężenia sygnału wyrażamy poprzez pierwszy z lewej wzór poniżej, a także napiszemy w tej samej linijce zmiany szerokości połówkowej napięcia anodowego, którą liczymy z (8.56) podzielonej przez pojemność kondensatora "C" pod wpływem zewnętrznego sygnału, co w rezultacie:

$\Delta J\sim\Delta n_je={{e}\over{E_0}}\Delta E\;$ (8.57)

$\Delta U\sim{{e}\over{E_0C}}\Delta E\;$ (8.58)

W powyższych rozważaniach należy rozważyć czasy relaksacji układu (Rys.8.7) dla którego zachodzi RC>τ.

Komora jonizacyjna pozwala:

• określić straty energii jonizacyjnej cząstki w komorze, np. dla cząstki α straty energii są $_{\mathcal{E}={{\Delta E}\over{E}}=0,5%}\;$ dla energii cząstki jonizacyjnej E=5MeV.
• rejestrować moment przejścia cząstki przez komorę 2τ₀∼10^-6s.
• możemy rejestrować średnie natężenie prądu jonizacji spowodowanego przez strumień cząstek
• impulsy pochodzącej od poszczególnych cząstek.

Będziemy się tylko interesowali tylko impulsami powodowanymi przez poszczególne cząstki. Urządzeniem tutaj rejestrującym jest kondesator przyłożonej do okładki komory jonizacyjnej. Gdy cząstka przejdzie przez okładki kondensatora, to spowoduje to przepływ prądu elektrycznego, który jest w postaci impulsu elektrycznego, który za kondensatorem może być wzmocniony i zarejestrowany. Podczas jonizacji gazów występujących w komorze jonizacyjnej na elektrony i jony dodatnie impuls jest to przejście ładunku do jednych z elektrod.

Kształt impulsu jonizacyjnego w komorze jonizacyjnej przy bardzo dużej stałej czasowej (linia ciągła wykresu), i przy bardzo małej stałej impulsu (krzywa przerywana wykresu)

Elektrody ze względu na bardzo małą masę są o wiele szybsze niż dodatnie jony, czyli nasz impuls będzie składał się z dwóch części:

• szybko narastającej, która jest związana z przejściem elektronów
• powoli narastającej, która odpowiada za przejście jonów.

W komorze jonizacyjnej energia tracona przez cząstkę jest wprost prostopadła do liczby zjonizowanych jonów. Jeżeli wszystkie zbierzemy na elektrodach, to wtedy w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy impuls o energii wprost proporcjonalnej do jego wysokości. Nachylenie części podstawowej wykresu rysunku obok jest wprost proporcjonalne do liczby pierwotnych jonów, ona nie zależy od którejkolwiek punktów w komorze jonizacyjnej. Można zróżniczkować impuls na rysunku obok. wtedy otrzymujemy impuls proporcjonalny do nachylenia krzywej bez różniczkowania. Wykres zróżnicowany jest wprost proporcjonalny do energii cząstek w komorze.

Liczniki proporcjonalne i wielodrutowe liczniki proporcjonalne

(8.8) Wieludrutowy licznik proporcjonalny i struktura pola elektrycznego w nim

Liczniki proporcjonalne pracują zwykle przy natężeniach 10⁴V/cm, wtedy wzmocnienie sygnału pochodzącego od cząstek naładowanych trafiającego do komory licznika jest 10⁴. Osiąga się to biorąc druty anodowe o średnicy 10-50μm. W tych licznikach stosuje się druty anodowe położone w odległości od siebie o 2mm. Płaszczyznę anodową umieszcza się pomiędzy dwiema foliami lub też siatkami metalowymi. Te siatki lub folie umieszcza się od tych drutów o mniej niż 1cm. Podczas przechodzenia cząstki naładowanej przez komorę licznika, wtedy gaz się jonizuje i do anod trafiają elektrony i jednocześnie na katodzie indukuje się sygnał. Numer drutu, przy którym nastąpiło oddziaływania cząstki z gazu pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni jednowymiarowej. Zastosowanie dwuwymiarowej lub nawet trójwymiarowej konfiguracji szeregu anod pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni dwuwymiarowej lub trójwymiarowej przestrzeni. Poprzez druty anodowe można określić położenie cząstki w odrębnie pola magnetycznego i bez pola. W ten sposób pozwala określić tor zakrzywiony w polu magnetycznym i linie prostą w przestrzeni bez pola magnetycznego.

(8.9) Schemat elektryczny prostego licznika proporcjonalnego

Zajmijmy się teraz licznikiem proporcjonalnym zbudowanym według schematu (Rys.8.9). Przy zwiększaniu napięcia pracy licznika zwiększa się energia jonów powstałych przy jonizacji przy przejściu cząstki naładowanej, wtedy liczba jonów wzrasta lawinowo wyniku lawinowej jonizacji gazu. Oznaczmy przez n_a liczbę jonów pierwotnych. Emisja fotonów przez cząstki gazu w komorze jonizacyjnej jest powodowana w wyniku zderzeń z jonami i elektronami, wtedy atom gazu zostaje wzbudzony do bardzo wysokiego poziomu energetycznego, aby on przeszedł do stanu niższego potrzebna jest emisja fotonu. W pierwszym etapie jonizacji zostaje wytworzonych jonów i elektronów n₁=n₀k₀ w wyniku zderzeń z cząstką jonizującą z cząstkami gazu znajdującej się komorze gazowym, wtedy zostają z nich wybite n₁ elektronów, w drugim akcie w wyniku zderzeń z fotonami (powstałych w wyniku jego emisji przez wzbudzone atomy powstałych w wyniku zderzeń z jonami i elektronami), wtedy elektron zostaje wybity ze swojej powłoki elektronowej, w której się znajdował, wtedy w wyniku zderzeń z ω_γ fotonami powstaje n₂=n₀k₀k₀ω_γ elektronów, a w i-etapie zostaje wytworzonych elektronów (w wyniku zderzeń z fotonami wytworzonych we wcześniejszych aktach jonizacji):

$n_i=n_0k_0^i\omega^{i-1}_{\gamma}\;$

(8.59)

Całkowita liczba jonów wytworzonych w "i" etapach liczymy jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, co wyliczamy wykorzystując wzór na liczbę elektronów w i-tej fazie jonizacji (8.59), i wiedząc że k₀ω_γ<1, co jest potrzebne, aby szereg był zbieżny:

$k={{\sum_in_i}\over{n_0}}={{{{k_0n_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}}\over{n_0}}={{k_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}\;$

(8.60)

W liczniku popłynie wtedy prąd o natężeniu napisanej poniżej i do niego proporcjonalnej szerokości połówkowej piku energii cząstki w liczniku ΔT:

$J=kn_0e\sim\Delta T\;$

(8.61)

Wiadomo jednak, że szerokość połówkowa napięcia, natężenie prądu i szerokość połówkowa energii impulsu są do siebie wprost proporcjonalne, tzn.: ΔU∼J∼ΔT.

Liczniki proporcjonalne zastosowane są:

• przy pomiarze niskoenergetycznych cząstek, np. dla promieniowania γ o energii kwantu 50keV zdolność rozdzielcza licznika jest od 1 do 5%.
• określają moment przejścia cząstki przez licznik w czasie 2τ₀∼10^-7

W licznikach stosuje się gaz szlachetny z dodatkiem par cząsteczek wieloatomowych.

Licznik Geigera-Müllera

(8.10) Schemat działania licznika Geigera-Müllera

Jonizacja w tym liczniku nie zachodzi nie tylko pod wpływem promieniowania α, ale też mierzy też inne promieniowanie jonizujące, a więc licznik mierzy całkowite promieniowanie jonizacyjne. Przy pomocy fotodiody można stwierdzić ile pada fotonów do licznika, ale nie można zmierzyć ilości neutronów. Istnieje rozwiązanie pomijające ten problem, należy licznik wypełnić wodorem, wtedy neutrony zderzają się z protonami. Albo otacza się folią kadmową, wtedy neutrony pochłonięte przez kadm wywołują w nim reakcję jądrową, wyniku czego są emitowane fotony (promieniowanie γ), w ten sposób można wykryć promieniowanie w postaci neutronów. Jedynym warunkiem zaistnienia reakcji jest spowolnienie neutronów do energii otoczenia, w tym celu licznik umieszcza się w bloku parafinowym, teflonowym.

Budowa licznika

Licznik jest zbudowany z komory stanowiącej katodę (elektrodę ujemną), przez oś symetrii wprowadza się drut miedziowy lub aluminiowy, który stanowi anodę (elektrodę dodatnią). Cylinder szklany jest wypełniony 90% argonu lub innym gazem szlachetnym i 10% parami alkoholu. Ciśnienie panujące w komorze jest rzędu kilkadziesiąt hektopaskali, zatem o wiele mniej niż przypadku ciśnienia atmosferycznego.

Działanie licznika

Kształt taki licznika pozwala na uzyskanie dużej wartości napięcia pomiędzy katodą, a anodą. Dla promieniowania jądrowego dostający się do komory gazowej licznika, to elektrony powstające w wyniku jonizacji gazu uzyskują na tyle dużą energię by wywołać dalsze akty jonizacji gazu i wzbudzenia gazu. Dzięki czemu powstaje jonizacja lawinowa gazu i wyniku czego do anody podąża coraz więcej elektronów. Poruszające się jony do katody poruszają się znacznie wolniej niż elektrody do anody, w obszarze pomiędzy elektrodami tworzy się ładunek przestrzenny. Ładunek przestrzenny zmniejsza natężenie pola elektrycznego. I wyniku czego wyładowanie powoli znika. Jony, które dodarły do katody wybijają z niej elektrony. Gdy cały ładunek jonów zostaje odprowadzony do katody lawiny elektronowe zaczynają się od nowa rozwijać. W ten sposób wyładowanie jest ciągle podtrzymywane i licznik nie może rejestrować następnych cząstek. Aby podtrzymywać wyładowanie ciągłe w obwód licznika włącza się duży opór rzędu 10⁹ omów. Pozwala to na szybkie zebranie ładunku ujemnego z anody, czyli obniży się potencjał pomiędzy katoda i anodą , aż do chwili gdy jony dodatnie zostaną zebrane na katodzie. Co wystarcza by nowe elektrony wybite nie wywoływały nowych lawin, co prowadzi do wygaśnięcia wyładowania. Z anody zostaje odprowadzony ładunek po około setnej części sekundy i licznik jest zdolny do rejestrowania następnych cząstek. Innym sposobem wygaszania polega na wprowadzeniu pomiędzy elektrodami gazu szlachetnego z domieszkami gazu wieloatomowego, które przy odpowiedniej proporcji domieszki wyładowanie zostaje wygaszone. To się dzieje dlatego, że cząsteczki wieloatomowe pochłaniają silnie promieniowanie ultrafioletowe, oraz że te cząsteczki nie wybijają z katody elektronów. Jeśli układ domieszek jest tak dobrany, ze energia jonizacji gazu wieloatomowego jest mniejsza niż jednoatomowego, to przy zderzeniu jonów gazu podstawowego z cząsteczkami gazem wieloatomowego jonizują te cząsteczki, a te jony po dotarciu do katody nie wybijają z niej elektronów, tylko tworzą ładunek przestrzenny obniżając natężenie pola elektrycznego pomiędzy elektrodami. Licznik z domieszkami gazu wieloatomowego nosi nazwę samo-gasnącego. Na wskutek wtórnej jonizacji, która nie zależy od energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz, a więc ten licznik, nie służy do pomiaru energii, tylko do pomiaru ilości cząstek zarejestrowanych. Licznik charakteryzuje się czasem martwym, który występuje stąd, że powłoka jonów przy katodzie obniża napięcie efektywne poniżej napięcia krytycznego. W tym czasie licznik nie jest zdolny do wykrywania nowych cząstek.

Liczniki iskrowe

(8.11) Schemat komory iskrowej

Przy dużych napięciach zasilania impulsami prostokątnymi o napięciu szczytu U≥10kV o czasie trwania impulsu 10^-5÷10^-7s generowanej przez generator WN i w czasie gdy przez licznik przejdzie cząstka naładowana lub cząstka γ następuje wtedy lawinowa jonizacja gazu i następuje przeskok iskry elektrycznej z katody do anody. W tym liczniku nie występują wyładowania ciągłe, ponieważ to by spowodowało zniszczenie licznika, i dlatego licznik jest zasilany impulsami prostokątnymi. Rejestracja momentu przejścia cząstki jest możliwa dla najmniejszej szerokości połówkowego czasu trwania impulsu 2τ₀∼10^-8s. Jeśli liczniki rozłożone są jedna po drugim, wtedy tworzą tzw. komorę iskrową, w której można rejestrować tor cząstki jonizacyjnej na podstawie świecenia iskry. Opornik R musi być duży w miarę duży, by wygaszanie impulsu następowało szybko. W komorze gazowej występuje gaz szlachetny plus pary gazów wieloatomowych i to wszystko pod ciśnieniem 1 atm.

(8.12) Specyfika czułości komory iskrowej od opóźnienia impulsu napięcia przy chwili przejścia cząstki dla różnych napięć oczyszczających

Na rysunku (Rys.8.12) przedstawiamy współczynnik wydajności komory od nałożonego na nią napięcia przy momencie przejścia cząstki a także względem wysokości napięcia oczyszczającego. Można stwierdzić,. że przy pewnej wartości napięcia oczyszczającego następuje przy bardzo krótkim czasie czułość komory obniża się do zera. Ilość czasu, która jest potrzebna do powrotu komory do warunków początkowych jest 10ms. Normalnie stosuje się geometrię, której lokalizacja śladu jest opisana z dokładnością 0,2-1 nm. Aby uzyskać informacje o pędzie danej cząstki umieszcza się je w polu magnetycznym.

Detektory scyntylacyjne

Detektory (komory) scyntylacyjne, czyli detektory z elektronowym przetwornikiem obrazu jest to pewna odmiana licznika scyntylacyjnego mające na celu nie tylko za zadanie zarejestrowanie cząstki w postaci błysku światła spowodowana przez cząstkę w scyntylatorze, a także obserwację i fotografowanie jej śladu. Najważniejszym elementem komory scyntylacyjnej jest elektronowy przetwornik obrazu.

(8.13) Budowa i schemat działania komory scyntylacyjnej z elektronowym przetwornikiem obrazu

Mając układ optyczny mamy obraz toru cząstki pędzącej w scyntylatorze możemy uzyskać na fotokatodzie przetwornika obrazu obraz właściwy obraz toru cząstki w scyntylatorze optycznym. Po wchłonięciu pewnej dawki fotonów na fotokatodze następuje emisja elektronów (wtórna emisja elektronów), które za pomocą odpowiednich pól elektrycznych i magnetycznych są ogniskowanie na wyjściu komory scyntylacyjnej z zachowaniem stosunków geometrycznych obrazu. Elektrody w komorze są zbudowane z folii, które emitują elektrody pod wpływem zderzenia się z nią pewnej liczby elektronów. Elektrody są wykonywane warstwowo, w taki sposób, że przy pierwszej warstwie następuje pod wpływem zderzenia się z elektronami następuje błysk światła, który przy następnej warstwie powoduje emisję elektronów. Przy przejściu przez kilka elektrod liczba elektronów powiększa się w taki sposób by spowodować świecenie ekranu umieszczonego na końcu lampy. Jeżeli użyjemy pięciostopniowego przetwornika obrazu, to wzmocnienie elektronowe jest w przybliżeniu 3000 razy, co dalej przetwarzając je na światło uzyskujemy 10⁵ do 10⁶ razy, wtedy na ekranie uzyskujemy obrazy dostatecznie jasne do fotografowania. Scyntylatory buduje się z bloków złożonych z włókien sztucznych o średnicy (0,5-1)nm. Te włókna działają zarazem ja prowadnice, które przeciągają światło z głębi bloku do jego powierzchni. Mając skrzyżowane włókna scyntylacyjne, które te włókna są nałożone na siebie, otrzymujemy obraz przestrzenny.

Detektory śladowe

Detektory śladowe są zbudowane z ciała stałego, których działanie jest oparte na fakcie, cząstki naładowane powodują ślady w izolatorach, są to między innymi kryształy nioeorganiczne, szkła lub tworzywa sztuczne. Przejście cząstki naładowane powoduje powstanie śladu zakłóconego o średnicy 50 angstremów, który biegnie wedle toru cząstki, w którym ona przebyła. Można je oglądać pod bardzo dużym powiększeniem pod mikroskopem elektronowym, mogą one też doprowadzać do obszarów widocznych pod mikroskopem optycznym, gdy zastosujemy odpowiednią obróbkę chemiczną. Aby cząstki były rejestrowane przez różne substancje przezroczyste muszą mieć odpowiednie czułości, które pozwalają na rejestrację istnienia w danym punkcie o pewnych liczbach masowych i pewnych stratach energii przekraczająca daną wartość progową. Jeżeli mamy cząstkę o pewnej liczbie masowej i właściwych stratach energii przekraczające wartości progowe mogą być rejestrowane z wydajnością 100%, min. za pomocą labradorytu można zarejestrować cząstki o masach atomowych cięższych od jąder wapnia, który wykazuje straty energii większych od 19 MeV(mg⋅cm^-2). Tą substancję wytrawia się w 48% procentowym roztworze kwasu fluorowodorowego w temperaturze 23^oC przez około 40 minut. Najlepszym detektorem jest octan celulozy, który bada obecność cząstek α i azotan celulozy, który bada obecność protonów.

Licznik scyntylacyjny

(8.12) Schemat budowy licznika scyntylacyjnego zbudowanego z komory scyntylacyjnej i fotopowielacza

Działanie licznika scyntylacyjnego polega na detekcji promieniowania gamma lub innego promieniowania. Cząstka γ lub inne promieniowanie przelatując przez substancje powoduje jego wzbudzenie atomów, ale też i jonizację, które potem przechodząc do stanów podstawowych emitują fotony o długości światła widzialnego w postaci błysków światła widzialnego w postaci proporcjonalnej do fotonu gamma, te substancje o takich właściwościach nazywamy scyntylatorami. Licznik scyntylacyjny składa się z elementów:

• scyntylatora - który emituje kwanty o długości fali światła widzialnego lub bliskiej widzialnego pod wpływem promieniowania jonizującego. Świecenie takie scyntylatora nazywamy luminescencją. Scyntylator jest substancją przezroczystą, która konwertuje promieniowanie jonizujące, które powoduje jonizacje na błyski świetlne. Jest on możliwie o największej licznie atomowej Z. Scyntylator jest umieszczony w obudowie wykonanej z aluminium, co skutecznie blokuje wzbudzanie scyntalotora światłem widzialnym. Okienko przez które jest wyprowadzone światło emitowane przez scyntylator wykonane jest z pleksi lub kwarcu. Światłoszczelność zewnętrznej części detektora scyntylatora pozwala na obserwację światła wysyłanego przez scyntylator. Szczelne osłonięcie scyntylatora warstwą metalu pozwala na obserwacje rozbłysków luminescencyjnych, których natężenie jest kilka rzędu mniejsze od natężenia światła dziennego. Światło uzyskane ze scyntylatora jest światłem o bardzo małym natężeniu leżącym w obszarze światła ultrafioletowego i skraju światła niebieskiego od 200nm do 450nm.

Charakterystyka wybranych scyntylatorów
Rodzaj scyntylatora	λmax[nm]	τ[ms]	ε[%]	ρ[g/cm3]	Zastosowanie
Kryształy nieorganiczne
NaI(Tl) monokryształ	410	0,175	8	3,67	promieniowanie γ
CaI(Tl) monokryształ	500	0,77	2	4,51	promieniowanie γ
ZnS(Ag)	450	7	28	4,09	cząstki α
Kryształy organiczne
Antracen	440	0,022	4	1,25	cząstki β
Stilbet	410	0,004	3	1,16	cząstki β
Antracen	400	0,004	2	1,23	cząstki β
Scyntylatory ciekłe
Roztwór 5g p-terfenylu w dm3 toluenu	355	0,0015	2		niskoenergetyczne cząstki β
Roztwór 3g 2,5-difenylooksazolu w dm3 toluenu	382	0,0021	2		niskoenergetyczne cząstki β
λmax - długość fali w maksimum widma emisji,τ - okres półtrwania cząsteczki w stanie wzbudzonym, ε - wydajność promieniowania jonizującego w promieniowanie widzialne lub bliskie nadfioletu, ρ - gęstość.

• fotopowielacza- który jest czułą lampą elektronową na światło. Fotopowielacze stosuje się zwykle dla promieniowania ultrafioletowego próżniowego do widzialnego, ultrafiolet do widzialnego, widzialny bez podczerwieni, widzialny do podczerwieni. Na wewnętrznej części fotopowielacza jest naparowana fotokatoda, jest to kilkuatomowa warstwa półrzewodnika, lub z metali alkalicznych, które uwalnia elektrony w wyniku zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego. Kolejną częścią fotopowielacza jest soczewka elektromagnetyczna mająca na celu z ogniskowanie fotoelektronów, która ukierunkuje strumień na pierwszą dynodę. Fotony trafiające tam ze scyntylatora w postaci błysków światła trafiają na fotokatodę, który emituje elektron, który trafia do fotopowielacza. Elektrony odbijające się od dynod trafiające od fotokatody wybijają z niej następne elektrony wtórne. Dynody są podłączone do odpowiedniego napięcia, dzięki, któremu elektrony mogą zostać przyspieszane, i te elektrony dzięki temu mogą zostać wybijane. Na samym końcu elektrony trafiają do anody zamieniając ilość trafiających tam elektronów na sygnał elektryczny. Dzięki fotopowielaczowi uzyskuje się wzmocnienie powielania elektronów sięgającego od trzech do czterech, a ilość stopni powielających wynosi od kilku do kilkunastu. Powielanie elektronów na dynodach daje nam wzmocnienie praktycznie bezszumowe. Uzyskuje się tam lepszy stosunek szumu do sygnału niż fotodiodzie o takim samym wzmocnieniu.

Typ fotopowielacza	Długość mm	Średnica katody	Typ katody	Czułość katody μA/m	Współczynnik wzmocnienia	Liczba stopni	Napięcie V	Prąd ciemny
Φɜ-19 (ZSRR)	195	48	SbCs	35	2,5⋅106	13	1500	3 ⋅10-2
RCA 6217	148	43	SbCs	40	2,8⋅106	10	1200	5⋅10-2
EMI 6097 (Wielka Brytania)	112	44	SbCs	50	7⋅106	11	1200-1800	10⋅-1

Rozbłyski światła w scyntylatorze w scyntylatorze nazywamy luminenscencją, który dzielimy na dwa typy:

• fluorescencja, co ono występuje przy czasach wyświecania 10^-8-10^-9s.
• fosforescencja powstaje wtedy, gdy stan wzbudzony następuje przez proces oddziaływania promieniowania ze stanem metatrwałym, czas wyświecania występuje z pewnym opóźnieniem w stosunku z czasem powstania tego stanu, ono nie nadaje się do budowy liczników scyntylacyjnych.

Aby scyntylator był dobry to wymagamy następujących parametrów:

• musi być silna scyntylacja, która powstaje pod wpływem padającego na scyntylator promieniowania
• musi być czas powstania i wyświecania impulsu bardzo krótki
• spektralna czułość fotopowielacza musi odpowiadać widmu scyntylacji

Scyntylatory dzielimy na:

Poziomy w krysztale jonowym

• scyntylatory nieorganiczne jodku sodu lub cezu aktywowanej talem NaI(Tl) i CsI(Tl) lub ZnS(Ag), w takich substancjach, które są substancjami jonowymi elektrony znajdują się w pewnych pasmach elektronowych, w stanie podstawowym elektrony znajdują się w stanie o najniższej energii, tzn. w pasmie podstawowym. Jeśli podziałamy promieniowaniem, to elektrony z pasma podstawowego mogą zostać przesunięte to pasma wzbudzonego. Jeśli kryształ jest domieszkowany, to stan podstawowy, a także stan wzbudzony dzielą się na podstany podstawowe lub wzbudzone. Przejście może nastąpić bezpośrednio ze stanu wzbudzonego do podstawowego poprzez kwant o dużej energii, a także między stanami wzbudzonymi wzbronionymi, które są powodowane przez domieszki (poprzez aktywowanie)

Proces wzbudzenia elektronów w konwerterze poprzez promieniowanie

Licznik scyntylacyjny składa się z scyntylatora, detektora światła (fotodiody fotodiody lawinowej), a także układu analizująco zliczającego. Opiszmy działanie scyntylatora. Proces konwersji promieniowania na błyski świetlne nie zachodzi z stu procentową wydajnością. Cześć promieniowania nie dochodzi do konwertera, cześć cząstek promieniowania posiada na tyle dużą energię, że nie oddziaływuje z materiałem konwertera przechodząc przez nie, są też cząstki mającej na tyle odpowiednią energię, że energią promieniowania jest zużywana na podniesienie elektronu z poziomu niższego na wyższy, tzn. elektrony zostają przeniesione ze stanu podstawowego S₀ do wzbudzonego S₁. Ten proces nazywamy absorpcją promieniowania dochodzącego do scyntylatora. Elektrony w stanie wzbudzonym nie mogą w tym w stanie przebywać w nieskończoność, ten poziom ulega rozpadowi w wyniku fluoroscencji, konwersji bezpromienistej, fluoroscencji opóźnionej. Jeśli poziomy wzbudzone S₁ mają wyraźnie rozdzielone orbitale od poziomu S₀, zjawisko rozpadu stanu wzbudzonego zachodzi w wyniku fluoroscencji.

Proces rozpraszania energii wzbudzenia w fluoroscencji

• scyntylatory organiczne, czyli antracen, naftalen, stilben, a także scyntylatory z tworzywa sztucznego, które są w stanie stałym roztworami w takim tworzywie są substancje scyntylacyjne jak terfenyl, antracen: Elektron w stanie wzbudzonym w wyniku rozpadu w nim kolejnych poziomów przechodzi przez kolejne jego stanu, aż dochodząc do stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego. Energia z tychże przejść jest rozpraszana w postaci ciepła. Dalej przechodzi do stanu podstawowego ze stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego przez emisję promieniowania świetlnego wychodzącego ze scyntylatora do fotodiody. W stanie podstawowym elektron przechodzi przez kolejne coraz niższe poziomy przechodząc do stanu równowagi termicznej, a energia wydzielana w wyniku przejścia jest w postaci ciepła, raz przeskakując raz w górę i dół w wyniku fluktuacji termicznej konwertera i otoczenia, czyli wędrówka elektronu nigdy się nie kończy. tzn. elektron nie osiąga nigdy stanu o najniższej energii. Część energii wzbudzenia elektronu jest marnowana na energię cieplną, a pozostała część na energię promieniowania promienistego. Długość fali promieniowania fluoroscencyjnego jest większa niż długość promieniowania rozpoczynającego cały cykl zachodzących w konwerterze, w której następuje wzbudzenie elektronu do stanu wzbudzonego.
• scyntylatory gazowe, czyli świecenie drobiny poprzez fluorescencję następuje poprzez wzbudzenie i jonizację atomów lub cząsteczek gazu dzięki przechodzącej przez nią cząstki naładowanej. Błysk tutaj generowany jest w obszarze nadfioletu, to zwykle stosuje się na ściankach zbiornika substancje wysyłające promieniowanie widzialne pod wpływem promieniowania nadfioletowego, jak np. kwaterfenyl lub difenylostilben.

Proces rozpraszania wzbudzonego elektronu bezpromieniście

Gdy poziomy stanu S₀ i S₁ częściowo się pokrywają, wtedy zmienia się energia rozpraszania wzbudzonego elektronu. Elektron przechodzący przez kolejne stanu wzbudzone poziomu S₁ i S₀ rozprasza małe porcje energii doprowadzając siebie do stanu równowagi termicznej układu i otoczenia. Jeśli konwerter posiada dodatkowy stan zwany trypletowy, który powstaje przez wprowadzenie domieszki lub zanieczyścienia, to zmienia się mechanizm rozpraszania energii wzbudzenia elektronu. Elektron rozprasza się oddając małe porcje energii w postaci ciepła, gdy energia elektronu obniży się do energii najwyższego stanu trypletowego następuje przeniesienie interkombinacyjne elektronu (S₁)→(T). Elektron może się poruszać po kolejnych stanach trypletowych oddając energię przechodząc do stanu najniższej energii, który w wyniku zakazu Paulliego nie może przejść elektron do stanu S₀. Powstały stan jest w stanie niezrównoważenia energetycznego, w który elektron może przejść w wyniku pochłaniania energii ze stanu trypletowego do stanu S₁, z którego jest możliwe promieniowanie promieniste ze stanu S₁ do stanu S₀, co później następuje rozpraszanie energii na w sposób ciepła doprowadzając układ do stanu równowagi termicznej. Mechanizm z wykorzystaniem stanu trypletowego wykorzystuje się w monokryształach, które na podstawie hodowli monokryształów wprowadza się aktywatory, które wywołują pojawienie się w w nich stanu trypletowego nieobecnego w czystym krysztale. Przykładem monokryształu jest jodek sodu NaI z wykorzystaniem aktywatora, którym jest Tal (Tl). Taki scyntylator krystaliczny piszemy wzorem NaI(Tl).

Liczniki półprzewodnikowe

Liczniki półprzewodnikowe wypierają inne detektory, tzn. komory, liczniki i liczniki jonizacyjne, a nawet liczniki scyntylacyjne. One stanowią najnowszy, a zarazem obiecujący system wykrywania promieniowania jądrowego. Aby te liczniki zrozumieć należy umieć pewne wiadomości na temat elektronowej budowy ciała stałego. W tych ciałach poziomy o najmniejszej energii to jest pasmo podstawowe (S), a poziom na najwyższej energii to jest pasmo przewodnictwa (P).

Budowa poziomów energetycznych w ciele stałem. a)izolator. b) i c) przewodnik, d)półprzewodnik.

Rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa jest niezapełniony i jest daleko od poziomu podstawowego, taki obiekt może się zachowywać jak izolator, następnie rozważmy, gdy pasmo podstawowe jest niecałkowicie zapełnione, a nawet rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa ma punkty wspólne z pasem podstawowym, wtedy po przyłożeniu prądu następuje zmiana prędkości elektronu znajdujących się w takim ciele.

Struktura poziomów energetycznych elektronów w półprzewodniku. a) półprzewodnik typu n, b)półprzewodnik typu p.

Warstwa zaporowa na złączu dla półprzewodnika typu n i typu p. a) rozkład ładunku elektrycznego na złączu, b)zmiana potencjału na złączu.

Warstwa zaporowa i jego działanie prostownicze.

Jeśli podstawowe pasmo podstawowe i przewodnictwa leżą koło siebie, wtedy mamy doczynienia z półprzewodnikami. Zdarza się w pobliżu pasma przewodnictwa lub pasma podstawowego pojawiają się dodatkowe poziomy energetyczne. Spowodowane to jest defektami sieci krystalicznej, które występują np. zanieczyszczeń w sieci krystalicznej. Na rysunku obok półrzewodniki pokazane na rysunku a) są to półprzewodniki nadmiarowe oznaczone typu n, które mają dodatkowe poziomy nie daleko poziomu przewodnictwa. A zanieczyszczenia powodujące te dodatkowe poziomy nazywamy donorami. Są to atomy V grupy, którego przykładem jest fosfor, którym zastępujemy atomy krzemu atomami fosforu w sieci ciała krystalicznego ciała stałego. Ponieważ istnieje mała odległość poziomów spowodowanego przez donory, to pewna ilość elekronów przechodzi z tego pasma do pasma przewodnictwa, co przewodnictwo jest spowodowane ruchem elektronów, które mają ładunek elektryczny.

Rozważmy sobie półprzewodniki typu p jako półprzewodniki niedomiarowe. Spowodowane są zastąpieniem atomów krzemu atomami III, np. borem, które nazwiemy akceptorami. Ze względu na małą odległość poziomów dodatkowych w pobliżu pasma przewodnictwa do stanu podstawowego może przejść elektron z tego poziomu dodatkowego, i wyniku czego dodatkowy poziom zachowuje się jak dziura. Dla tych przewodników następuje ruch ładunku dodatniego związane z dziurami.

Weźmy sobie dwa półprzewodniki typu n i typu p złączone ze sobą, wyniku czego tworzy się styk, na którym powstaje zmiana potencjału zmieniająca się w sposób ciągły. Elektronu znajdujące się w półprzewodniku typu n mają wyższe energię niż elektrony w półprzewodniku, dlatego elektrony z będą dyfundować do z n do p, a natomiast dziury będą dyfundować do półprzewodnika typu n, i one będą rekombinować z elektronami. Półprzewodnik typu n będzie ładował się w takim razie ujemnie. Powstaje w ten sposób podwójna warstwa zaporowa i powstanie pomiędzy półprzewodnikami różnica potencjału elektrycznego. Ta bariera będzie niższa, gdy przyłożymy do takiego układu napięcie w kierunku przeciwnym do powstałej różnicy potencjału, wtedy półprzewodnik n będzie ładowany ujemnie, a półprzewodnik p będzie ładowany dodatnio, to napięcie podwyższy się, gdy przyłożymy napięcie w kierunku zgodnym z różnicą potencjału bez przyłożenia potencjału, wtedy prąd płynący przez takie złącze przestanie płynąć. Złącze opisywane tutaj ma więc właściwości prostownicze, który przepuszcza prąd w jednym kierunku. Półprzewodniki p i n złączone ze sobą są bardzo podobny do komory jonizującej, w którym istnieje pewne pole elektryczne, w którym cząstka jonizująca gaz tworzy dwie cząstki elektron dziura (jon dodatni). Podobnie jak w układzie półprzewodników w komorze jonizującej powstaje napięcie proporcjonalne do wytworzonego ładunku, czyli proporcjonalnej do energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz w tej komorze. W półprzewodniku wytworzenie pary dziura-elektron energia jest dziesięć razy mniejsza niż energia do wytworzenia tej samej pary w komorze jonizacyjnej. Np. dla krzemu ona wynosi 3eV. Wielkość wytworzonego ładunku będzie o 10 razy większa niż w przypadku komory jonizacyjnej. Dalszą zaletą jest szybkość narastania impulsu w połprzewodniku niż przypadku komory jonizacyjnej i ona wynosi rzędu 10^-8s. Ten czas narastania jest związany ze znaczną ruchliwością nośników ładunku elektrycznego. Zasięg cząstek w półprzewodniku jest bardzo mały w porównaniu z komorą jonizacyjną, dzięki temu rozmiary licznika półprzewodnikowego są małe.

Detektory półprzewodnikowe dzielimy na:

• detektory z barierą powierzchniową, na której powierzchni krzemu typu n wytwarza się bardzo cienką warstwę półprzewodnika typu p poprzez powierzchniowe utlenianie. Kontakty elektryczne z powierzchnią półprzewodnika uzyskuje się poprzez napylanie cienkiej warstwy metalu na powierzchni półprzewodnika, w taki sposób by on by nie usuwałby tlenu z powierzchni krzemu w wyniku reakcji chemicznych. Tym metalem jest często złoto, który rozpylamy na powierzchni krzemu o grubości ~30μg/cm². Następnie do takiej powierzchni złota przyłącza się przy pomocy specjalnych klejów druciki, które doprowadzają napięcie elektryczne.
• detektory typu dyfuzyjnego. Poprzez wdyfundowanie do krzemu, który jest typu p atomów typu do półprzewodnika typu p krzemu. W ten sposób tworzymy warstwę zaporową. Tą operację przeprowadzamy w temperaturze 700^o-900^o. Do tak powstałej warstwy możemy przyłączyć druciki. Tym półprzewodnikiem typu p jest np. gal.
• detektory "Li-drifted". W tym obiektach atomy litu, które są donorami, wewnątrz krzemu one poruszają się w wyniku przyłożonego napięciu. Krzem typu p ma niewielki opór właściwy rzędu 100 do 300 Ω⋅cm. Lit wdyfundowany do krzemu ma grubość kilkuset μm, w ten sposób tworzymy sobie złącze typu p-n. Jeśli natomiast w temperaturze 150^oc przyłączymy napięcie kilkuset woltów, wtedy jony litu będą wnikać do krzemu typu p, co w wyniki czego dostajemy obszar czuły o grubości kilku nm.

Detektory neutronów

Neutrony nie posiadają ładunku elektrycznego i dlatego słabo oddziałują z elektronami, które mają ładunek elektryczny ujemny. Do wykrywania neutronów musimy się posłużyć pewnymi zjawiskami, które posłużą do wykrywania neutronów. Tymi zjawiskami są zjawiska wytwarzanych przez neutrony promieniowania jonizującego, są nimi:

• reakcję jądrowe wywołane przez neutrony z emisją pewnych cząstek, które są wydzielane przez np. reakcje (n,p), (n,α).
• reakcje rozpraszania neutronów na protonach w wyniku czego do protonów jest dostarczana pewna energia, które te cząstki można wykryć, bo on stanowi jakoby promieniowanie jonizujące o ładunku dodatnim.
• neutrony wywołują wzbudzenie atomów, które później takie obiekty emitują kwanty energii zwanych fotonami.

Ze względu na energię neutronów, zatem od nich będzie zależało wybór metody detekcji neutronów poprzez promieniowanie jonizujące, ze względu na energie elektronów metody detekcji dzielimy na:

• neutrony mające małąs energią, tzn. neutrony powolne posiadające energię 0<E<1000 eV, ten podział dzielimy jeszcze na dalsze podgrupy:
  • neutrony posiadające energie 0,001 eV, które nazwiemy neutronami zimnymi. Według zależności E=k_BT te cząstki posiadają temperaturę T=11,6^oK.
  • neutrony posiadające energię 0,0025 eV, które są neurtronami termicznymi, którym odpowiada w przybliżeniu temperatura T=~20^oC.
  • neutrony posiadające energię 1 do 1000 eV, k,tóre są neutronami rezonansowymi, nazwa ta pochodzi z stąd, że pewnych określonych podanych wcześniej energiach następuje gwałtowany wzrost przekroju czynnego na reakcję jądrową.
• na neutrony mających energie pośrednie 1keV<E<500 keV
• na neutrony prędkie posiadające energie E>50 MeV
• na neutrony posiadające energie wysokie E>50 MeV

Neutrony możemy wykryć poprzez reakcję jądrową, w której wydzielają się promieniowanie α:

${}^{10}_5B+{}^1_0n\rightarrow{}^7_3Li+{}^4_2\alpha+Q\;$

(8.62)

Jeśli w reakcji wydziela się energia (Q>0), to taką reakcję nazywamy reakcją egzoenergetyczną, ale gdy zachodzi Q<0, to reakcję nazywamy endoenergetyczną. W przypadku w reakcji (8.62) wydziela się energia Q=+2,3MeV, która będzie zachodziła dla bardzo powolnych neutronów. Przekrój czynny na zachodzenie powyższej reakcji jest bardzo duży i wynosi około 3500b. W rej Reakcja przekrój czynny maleje wraz z rosnącą energią neutronów odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka energii neutronów. ²⁰B jest 10% w zawartości pierwiastka w naturalnym borze, ale można ten pierwiastek wzbogacić aż do 90% w ten izotop. Aby wykryć cząstki α należy posłużyć się emulsjami jądrowymi, którym jednych ze składników jest ¹⁰B, który występuje w postaci związku BF₃ lub wysępująca w w postaci stałej na elektrodach.

Weźmy teraz reakcję jądrową:

${}^6_3Li+{}^1_0n\rightarrow{}^3_1H+{}^4_2\alpha+Q\;$

(8.63)

Reakcja (8.63) jest reakcją egzoenergetyczną z wydzielającą się energią Q=+4,78 MeV. Przekrój tej reakcji jest rzędu 1000b dla neutronów termicznych. Lit w podobnie jak w poprzedniej reakcji B możemy wprowadzić do emulsji jądrowej lub też do liczników proporcjonalnych, lub do liczników scyntylacyjnych, do których wprowadzamy sctyntylatory liniowe LiI(Tl). Wydajność tak zbudowanych liczników jest bardzo duża i wynosi kilkudziesięciu procent. Te liczniki mogą się posłużyć do wykryweania tzw. neutronów prędkich z spowolnionych przez protony, tak by się stały neutronami termicznymi.

Neutrony też można też wykryć poprzez reakcje rozszczepienia, w których wydziela się produkty rozpadu i m neutronów:

${}^A_ZX+{}^1_0n\rightarrow {}^{A_1}_{Z_1}Y+{}^{A_2}_{Z_2}W+m{}^1_0n\;$

(8.64)

W powyższej reakcji powinien być spełniona zasada zachowania liczby masowej i ładunku elektrycznego, tzn. powinno zachodzić A₁+A₂=A, Z₁+Z₂=Z. Energia wydzielana w tychże reakcjach jest w postaci energii kinetycznej produktów i wynosić może nawet 200 MeV. Jądra ²³⁵, ²³⁹Pu ulegają reakcji rozszczepienia popd wpływem nuetronów termicznych, jeśli one posiadają energię wyższą od energii progowej, dzięki któremu już reakcja może zajść. Przedstawmy kilka energii progowych dla poszczególnych pierwiastków, dla ²³⁸U to E_p=1,49 MeV, dla ²³²Pa to E_p=0,5 MeV, dla ²³⁷Np to E_p=0,75 MeV, dla ²⁰⁹Bi to E_p=50 MeV, dla ²³²Th to E_p=1,75 MeV.

Teraz opiszemy rozpraszanie neutronów na protonach, wtedy neutron jemu przekazuje część swojej energii, tak by on mógł by być zarejestrowany. Metoda ta jest bardzo pomocna do detekcji neutronów prędkich. Gdy energia protonów dochodzi do 10 MeV, wtedy jego przekrój czynny w zależności od kierunku rozpraszania jest izotropowy w układzie środka masy neutron-proton. Jeśli będziemy zakładać równe masy protonów i neutronów, bo one sa takie same w przybliżeniu. Energia, której uzyskuje proton po roszczepieniu zależy od jego kąta rozproszenia względem prędkości neutronów. Możemy je wyzssnaczyć również oprócz zasady zachowania pędu, z zasady zachowania energii. Z praw zachowania w mechanice klasycznej powiemy:

$\Bigg\{\begin{matrix}v_0=v_p\cos\theta+v_n\cos\phi\Rightarrow v_n\cos\phi=v_0-v_p\cos\theta\\ 0=v_p\sin\theta+v_n\sin\phi\Rightarrow v_n\sin\phi=-v_p\sin\theta \end{matrix}\;$

(8.65)

Możemy podnieś obie strony równości w układzie równań (8.29) i dodając je do siebie i wiedząc v²=2E/m, w ten sposób:

$v_n^2=v_0^2+v_p^2-2v_0v_p\cos\theta \Rightarrow E_n=E_0+E_p-2\sqrt{E_pE_0}\cos\theta\;$

(8.66)

Z prawa zachowania energii E_p=E₀-E_p, wtedy (8.65) przepisujemy w formie:

$E_0+E_p-2\sqrt{E_0E_p}\cos\theta=E_0-E_p\Rightarrow E_p=E_0\cos^2\theta\;$

(8.67)

Do detekcji neutronów możemy posłużyć się gazem, którym jest wodór-1 lub inny gaz zawierający wodór, który wypełnia licznik gazowy. Do wykrywania neutronów możemy również posłużyć się substancjami stałymi, takimi jak parafina lub polistyren. Aby rejestrować protony możemy się posłużyć scyntylatorami organicznymi (np. scyntylator Hornyaka zawierający w składzie ZnS(Ag)) lub stycznymi tworzywami. Do detekcji neutronów również posługujemy się licznikami półprzewodnikowymi z wewnętrznym radiatorem na którą padają neutrony zderzając się protonami, których ma wykryć wcześniej wymieniony licznik. Neutrony możemy również wykryć przy pomocy helu, ale ta metoda może się posłużyć do wykrywania neutronów prędkich, czyli o wysokich energiach.

Aby wykryć neutrony możemy się posłużyć się metodą aktywacyjną, polega ona na obserwowaniu promieniotwórczości wywołanej przez neutrony poprzez schwytanie przez pewne materiały. Materiał, który wydziela promieniowanie naświetlamy neutronami przez pewien czas, i dalej obserwujemy wydzielające się cząstki z tego materiału jakimś licznikiem do detekcji promieniotwórczości. Niech strumień neutronów aktywujący pewien materiał jest n, a przekrój czynny na wywołanie reakcji jest σ(E), to liczba atomów, które są już promieniotwórcze tuż po naświetlaniu w sekundzie przez strumień neutronów Φ(E)dE jest:

$dR=\sigma(R)n\Phi(E)dE\;$

(8.68)

Jeśli będziemy rozpatrywać różne energie neutronów obejmujących energie od 0 do E_max jest napisana jako całka wyrażenia (8.32) po tych określonych energiach:

$R=\int_0^{E_{max}}\sigma(E)n\Phi(E)dE\;$

(8.69)

Mając liczbę impulsów C w liczniku w przedziale (t₁,t₂), to liczba atomów promieniotwórczych określonych na podstawie wzoru (8.33) jest:

$R={{\lambda C}\over{\epsilon(1-e^{-\lambda t_0})(e^{-\lambda t_1}-e^{-\lambda t_2})}}\;$

(8.70)

Oznaczenia występujące we wzorze (8.70) są:

• t₀ - czas aktywacji dla strumienia neutronów.
• λ - stała rozpadu atomu promieniotwórczego poprzez wzbudzenie przez aktywacje tego atomu przez neutrony.
• ε - stała zależna od wydajności licznika i geometrii układu pomiarowego.

Spektrometry promieniowania jądrowego

Spektrometry służą do pomiaru widm promieniowania jądrowego. Nazwa spektrometru pomiarowego pochodzi zwykle od nazwy promieniowania, które badają, i z tego względu te spektrometry dzielimy na

• licznikowe - na wejściu mamy liczniki wraz z detektorami, które rejestrują promieniowanie γ, α, β.
• magnetyczne - przeprowadza analizę energii cząstek, a szczegółowo bada wartości pędów rejetsrowanych naładowanych cząstek, tzn. cząstek β, α.

Spektrometry licznikowe

Spektrometry licznikowe dzielimy na spektrometry gazow, które badają parametry cząstek α,β, scyntylacyjne, które służą do rejestracji cząstek α,β,γ,..., a także na detektory półprzewodnikowe. Każdy detektor licznikowe składa się z elementów takich jak: detektora, przedwzmacniacza, wielokanałowego analizatora amplitudy impulsów, który na wejściu znajduje się przetwornik ADC, na którym w zależności od rodzaju detektora napięcie może sięgać nawet kilku tysięcy woltów.

Schemat blokowy spektrometru licznikowego.

Detektor D działamy promieniowaniem ściśle określonym, wtedy na tym detektorze pojawia się impuls elektrycznym na wyjściu o wartości impólsu ΔU~ΔE, który ma krótki czas narastania, ale długi czas opadania, który po przejściu przez wzmacniacz zostaje ten impuls wzmocniony, który dalej przechodzi przez wzmacniacz spektroskopowy zostaje jeszcze raz wzmocniony i tam formuje się impuls, który ma kształt impulsów gausowskich Przedwzmacniacz wstępnie wzmacnia, który potrafi przetransformować sygnał uzyskując wzmocnienie natężenia prądu sygnału do bardzo wysokiego, co również można powiedzieć, że ten obiekt transformuje opór rzędu 10⁵Ω na mały opór, bo musimy wzmacniacz ładunek, a nie napięcie.

Sygnał w zależności od liczby kanałów wielokanałowego przetwornika amplitudy ADC

Najprostszy ze wzmacniaczy jest wtórnik emiterowy. Każdy wzmacniacz jest dostosowywany do ściśle określonego detektora promieniowania jądrowego. Dla detektorów półprzewodnikowych energia impulsów jest wprost proporcjonalna do ładunku przepływającego w tym detektorze i napięcie impulsów jest równa stosunkowi przepływającego ładunku przez jego pojemność, a pojemność jego zależy od napięcia panującego na elektrodach w detektorze. Przedwzmacniacz wzmacnia impuls ładunkowy i zamienia go na impuls napięciowy, który jest potrzebny by detektor zadziałał. Za wzmacniaczem spektroskopowym jest wielokanałowy analizator amplitudy, który służy do rejestracji i pomiaru amplitudy, który jest zbudowany z przetwornika ADC i za nim urządzenia elektronicznego położonych za przetwornikiem. To urządzenie w zależności od liczby kanałów dzielimy na analizatory proste i złożone. Przetwornik ADC przekształca impuls gaussowski na formę cyfrową. Elektronika za przetwornikiem jest odpowiedzialna za zapisanie sygnału w postaci cyfrowej do odpowiednich komórek pamięci np. w komputerze.

Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC

Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC jest to układ, który zamienia sygnał analogowy na reprezentację cyfrową. Możliwe jest dzięki temu przetwarzanie w urządzeniach cyfrowych przetworzonego sygnału na reprezentację zerowo-jedynkową i gromadzenie tychże danych na nośnikach pamięci. Przemiana sygnału analogowego polega na kwantyzacji sygnału analogowego zmieniającego się płynnie na wartości skokowe, ale w granicach odwzorowania skali. Przetwarzanie tego sygnału polega na trzech etapach , tzn. próbkowanie, kwantyzacja i na samym końcu kodowanie. A jeśli chcemy przetworzyć sygnał cyfrowy na analogowy, to taki przetwornik nazywamy przetwornik cyfrowo-analogowy C/A. Rozdzielczość przetwornika nazywamy ile dyskretnych wartości może przetworzyć i wyrażamy je często w bitach. Np. przetwornik ADC potrafi przetworzyć sygnał na jednej z 256 wartości liczbowych. Rozdzielczość możemy również wyrazić w woltach. Rozdzielczość wtedy możemy wyrazić jako stosunek całkowitej skalę pomiaru przez ilość stopni kwantyzacji.

• Klasyfikacja przetworników ADC ze względu na rodzaj parametru:
  • ładunkowe - Mierzy całkowity ładunek przepływający w czasie otwarcia bramki, ponieważ ładunek w wielu przypadkach jest wprost proporcjonalny do strat energii cząstki na detektorze.
  • napięciowe - mierzone jako chwilową wartość na wejściu.
  • "peak-sensing" - mierzy amplitudę impulsu, czyli największą wartość napięcia w czasie otwarcia bramki.

Przetworniki ADC działają na zasadzie pomiaru czasu ładowania lub rozładowania kondensatorów prądem stałym.

Schemat blokowy przetwornika ADC

Charakterystyka napięciowa przetwornika ADC od czasu.

Uzyskanie pomiaru przy pomocy przetwornika daje dużą dokładność, ale istnieje duży czas pomiędzy bramką a uzyskanym wynikiem sięgających nawet kilkunasty μs, jest to czas martwy, w którym nie należy mierzyć (badać) żadnego impulsu. Są takie przetworniki, które mają wejście clear, na którym podanie impulsu powoduje przerwanie procesu konwersji i rozpoczęcie gotowości przyjęcia dalszego impulsu. Parametrami przetworników ADC są:

• zakres wejściowy z jakim należy mierzyć największe dopuszczalne napięcie. Również impuls możemy dostosować przy pomocy wzmacniaczy lub tłumików do przetwornika ADC.
• Następnym parametrem jest rozdzielczość mówiąca ile wartości napięcia można mierzyć w pewnym zakresie. Jest to liczba bitów mierzonych w pewnym zakresie. Jest ona podawana w zakresie od 8 do 12 bitów.
• Czas konwersji sygnału z bramki a uzyskaniem wyniku.
  • Liniowość całkowita jest to odchylenia maksymalne charakterystyki przetwornika od prostej.
  • różniczkowa przedstawiająca na ile zachodzi równość szerokości kanałów.
• stabilność jak kalibracja zmienia się w czasie i pewnej temperaturze.

Spektrometry magnetyczne

Siła Lorentza działająca na daną cząstkę piszemy jako suma siły elektrycznej i magnetycznej $\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}\right)\;$, jeśli nie będziemy uwzględniać sił pola elektrycznego, i jeśli mamy prędkość ruchu cząstki prostopadłą do $\vec{v}_{\bot}\;$, wtedy z drugiej zasady dynamiki Newtona i z dynamiki ruchu obrotowego mamy:

$m{{v^2_{\bot}}\over{r}}=qv_{\bot}B\Rightarrow m{{v_{\bot}}\over{r}}=qB\Rightarrow r={{mv_{\bot}}\over{qB}}\;$

(8.71)

Jeśli prędkość $\vec{v}\;$ nie jest prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego, ale kąt pomiędzy wektorami prędkości a indukcji pola magnetycznego jest α, wtedy piszemy $v_{\bot}=v\sin\alpha\;$, to cząstka będzie się poruszała z po pętli śrubowej, a jeśli α=90⁰, to ruch cząstki jest po okręgu. Jeśli weżniemy płaszczyznę prostopadłą do $\vec{B}\;$ i będziemy rzutować tor cząstki na tą płaszczyznę, wtedy jedno okrążenie następuje w czasie:

$v_{\bot}={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v_{\bot}}}={{2\pi }\over{v_{\bot}}}{{mv_{\bot}}\over{qB}}\Rightarrow T={{2\pi m}\over{q B}}\;$

(8.72)

Jeśli kąt pomiędzy prędkością cząstki a wektorem indukcji nie jest prosty, wtedy skok linii śrubowej określamy poprzez wzór:

$h=v_{||}T=v\sin\alpha {{2\pi m}\over{qB}}={{2\pi m v\cos\alpha}\over{qB}}\;$

(8.73)

Spektrometr masowy magnetyczny

Weźmy teraz spektrometr magnetyczny do określania mas cząstek, aby cząstką wyszła z komory, tak gdzie panuje pole elektryczne i magnetyczne muszą siły pola magnetycznego równoważyć siły pola elektrycznego:

$Eq=qvB\Rightarrow E=vB\;$

(8.74)

Występuje właśnie taka zależność pomiędzy polem elektrycznym, a magnetycznym, gdy z komory ma wyjść cząstką o prędkości v. Możemy regulować wartościami pola elektrycznego lub magnetycznego, jeśli chcemy by wyszła cząstka o pewnej prędkości. Gdy cząstka wyjdzie z komory trafia na drugą komorą w której panuje tylko pole magnetyczne, która zakrzywia ruch cząstki naładowanej, a jego tor jest wtedy częścią półokręgu o promieniu r, na której na samym końcu drogi cząstka pada na kliszę fotograficzną, z której możemy wyznaczyć stosunek q/m, a jeśli znamy ładunek cząstki, to możemy policzyć jego masę.

Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych

Energetyczna zdolność rozdzielcza spektrometru

Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych

Energetyczna zdolność rozdzielcza jest to parametr spektrometru (detektora) mające na wejściu do niego monochromatyczne promieniowanie określonego przez δ(E-E₀). A po wyjściu z spektrometru mamy widmo rozmyte N(E), który na połowie jego wysokości ma szerokość ΔE_1/2(E₀) oznaczonej przez FWHM (FULL WIDTH AT HALF MAXIMUM), a na jego 1/10 wysokości ma szerokość oznaczonej przez FWTM (FULL WIDTH AT ONE TENTH MAXIMUM). Wielkość FWHM piszemy w jednostkach energii keV, którą nazywamy bezwzględną energetyczną zdolnością rozdzielczą spektrometru (detektora), a stosunek FWHM/E₀ wyrażamy w % nazywamy względną energetyczną zdolnością rozdzielczą dla przy określonej energii E₀ posiadającej przez zarejestrowane cząstki. Powstawanie rozkładu rozmytego N(E) są statystyczne fluktuacje powstałe podczas rejestracji cząstki przechodzącej przez detektor, do tego też się wniosą sumy detektora, a także fluktuacje przy wzmocnieniu fluktuacji i szumy w układach elektronicznych, z których jest zbudowanych sam spektrometr. W detekcji promieniowania przyjmuje się zdolność spektrometru jest wypadkową zdolności rozdzielczej detektora,a także w nim pracujących układów elektronicznych, tzn.: przedwzmacniacza, wzmacniacza spektrometru magnetycznego, a także przetwornika ADC, itp.:

$\operatorname{FWHM}^2=\operatorname{FWHM}_D^2+\operatorname{FWHM}^2_{EL}\;$

(8.75)

Energetyczna zdolność rozdzielcza detektora

Źródłem fluktuacjii amplitudy dla sygnałów wyjściowych, które wychodzą od detektora są statystyczne fluktuację liczby rodników prądu w, które są w detektorze powstałe przy rejestracji cząstki, które posiadają energię E. Te fluktuację możemy napisać czysto-statystycznie przez rozkład normalny Gaussa:

$P(n)={{1}\over{\sigma_n\sqrt{2\pi}}}e^{-{{(n-\langle n\rangle)^2}\over{2\sigma_n^2}}}\;$

(8.76)

Odchylenie sygnału od wartości statystycznej równa połowie szerokości sygnału P(n) jest na wysokości $1/\sqrt{e}\;$, wtedy zachodziło by $\sigma_n=\sqrt{\langle n^2\rangle}\;$. W detektorach liniowych liczba rodników prądu możemy napisać przez $n={{E}\over{\overline{\mathbf{E}}}}\;$, przy którym $\overline{\mathbf{E}}\;$ jest energią potrzebną do wytworzenia pewnych nośników w detektorze, tzn. e^- i dziury w półprzewodnikach i jonu dodatniego i e^- w gazach itp., wtedy odchylenia od wartości statystycznej w rozważanych rozkładach statystycznych N(E) i P(E) piszemy przez: $\sigma_E=\overline{\mathbf{E}}\sigma_n=\overline{\mathbf{E}}\sqrt{{{{\langle E\rangle}^2}\over{\langle\mathbf{E}^2\rangle}}}=\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;$. Teraz policzmy wartość FWHM, której wartośc jest równa połowie maksymalnej wartości:

${{1}\over{2}}(E=\langle E\rangle)={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}e^{-{{\left({{1}\over{2}}FWHM\right)^2\over{2\sigma^2_E}}}}\Rightarrow FWHM_D=2\sqrt{2\ln 2}\sigma_E=\;$ $=2\sqrt{2\ln 2}\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\Rightarrow FWHM_D=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;$

(8.77)

Wyliczone wartości stałych FWHM_D, które są wyznaczone dla detektorów gazowych i półprzewodnikowych dla różnych energii E_o okazały się dużo mniejszy od wartości wyznaczonej statystycznie, co okazuje się, że fluktuacje pierwotnych nośników prądu nie podlegają statystyce Gaussa, wtedy można wprowadzić czynnik poprawkowy F<1, który jest nazywamy czynnikiem FANO i przyjmuje wartości:

$\sigma_n=\sqrt{F\cdot \langle n^2\rangle}\;$ (8.78)

$\sigma_E=\sqrt{F\cdot\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;$ (8.79)

wtedy wyrażenie FWHM_D przy uwzględnieniu współczynnika Fano (współczynnika korekcji) jest napisane jako:

$FWHM_D=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}E_0}\;$

(8.80)

Obserwowana szerokość N(E) z detektora jest uwarunkowana fluktuacjami statystycznymi i jest mniejsza zgodność dla dużych energii pogarsza się z wielkością $\sqrt{E_0}\;$ dla rejestrowanych cząstek i dlatego jest ona wsprost proporcjonalna do $\sqrt{\overline{\mathbf{E}}}\;$. Przedstawimy teraz listę wartości $\overline{E}\;$ i F dla detektorów półprzewodnikowych, gazowych i scyntylacyjnych.

	Detektory półprzewodnikowe		Detektory gazowe	Detektory scyntylacyjne
	Ge	Si		Argon	Metan
$\overline{\mathbf{E}}\;$	2,96 2,62 3,71	77keV 77keV 300keV	około 300	26,4	29,2
F	około 0,005 do 0,1		około 1	od 0,17 do 0,25

To jakie są wartości współczynnika korekcji F decydują mechanizmy wytwarzania nośników prądów, a także rodzaj nośnika, a także koreakcje pomiędzy tego typu procesami. Fotony w zjawisku luminescencji nie wykazują tego typu korelacji, a więc współczynnik korekcji dla scyntylatorów wynosi $F\simeq 1\;$. Bardzo małe wartości współczynnika korekcji F i średniej energii obserwuje się przy germanie, i dlatego spektrometry w GeHP przy dużych wartościach energii wykazują rekordowo duże zdolności rozdzielcze promieniowania E_γ=1,33MeV i FWHM=1,7keV. W porównaniu z najlepszymi scyntylatorami NaJ(Tl), FWHM=60keV są one 30-35 krotnie lepsze. Bardzo ważnym czynnikiem w detekcji promieniowania jądrowego jest zdolność rozdzielcza detektorów, która jest zależna od energii badanych cząstek są szumy wynikające z fluktuacji termicznych są tzw. prądy zerowe, które płyną przez spolaryzowany detektor, dot. termicznej kreacji par e^-e⁺, a także obecność domieszek, a także występowanie prądu ciemnego w detektorach w fotopowielacza, itp. a także prądów płynących po powierzchni detektorów i po izolacji, które dochodzą często rzędu 10³V. Szumy te przedostają się do fluktuacji statystycznych, które zależą od energii poprzeżając w ten sposób pasmo FWHM_D znacząco, co decydujący znak jest przy niskich energiach, przy których rolę efektór proporcjonalnych do $\sqrt{E}\;'$ maleje. Z powodów dużych szumów termicznych, niektóre urządzenia muszą pracować w temperaturze ciekłego helu 77K dla detektorów wykonanych z Ge.

Zdolność rozdzielcza elektroniki spektrometru (FWHM_EL)

Ono charakteryzują wszelkie fluktuacje i pradów i wzmacniacza układów wzmacniających impulsów z detektora i przetwornika ADC wielokanałowego analizatora amplitudy. Szumy rejestrowanych cząstek zależą od energii rejestrowanych cząstek, czyli od amplitudy przetwarzanych impulsów, a także zależy od temperatury i jakości elementów elektronicznych z których są zbudowane spektrometry promieniowania jądrowego. Największy wpływ mają przedwzmacniacze ładunkowe we detektorach zbudowanych z półprzewodników, które są zbudowany z niskoszumowych tranzystorów polowych. Traktując szumy układów elektronicznych i detektora razem, czyli $\sigma_{AP}^2=\sigma_{szum D}^2+\sigma^2_{EL}\;$, co jest sumą kwadratów szum detektora i układu elektronicznego, ta wielkość jest niezależna od rejestrowanego promieniowania. Zdolność energetyczna spektrometru określać w sposób:

$FWHM(E)=\sqrt{(2,35)^2F\overline{\mathbf{E}}E+FWHM^2_{AP}}\;$

(8.81)

Z rozważań (8.79) zależność zależność FWHM² dla spektrometrów liniowych powinna być zależność liniowa od E, ale ją dla E=0 określać będziemy jako FWHM_AP. Jest to metoda określania wielkości FWHM_AP.

Wydajności detektorów i spektrometrów

Są to parametry chasrakteruzujące względne lub absolutne zarejestrowane przez detektor ściśle określonego typu promieniowania. Wydajność detektora określa ilość zarejestrowanych cząstek w zależności od cząstek padających:

$\eta(E)={{N_{zar}}\over{N_{pad}}}\;$

(8.82)

Obliczanie ilości cząstek padających

Jest to wydajność (właściwa) detektora zarejestrowanych w dowolnym czasie Δ. Dla cząstek naładowanych α i β wydajność ta jest bliska 100%. Jej obniżenie może spowodować pochłonięcie pewnych ilości cząstek w okienku detektora. Wydajność detektora promieniowania γ znacznie zależy od energii kwantów, a także od rodzaju detektora. Ale już dla ≤50keV zależy również od obserwowanych cząstek. Jeśli mamy źródło promieniowania γ o aktywności A i kąt bryłowy detektora jest Ω, to w czasie t liczba padających cząstek jest:

$N_{pad}(E_0)=A_{zr}{{I(E_0)}\over{\sum_i I_i(E)}}\Omega t\;$

(8.83)

Zdolność rozdzielcza η_w(E) detektora (spektrometru) promieniowania jądrowego

Zdolność właściwa, którą liczymy względem wydajności dla danej energii określamy poprzez:

$\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}\;$

(8.84)

Jest ona zależna od energii rejestrowanych cząstek. Mając definicję wydajności względnej dla zarejestrowanych cząstek o energii E jest stosunkiem (8.81) dla energii E przez ednergię E₀.

$\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}={{N_{pad}}\over{N_{pad}(E_0)}}{{N_{zar}(E_0)}\over{N_{zar}(E)}}\;$

(8.85)

Iloraz I(E)/I(E₀) jest określana na podstawie tablic wzorcowych, a natomiast N_zar(E₀)/N_zar(E) określa się według widma energetycznego o energii E.

Zdolność rozdzielcza absolutna detektora w spektrometrze promieniowania jądrowego

Zdolność rozdzielcza spektrometru określa prawdopodobieństwo wykrycia cząstki, która posiada energię E₀ wylatującej ze źródła, która jest w odległości r od detektora.

$\eta_b(E)={{N_{zar}(E)}\over{N_{wylzr}}}={{N_{pad}(E)\eta(E)}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{A_{zr}I_{zr}(E)\eta(E)\Omega t}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{\Omega}\over{4\pi}}\eta(E)\;$

(8.86)

Znajomość tej wydajności absolutnej spektrometru jest bardzo nam potrzebna do zbadania aktywności badanych przez nas źródeł. Wydajność spektrometru HPGe określa się na podstawie kwantów energii γ, które są wydzielane p[rzez ⁶⁰Co, gdzie tam są wysyłane są kwanty o energii 1332 keV. Wydajność względna będziemy określać na podstawie scyntylatora NaI, której wydajność jest 1,2⋅10^-3:

$\eta_{wa}(Ge)_{\gamma}={{\eta(1332keV)}\over{\eta(NaI(TL);1332keV)}}={{\eta(1332keV)}\over{1,2\cdot 10^{-3}}}\;$

(8.87)

Transmisja spektrometru magnetycznego

Jest to wielkość określająca prawdopodobieństwa wykrycia przez detektor od rozmiarze kątowym Ω, która doleciała by z odległości r ze źródła do kolektora.

$T={{\Omega}\over{4\pi}}\;$

(8.88)

Świetliwość spektrometru magnetycznego

Świetliwość spektrometru magnetycznego określamy poprzez transmisje spektrometru magnetycznego T (8.88). I określajmy je jako powierzchnię źródła S^max dla której jeszcze jest dobra zdolność spektrometru jądrowego.

$L=T\cdot S^{max}\;$

(8.89)